Emaranhamento, complementaridade
e descoerência
Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo
UFRJ
Emaranhamento, complementaridade
e descoerência
Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-graduação em Fı́sica, Instituto de Fı́sica, da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
tı́tulo de Doutor em Ciências (Fı́sica).
Orientador: Luiz Davidovich
Rio Janeiro
Dezembro de 2006
M528
de Melo, Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo
Emaranhamento, complementaridade e descoerência / Fernando
da Rocha Vaz Bandeira de Melo – Rio de Janeiro: UFRJ/ IF, 2006.
x, 127f.: il; 30cm.
Orientador: Luiz Davidovich
Tese (doutorado) – UFRJ / Instituto de Fı́sica / Programa de
Pós-graduação em Fı́sica, 2006.
Referências Bibliográficas: f.118-127
1. Informação quântica. 2. Emaranhamento. 3. Descoerência.
4. Complementaridade. I. Davidovich, Luiz. II. Universidade Federal
do Rio de Janeiro, Instituto de Fı́sica, Programa de Pós-graduação em
Fı́sica. III. Emaranhamento, complementaridade e descoerência.
Resumo
Emaranhamento, descoerência e complementaridade
Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo
Orientador: Luiz Davidovich
Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Fı́sica,
Instituto de Fı́sica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do tı́tulo de Doutor em Ciências (Fı́sica)
Nesta tese abordamos o emaranhamento em alguns de seus aspectos, a saber: sua
medida não demolidora e de suas variáveis complementares, a observação experimental
de sua dinâmica e sua utilização como recurso. Para todos esses aspectos são sugeridos
experimentos.
Com o objetivo de discutir as caracterı́sticas fı́sicas do emaranhamento bipartido,
propomos um circuito lógico universal que é capaz de medir de forma não-demolidora
variáveis complementares de um sistema bipartido. A medida não-demolidora evidencia o caráter complementar entre as propriedades de partı́cula única e as do estado
emaranhado, uma caracterı́stica exclusivamente bipartida. Esse circuito pode ser implementado atualmente em diversos sistemas usados na área de informação quântica.
O segundo aspecto tratado foi a dinâmica do emaranhamento. Mostramos como
realizar experimentos de óptica linear onde é enfatizada a diferença entre as dinâmicas
de descoerência de partı́cula única, que sempre levam a um decaimento assintótico no
tempo, e a dinâmica de descoerência do emaranhamento, que pode decair em tempo
finito. Com essa proposta abrimos caminho para experimentos em óptica linear com
reservatórios controlados, afetando tanto a amplitude quanto a fase do estado. Esse
tipo experimento está sendo realizado no Laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ
e resultados preliminares aqui mostrados já confirmam sua viabilidade e previsões.
i
Por fim analisamos o emaranhamento como recurso na transferência de informação
do estado do campo eletromagnético aprisionado em uma cavidade super-condutora unidimensional para um qbit super-condutor. Especificamente, mostramos como medir a
função de Wigner do estado do campo através de medidas das populações do qbit. Esse
protocolo também pode ser experimentalmente realizado com a tecnologia atual.
A mais pronunciada caracterı́stica da mecânica quântica, o emaranhamento, é assim
o elo de ligação dos temas abordados nessa tese.
Palavras-chave: Emaranhamento, descoerência, implentação experimental de mapas
de descoerência, complementaridade bipartida.
Rio de Janeiro
Dezembro de 2006
ii
Abstract
Entanglement, decoherence and complementarity
Fernando da Rocha Vaz Bandeira de Melo
Orientador: Luiz Davidovich
Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Fı́sica,
Instituto de Fı́sica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do tı́tulo de Doutor em Ciências (Fı́sica)
In this thesis we treat entanglement in some of its aspects: its quantum non-demolition
measurement and of its complementary variables, the experimental observation of its dynamics and its use as a resource. Experiments are suggested for all these aspects.
With the objective of discussing the physical characteristics of the bipartite entanglement, we consider a universal logical circuit that is capable to measure in a
non-demolition fashion the complementary variables of a bipartite system. The nondemolition measure evidentiates the complementary aspects of single-particle properties
and of the entangled state, an exclusively bipartite characteristic. This circuit can be
currently implemented in several systems in the field of quantum information.
The second raised point about entanglement was its dynamics. We show how to
perform linear optics experiments that demonstrate the difference between the local
decoherence dynamics, which always lead to asymptotically decay, and the global decoherence dynamics, which can decay in a finite time. With this proposal we open an
avenue for linear optics experiments with controlled reservoirs, acting over the system
amplitude or phase. This kind of experiment is being performed in the Quantum Optics
Lab of IF-UFRJ and some of its results are here reported.
Finally we analyze entanglement as a resource to exchange the information between
the electromagnetic field trapped in a super-conductor one-dimensional cavity and a
iii
super-conducting qubit. Specifically, we show how to measure the Wigner function of
the field state through measurements on the qubit populations. This protocol can also
be reached with present technology.
The quantum mechanics strongest characteristics, the entanglement, is thus the connection among the themes in this thesis.
Key-words: Entanglement, decoherence, experimental implementation of noise quantum channels, bipartite complementarity.
Rio de Janeiro
Dezembro de 2006
iv
Lista de Publicações:
• F. de Melo, L. Aolita, F. Toscano e L. Davidovich, “Direct measurement of the
quantum state of the electromagnetic field in a superconducting transmission line”.
Phys. Rev. A 73, 030303(R) (2006).
• F. de Melo, S. P. Walborn, János Bergou e L. Davidovich, “Quantum Non-Demolition
Test of Bipartite Complementarity”; quant-ph/0702079. Submetido.
• A. Salles, F. de Melo, J. C. Retamal, R. L. de Matos Filho e N. Zagury, “Single observable concurrence measurement without copies”. Phys. Rev. A 74, 060303(R)
(2006)
• M. P. Almeida, F. de Melo, M. Hor-Meyll, A. Salles, S. P. Walborn, P.H.Souto Ribeiro e L. Davidovich, “Experimental Observation of Environment-induced Sudden
Death of Entanglement”; quant-ph/0701184. Submetido.
v
Agradecimentos
Muitas são as pessoas que contribuı́ram para que eu conseguisse escrever essa tese e,
sendo assim, gostaria de agradece-las.
Em primeiro lugar, como não poderia deixar de ser, agradeço ao Luiz. Luiz não foi
só um simples orientador de tese, me orientou - e gosto de pensar que continuará me
orientando - em muitos aspectos. Me ensinou muita fı́sica, a pensar em fı́sica a adorar
a Fı́sica e seus mistérios. Soube como poucos, estimular a independência cientı́fica e, ao
mesmo tempo, estar presente. Cinco minutos de discussão sempre me rendiam horas de
pensamentos, dúvidas e trabalho. Devo admitir que não só as discussões sobre algum
assunto de trabalho serviam de estı́mulo mas também “puxões de orelha” dados de forma
sutil e em momentos importantes foram fundamentais. Fizeram esses, mais do que tudo,
com que eu aprendesse a me portar como pesquisador. Boas comemorações, cervejas,
papo furado, polı́tica, opiniões sobre filmes... tudo isso me acrescenta enormemente.
Como se não fosse suficiente, ainda fui brindado com um grupo de trabalho fantástico,
intenso e sempre presente. Pude trabalhar com a quase maioria dos professores do
grupo, me “metendo” onde não era chamado mas sempre muito bem recebido, seja na
parte experimental quanto na teórica. O Nicim, o exemplo do grupo e que sempre
está disponı́vel para nos ensinar, é com certeza uma das pessoas mais simpáticas que já
conheci; esbanja experiência e juventude. O Ruynet é certamente responsável pela coesão
e “pressão” do grupo. Muito próximo aos alunos, ele está sempre discutindo o trabalho de
todos e comprometido com suas opiniões (desde do kilowatts até a crı́tica à computação
quântica). O Paulão, como todos desde o começo já se sentem à vontade de assim
o chamar, nos lembra a todo o momento a importância e a “verdade” do experimento.
Nesse aspecto também entra nosso recém professor o Stephen, ou como ele mesmo assina
nos e-mails, o Steve - com sotaque de carioca surfista. Esse, por sinal, é uma fonte
inesgotável de idéias, fazendo com que eu ficasse quase sem graça quando me contava as
dez horas da manhã (depois dele ter ido à praia, à academia, feito um experimento, escrito
um artigo e revisado outro - ufa!) que a idéia do dia anterior já tinha sido publicada
por alguém mas ele já tinha pensado em duas outras possibilidades, para as quais ele já
tinha feito umas “continhas”. O Fabrı́cio, com sua formação matemática muito forte,
me ensinou principalmente a ter paciência e perseveraça com as dificuldades encontradas
em um trabalho. Agradeço também ao Andreas que fez com que essa transiçao fosse
segura e pela sua receptividade e confiança; “Vielen Danke”.
Não posso deixar de agradecer aos alunos do grupo. Com esses dividi alguns dos
melhores momentos, outros até nem tão bons assim, da minha vida nesses quase quatro
anos. Agradeço desde os mais antigos que receberam - Pablo (um grande amigo e
cupido!), Miguel, Dilson e Pablito - aos mais novos - César, Rafael, Adriana e Gabriela pois de alguma forma me influenciaram. Reservo no entanto um especial agradecimento
aos amigos com os quais mais tempo convivi: Alexandre, Diney, Marcelo, Leandro,
Adriano, Paula, Alejo, Malena e Daniel. Esses, juntamente com a Ana e o Fernando
Saliby, foram fundamentais para os anos aqui passados. Sua amizade incondicional,
independente do meu humor flutuante e rara presença, muito me são gratas. Agradeço
também ao pessoal da escalada, com os quais me divertia muito tanto nos finais de
semana de sol quanto numa viagem chuvosa. Com o Erick, Roberta, Antônio, Ana,
Josuneu, Dolly, Steban, Francês, Maurı́cio... e muitos outros conheci lugares incrı́veis,
vias “alucinantes” e fiz grandes amizades de montanha.
Agradeço especialmente à Claudia e ao Ruynet. Com eles tive ótimos momentos:
boa música, vinhos, viagens, escaladas, alemão, boa comida e uma enorme compreensão
e carinho mútuo. Foram sempre muito gentis e antenciosos.
Agradeço de todo coração à minha famı́lia por seu suporte, carinho e compreensão:
meu velho Jô, minha Rutó, minha mana Gabriela e Taitai. Sem esquecer o Luli que se
soma a gente.
Por fim, agradeço a Larissa, quem me ensinou a amar.
... à Lalá.
Nı́quel Náusea. Fernando Gonsales. Folha de São Paulo 07/10/2006.
Conteúdo
1 Introdução
1
2 Emaranhamento
6
2.1
Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Medidas & Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1
Medidas Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2
Medidas Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Medida Não-Demolidora da Complementaridade Bipartida
19
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2
Medida Quântica Não Demolidora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1
3.3
3.4
3.5
Medida QND em Informação Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Complementaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1
1 Qbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2
Dois Qbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Circuito Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1
Medida QND do Emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.2
Medida QND da Previsibilidade e da Visibilidade . . . . . . . . . . 32
Conclusões
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Dinâmica de Decaimento Local e Global: Teste Experimental
38
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2
Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus . . . . . . . . . . . . 41
4.3
Dinâmicas de Descoerência e Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1
1 Qbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
ix
4.3.2
4.4
2 Qbits - Decaimento do Emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . 56
Implementação Experimental com Óptica Linear . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.1
Elementos Ópticos Lineares ↔ Portas Lógicas Universais . . . . . 68
4.4.2
Interferômetros de Decaimento - 1 Qubit
4.4.3
Interferômetros de Decaimento - 2 Qbits
. . . . . . . . . . . . . . 73
Reservatórios Individuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5
Realização Experimental: Descrição e Resultados . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6
Conclusões
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Qbit Super-condutor: Medida da Função de Wigner
89
5.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2
Qbit e Cavidade Supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1
Qbits Supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2
Cavidade Super-condutora 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3
Acoplamento Qbit-Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.4
Realização Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.5
Medida do Qbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3
Função de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4
Protocolo de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5
Análise Experimental: Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5.1
5.6
Geração de Estados iniciais Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Conclusões
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Conclusões
109
A Tomografia
111
A.1 Reconstrução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.2 Matriz Densidade Fı́sica - χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.3 Estimativa dos Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1
Capı́tulo 1
Introdução
A ciência da informação passou por duas grandes mudanças relacionadas à fı́sica. A
primeira, por volta da década de 60, deve-se à percepção de que a informação é fı́sica,
veja por exemplo as referências [1, 2] para uma revisão. A informação segue as leis
da fı́sica para sua manipulação e transmissão. Nessa época as idéias eram restritas a
objetos macroscópicos e a fı́sica clássica era suficiente para explicar o processamento da
informação1 . Nesta descrição um “bit” (sigla em inglês para dı́gito binário), a unidade
básica de informação, pode assumir dois valores, 0 ou 1, que podem, por exemplo, serem
representados por duas diferentes voltagens. Cada bit tem sua informação descorrelacionada do outro, uma cadeia de N bits pode então representar 2N diferentes informações.
