Álgebra Linear e Aplicações - Lista para Primeira Prova
Nestas notas, X, Y, . . . são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo F ∈
{R, C}. Você pode supor que todos os espaços têm dimensão finita.
Os exercı́cios abaixo variam bastante em dificuldade, mas há um bom
número de problemas difı́ceis. A ideia não é dar problemas no mesmo nı́vel
da prova e sim chamar a atencão para alguns fatos importantes. Também
é bom notar que problemas estão relacionados: às vezes o resultado de um
ajuda muito a resolver o outro.
Outros problemas que merecem atenção. Meyer: 4.2.2, 4.2.4, 4.2.12,
4.2.13, 4.3.12, 4.3.13, 4.4.10. Reveja também os exercı́cios das notas.
Problema 1 Falso ou verdadeiro? (Justifique as respostas.)
1. Existe um espaço vetorial X com mais de um elemento, elementos
distintos x1 6= x2 em X e uma transformação linear sobrejetiva T :
X → X com T x1 = T x2 .
2. Se Y é subespaço de X, então Y = X se e somente se dim(Y) = dim(X).
3. Seja B ∗ uma base de X∗ . Se x ∈ X é tal que h`, xi = 0 para todo
` ∈ B ∗ , então x = 0.
4. Sejam T, S : X → X transformações lineares. Então a imagem de ST
tem a mesma dimensão da imagem de T S.
Problema 2 Sejam Y1 , Y2 subespaços de X. Prove que:
dim(span(Y1 ∪ Y2 )) ≤ dim(Y1 ) + dim(Y2 ).
Problema 3 Sejam X, Y e W espaços com a mesma dimensão. Suponha
que T : X → Y e S : Y → W são transformações lineares tais que ST é
inversı́vel. Prove que S e T são ambas inversı́veis. Dê um exemplo para
explicar que isto nem sempre vale quando as dimensões diferem.
Problema 4 Seja Rn×m o espaço das matrizes A com entradas reais, n
linhas e m colunas. Os elementos de A ∈ Rn×m serão sempre chamados de
Ai,j , com 1 ≤ i ≤ n indexando a linha e 1 ≤ j ≤ m indexando a coluna.
É sabido (e você não precisa provar) que Rn×m é um espaço vetorial sobre
F = R quando definimos, para A, B ∈ Rn×m e λ ∈ R:
(λA)i,j = λAi,j e (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j .
Prove que, com estas definições, dim(Rn×m ) = nm.
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Problema 5 Seja ` ∈ X∗ um funcional linear não nulo sobre o espaço X.
Prove que dim(ker(`)) = dim(X) − 1. (Você consegue provar isso sem usar
fórmulas para dimensão?)
Problema 6 Considere uma transformação linear inversı́vel T : X → Y.
Prove que a transposta T 0 : Y∗ → X∗ também é inversı́vel e que (T 0 )−1 =
(T −1 )0 .
Problema 7 Seja T : X → X linear e inversı́vel. Considere vetores b1 , . . . bk
que formam uma base LI de X com base dual β1 , . . . , βk . Mostre que os
vetores:
c1 ≡ T b1 , c2 ≡ T b2 , . . . , ck ≡ T bk
também formam uma base LI de X. Prove ainda que:
γ1 ≡ T 0 β1 , . . . , γk ≡ T 0 βk
é a base dual dos ci ’s.
Problema 8 Seja X o espaço vetorial sobre R composto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau n. Já vimos que este é um espaço
vetorial de dimensão n + 1 com base LI dada por:
B ≡ {1, x, x2 , . . . , xn }.
Prove que cada uma das operações abaixo é linear e calcule a sua representação matricial na base B.
1. A operação T que leva um polinômio p = p(x) ∈ X em
q(x) = xn p(1/x).
2. A operação D que leva um polinômio p na sua derivada D.
3. A operação P que leva p em p(x) + p(−x).
Problema 9 Com o mesmo X que no exercı́cio anterior, mostre que os
funcionais lineares:
`i : p(x) 7→
di p
(0) (2 ≤ i ≤ n)
dxi
são uma base LI de S ⊥ , onde S = {1, x}.
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Problema 10 Sejam T : X → Y e S : Y → W transformações lineares.
Prove que:
dim(ran(ST )) ≤ min{dim(ran(S)), dim(T )};
dim(ran(S + T )) ≤ dim(ran(S)) + dim(ran(T )); e
dim(ker(ST )) ≤ dim(ker(S)) + dim(ran(T )).
Problema 11 Seja A uma matrix n × m correspondente a uma transformação linear T : Rm → Rn . Prove que a seqüência de operações envolvida
na eliminação Gaussiana sobre A corresponde a compôr T com uma série
de transformações lineares inversı́veis sobre Rn . Isto é, a matriz resultante
à corresponde a uma transformação linear
T̃ = Sk Sk−1 . . . S1 T
onde cada Si : Rn → Rn é linear e inversı́vel.
Problema 12 Seja S ⊂ X um conjunto não vazio. Prove que
dim(ran(S)) = max{|B| : B ⊂ S é LI}.
Problema 13 Prove que um conjunto S ⊂ X gera X se e somente se para
todo ` ∈ X∗ existe um s ∈ S com h`, si =
6 0.
Problema 14 Considere uma transformaçã matriz T : Rm → Rm cuja
matriz na base canônica é A ∈ Rn×m . Mostre que
ran(T ) = span(a1 , . . . , am )
onde


