MATEMÁTICA II -
Engenharias/Itatiba
1o Semestre de 2009
Prof. Maurício Fabbri
© 2004-9
1a Série de Exercícios
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
a
sen α =
c
a
sec α =
1
cos α
c
α
b
cos α =
cos ec
b
tan α =
a
α=
1
sen
α
c
b
tan
α = sen α
cos α
cot an
α=
1
tan
α
ÂNGULOS NOTÁVEIS
graus
radianos
0
30o
45o
60o
90o
0
π/6
π/4
π/3
π/2
o
seno
0
1/2
2/2
3/2
1
coseno tangente
1
0
3/2
2/2
1/2
0
3 /3
1
3
∞
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2α + cos2α = 1
sen(2α) = 2sen(α)cos(α)
cos(2α)= cos2(α) - sen2(α)
sen(A+B) = senAcosB + senBcosA
α =
tan(2 )
α
1 − tan (α )
2 tan( )
2
cos(A+B) = cosAcosB - senAsenB
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
A
c
A2 = B2 + C2 - 2.B.C.cos(a)
b
B
a
C
A = B = C
sen(a ) sen(B) sen(c)
S = 1 A.B.sen(c)
2
(lei dos cossenos)
(lei dos senos)
(cálculo da área)
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CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
y = sen(α)
z
α y
x = cos(α)
x
z = tan(α)
1
sen(-α) = -sen(α)
PROPRIEDADES
cos(-α) = cos(α)
tan(-α) = -tan(α)
sen(α±π) = -sen(α) cos(α±π) = -cos(α) tan(α±π) = tan(α)
sen(α) = cos(α-90o)
A
f
FORMA GERAL
(t)
f(t) = Acos(ωt + φ)
t
A = amplitude
ω = frequencia angular
φ = fase
ω=
T
2π
T
Se interpretarmos a variável t como sendo o tempo,
a senóide pode ser visualizada como a projeção de um vetor girante:
A
ω φ
t +
f(t)
A UNIDADE NATURAL DE ÂNGULOS
R
α
L
A medida do ângulo α é definida como a razão entre o comprimento do arco
subentendido pelo ângulo e o raio de uma circunferência com vértice no
ângulo:
α = comprimento do arco = L
raio
R
Costumamos chamar essa razão de radiano, mas na verdade é um número puro.
2π rad = 360o
As funções trigonométricas simples sen(x) e cos(x) tem amplitude 1 e período 2π.
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EXERCÍCIOS
Exercício 1:
Encontre os ângulos α e β , em graus e minutos:
(a)
β
5
(b)
13
4
α
α
Calcule o comprimento dos lados desconhecidos, com três significativos:
(a)
(b)
5
40o
Exercício 3: (a)
(b)
Exercício 4:
5
12
3
Exercício 2:
β
(c)
a
b
a
c
15o
10
c
A inclinação de uma ladeira é 12o17´ .
quilômetro (m/km) , com três significativos.
20o
c
5
Expresse essa inclinação em metros por
Qual a inclinação de uma encosta, em graus e minutos, de declividade 450m/km ?
Um observador no solo, a 50m do pé de um edifício, vê o prédio sob ângulo de 37o , e uma torre
com antena no topo do prédio sob ângulo de 3o . Calcule as alturas do prédio e da torre.
(3 significativos)
h
3o
H
37o
50m
Exercício 5:
x
Encontre os lados desconhecidos (3 significativos) :
y
60o
45o
Exercício 6:
(a)
20
Encontre o lado desconhecido (3 significativos)
e o ângulo α (graus e minutos) :
(b)
16
α
α
30o
8
35o
12
20
r
Exercício 7:
Calcule o tamanho do vetor A (3 significativos) e o ângulo α (graus e minutos) :
A
3
α
40o
5
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Calcule os três ângulos do triângulo (graus e minutos) :
Exercício 8:
8
7
9
Exercício 9:
A quantos graus corresponde 1 radiano ?
A quantos radianos corresponde 1o ?