A segunda grande mudança foi motivada pela miniaturização dos componentes de um
computador. Em 1965, Gordon Moore [3], cofundador da Intel, observou que a densidade
de transistores em um chip dobrava aproximadamente a cada dois anos, veja a Figura 1.1.
Essa observação fez com que os limites fı́sicos da informação clássica fossem questionados,
uma vez que com essa taxa de crescimento rapidamente a escala dos componentes entra
na região de domı́nio da mecânica quântica. Paul Benioff [4, 5], em 1980, mostrou
que era possı́vel com um sistema intrinsecamente quântico, reproduzir a computação
clássica. Nessa mesma época, Feynman [6, 2] propôs que sistemas quânticos poderiam ser
simulados eficientemente em computadores quânticos, isto é, com um ganho exponencial
em relação aos computadores clássicos. No entanto, foi só em 1985 que David Deutsch
formalizou a idéia do computador quântico, correspondendo ao nascimento da ciência
da informação quântica [7]. Essa recente teoria teve um ganho substancial de interesse
1
A mecânica quântica só era utilizada para a criação de componentes, o transistor por exemplo.
2
Figura 1.1: Lei de Moore. A densidade de transistores dobra a cada dois anos.
devido à descoberta de um protocolo quântico de fatoração em tempo polinomial por
Peter Shor [8], o que representa um importante ganho em comparação com o melhor
algoritmo clássico até então conhecido, que envolve um número de etapas que cresce
exponencialmente com o comprimento do número.
Essa nova mudança fez com que as propriedades quânticas devessem ser observadas
em todos os aspectos do processamento de informação: transmissão, manipulação e
armazenamento. A unidade básica de informação nesta nova fase é o bit-quântico ou
“qbit”, descrito por um estado quântico do tipo α |0i + β |1i, onde α e β são números
complexos tal que |α|2 representa a chance do qbit se comportar como o estado |1i e
|β|2 representa a chance do qbit se comportar como o estado |0i e |α|2 + |β|2 = 1. Este
estado pode ser representado geometricamente por um vetor unitário em uma esfera, a
esfera de Bloch como mostrado na Figura 1.2.
Como os coeficientes desse estado são em geral números com infinitos dı́gitos, a
informação contida em um qbit, de forma geral, só pode ser escrita com um conjunto
infinito de bits. Porém, devido às caracterı́sticas da medida quântica, que só pode
distinguir claramente entre dois estados ortogonais, a informação transmitida por um
qbit, em uma única realização, é a mesma de um bit clássico. Essa é a essência do
chamado “limite de Holevo” [9, 10] para a quantidade de informação acessı́vel.
3
Figura 1.2: Esfera de Bloch. Representação geométrica do estado de um qbit: cos(θ/2) |0i +
eiφ sin(θ/2) |1i.
A possibilidade de superposição de estados quânticos traz consigo entretanto uma
outra caracterı́stica fundamental da mecânica quântica: o emaranhamento.
Tomemos o exemplo de dois qbits. Usando a base computacional, ou Booleana, temos
as seguintes possibilidades clássicas: |00i, |01i, |10i e |11i; onde |iji significa que o qbit
1 está no estado i e o qbit 2 no estado j. Quanticamente um possı́vel estado é o seguinte:
|0i + |1i
1
⊗ |1i .
|χi = √ (|00i + |10i) = √
2
2
(1.1)
Vemos que este estado pode ser escrito como o produto de dois qbits independentes, isto
é, que não apresentam correlação entre si, como no caso clássico.
No entanto, o estado:
|00i + |11i
√
,
(1.2)
2
não pode ser escrito como o produto de suas partes. Esta correlação entre seus consti|χi =
tuintes é chamada de emaranhamento. Estados desse tipo são ditos emaranhados, por
apresentarem essa correlação quântica que é mais forte do que as correlações clássicas,
como será melhor exemplificado no próximo capı́tulo. Cabe salientar que, em um estado emaranhado, a informação individual de cada qbit não é suficiente para descrever
o estado global.
O estado geral de N qbits pode ser escrito como:
|χi =
1,1...1
X
i,j...k=0,0...0
ci,j...k |ij . . . ki ,
(1.3)
4
onde ci,j...k são números complexos tais que
P1,1...1
2
i,j...k=0,0...0 |ci,j... |
= 1. Ou seja, temos um
vetor unitário no espaço de Hilbert de 2N dimensões. A maioria dos estados nesse espaço
é emaranhado. O emaranhamento é um recurso e pode ser utilizado para diversos fins
tais como teletransporte [11], correção quântica de erros [12] e protocolos de computação
quântica [7], os quais levam a um ganho exponencial em relação aos melhores protocolos
clássicos conhecidos até hoje.
Como escrito por Bennett e DiVincenzo [13]: ”Parte da nova teoria de informação
quântica é o estudo qualitativo e quantitativo do emaranhamento e suas interações com
a informação clássica”. É nesse contexto que se introduz a presente tese. Nela estudamos
alguns aspectos do emaranhamento no contexto da informação quântica, com um forte
vı́nculo com as realizações experimentais. Apesar de ser uma tese de caráter teórico,
para todos os aspectos do emaranhamento aqui tratados são sugeridos experimentos.
Esta tese é formada por três grandes capı́tulos onde apresentamos os principais resultados obtidos. Antes porém, no capı́tulo 2, depois de discutir o conceito de emaranhamento, resumimos as principais ferramentas que serão necessárias para os desenvolvimentos posteriores.
No capı́tulo 3 propomos um circuito lógico universal que é capaz de medir de forma
não-demolidora variáveis complementares de um sistema bipartido. Estas variáveis descrevem completamente as caracterı́sticas de partı́cula única e a caracterı́stica global, o
emaranhamento, para sistemas de dois qbits. A medida não-demolidora dessas quantidades evidencia o caráter complementar entre entre elas mostrando que só podemos
observar uma caracterı́stica para cada tipo de medida. Esse circuito pode ser implementado atualmente em diversos sistemas usados na área de informação quântica.
O segundo aspecto tratado, no capı́tulo 4, é a dinâmica do emaranhamento. Mostramos como realizar experimentos de óptica linear onde dinâmicas não-unitárias são implementadas através do emaranhamento de diferentes graus de liberdade de um mesmo
fóton, o que é conhecido como hiper-emaranhamento. Desta forma podemos observar
experimentalmente a diferença entre as dinâmicas de descoerência de partı́cula única,
que sempre levam a um decaimento assintótico no tempo, e a dinâmica de descoerência
do emaranhamento, que pode decair em tempo finito. Nesse capı́tulo o emaranhamento
atua de duas formas: primeiramente serve como canal de comunicação entre o sistema
de qbit(s) e o reservatório induzindo uma dinâmica não-unitária do sistema de interesse.
5
Segundo, envolve o próprio sistema de dois qbits imersos em reservatórios individuais.
Com essa proposta abrimos caminho para experimentos em óptica linear com diversos
tipos de reservatórios controlados, afetando tanto a amplitude quanto a fase do estado.
Experimentos desse tipo estão sendo realizados no Laboratório de Óptica Quântica do
IF-UFRJ e os resultados são aqui brevemente relatados.
Por fim, no capı́tulo 5, analisamos o emaranhamento como recurso na transferência
de informação do estado do campo eletromagnético aprisionado em uma cavidade supercondutora uni-dimensional para um qbit super-condutor. A possibilidade de transferência de informação entre qbits fixos e qbits “voadores”, o campo eletromagnético
nesse caso, é de grande importância para protocolos de comunicação quântica. Nossa
proposta vai, no entanto, além do contexto de qbits. Especificamente, mostramos como
medir a função de Wigner de diversos estados do campo aprisionados na cavidade através
de medidas das populações do qbit super-condutor. Esse protocolo também pode ser experimentalmente realizado com a tecnologia atual e sua viabilidade é aqui discutida.
No capı́tulo 6 a apresentamos nossas conclusões e perspectivas para trabalhos futuros.
“Eu não diria que o emaranhamento é um mas o traço caracterı́stico da mecânica
quântica, aquele que leva ao abandono completo do pensamento clássico” [14]. Essa frase
dita por Schrödinger em 1935 resume o fascı́nio e a importância dessa caracterı́stica que
serve de elo de ligação dos temas abordados nesta tese.
6
Capı́tulo 2
Emaranhamento
Resumo do Capı́tulo
Nesse capı́tulo, além de enfatizarmos o conceito de emaranhamento, introduzimos brevemente as principais ferramentas que nos serão necessárias nos próximos capı́tulos.
Mostramos como o emaranhamento bipartido de dois qbits pode ser quantificado tanto
matematicamente como experimentalmente. Também deixamos indicado um resultado
original obtido em colaboração com Alejo Salles, Ruynet Matos Filho, Juan Carlos Retamal e Nicim Zagury, onde mostramos como medir o emaranhamento de qualquer estado
puro de dois qbits com a medida de um só observável de um sistema auxiliar.
2.1. Conceito
2.1
7
Conceito
Para estabelecermos a diferença entre as correlações clássicas e as quânticas, associadas
ao emaranhamento, seguimos o ótimo exemplo dado por Peres na referência [15]. Suponhamos uma bomba inicialmente em repouso que explode em duas partes que possuem
momento angular J~1 e J~2 = −J~1 . Imaginemos dois observadores que detectem essas
partes e façam uma medida dicotômica do momento angular, ou seja, o observador 1
mede:
rα = sign(~
α · J~1 );
(2.1)
rβ = sign(β~ · J~2 );
(2.2)
e o observador 2 mede:
~ são vetores que designam a direção de medida de cada observador e sign dá
onde α
~ eβ
o sinal do produto escalar entre os vetores.
Suponha ainda que esse experimento é repetido várias vezes e que J~1 e J~2 são completamente aleatórios. Nesse caso, para cada observador, a média de r é nula. No entanto,
se após a realização de várias medidas os dois observadores se comunicam a correlação
entre os resultados pode ser inferida. A correlação pode ser calculada por:
hrα rβ i =
N
1 X
ri,α ri,β ;
N
(2.3)
i=1
onde ri,α (ri,β ) é o resultado da medida do observador 1 (2) na i-ésima realização e N é
o número total de realizações. Claramente este resultado pode ser diferente de zero. Por
exemplo, se α
~ = β~ temos uma total anti-correlação entre os resultados de cada realização
e hrα rβ i = −1. De forma geral, podemos calcular a correlação entre as duas medidas
observando a Figura 2.1.
Toda vez em que J1 tiver seu vetor acima do plano equatorial perpendicular a α
~
temos que rj,α = 1, do contrário, se o vetor estiver abaixo do plano então rj,α = −1. O
mesmo é obtido para J2 em relação ao plano equatorial definido perpendicularmente à
~ Dessa forma a esfera unitária fica dividida em quatro regiões devido ao ângulo entre
β.
~ Quando repetimos o experimentos muitas vezes, N → ∞, temos que os resultados
α
~ e β.
são correlacionados com uma probabilidade 2θ/(2π); e são anti-correlacionados com uma
probabilidade 2(π − θ)/(2π). As probabilidades foram calculadas observando o ângulo
~ Dessa forma a correlação clássica, C
~ é
entre os planos definidos por α
~ e β.
α, β),
clássica (~
2.1. Conceito
8
+−;−+
β
θ
α
++;−−
−−;++
−+;+−
Figura 2.1: Possı́veis resultados das medidas do momento angular do fragmento da
~
bomba para os dois observadores dados α
~ e β.
então:
~ = hrα rβ i =
Cclássica (~
α, β)
2θ
θ − (π − θ)
= −1 +
π
π
(2.4)
Pensemos agora no experimento equivalente quântico. Temos duas partı́culas de spin
1/2 em um estado inicial completamente anti-correlacionado e com momento angular
√
total nulo, ou seja o estado singleto |ψ − i = (|↑↓i − |↓↑i)/ 2. Neste caso, o observador
~ · ~σ , onde ~σ = σx x̂ + σy ŷ + σz ẑ com:
1 faz a medida α
~ · ~σ e o observador 2 mede β






0 1
0 −i
1 0
 ; σy = 
 e σz = 
 .
σx = 
(2.5)
1 0
i 0
0 −1
Aqui também a média dos resultado para cada observador quando N → ∞ é nula.