A1,i
 A2,i 

ai = 
 ... 
An,i
é o vetor correspondente à i-ésima coluna de A. Deduza que a dimensão de
ran(T ) é o tamanho do maior conjunto LI em a1 , . . . , an .
Problema 15 Sejam T : X → Y e S : Y → W transformações lineares com
S inversı́vel. Prove que dim(ran(T )) = dim(ran(ST )).
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Problema 16 Sejam v1 , . . . , vn+1 ∈ Rn . Prove que existem conjuntos disjuntos e não vazios S1 , S2 ⊂ Rn e números λi > 0 para cada i ∈ S1 ∪ S2 tais
que:
X
X
λ i vi =
λ j vj .
i∈S1
j∈S2
Problema 17 Deduza dos dois exercı́cios anteriores que a transformação
linear dada pela matriz obtida a partir da eliminação Gaussiana tem imagem
com a mesma dimensão de imagem que T . Diga como você pode calcular a
dimensão da imagem de T a partir da matriz final.
Problema 18 Considere uma transformaçã matriz T : Rm → Rm cuja
matriz na base canônica é A ∈ Rn×m . Mostre que
ran(T ) = span(a1 , . . . , am )
onde


A1,i
 A2,i 

ai = 
 ... 
An,i
é o vetor correspondente à i-ésima coluna de A. Deduza que a dimensão de
ran(T ) é o tamanho do maior conjunto LI em a1 , . . . , an .
Problema 19 Deduza dos dois últimos problemas, se fazemos eliminação
Gaussiana em A, as colunas
1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ir
da matriz pós eliminação onde há pivôs não nulos correspondem a vetores
LI ai1 , . . . , air , que formam uma base de ran(T ). Use isto para fazer os
problemas 4.3.1, 4.3.2 e 4.3.9 do livro do Meyer.
Problema 20 Seja T : Rn → Rn uma transformação linear cuja matriz na
base canônica é tal que as entradas de cada coluna somam zero. Prove que
T não é inversı́vel. Prove um resultado parecido quando as linhas da matriz
têm soma zero. [Dica: pode ser mais fácil provar a segunda parte primeiro!]
Problema 21 Existe um espaço vetorial sobre R de dimensão 20 que tem
menos de 4197! bases LI? [Dica: para propósitos práticos, 4917! = ∞.]
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Problema 22 Seja T : X → X um operador linear cuja imagem tem dimensão 1. Prove que T 2 = cT para algum c ∈ F. Prove ainda que c 6= 1 se
e somente se I − T é inversı́vel.
Problema 23 Suponha que T : X → X e que λ1 , . . . , λk ∈ F são números
distintos tais que para cada 1 ≤ i ≤ k existe um vi ∈ X\{0} com T vi = λi vi .
Prove que os vetores v1 , . . . , vk são necessariamente LI e deduza que k ≤
dim(X). [Dica: faça a prova por indução em k. Uma boa dica para entender
o que acontece é considerar primeiro o caso k = 2. Suponha que:
α1 v1 + α2 v2 = 0.
O que acontece quando você aplica a transformação linear T − λ2 I a α1 v1 +
α2 v2 ? Como você pode generalizar isto a k > 2?]
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