Exercício 10:
(M. Kline, “Mathematics and the Physical World”, Dover, 1981)
Eratóstenes (275-194 AC) foi um famoso erudito, poeta, historiador, astrônomo, geógrafo e matemático,
que viveu durante os últimos períodos da civilização grega antiga, quando o centro dessa cultura estava
em Alexandria, no Egito. Assim como a maioria dos gregos mais informados, ele sabia que a Terra era
esférica, e então preparou um experimento para encontrar seu perímetro. Ele sabia que Alexandria estava
ao norte da cidade de Siene, e que a distância medida entre essas duas cidades, sobre a superfície da
Terra, era de quinhentas milhas. No solstício de verão, o Sol do meio-dia brilhava diretamente sobre um
poço, em Siene. Isso significa, como Eratóstenes observou, que o Sol estava verticalmente acima nesse
instante (direção OBS´ na figura). Já em Alexandria, nesse mesmo instante a direção do Sol era AS,
enquanto que a direção vertical é OAD. Mas o Sol está tão longe que as direções AS e BS´ são
paralelas. Eratóstenes mediu o ângulo DAS (como você faria isso?) e encontrou sete graus e meio. Qual
o valor do raio da Terra, de acordo com essa medição? (uma milha corresponde a 1.610 metros)
Exercício 11:
O menor ângulo visual sob o qual o olho humano vê dois pontos A e B separadamente é
chamado de acuidade visual, e é, em média, da ordem de um minuto de grau.
A
α
B
(a) Uma pessoa normalmente consegue focar bem a vista a uma distância mínima de 20cm. Dessa
distância, qual a separação mínima entre dois pontos que pode ser distinguida? (resposta com dois
significativos)
(b) O diâmetro da Lua é de 3.480Km. Se ele é vista a olho nu, numa noite de lua cheia, sob um
ângulo de meio grau, a que distância aproximada ela está de nós? ( compare com o dado conhecido
para a distância média entre a Lua e a Terra : 380 mil quilômetros )
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Exercício 12:
Escreva a fórmula das funções senoidais abaixo na forma geral f(t) = Acos( ωt + φ). A amplitude
deve ser positiva e especificada com três significativos, e a fase em graus e minutos; deixe a
frequencia angular escrita explicitamente em termos de π.
f
f (t)
(t)
10
20
(a)
(b)
8
t
t
-8
0,01
0,2
f
(t)
50
20
(c)
t
15
Exercício 13:
Determine A e φ de modo que:
(a) 30sen(5t) + 40cos(5t) = Acos(5t+φ)
(b) 30cos(10πt+30o) + 40cos(10πt-45o) = Acos(10πt+φ)
(c) 12sen(35πt+43o) - 15sen(35πt+75o) = Acos(35πt+φ)
(A deve ser positivo e especificado com três significativos, e o ângulo φ em graus e minutos)
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Permitido uso livre para fins educacionais,
sem ônus, desde que seja citada a fonte.
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RESPOSTAS
Exercício 1: (a) α = 53o8´ ; β = 36o52´ (b) α = 22o37´ ; β = 67o23´
Exercício 2: (a) b = 3,21 c = 3,83 (b) a = 10,4 c = 2,68 (c) a = 14,6 c = 13,7
Exercício 3: (a) 218 m/km ; (b) 24o14´
Exercício 4: H = 37,7m h = 4,28m
Exercício 5: x = 17,9 y = 14,6
Exercício 6: (a) 10,1 ; 52o29´ (b) há duas soluções: 13,9 e 59o21´ ou 5,75 e 120o38´
Exercício 7: A = 3,32 ; α = 35o31´
Exercício 8: 58o25´ ; 73o24´ ; 48o11´
Exercício 9: 57o17´45´´ ; 0,0175 rad
Exercício 10: 6150Km (o valor moderno é 6370Km)
Exercício 11: (a) 58μm (b) 399 mil quilômetros
Exercício 12: (a) f(t) = 20cos(10πt-66o25´) (b) f(t) = 10cos(200πt+143o8´) (c) f (t) = 50 cos ⎛⎜ 2π t + 66 25´ ⎞⎟
o
⎝ 15
⎠
Exercício 13: (a) A=50 e φ=-36o52´ ; (b) A=55,9 e φ=-13o45´ ; (c) A=7,98 e φ=217o49´ ;
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