Calculando a correlação entre as medidas segundo as regras da mecânica quântica podemos facilmente ver que:
~ = ψ− α
~ · ~σ ψ − = −~
~ = − cos(θ).
Cquântica (~
α, β)
~ · ~σ ⊗ β
α·β
(2.6)
Pela Figura 2.2 percebemos que o valor absoluto das correlações quânticas é sempre
maior ou igual ao valor absoluto das correlações clássicas, ou seja:
~ ≥ |C
~
|Cquântica (~
α, β)|
α, β)|.
clássica (~
(2.7)
Isto justifica então dizer que as correlações quânticas são mais fortes do que as correlações clássicas. Claro que somente mostramos essa relação para o exemplo acima. No
entanto, com considerações um pouco mais gerais podemos chegar nas desigualdades de
Bell [15, 16], as quais mostram que as correlações clássicas são limitadas superiormente
2.1. Conceito
9
CHΑ,ΒL
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Θ
-0.5
-1
Figura 2.2: Comparação entre as correlações quânticas (linha vermelha contı́nua) e as correlações
clássicas (linha preta tracejada)
por um valor menor do que o limite das correlações quânticas. Toda vez que um estado
apresenta correlações acima do limiar clássico podemos afirmar que esse está emaranhado. Já o contrário não é verdade: não podemos afirmar que um estado é separável
se apresenta correlações menores do que o limiar clássico.
As desigualdades de Bell não são porém uma boa assinatura de emaranhamento, mais
ainda elas não quantificam o emaranhamento, somente o detecta. Para o caso de dois
qbits pertencente ao espaço de Hilbert composto bipartido1 HA ⊗ HB , dizemos que um
estado puro é separável, ou seja, não apresenta correlações, quando podemos escrever o
estado da seguinte forma:
|χi = |ΨA i ⊗ |ΦB i ≡ |ΨA ΦB i ,
(2.8)
onde |χi é o estado composto ∈ HA ⊗HB tal que |ΨA i ∈ HA e |ΦB i ∈ HB . Vemos que esse
estado é separável pois pode ser escrito como o produto de estados dos dois subespaços,
ou seja, a informação completa sobre as partes nos dá a informação completa do estado
composto. Isso é confirmado pela entropia de Von Neumman:
S = −k T r[ρ ln ρ],
(2.9)
onde k é a constante de Boltzman e ρ é a matriz densidade correspondente ao sistema de
interesse.. Fica claro que S = 0 para |χi, que é um estado puro, isto é, não há incerteza
sobre ele. O mesmo é verdade para os subsistemas, uma vez que tomando a matriz
reduzida de qualquer uma das partes corresponde a um estado puro do subsistema. Por
exemplo, T rB [|χi hχ|] = |ΨA i hΨA | = ρA e sua entropia SA = −k T r[ρA ln ρA ] = 0.
1
Nesta tese só trataremos do caso bipartido de dois qbits.
2.1. Conceito
10
Estados desse tipo porém são só uma pequena fração no espaço HA ⊗ HB . O estado
puro mais geral nesse espaço é da forma:
|χi =
X
i,j
cij |iA jB i ,
(2.10)
onde cij são coeficientes complexos e {|iA i} formam uma base em HA e {|jB i} formam
um base em HB . Para o caso de dois qbits temos por exemplo o estado:
− |01i − |10i
ψ =
√
.
2
(2.11)
Esse estado não pode ser decomposto no produto de dois estados pertencentes cada um a
um subsistema. Isto significa que o estado possui correlação quântica, emaranhamento.
Se o primeiro qbit é medido em 0 certamente o outro estará em 1; da mesma forma, se
o primeiro é medido em 1 o segundo estará certamente em 0.
Nesses casos, novamente temos que a entropia de Von Neumman para o estado puro
composto é nula, porém a entropia do estado reduzido de cada um dos subsistemas é não
nula, > 0. No exemplo do estado |ψ − i temos SA = SB = 1, isto é, não temos qualquer
informação sobre o estado das partes.
Quando o estado composto é puro é fácil ver pela decomposição de Schmidt que:
−k T r[ρA ln ρA ] = −k T r[ρB ln ρB ];
(2.12)
servindo assim a entropia do estado reduzido como bom quantificador do emaranhamento
do estado |χi [17], isto é:
E(χ) = SA = SB ,
(2.13)
onde E(χ) representa o emaranhamento do estado puro |χi.
Para estados mistura a análise é mais complicada uma vez que temos muitas decomposições de uma mesma matriz densidade. Uma forma de contornar esse problema é
procurar pela decomposição que minimiza o emaranhamento médio, ou seja, se
ρ=
X
i,j
ci |χi i hχi |
(2.14)
então
E(ρ) = min
X
ci E(χi );
i
onde a minimização deve ser feita sobre todas as possı́veis decomposições.
(2.15)
2.2. Medidas & Medidas
11
Esta minimização é em geral uma tarefa difı́cil só tendo resultado analı́tico para o
caso de 2 qbits, como veremos no decorrer do capı́tulo. Podemos afirmar porém que
estados do tipo:
ρ=
X
i
são, pelo critério acima, separáveis.
2.2
ci ρiA ⊗ ρiB ,
(2.16)
Medidas & Medidas
O grande interesse no emaranhamento se reflete também na busca pela sua quantificação.
No que segue mostramos dois tipos de medidas: primeiramente medidas matemáticas as
quais quantificam o emaranhamento para qualquer estado de dois qbits. Essas medidas
porém utilizam, como veremos, processos não fı́sicos em suas definições, o que torna sua
aplicação experimental direta restrita. Em seguida, mostramos medidas que podem ser
implementadas experimentalmente, sendo que somente uma delas, a tomografia completa
do estado, é capaz de fornecer o valor do emaranhamento para qualquer estado 2 × 2.
As demais só valem para certos casos. Essas medidas serão de grande utilidade nos
próximos capı́tulos.
2.2.1
Medidas Matemáticas
Aqui resumimos, sem demonstrar, as duas principais medidas teóricas para a quantificação do emaranhamento. Caracterı́sticas essenciais dessas medidas são: não aumento
segundo transformações locais e comunicação clássica (LOCC), valor nulo para estados
√
separáveis e valor igual a 1 para os estados de Bell (|ψ ± i = (|01i ± |10i)/ 2, |φ± i =
√
(|00i ± |11i)/ 2), os quais possuem a maior correlação quântica 2 .
Concurrência
Em 1997, William K. Wootters conseguiu mostrar como construir a decomposição da
matriz densidade que leva ao mı́nimo na Eq. 2.15 para o caso de dois qbits. Para isso,
2
Várias outras caracterı́sticas podem ser exigidas. No entanto, como não há consenso sobre quais
são as fundamentais, e como não é esse o nosso objetivo, nos limitamos a essas três caracterı́sticas
indiscutı́veis. Para uma discussão sobre esse assunto veja, por exemplo, a ref. [18].
2.2. Medidas & Medidas
12
ele criou uma variável chamada de concurrência, a qual é em si uma boa medida do
emaranhamento [17].
Para o estado puro a concurrência é calculada por:
C = | hχ∗ | σy ⊗ σy |χi |;
(2.17)
onde |χ∗ i significa a conjugação dos coeficientes na base computacional. Neste caso, foi
mostrado na Ref. [19] que C 2 = 4| det ρk | = 2(1 − T r[ρ2k ]), onde ρk é a matriz densidade
reduzida de qualquer um dos qbits. Note que (1 − T r[ρ2k ]) é a chamada entropia linear,
o que já indica a relação com a entropia de Von Neumman.
Para o estado mistura ρ, definimos primeiramente a operação de spin-flip:
ρ̃ = σy ⊗ σy ρ∗ σy ⊗ σy .
(2.18)
Com essa matriz podemos então calcular a concurrência de ρ:
C = max{0,
p
λ1 −
p
λ2 −
p
λ3 −
p
λ4 };
(2.19)
onde os λi ’s são os auto-valores em ordem decrescente da matriz não hermiteana ρρ̃.
Cada um dos auto-valores é um número real não negativo.
A principal caracterı́stica dessa medida é que ela pode ser ligada à entropia de
formação, dando assim um interpretação fı́sica do seu significado: o número de estados maximamente emaranhados que podem ser destilados de N cópias do estado, no
limite de N → ∞. A relação da concurrência com a entropia é dada por:
!
√
1 + 1 − C2
;
E(ρ) = h
2
(2.20)
onde h(x) = −x log2 x − (1 − x) log2 (1 − x).
Negatividade
A medida de negatividade é relacionada com o critério de separabilidade de PeresHorodecki [20, 21]. Neste é usado o fato de que a operação de transposição é positiva,
porém não completamente positiva. Isto significa que a transposição, T , leva matrizes densidades em matrizes densidade, porém a operação T ⊗ 11 do espaço composto
não necessariamente leva matrizes densidades em matrizes densidades, isto é, a matriz
resultante da transposição parcial pode ter auto-valores negativos.
2.2. Medidas & Medidas
13
É fácil ver pela expressão do estado separável, Eq. 2.16, que a aplicação do mapa
positivo de transposição parcial leva o estado para:
(T ⊗ 11)ρ =
X
i
ci (ρiA )T ⊗ ρiB ,
(2.21)
que é uma matriz densidade válida, só possui auto-valores positivos. No caso de um
estado emaranhado, foi mostrado nas Ref. [20, 21] que, para estados 2 × 2 e 2 × 3 sempre
vai existir pelo menos um auto-valor negativo da matriz transposta parcial. Para essas
dimensões o critério PPT (“Positive Partial Transposition”) é necessário e suficiente.
Esse critério, no entanto, somente detecta a presença de emaranhamento, sem quantificar.
Foi só na Ref. [22] que a medida da Negatividade, N , foi introduzida como uma boa
medida de emaranhamento e é comumente definida da seguinte forma [23]:
N = max{0, −2λ− }
(2.22)
onde λ− é o menor auto-valor da matriz densidade parcialmente transposta ρTA .
Apesar da negatividade não ter uma ligação direta com a entropia de Von Neumman
ela tem sua importância por ser uma condição necessária, apesar de não ser suficiente,
para a detecção de emaranhamento para estados de dimensões maiores do que 2 ⊗ 3..
Cabe aqui uma observação sobre a relação entre a concurrência e a negatividade.
Como mostrado na Ref. [23], essas duas quantidades são iguais para estados puros. Já
Para estados mistura temos N ≤ C [24], como mostrado na figura 2.3. Fica claro que para
uma dada concurrência existe um intervalo de possı́veis valores para a negatividade, o
que implica em uma ordenação diferente dos estados segundo o grau de emaranhamento.
Note que para matrizes hermiteanas, como é o caso das matrizes densidade, a transposição e a conjugação são operações idênticas. Dessa forma fica claro que ambas são
operações não completamente positivas, ou seja, operações não fı́sicas. Desta caracterı́stica advém a dificuldade principal de uma medida direta tanto da concurrência
quanto da negatividade para um estado desconhecido, pois são medidas, nesse sentido,
abstratas, matemáticas.
2.2.2
Medidas Experimentais
No que segue mostramos as principais medidas de emaranhamento que podem ser implementadas experimentalmente.
2.2. Medidas & Medidas
14
1
0.9
0.8
0.7
Negativity
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Concurrence
0.7
0.8
0.9
1
Figura 2.3: Comparação entre a Negatividade e a Concurrência. Figura extraı́da da Ref. [24]
Várias Medidas - Tomografia Completa
A tomografia consiste na medida de todos os elementos da matriz densidade total através
de medidas locais das correlações entre os subsistemas do estado composto. A tomografia
de dois qbits de polarização [25, 26] é explicada em detalhe no apêndice A. Tendo toda
a informação sobre a matriz densidade podemos calcular o valor das medidas definidas
anteriormente: concurrência e negatividade.
De forma geral, a matriz densidade de um sistema de d dimensões pode ser escrita
como:
2
ρ=
d
X
Γ̂ν rν ,
(2.23)
ν=1
onde Γ̂ν são os geradores do SU(d) mais a identidade e rν são os coeficientes da expansão. O nosso objetivo é então descobrir experimentalmente os coeficientes rν através
de medidas locais. Para isso escolhemos d2 vetores desse espaço, {|ψµ i}, e medimos a
projeção de ρ neles:
nν = η hψν | ρ |ψν i ,
(2.24)
onde nν é o valor obtido experimentalmente e η é a normalização, tal que sν = nν /η é a
probabilidade de projeção de ρ no vetor |ψν i. Substituindo nessa expressão a expansão
da matriz densidade temos:
nν
P2
= η hψν | dµ=1 Γ̂µ rµ |ψν i ;
P2
= η dµ=1 rµ hψν | Γ̂µ |ψν i ;
P2
= η dµ=1 rµ Bν,µ ;
(2.25)
2.2. Medidas & Medidas
15
onde Bν,µ = hψν | Γ̂µ |ψν i é uma matriz d2 × d2 . Finalmente, para determinarmos os rν ’s
basta invertermos essa equação:
2
d
1 X −1
(B )ν,µ nµ .
rν =
η
(2.26)
µ=1
Claramente para que a matriz B tenha inversa, det B 6= 0, devemos escolher os projetores adequadamente, notando que diferentes conjuntos podem satisfazer essa condição.
Podemos substituir a expressão acima na expansão da matriz densidade e escrevê-la
diretamente em função das medidas experimentais:
ρ =
=
=
onde M̂µ =
Pd2
ν=1 Γ̂ν (B
−1 )
ν,µ
Pd2
ˆν 1 Pd2 (B −1 )ν,µ nµ ;
ν=1 Γ η
µ=1
Pd2
1 Pd2
−1
µ=1 nµ
ν=1 Γ̂ν (B )ν,µ ;
η
1 Pd2
µ=1 nµ M̂µ ;
η
(2.27)
são as matrizes da expansão de ρ cujos coeficientes são
diretamente os valores medidos. Dessa forma conseguimos reconstruir a matriz densidade através de d2 medidas. Feito isso, podemos calcular o valor do emaranhamento
segundo qualquer uma das medidas matemáticas. Note que nesse caso temos muito mais
informação do que a necessária para calcular o emaranhamento.
Testemunhas de Emaranhamento
As testemunhas de emaranhamento foram introduzidas pela familia Horodecki na Ref. [21].
Nesta foi mostrado que: uma matriz ρ é emaranhada se e somente se existe um operador
hermiteano W tal que T r[Wρ] < 0 e T r[Wρsep ] ≥ 0 para todo estado separável ρsep . Ou
seja, a testemunha W detecta o emaranhamento para uma dada classe de estados; sua
atuação é pictoricamente mostrada na Figura 2.4.
Fica claro que se o resultado da testemunha for positivo não necessariamente temos
um estado separável. Dessa forma, precisamos ter algum conhecimento prévio do tipo
de estado sendo analisado para sabermos que testemunha usar.
Nas referências [27, 28] foi mostrado como determinar a testemunha ótima para o
cálculo da negatividade. A testemunha é obtida através do auto-vetor com auto-valor
negativo da matriz densidade transposta parcialmente. Matematicamente:
ρTA |wi = λ− |wi ,
(2.28)
2.2. Medidas & Medidas
16
<0
E
W
>0
S
Figura 2.4: Atuação da testemunha de emaranhamento W no espaço de estados. Pictoricamente, E é
o espaço dos estados emaranhados e S o espaço dos estados separáveis.
a testemunha é então construı́da por:
WN = (|wi hw|)TA .
(2.29)
Desta forma,T r[WN ρ] = λ− . Finalmente, o emaranhamento é dado por:
EN = max{0, −2T r[WN ρ]}.
(2.30)
Apesar da necessidade de se saber o estado para calcular a testemunha, é esperado que a
mesma testemunha sirva para estados próximos ou da mesma classe. Mais ainda, como
mostrado na Ref.[24] toda vez que o vetor |wi for um estado de Bell a concurrência e a
negatividade assumem o mesmo valor.
Cópias Simultâneas
Uma outra forma de transformar a medida da concurrência em um observável foi obtida
na Ref. [29] usando a idéia de múltiplas cópias simultâneas. Conforme foi mostrado por
Brun [30] pode-se medir um polinômio de ordem m da matriz densidade utilizando-se
simultaneamente m cópias do estado.
Para o cálculo da concurrência do estado puro foi obtido que:
p
C(χ) = 2 hχ| ⊗ hχ| A |χi ⊗ |χi,
(2.31)
onde A = |ψ − i11′ hψ − | ⊗ |ψ − i22′ hψ − |22′ e os ı́ndices i e i′ se referem respectivamente a
i-ésima partı́cula do estado original e a i-ésima partı́cula da cópia. Este operador projeta
o estado no espaço anti-simétrico (para maiores detalhes veja a Ref.[29]).
2.2. Medidas & Medidas
17
Esse conceito foi implementado experimentalmente no laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ [31]. O estado original foi formado pela polarização de dois fótons
emaranhados, criados pelo processo de conversão paramétrica espontânea, a cópia foi
codificada no estado de momento dos mesmos fótons. Dessa forma, utilizando a relação
mostrada acima, foi possı́vel determinar o emaranhamento de diversos estados puros
criados.
Uma Única Medida - Tomografia Reduzida
Como última alternativa para medida experimental do emaranhamento indicamos o resultado original mostrado na Ref. [32]. Nesta utilizamos o fato de que para o estado
puro basta termos a informação do estado de uma das partes para calcularmos o emaranhamento:
C 2 = 4| det ρk | = 2(1 − T r[ρ2k ]),
(2.32)
como dito anteriormente.
Juntamos a esse fato a possibilidade de se realizar a tomografia de 1 qbit com a medida
de um observável de 4 dimensões de um sistema auxiliar3 . A idéia básica é “escrever”
toda a informação do qbit na diagonal do sistema auxiliar. Dessa forma, medindo as
diferentes populações do sistema auxiliar podemos determinar a concurrência do sistema
de dois qbits.
O protocolo de tomografia de um sistema S através de estados auxiliares foi apresentado na Ref [33] e possui a vantagem de fazer uma tomografia ótima e mı́nima. É ótima
no sentido que reconstrói qualquer vetor com a mesma fidelidade e mı́nima pois necessita da menor quantidade de informação para a reconstrução tomográfica. No âmbito
da informação quântica podemos usar 2 qbits como sistema auxiliar, o circuito que implementa a tomografia parcial é mostrado na Fig.2.5.
|χi
σz
|0i
|0i
H(θ1 )
σx
H(θ1 )
•
H(θ2 )
σx
•
•
S
H(π/4)
•
H(π/4)
NM
NM
Figura 2.5: Circuito lógico para medida tomográfica mı́nima de um dos qbits do estado |χi.
3
Na verdade pode-se sempre se reconstruir a tomografia de um estado de d dimensões com a medida
de um observável de d2 dimensões de um sistema auxiliar.
2.2. Medidas & Medidas
18
Neste circuito H(θ) é uma transformação de Hadamard generalizada dada por:


cos θ sin θ
,
H(θ) = 
(2.33)
sin θ − cos θ
e S = diag(1, 1, 1, i).
Sem entrar em detalhes da implementação, uma vez que este assunto não constitui
resultado central da presente tese, as probabilidades de medida dos estados auxiliares na
base computacional são então:
P00 =
1
4 (1
+
P01 =
1
4 (1
+
P10 =
1
4 (1
+
P11 =
1
4 (1
+
√1 (hσ k i
x
3
1
√ (hσ k i
x
3
+ hσyk i + hσzk i))
− hσyk i − hσzk i))
√1 (−hσ k i +
x
3
1
√ (−hσ k i −
x
3
hσyk i − hσzk i))
(2.34)
hσyk i + hσzk i))
onde hσik i é o valor esperado do observável σi para o qbit k. Fica claro, pelas expressões
das probabilidades, que somando e subtraindo esses valores é possı́vel obter o valor médio
das três matrizes de Pauli, as quais são suficientes para a reconstrução da matriz ρk .
De posse da reconstrução tomográfica parcial podemos obter a concurrência do estado
|χi:
2
2
2
2
C 2 = 4(1 − 3(P00
+ P01
+ P10
+ P11
)).
(2.35)
Note que apesar de fazermos a medida em dois sistemas auxiliares temos de fato a
medida de um observável, nesse caso a população dos estados da base computacional.
Conseguimos assim medir a concurrência do estado sem o uso de cópias simultâneas.
Nesse caso no entanto não é possı́vel escrever a concurrência como um valor esperado de
um observável.
Desta forma encerramos essa pequena revisão sobre os principais conceitos que serão
utilizados nessa tese.
19
Capı́tulo 3
Medida Não-Demolidora da
Complementaridade Bipartida
Resumo do Capı́tulo
Neste capı́tulo tratamos das diferentes caracterı́sticas do estado emaranhado bipartido.
Através de medidas quânticas não-demolidoras das propriedades de partı́cula única, visibilidade e previsibilidade, e da propriedade bipartida, o emaranhamento, evidenciamos o
fato dessas serem complementares, ou seja, a medida de uma implica na total ignorância
da outra. Mostramos um circuito lógico universal para realização dessas medidas que
pode ser implementado em diversas plataformas de informação quântica. Cada termo da
relação de complementaridade pode ser medido não-demolidoramente com um mesmo
tipo de circuito.
Este trabalho foi realizado em colaboração com: Stephen P. Walborn, János Bergou
e Luiz Davidovich.
3.1. Introdução
3.1
20
Introdução
Desde do inı́cio da mecânica quântica (MQ) as relações de complementaridade desempenham um importante papel. No experimento de duas fendas de Young, ver Figura 3.1,
não podemos observar simultaneamente o caráter corpuscular associado às trajetórias
das partı́culas e o ondulatório. Quando o aparato experimental observa um aspecto o
outro é totalmente ignorado; dizemos serem aspectos complementares.
detector
source
of
electrons
detector
light
source
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0H 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
H
0
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0H 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
P1(x)
P12(x)
source
of
electrons
P2(x)
wall
P1(x)
P12(x)
1
0
H
0
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
P2 (x)
wall
wall
(a)
(b)
(c)
a)
(a)
wall
(b)
(c)
b)
Figura 3.1: Experimento de duas Fendas de Young com elétrons emitidos individualmente. a) Caráter
ondulatório observado, padrão de interferência, visibilidade. b) Caráter corpuscular observado, padrão
balı́stico, previsibilidade.
O conceito de complementaridade foi formulado primeiramente por Bohr em sua
famosa afirmação de que os sistemas quânticos possuem propriedades que são igualmente
reais mas mutuamente excludentes [34].
Foi no entanto só com Schrödinger em 1935 que peculiaridades de estados emaranhados começaram a ser discutidas [14]:“Dispomos assim provisoriamente (até que o emaranhamento seja destruı́do pela observação) apenas de uma descrição comum dos dois
[subsistemas] em um espaço de mais dimensões. Esta é a razão pela qual a informação
sobre os sistemas individuais pode ser extremamente reduzida, ou mesmo nula, enquanto
a informação sobre o sistema combinado permanece máxima. A melhor informação
possı́vel do todo não inclui a melhor informação possı́vel sobre suas partes - e isso é que
vem constantemente nos assombrar”.
Naquela época porém, devido a dificuldades tecnológicas, esses aspectos fundamentais da mecânica quântica (medida e emaranhamento) não podiam ser experimentalmente explorados em sua totalidade e, mais ainda, eram ofuscados pelo impressionante
3.2. Medida Quântica Não Demolidora
21
desempenho da MQ na previsão de vários fenômenos naturais. As medidas eram sempre
demolidoras e não se podia estudar o efeito delas sobre o sistema quântico [35]. Assim
sendo, as relações de complementaridade eram mais qualitativas do que quantitativas e
comumente associadas ao princı́pio de incerteza de Heisenberg.
No final da década de 70 condições tecnológicas favoráveis e o desafio de medidas
de alta sensibilidade na área de ondas gravitacionais estimularam o desenvolvimento da
medida quântica não demolidora (QND), veja a ref. [36] para uma revisão histórica e
das principais idéias relacionadas. Nesse tipo de medida, como será melhor explicado
no que segue, o acoplamento com o aparato experimental, ou seja, com o sistema “
ponteiro”, não aumenta a variância de medidas futuras do observável de interesse. Essa
teoria foi desenvolvida principalmente por Braginsky e Khalili [37, 38] e os primeiros
experimentos foram realizados logo em seguida [39, 40, 41]. Na área de óptica quântica
ressaltamos o experimento realizado por Nogues et al [42] onde é medido de forma não
demolidora o número de fótons dentro de uma cavidade de micro-ondas. A medida
QND da polarização de um fóton [43] e a formalização das medidas QND no âmbito da
informação quântica [44] são de também de grande importância para o trabalho aqui
discutido.
Desenvolvemos a medida quântica demolidora da caracterı́stica bipartida, o emaranhamento, e das caracterı́sticas de partı́cula única, a visibilidade e a previsibilidade,
estas duas últimas são as presentes em um experimento de duas fendas de Young, Figura 3.1. O circuito lógico aqui apresentado para esse fim pode ser realizado atualmente
em diversas implementações de informção quântica.
De uma certa forma podemos agora verificar e quantificar o “assombro” de Schrödinger.
3.2
Medida Quântica Não Demolidora
De forma geral, a medida de um dado observável em um sistema quântico perturba o
estado de tal forma que a variância do observável é maior em uma medida futura [45].
Isso é facilmente ilustrado pelo mais simples dos sistemas: a partı́cula livre de massa m.
O hamiltoniano desse sistema é dado por:
HL =
p2
;
2m
(3.1)
3.2. Medida Quântica Não Demolidora
22
onde p é operador de momento.
Podemos fazer inicialmente uma medida tão precisa quanto quisermos em x, o operador posição canonicamente conjugado a p. No entanto, devido ao princı́pio de incerteza,
∆p ≥ ~/(2∆x), isso perturba p . Em uma evolução seguinte a essa medida, p induz uma
variação de x:
ẋ =
p
1
[x, HL ] = ;
i~
m
(3.2)
p(0)t
.
m
(3.3)
ou seja,
x(t) = x(0) +
Assim sendo, podemos calcular a incerteza em x para medidas futuras:
(∆x(t))2 = (∆x(0))2 +
1
(∆p(0))2 t2
+ (hx(0)p(0) + p(0)x(0)i − 2hx(0)ihp(0)i)t. (3.4)
2
m
m
Se para o estado inicial a posição é descorrelacionada do momento e usando a relação de
incerteza temos que:
2
2
(∆x(t)) ≥ (∆x(0)) +
~
2m∆x(0)
2
t2 .
(3.5)
De onde fica claro que a medida futura de x tem sua variância aumentada. Podemos
pensar que o aparato de medida atuou de forma a perturbar aleatoriamente o observável
sendo medido.
Por outro lado, uma medida inicial precisa de p, apesar de perturbar x, não altera
sua evolução seguinte, uma vez que [p, HL ] = 0. Isto é, medidas futuras de p podem ter
a mesma precisão da primeira.
A medida quântica não-demolidora se caracteriza como a medida de observáveis que,
como p, podem ser medidos seguidamente com precisão arbitrária. Em uma medida
QND o observável OS do sistema S é inferido através da medida de um observável OA
de um sistema auxiliar A, sem perturbar a evolução seguinte de OS ; após um número
finito de medidas sucessivas o estado final de S que permanece é um auto-estado de OS .
Formalmente [46], se temos o hamiltoniano total:
H = HS + HA + HI ;
(3.6)
onde HS , HA e HI são respectivamente os hamiltonianos do sistema de interesse, do
sistema auxiliar e o de interação, a medida QND de OS deve satisfazer as seguintes
propriedades:
3.2. Medida Quântica Não Demolidora
•
∂HI
∂OS
23
6= 0 e [OA , HI ] 6= 0
Essa condição se deve ao fato de queremos medir OS através de OA . Isso implica
que o hamiltoniano de interação deva ser uma função de OS e que OP varie com
a interação com o sistema. Essa condição, na verdade, deve ser observada por
qualquer tipo de medida pois simplesmente exige que o sistema ponteiro varie em
função dos autovetores do observável sendo medido.
• [OS , HI ] = 0
Mais ainda, o observável OS não deve ser alterado durante o processo de medida.
•
∂HS
C
∂OS
=0
Aqui temos a principal caracterı́stica da medida QND: após a interação de S com
A o observável conjugado OSC é alterado de forma incontrolável. Para que esse
aumento da variância não afete o observável sendo medido temos que exigir que o
hamiltoniano do sistema não dependa do observável conjugado. Uma forma mais
restritiva é exigir que [Hs , OS ] = 0, pois assim o observável sendo medido é uma
constante de movimento.
De forma a salientar a perda de informação sobre o observável conjugado podemos
citar, sem entrar em detalhes, a proposta do experimento de medida não demolidora
do número de fótons em uma cavidade 3-D de micro-ondas [42, 46]. Nesse experimento
átomos de dois nı́veis, {|ei , |gi}, passam por uma cavidade onde interagem dispersivamente com o campo nesta armazenado. O hamiltoniano efetivo é dado por:
g2
~
H = ~ωa† a + σz ω0 + (a† a + 1) ;
2
∆
(3.7)
onde a(a† ) é o operador de aniquilação(criação) do campo na cavidade e σz = |ei he| −
√
|gi hg|. É fácil ver que se começarmos com um estado do tipo (|ei + |gi) ⊗ |ni / 2,
o estado atômico vai ganhar uma fase relativa dependente do número de fótons n na
cavidade. Através de um experimento de interferência dos estados atômicos podemos
determinar essa fase e assim inferir o número de fótons na cavidade.
Considere agora que o estado inicial do campo é um estado coerente. Neste caso, diferentes fases são associadas as diferentes componentes do estado na base de Fock. Devido
a periodicidade da fase, φ ∈ {0, 2π}, a medida de interferência atômica agora projeta o
estado inicial do campo em uma superposição de todos os estados de Fock que possuem
3.2. Medida Quântica Não Demolidora
24
fase condizente com a medida atômica. Sucessivos átomos com diferentes velocidades,
implicando em diferentes tempos de interação, são enviados através da cavidade. Desta
forma, projeções parciais do estado do campo são realizadas e após sucessivas medidas
da interferência entre os estados do átomo podemos determinar o número de fótons na
cavidade. Esse processo é ilustrado Figura 3.2 e detalhadamente explicado na Ref. [46].
Figura 3.2: Medida QND do número de fótons em uma cavidade.(a) Estado inicial do campo é um
estado coerente com n̄ = 10. (b)-(f) Evolução do estado do campo dentro da cavidade após medidas
sucessivas da fase adquirida na interação; após algumas medidas pode-se determinar o número de fótons
na cavidade, neste caso n = 3. Figura extraı́da da Ref.[46].
Qualquer medida subseqüente indicará o mesmo número de fótons na cavidade, ou
seja, estamos em um auto-vetor do observável medido e este é uma constante de movimento do hamiltoniano. Mais ainda, vemos que toda a informação sobre a fase é perdida,
uma vez que qualquer estado de Fock não possui fase definida. Apesar da fase não ser
um observável, a definimos aqui pelo ângulo no espaço de fase quântico gerado, por
exemplo, pela função de Wigner [47]. De fato, a relação de incerteza entre o número de
fótons e a fase:
∆φ∆n ≥ 1;
(3.8)
implica na completa ignorância da fase se conhecemos o número de fótons.
Uma última caracterı́stica a ser abordada é fato de que o estado final do campo na
3.2. Medida Quântica Não Demolidora
25
cavidade não pode ser definido à priori. Se repetirmos essa experiência várias vezes, ou
seja, se determinarmos o estado de Fock final da cavidade várias vezes, a distribuição
dos resultados vai ser idêntica ao estado coerente inicial.
3.2.1
Medida QND em Informação Quântica
Agora que as principais caracterı́sticas da medida quântica não demolidora já foram
ilustradas podemos formalizá-las no âmbito da informação quântica. Neste caso, como os
sistemas possuem dimensão finita, é mais fácil lidarmos diretamente com as distribuições
de probabilidade do sistemas S e A em relação ao observáveis OS e OA do que com os
hamiltonianos. Mais ainda, no caso da computação com fótons, conforme sugerido por
Knill, Laflamme e Milburn (KLM) [48], as interações não lineares podem ser realizadas
através de medidas em sistemas extras, o que seria difı́cil de incorporar nas regras usuais
da QND [47, 46]. Seguimos neste tópico o artigo de Ralph et al. [44]. Neste são definidas
três figuras de mérito para verificar o caráter QND de uma dada medida.
Usando a notação anterior, suponhamos que queremos medir de forma não demolidora o observável OS que possui auto-vetores {|ψ1 i , . . . , |ψd i}, com d dimensões. O estado inicial descorrelacionado pode ser escrito como ρin = ρS ⊗ |0iA
A h0|,
onde A é o sis-
tema auxiliar com que vai ser medido na base {|0i , . . . , |N i}, com N ≥ d. O estado final,
P
imediatamente antes da medida, pode ser escrito como ρout = N
i,j=1 cij |ψi iS S hψj | ⊗
|iiA
A hj|,
possivelmente um estado emaranhado entre S e A. Definimos então três
distribuições de probabilidades:
Piin
= hψi | T rA [ρin ] |ψi i ;
Piout = hψi | T rA [ρout ] |ψi i ;
PiA
(3.9)
= hi| T rS [ρout ] |ii ;
onde P in (P out ) é a distribuição de probabilidades do observável sendo medido para o
estado inicial (final), e PiA a distribuição de probabilidades obtida através da medida
do sistema auxiliar A, após a interação com S. No caso de auto-valores degenerados
PiX continua com o mesmo significado mas deve ser alterado convenientemente, ou seja,
somamos as probabilidades dos auto-vetores degenerados.
A partir dessas definições determinamos três fidelidades que indicam quão não demolidora é a medida.
3.2. Medida Quântica Não Demolidora
26
(i) Fidelidade da Medida: Este critério verifica se as probabilidades obtidas através
da medida do sistema auxiliar são as mesmas que seriam obtidas através de uma medida
direta, demolidora. Isso pode ser quantificado através da correlação entre as distribuições
das medidas diretas e das medidas através do sistema auxiliar:
!2
Xq
Piin PiA ,
FM =
(3.10)
i
No caso em que FM = 1 as duas distribuições são idênticas. Isso equivale, no exemplo mencionado anteriormente, à obtenção da distribuição de probabilidades do estado
coerente após várias medidas do número de fótons na cavidade, realizada através do
monitoramento dos átomos que interagiram com o campo.
(ii) Fidelidade QND: em uma medida quântica não demolidora esperamos que a interação de S com o sistema auxiliar A não deve perturbar a distribuição de probabilidade
do sistema principal. Para verificar esse critério podemos calcular a seguinte figura de
mérito:
FQN D =
Xq
i
Piin Piout
!2
,
(3.11)
Esta é a caracterı́stica mais marcante da medida QND. Note que se começamos com
um estado que não seja auto-vetor do observável sendo medido o estado mudará após
a medida, idealmente o estado será projetado em um auto-vetor do observável. No
entanto, se FQN D = 1, não há introdução de ruı́do em medidas posteriores.
(iii) Fidelidade de Preparação de estado quântico (QSP): Esta última imposição requer que o estado restante seja um auto-estado do observável sendo medido, servindo
como preparação de um estado. Para quantificar essa imposição comparamos a distribuição de probabilidade P A com a probabilidade condicional P cond de achar o sistema
em um auto-estado de OS dada a medida do sistema auxiliar:
FQSP =
X
PiA Picond .
(3.12)
i
Quando essas três fidelidades tem valor igual a 1 temos de fato uma medida QND,
mostrando uma total correlação entre as distribuições de probabilidade.
Para implementarmos medidas QND em qualquer sistema adicionamos a estas imposições o fato de que a evolução do sistema após a medida não pode mudar o valor
3.3. Complementaridade
27
esperado do observável sendo medido. Matematicamente, se a evolução do sistema após
a medida é dada por U (t), então devemos ter:
hU −1 (t)OS U (t)i = hOS i
3.3
(3.13)
Complementaridade
Como já enfatizado anteriormente, em uma medida QND uma importante questão é
identificarmos a variável complementar ao observável sendo medido. No que segue mostramos as relações de complementaridade que serão medidas de forma não demolidora.
Relações de complementaridade nas quais o emaranhamento entra como um dos termos,
foram buscadas por vários autores [49, 50, 51, 33, 52, 53]. No entanto, foi só com Jakob e
Bergou [54] que essas relações foram definidas. Seguimos aqui o tratamento desenvolvido
nessa referência.
3.3.1
1 Qbit
Começamos mostrando quantitativamente a relação de complementaridade entre o caráter
corpuscular e o ondulatório para um qbit. Essas duas caracterı́sticas podem ser quantificadas através da visibilidade V e da previsibilidade P, definidas como:
V = 2| hχ| σ + |χi |;
(3.14)
P = | hχ| σz |χi |;
(3.15)
onde σ + = |1i h0|, σz = (|1i h1| − |0i h0|) e |χi é um estado puro do qbit (a generalização
para estados mistura é óbvia))1 . Claramente os dois estados de máxima previsibilidade
são os estados da base computacional {|0i , |1i}; já os estados de máxima visibilidade
√
√
são {(|0i + eiΦ |1i)/ 2, (|0i − eiΦ |1i)/ 2}. Em um experimento de Young essas quantidades representam respectivamente o nosso conhecimento inicial de por qual das fendas
a partı́cula passou e a visibilidade das franjas de interferência. A complementaridade
entre esses aspectos é então expressa pela seguinte equação:
V 2 + P 2 ≤ 1;
1
(3.16)
Observe que usamos aqui a definição:|1i = (1, 0)T e |0i = (0, 1)T , a qual é diferente da definição
usada nos demais capı́tulos. Deixamos dessa forma para que fique idêntica à definição usada no artigo,
servindo então como guia de leitura.
3.3. Complementaridade
28
onde a igualdade é válida somente para estados puros. Vemos que quando temos máxima
visibilidade não temos nenhuma informação por qual das fendas passou a partı́cula, ou
seja, previsibilidade nula P = 0.
Essa expressão é facilmente demonstrada se lembrarmos que a pureza de um estado
de dois nı́veis é dada por:
T r[ρ2 ] =
1 + hσx i2 + hσy i2 + hσz i2
≤1.
2
(3.17)
Dessa forma:
hσx i2 + hσy i2 + hσz i2 ≤ 1 ;
|hσx + iσy i|2 + hσz i2
|2hσ + i|2 + hσz i2
V2 + P2
≤ 1;
(3.18)
≤ 1;
≤ 1.
Esses dois parâmetros caracterizam completamente os aspectos complementares de
um qbit. Note que ambos dependem da base utilizada. Contudo a soma dos quadrados é
um invariante sob transformações de base; definimos então uma quantidade que resume
todas as contribuições de uma partı́cula e é invariante:
S 2 = V 2 + P 2.
3.3.2
(3.19)
Dois Qbits
Quando temos dois qbits, além das caracterı́sticas individuais, temos a possibilidade de
emaranhamento entre os dois. Para incluir esse termo na equação de complementaridade
utilizamos que a concurrência de um estado puro bipartido se relaciona com a entropia
do estado reduzido de um qbit da seguinte forma:
C 2 = 2(1 − T rρ2k ) ;
(3.20)
onde ρk é a matriz reduzida do k-ésimo qbit. Sendo assim, podemos reescrever a pureza
de um qbit da seguinte maneira:
T r[ρ2k ]
=
1+hσx i2 +hσy i2 +hσz i2
2
2T r[ρ2 ] − 1 = Vk2 + Pk2 ;
1
;
(3.21)
= 2(1 − T rρ2k ) + Vk2 + Pk2 ;
o que nos leva à equação de complementaridade entre os aspectos bipartidos e os aspectos
de partı́cula única:
C 2 + Vk2 + Pk2 = 1 .
(3.22)
3.4. Circuito Universal
29
Esta equação mostra que se, por exemplo, o emaranhamento é máximo, C = 1, não
temos bem definidas as caracterı́sticas individuais. O mesmo acontece se temos toda
a informação sobre o estado de uma das partes, Sk = 1, então o emaranhamento com
qualquer outr o sistema é nulo.
Novamente a igualdade da Eq. 3.22 só é válida quando o estado de dois qbits é
puro, do contrário essa expressão se torna uma desigualdade limitada superiormente por
um [54] .
3.4
Circuito Universal
Discutimos agora a medida QND das três quantidades presentes na Eq. (3.22) com um
circuito universal. Este é o principal resultado deste capı́tulo.
Para descrevermos o protocolo de medida, observamos primeiramente que o estado
mais geral de dois qbits pode ser escrito como:
|χi = α ψ − + β ψ + + γ φ− + η φ+ ,
(3.23)
√
√
onde |ψ ± i = (|10i ± |01i)/ 2, |φ± i = (|11i ± |00i)/ 2 são os estados de Bell e
|α|2 + |β|2 + |γ|2 + |η|2 = 1.
Para este estado temos:
V1 = 2|ℜ(β ∗ η ∓ α∗ γ) + iℑ(βγ ∗ ± ηα∗ )|;
(3.24)
P1 = 2|ℜ(α∗ β ± η ∗ γ)|;
(3.25)
2
2
C = |α2 − β 2 − γ 2 + η 2 |.
(3.26)
k |χi |, P
k
onde Vk = 2| hχ| σ+
k = | hχ| σz |χi | e a concurrência do estado puro,
C = | hχ| σy ⊗σy |χ∗ i |, pode ser facilmente obtida notando que {|ψ − i , |φ+ i} e {|ψ + i , |φ− i}
são auto-vetores de σy ⊗ σy com auto-valores −1 e 1, respectivamente.
3.4.1
Medida QND do Emaranhamento
Começamos mostrando como medir o emaranhamento de forma não demolidora. A definição da concurrência envolve a conjugação do estado, uma operação não fı́sica, e sendo
assim C não pode ser diretamente medida se nao dispomos de cópias simultâneas [31]. Se
no entanto nos restringimos aos estados com coeficientes reais, os “rebits” [55], podemos
3.4. Circuito Universal
30
associar o grau de emaranhamento com o valor médio do observável σy ⊗ σy , que pode
ser então medido. Apesar dessa ser uma restrição bastante severa foi demonstrado nas
referências [56, 57] que a computação somente com estados reais é universal.
Apresentamos na Figura 3.3 então um circuito lógico simplificado para a medida do
valor esperado de σy ⊗ σy , nesse caso a concurrência.
|χi
|0i
Rx (π/2)
•
Rx (−π/2)
•
Rx (π/2)
Rx (−π/2)
NM
Figura 3.3: Circuito lógico para a medida QND da concurrência. |χi é um estado inicial de dois qbits,
e Rx (±π/2) = exp(∓iπσx /4).
Este circuito é formado de rotações de um qbit e porta CNOT, as quais são os blocos
fundamentais das medidas QND [44] em informação quântica.
O estado conjunto dado por |χi |0i, com |χi dado pela Eq. (3.23), evolui da seguinte
maneira neste circuito. As rotações locais transformam o estado em:
|χi |0i → (α ψ − − iη ψ + + γ φ− − iβ φ+ ) |0i .
(3.27)
Para aplicarmos as portas controladas notamos que: os estados tipo |φ±i ou aplicam
duas vezes a operação de flip, pela parte |11i, ou nenhuma, pela parte |00i, o que resulta
na não mudança do qbit alvo. Já os estados tipo |ψ±i sempre aplicam só uma das portas
controladas, invertendo assim o estado do qbit alvo. Após as portas controladas temos
então:
(α ψ − − iη ψ + ) |1i + (γ φ− − iβ φ+ ) |0i .
(3.28)
Apesar do emaranhamento ser invariante sob transformações locais, aplicamos as
rotações contrárias as primeiras de forma a terminarmos, como veremos em seguida, em
um auto-estado de σy ⊗ σy . O estado após as rotações de −π/2 é então o seguinte:
(α ψ − + η φ+ ) |1i + (γ φ− + β ψ + ) |0i .
(3.29)
O passo final consiste em realizarmos a medida do estado auxiliar. O estado condi-
3.4. Circuito Universal
31
cional do sistema S que permanece é então:

α|ψ− i+η|φ+ i


|χ1 i = √ 2 2
se o estado auxilar está em |1i

|α| +|η|





φ− i+β |ψ+ i

 |χ0 i = γ |√
2
2
|β| +|γ|
.
(3.30)
se o estado auxiliar está em |0i
Notamos que o estado |χ1 i (|χ0 i) é auto-vetor de σy ⊗ σy com auto-valor −1 (+1).
A concurrência desses estados pode então ser facilmente calculada:

|α2 +η2 |


C(χ1 ) = |α|
2 +|η|2 = 1


.



 C(χ ) = |−β 2 −γ 2 | = 1
0
|β|2 +|γ|2
(3.31)
A concurrência do estado que permanece após a medida é sempre 1, independente do
resultado da medida, se os coeficientes forem reais. Assim, o estado de saı́da é sempre
maximamente emaranhado, independentemente do estado inicial do sistema. Mesmo
que o estado inicial fosse separável, por exemplo |00i, o estado final será um estado
maximamente emaranhado, |φ+ i ou |φ− i neste caso dependendo do resultado da medida
do sistema auxiliar A.
A concurrência do estado inicial pode então ser inferida pela estatı́stica das medidas
em A:
|P1A − P0A | = |α2 − β 2 − γ 2 + η 2 | = C(χ) ;
(3.32)
onde PiA é a probabilidade de encontrar o sistema auxiliar A no estado i. Isso equivale a
determinar a distribuição de estados de Fock do estado inicial no experimento de medida
QND de número de fótons.
Para verificarmos a qualidade da medida QND calculamos as fidelidades discutidas
na seção 3.2. As distribuições de probabilidade, para a medida de σy ⊗ σy , são então:
P in
P out
PA
= {α2 + η 2 , β 2 + γ 2 } ;
= {α2 + η 2 , β 2 + γ 2 } ;
= {α2 + η 2 , β 2 + γ 2 } ;
(3.33)
P cond = {1, 1} .
Com essas distribuições fica fácil perceber que FM = FQN D = FQSP = 1, ou seja, temos
uma medida QND ideal.
O motivo de precisarmos somente de um qbit como sistema auxiliar vem do fato dos
auto-vetores de σy ⊗σy serem degenerados dois a dois. No entanto, como nosso objetivo é
3.4. Circuito Universal
32
medir de forma não demolidora todas as contribuições da equação de complementaridade
e os demais observáveis a serem medidos possuem quatro auto-vetores não degenerados,
modificamos o circuito para o mostrado na Figura 3.4.
Rθ~1
|χi
Rθ~1
•
_ _ _ _ _ _ R
θ~
|0i
|0i
3
•
Rθ~2
NM
_ _ _ _ _ _
Rθ~2
•
NM
Figura 3.4: Circuito quântico universal para a medida QND da concurrência, visibilidade e previsibilidade. O retângulo tracejado representa a preparação do estado auxiliar inicial.
O resultado anterior é reobtido escolhendo θ~3 = (π/2)ŷ, dessa forma o estado inicial
do sistema auxiliar é |φ+ i, o que faz com que as duas linhas auxiliares fiquem totalmente
correlacionadas. Mais ainda, as duas linhas auxiliares atuam nesse caso como um qbit
lógico com |φ+ i → |0L i e |ψ + i → |1L i. Isso fica claro notando que as portas controladas
nunca tiram os qbits auxiliares desse subespaço. Igualmente ao caso anterior fazemos
~θ1 = (π/2)x̂ = −~
θ2 . Note ainda que medidas locais na base computacional distingue
entre esses dois estados. As probabilidades são então facilmente relacionadas por PφA+ =
A + P A e P A = P A + P A . A concurrência do estado inicial é agora obtida por
P00
01
10
11
ψ+
|PψA+ − PφA+ | = C(χ).
3.4.2
Medida QND da Previsibilidade e da Visibilidade
Como desejamos agora medir caracterı́sticas individuais de cada qbit é natural escolhermos θ~3 = 0. Dessa forma o estado do sistema auxiliar. após o processo de preparação
(ver Figura 3.4), é totalmente descorrelacionado |00i, o que implica em dois circuitos
independentes para cada qbit.
Fica mais fácil agora trabalharmos diretamente na base computacional. O estado |χi
pode então ser reescrito como:
1
|χi = √ [(η − γ) |00i + (β − α) |01i + (β + α) |10i + (γ + η) |11i] .
2
(3.34)
Para a medida QND da previsibilidade notamos que uma simples CNOT, sem quaisquer rotações anteriores ou posteriores, projeta o estado final em um auto-estado de σz .
3.4. Circuito Universal
33
Sendo assim, a média dos resultados obtidos pela medida do sistema auxiliar nos dá hσz i,
ou seja, a previsibilidade. Desta forma, para medirmos a previsibilidade do dois qubits
ao mesmo tempo fazemos θ~1 = θ~2 = 0.
A aplicação das duas portas CNOT’s nos dá o seguinte estado imediatamente antes
da medida:
1
√ [(η − γ) |00i |00i + (β − α) |01i |01i + (α + β) |10i |10i + (γ + η) |11i |11i].
2
(3.35)
Qualquer medida do sistema auxiliar na base computacional resulta em um estado
com previsibilidade máxima para o sistema A. As probabilidades associadas com cada
uma das possibilidades nos dá a previsibilidade inicial de cada qbit:

 |(P A + P A ) − (P A + P A )| = 2|αβ + ηγ| = P1
11
10
01
00
.
 |(P A + P A ) − (P A + P A )| = 2|αβ − ηγ| = P
00
10
01
11
(3.36)
2
A primeira linha representa a diferença entre as probabilidades do primeiro qbit do
estado auxiliar ser medido em 0 ou e 1, enquanto a segunda linha é a diferença entre
as probabilidades do segundo qbit ser encontrado em 0 ou em 1. Isso reforça o fato de
termos dois circuitos independentes.
Uma vez que estamos tratando somente de estados com coeficientes reais, podemos
reexpressar a visibilidade como Vk = | hχ| σxk |χi |, ou seja, é o valor esperado de σx para
cada qbit. Partindo da medida de σzk , para realizarmos a medida de σxk de forma QND
basta rodarmos a base na qual o estado se emaranha com o sistema auxiliar, isto é,
fazemos θ~1 = (π/2)ŷ. No entanto, como a visibilidade depende da base escolhida temos
que desfazer essa rotação inicial para que o estado restante do sistema seja sempre um
estado de máxima visibilidade; para isso tomamos θ~2 = −(π/2)ŷ. Com essas escolhas a
evolução do estado inicial, |χi |00i, é a seguinte. Após as rotações iniciais temos:
1
√ [(η + β) |00i + (γ − α) |01i (α + γ) |10i + (η − β) |11i] |00i ,
2
(3.37)
aplicando as portas controladas:
1
√ [(η + β) |00i |00i + (γ − α) |01i |01i (α + γ) |10i |10i + (η − β) |11i |11i] ,
2
(3.38)
e finalmente após as últimas rotações temos:
1
√ [(η + β) |++i |00i + (γ − α) |+−i |01i + (α + γ) |−+i |10i + (η − β) |−−i |11i] , (3.39)
2
3.4. Circuito Universal
34
√
onde |±i = (|1i ± |0i)/ 2. Fica claro que a medida do sistema auxiliar na base computacional deixa o sistema S em um estado de máxima visibilidade.
Com as probabilidades associadas a cada medida podemos inferir a visibilidade de
cada constituinte do estado inicial:

 |(P A + P A ) − (P A + P A )| = 2|αγ − ηβ| = V1
11
10
01
00
;
 |(P A + P A ) − (P A + P A )| = 2|αγ + ηβ| = V
00
10
01
(3.40)
2
11
onde cada linha tem o mesmo significado que no caso da medida de previsibilidade.
Completamos assim a medida de todos os elementos da equação de complementaridade
bipartida.
Falta mostrar que a medida da previsibilidade e visibilidade são de fato QND. Para
isso, como já dito anteriormente, notamos que com um estado separável do sistema
auxiliar temos na verdade dois circuitos independentes. Basta então mostrarmos que
cada circuito mede de forma QND a visibilidade e a previsibilidade de um qubit. Mais
ainda, notamos que os auto-vetores de σz são os mesmos de Ry (π/2)σx , onde Ry (π/2) é
exatamente a transformação que fazemos no circuito para a medida da visibilidade, isto é,
se a medida de previsibilidade é QND então a medida de visibilidade também o é, e viceversa. Com tudo isso precisamos somente mostrar que a medida é não demolidora para
a medida de previsibilidade de um qbit, ou seja, para o circuito mostrado na Figura 3.5.
ρS
•
|0i h0|
NM
Figura 3.5: Circuito individual para medida QND da previsibilidade de um qbit.
Um estado geral de um qubit pode ser escrito como:


a c
;
ρ=
∗
c b
(3.41)
com a + b = 1. Imediatamente antes da medida temos então o seguinte estado:
a |1iS h1|⊗|1iA h1|+b |0iS h0|⊗|0iA h0|+c |1iS h0|⊗|1iA h0|+c∗ |0iS h1|⊗|0iA h1| . (3.42)
Temos então as seguintes distribuições de probabilidade para este circuito:
P in
P out
PA
= {a, b} ;
= {a, b} ;
= {a, b} ;
P cond = {1, 1} .
(3.43)
3.4. Circuito Universal
35
o que claramente nos dá FM = FQN D = FQSP = 1, isto é, uma medida QND ideal para
a previsibilidade e para visibilidade.
Para todas as medidas QND mostradas assumimos que a dinâmica livre, após a
medida do sistema auxiliar, não altera o estado dos qbits restantes, o que não é necessariamente verdade. De forma geral S e C são invariantes sob transformações locais o
que faz com que sempre tenhamos uma medida QND desses dois parâmetros, mostrando
portanto a complementaridade entre as caracterı́sticas de partı́cula única e o emaranhamento do estado bipartido. No entanto, para vários casos de interesse da informação
quântica, o hamiltoniano livre é proporcional a (σz ⊗ 11 + 11 ⊗ σz ), o que faz com que a
medida da previsibilidade e da visibilidade já sejam em si não demolidoras2 .
Para enfatizar a complementaridade entre esses aspectos podemos calcular a variância
dos observáveis associados com cada medida.
(∆σy ⊗ σy )2 = h(σy ⊗ σy )2 i − hσy ⊗ σy i2 = 1 − C ;
(∆σzk )2 =
(∆σxk )2 =
h(σzk )2 i − hσzk i2
h(σxk )2 i − hσxk i2
= 1 − Pk ;
(3.44)
= 1 − Vk ;
o que mostra que todas as variâncias são limitadas superiormente por um.
Somando essas três equações e usando o resultado da equação de complementaridade,
Eq. (3.22), é fácil ver que:
[∆(σy ⊗ σy )]2 + (∆σz )2 + (∆σx )2 = 2,
(3.45)
ou seja, quando temos total conhecimento de alguma das caracterı́sticas, por exemplo
V, sua variância é nula, (∆σx ) = 0, e o único modo de satisfazer a Eq. (3.45) é termos
total ignorância dos outros termos, [∆(σy ⊗ σy )] = (∆σz ) = 1.
No caso de estados reais também fica claro perceber porque a relação de complementaridade assume a forma de uma soma. Pelo princı́pio de Heisenberg vamos ter sempre
uma indeterminação quando conhecemos um dos termos da relação de complementaridade com máxima precisão. Por exemplo o princı́pio de Heisenberg nos diz que, no
presente caso:
1
1
(∆σz )2 (∆σx )2 ≥ |h[σzk , σxk ]i = |hσyk i| = 0
4
2
2
(3.46)
Note que no caso da visibilidade tomamos o módulo de hσx i, o que faz com que essa não tenha uma
evolução temporal. Em outras palavras, apesar do estado de máxima visibilidade evoluir com esse tipo
de hamiltoniano livre, ganhando uma fase relativa, o estado terá sempre V= 1.
3.4. Circuito Universal
36
se temos então máxima certeza sobre a visibilidade, (∆σx ) = 0, temos uma inderteminação para a variância da previsibilidade.
Medida Intermediária
Por fim mostramos o efeito de termos um estado não maximamente emaranhado após a
preparação do estado auxiliar. Para isso tomamos 0 < |~θ3 | < π/2 novamente na direç ao
x̂, o que nos produz um estado auxiliar da forma:
|ǫi =
onde cos θ3 =
√
√
√
ǫ |00i + 1 − ǫ |11i ;
(3.47)
p
ǫ. Este estado possui emaranhamento Cǫ = 2 ǫ(1 − ǫ). Com 0 < ǫ <
1 não podemos separar o circuito da Figura 3.4 em dois circuitos independentes mas
também não podemos pensar nas duas linhas auxiliares como uma só.
Escolhendo θ~1 = π/2 = −θ~2 , como no caso da medida QND do emaranhamento,
temos o seguinte estado antes da rotação −π/2:
√
√
( ǫ(−iβ − γ) |00i + 1 − ǫ(γ − iβ) |11i) |00i +
√
√
+( ǫ(−iη − α) |00i + 1 − ǫ(α − iη) |11i) |01i +
√
√
+( ǫ(−iη + α) |00i + 1 − ǫ(−α − iη) |11i) |10i +
√
√
+( ǫ(−iβ + γ) |00i + 1 − ǫ(−γ − iβ) |11i) |11i .
(3.48)
Uma vez que o emaranhamento é invariante sob transformações locais, não precisamos
calcular o efeito das últimas rotações para percebermos que os estados emaranhados com
as diferentes possibilidades de medida do sistema auxiliar, têm todos concurrência igual a
√
Cǫ . Pela relação de complementaridade temos então que S = 1 − Cǫ . Ou seja, neste caso
o estado que permanece após a medida do sistema auxiliar possui tanto caracterı́sticas de
partı́cula única quanto emaranhamento. Estas quantidades variam continuamente com
ǫ.
Podemos pensar nessa variação entre as caracterı́sticas de partı́cula única e estado
emaranhado da mesma forma como no experimento de Young segundo Bohr, como mostrado na Figura 3.6. Nesse experimento uma das fendas fica suspensa por uma mola
muito sensı́vel. O caráter ondulatório se transforma continuamente no caráter corpuscular quanto menor é a massa da fenda suspensa. Nesse caso o momento transferido do
fóton para a fenda suspensa distingüe por qual das fendas o fóton passou, destruindo
assim o padrão de interferência. No experimento aqui proposto o papel da massa é feito
3.5. Conclusões
37
pelo emaranhamento do estado auxiliar; variando este podemos observar a transição
entre as quantidades complementares bipartidas.
Figura 3.6: Experimento de duas Fendas de Young na versão do Bohr. A fenda superior é presa
por uma mola e tem massa variável. Quanto mais leve fosse a massa da fenda maior seria o momento
transmitido do fóton para a fenda e com isso poderı́amos descobrir o caminho tomado; destruindo assim
o padrão de interferência.
3.5
Conclusões
Em conclusão, mostramos que é possı́vel implementar medidas não demolidoras independentes de todas as quantidades complementares correspondentes a um estado de dois
qbits. A restrição de termos de usar estados com coeficientes reais parece ser inevitável
nocontexto de uma única cópia, uma vez que só assim podemos associar um observável
à medida da concurrência.
Os circuitos acima mostrados podem ser implementados em diversas plataformas de
informação quântica, uma vez que só são necessárias rotações locais de um qbit e portas
CNOT. Essas operações já forma demonstradas experimentalmente em vários sistemas,
como por exemplo ı́ons aprisionados [58], cavidades de micro-ondas [59] e pares de fótons
gêmeos [60]. Enfatizamos ainda que a medida não demolidora do emaranhamento pode
ser de grande utilidade para protocolos de informação/computação quântica uma vez
que o estado maximamente emaranhado resultante do processo de medida QND pode
ser ainda utilizado.3
3
Quando da defesa da presente tese, o Prof. Daniel Jonathan trouxe ao meu conhecimento a excelente
referência [61]. Nessa os autores mostram uma relação de complementaridade entre a informação local e
não-local. Não é óbvio no entanto se essas quantidades podem ser medidas de forma não demolidora.
38
Capı́tulo 4
Dinâmica de Decaimento Local e
Global: Teste Experimental
Resumo do Capı́tulo
Neste capı́tulo tratamos da interação de sistemas quânticos com reservatórios. Mostramos como diversas dinâmicas de interação de qbits com reservatórios locais podem
ser realizadas experimentalmente com óptica linear. Utilizamos os conceitos de visibilidade (V), previsibilidade (P) e concurrência (C) desenvolvidos no capı́tulo anterior para
analisarmos a transferência de informação de um sistema de um ou dois qbits para o
reservatório. Mais ainda, enfatizamos a diferença entre a dinâmica das caracterı́sticas
de partı́cula única (V, P) e a do emaranhamento (C), mostrando experimentalmente que
esse, para alguns casos, pode se anular em um tempo finito. Estudamos o emaranhamento neste capı́tulo em dois de seus aspectos: primeiro como canal de transferência
de informação do nosso sistema de interesse para o reservatório; depois a sua dinâmica
quando um sistema de dois qbits interage com reservatórios locais.
Esse trabalho foi feito em colaboração com: Marcelo Almeida, Malena Hor-Meyll,
Alejo Salles, Stephen P. Walborn, Paulo H. S. Ribeiro e Luiz Davidovich.
4.1. Introdução
4.1
39
Introdução
A interação de sistemas de poucos graus de liberdade com reservatórios é alvo de estudo
da Fı́sica desde longa data [62]. A partir da percepção que a informação é fı́sica [1] uma
nova abordagem foi dada a este tipo de dinâmica. Atualmente a entendemos como a
troca irreversı́vel de informação entre o sistema e o reservatório.
O exemplo protótipo dessa dinâmica é o de um átomo de dois nı́veis interagindo
com o reservatório a temperatura zero1 de modos eletromagnéticos. Se sabemos que
seu estado inicial é excitado, passado um intervalo de tempo, devido à interação com os
muitos modos externos, podemos dizer que perdemos informação sobre o seu estado, ou
seja, sua entropia aumentou. Só voltamos a ter a total informação sobre o estado do
átomo quando detectamos a radiação emitida, sabemos então estar no nı́vel fundamental.
Com essa nova perspectiva, o estudo da comunicação e computação também se tornaram um assunto de grande interesse da Fı́sica de sistemas abertos. A informação não
podia mais ser tratada independentemente das leis da Fı́sica que regem sua transmissão e
manipulação. Em particular, os erros no processamento dos bits são devidos à interação
com o entorno.
1−p 1
1
1
p1
0
p0
0
1−p 0
Figura 4.1: Processamento binário clássico ruidoso. Cada valor i do bit tem uma probabilidade 1 − pi
de continuar com o mesmo valor e uma probabilidade pi de mudar de valor.
O único tipo de erro no processamento clássico, comumente chamado de bit-flip, é
ilustrado na Figura 4.1, onde o valor i possui a probabilidade pi de se manter e 1 − pi
de alterar seu valor. As probabilidades de erro são dadas pelo tipo de bit que estamos
usando e por seu acoplamento com o entorno. Ou seja, temos um sistema de um grau
de liberdade e com dois valores possı́veis, o bit, interagindo com um reservatório, seu
entorno.
1
Em todos os casos aqui tratados assumiremos que o reservatório tem temperatura nula inicialmente.
4.1. Introdução
40
Prontamente essas idéias são incorporadas na crescente área da computação/informação
quântica [2, 7]. O bit é então substituı́do pelo qbit e, sendo assim, os valores possı́veis se
transformam em estados possı́veis. A diferença crucial é devida à possibilidade de superposição coerente dos estados, ou seja, qualquer estado da forma α |0i + β |1i é também
um estado válido. Essa caracterı́stica, que é fundamental para o ganho de velocidade
do computador quântico em relação ao clássico, também traz consigo a possibilidade
de um maior número de “erros” no seu processamento, isto é, um maior número de
possı́veis reservatórios (os vários tipos de erros serão abordados com detalhe no decorrer
do capı́tulo).
Para completarmos a analogia entre reservatórios e erros quânticos voltamos ao exemplo do decaimento de amplitude do átomo, agora um sistema quântico de dois nı́veis.
Nesse caso o estado excitado, que designamos de |1i, tem uma probabilidade 1 − p1 de
permanecer excitado e uma probabilidade p1 de ir para o estado fundamental, |0i, emitindo um fóton. Temos assim um processo muito semelhante ao representado na Figura
4.1, porém agora p0 = 0, o que significa que se o átomo está no seu nı́vel fundamental ele
não pode emitir um fóton e permanece no mesmo estado. Desta forma, um átomo que
comece a interagir com o reservatório em estado puro evolui para um estado mistura 2 ,
isto é, a informação sobre seu estado é perdida para o reservatório.
O canal de comunicação do sistema quântico com o reservatório é o emaranhamento.
De forma geral, uma dinâmica não-unitária em um espaço HS , a qual leva à perda de
informação sobre o estado nesse espaço, pode ser entendida como uma dinâmica unitária
em um espaço maior HS ⊗ HR , onde os estados de S se emaranham com os de R. Desta
forma, um estado puro inicial de S evolui para um estado mistura. Esta evolução é
irreversı́vel pois uma vez que a informação contida em um estado de S passa para R ela
não volta mais 3 .
Nossa principal contribuição é mostrar como realizar essas dinâmicas não unitárias
locais com óptica linear. Para tal usamos os diferentes graus de liberdade do fóton,
por exemplo podemos usar a polarização como qbit e o grau de liberdade de momento
como reservatório. Desta forma ilustramos o processo de descoerência com fótons, para
diferentes tipos de reservatório e erros. O sistema de fótons pode então ser usado como
2
3
Como ficará claro no decorrer do capı́tulo, o estado volta a ser puro assintoticamente quando t → ∞
Os processos de correção de erros são processos ativos, ou seja, detectam a ocorrência do erro em
uma informação redundante e através de operações no sistema a corrigem.
4.2. Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus
41
“área de teste” para as idéias de processamento quântico provenientes das diversas implementações possı́veis: cQED, ı́ons, qbits supercondutores, entre outros.
Um outro importante aspecto do emaranhamento aqui tratado é a sua dinâmica. Mais
especificamente: quando temos dois qbits emaranhados e ambos imersos em reservatórios
podemos estudar não só o emaranhamento do qbit com o seu reservatório, como explicado
acima, mas também como varia o emaranhamento entre os qbits [63, 64, 65, 66, 67,
68, 69]. Mostramos como implementar essas dinâmicas e suas diferentes previsões são
aqui discutidas. Restringimos o nosso estudo ao caso de onde cada qbit está imerso
em um reservatório. Esse tipo de dinâmica, como veremos, pode levar ao interessante
efeito de decaimento total do emaranhamento entre os qbits em um tempo finito; ao
contrário do que acontece com as coerências individuais de cada qbit que só se anulam
assintoticamente.
Na seção 4.2 desenvolvemos formalmente os conceitos de mapas completamente positivos e a descrição de operadores de Kraus. Feito isso, na seção 4.3, mostramos a
dinâmica de reservatórios e erros para um e dois qbits com reservatórios independentes. Analisamos a troca de informação com o(s) reservatório(s) através das quantidades
V, P e C do capı́tulo anterior, mostrando assim o efeito do emaranhamento como canal de comunicação. Na seção 4.4 mostramos como implementar as diversas dinâmicas
estudadas com óptica linear e hiper-emaranhamento. Na seção 4.5 mostrarmos os resultados obtidos no experimento realizado no Laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ.
Terminamos na seção 4.6 com a conclusão e discussões adicionais.
4.2
Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus
No que segue mostramos alguns aspectos do formalismo de descoerência através dos
conceitos de mapas unitários e operadores de Kraus. Baseamos essa descrição nas referências [7, 70, 71].
Podemos, como já mencionado anteriormente, sempre pensar em um dinâmica não
unitária como sendo parte de uma dinâmica unitária em um espaço de maior dimensão.
Os mapas unitários são então o conjunto de regras que determinam a evolução do estado
total.
4.2. Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus
42
De forma explı́cita, se temos inicialmente o estado
ρS ⊗ |0iR h0|
e ρS =
PD
i=1 ci
(4.1)
|φi i hφi |, onde D é a dimensão de HS e ci são os coeficientes de uma
expansão possı́vel, então chamamos de mapa unitário o seguinte conjunto de regras:
|φ1 i |0i
..
.
PD PD2 −1
→
→
|φD i |0i →
i=1
j=0
..
.
PD PD2 −1
i=1
j=0
a1ij |φi i |ji
(4.2)
aD
ij |φi i |ji .
Estas regras definem como o estado inicial evolui segundo a dinâmica unitária total.
Podemos a partir delas obter uma matriz unitária USR no espaço total [70].
Devemos salientar que sempre podemos definir um estado inicial separável, ainda que
não seja o estado do sistema um estado puro [70]. O fato de somente necessitarmos de
um reservatório com no máximo D 2 dimensões ficará mais claro adiante. As dinâmicas
locais e globais unitárias são representadas na Figura 4.2.
ρS
U
U ρU †
ρS
|0iR
a)
U
$(ρ)
b)
Figura 4.2: Dinâmicas unitárias: a) S é um sistema fechado. b) S é um sistema aberto; se olharmos
somente para a dinâmica de S ela será não unitária, no entanto a dinâmica global, envolvendo R, é
unitária.
Se no entanto somente nos importamos com a dinâmica de S, podemos, a partir do
mapa unitário, determinar essa evolução. Para tal construı́mos os operadores de Kraus.
Dada a evolução unitária total USR , temos que o estado inicial evolui da seguinte
forma:
†
;
USR (ρS ⊗ |0iR R h0|)USR
(4.3)
onde |0iR representa o estado inicial do reservatório, independente de quantos modos
forem.
Se queremos acompanhar somente a dinâmica de S podemos então tomar o traço em
relação as variáveis do reservatório:
†
$(ρS ) = T rR [USR (ρS ⊗ |0iR R h0|)USR
];
(4.4)
4.2. Formalismo: Mapas Unitários e Operadores de Kraus
43
onde $(ρS ) representa a evolução efetiva, não unitária, do estado do sistema.
Escolhendo uma base ortonormal de R, {|µi}, podemos reescrever a expressão acima
como:
$(ρS ) =
†
R hµ| USR |0iR ρSR h0| USR |µiR
X
µ
.
(4.5)
Os operadores de Kraus são então definidos da seguinte forma:
Mµ = R hµ| USR |0iR .
(4.6)
Note que esses são agora operadores no espaço HS , ou seja, são operadores de dimensão
D × D. A evolução do estado de S é então escrita como:
$(ρS ) =
X
Mµ ρS Mµ† .
(4.7)
µ
Essa descrição é por vezes chamada representação de soma e os operadores de Kraus são
ditos super-operadores, uma vez que atuam em operadores.
Algumas propriedades desses operadores e da evolução por eles criada devem ser
comentadas. Primeiramente notamos que os operadores de Kraus satisfazem à seguinte
propriedade:
†
µ Mµ Mµ
P
=
=
†
µ R h0| USR |µiR hµ| USR |0iR
†
R h0| USR USR |0iR
P
(4.8)
= 1;
onde usamos o fato de USR ser unitário.
Os operadores de Kraus levam operadores densidade em operadores densidade. De
fato:
• $(ρ) é hermiteana.
$(ρ)† =
X
Mµ ρMµ† = $(ρ).
(4.9)
µ
• $(ρ) tem traço igual a 1.
T r[$(ρ)] =
X
T r[ρMµ† Mµ ] = T r[ρ] = 1.
(4.10)
µ
• $(ρ) é positiva.
hψ| $(ρ) |ψi =
para todo |ψi.
X
µ
((hψ| Mµ )ρ(Mµ† |ψi)) ≥ 0;
(4.11)
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
44
Mais do que positiva, a evolução deve ser completamente positiva, isso é, $S ⊗ 11R deve ser
positivo para toda extensão possı́vel de R. Isso é garantido uma vez que determinamos
os operadores de Kraus a partir da evolução unitária USR .
A última caracterı́stica aqui abordada diz respeito à ambiguidade da representação
dos operadores de Kraus. Como o traço independe da base fica fácil perceber da Eq.4.4
que:
M̃µ =
X
c∗µi Mi .
(4.12)
i
onde os coeficientes cµi ’s fazem a transformação unitária entre as diferentes representações,
P
|µi = i cµ,i |ii, onde {|ii} é uma base ortonormal de HS . Uma importante conseqüência
dessa equação é que o número máximo de operadores de Kraus linearmente independentes é D 2 , uma vez que qualquer operador do SU (D) pode ser escrito como uma
combinação linear dos D 2 − 1 geradores e da matriz identidade, 11D×D . Assim sendo,
qualquer dinâmica não-unitária de S pode ser gerada com um reservatório de no máximo
D 2 dimensões, ver Eq.4.6.
Por fim, cabe ressaltar que o formalismo de equações mestras é completamente englobado pelo formalismo dos operadores de Kraus; o contrário não é verdade [70, 72].
Podemos, por exemplo, com os operadores de Kraus estudar dinâmicas não Markovianas (ver exemplo na Ref. [70]). O resumo do formalismo aqui apresentado só trata no
entanto de casos Markovianos, o que é claramente percebido pela linearidade em ρ da
Eq. (4.7).
4.3
Dinâmicas de Descoerência e Erros
Estudamos agora os diferentes mapas de erros e descoerência para um qbit e dois qbits.
4.3.1
1 Qbit
Decaimento de Amplitude - Descoerência
Reservatório de amplitude é aquele no qual toda a energia do sistema S é transferida
para R. O mais comum exemplo dessa dinâmica é o decaimento exponencial de um
átomo de dois nı́veis interagindo com os infinitos modos eletromagnéticos a temperatura
nula. O átomo, se inicialmente excitado, emite um fóton e fica no seu estado fundamental. A probabilidade do átomo emitir cresce exponencialmente com o tempo. Como
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
45
o a interação se dá com infinitos modos, não existe a chance do átomo ser novamente
excitado, dando assim uma seta temporal à dinâmica. Mostraremos como se dá este tipo
de evolução para um e dois qbits e como realizá-la experimentalmente com óptica linear.
A forma mais simples de entender a evolução do sistema é através dos mapas unitários.
Os mapas representam uma evolução do sistema total. O mapa do decaimento de amplitude à temperatura zero para um sistema de dois nı́veis é o seguinte:
|0iS |0iR → |0iS |0iR
p
√
1 − p |1iS |0iR + p |0iS |1iR .
|1iS |0iR →
(4.13)
Por este mapa vemos que se o sistema está no nı́vel fundamental nada ocorre, como
mostrado na primeira linha. No entanto, como mostrado na segunda linha do mapa, se
o sistema está excitado existe a possibilidade deste permanecer no mesmo estado com
probabilidade 1 − p, ou de perder a excitação para o reservatório com probabilidade p. O
fato do estado do reservatório começar sempre em |0iR é devido a estarmos considerandoo à temperatura zero.
Devemos ressaltar que os estados do reservatório da forma aqui representados não
devem ser entendidos como somente um modo; o estado |1iR representa uma excitação
distribuı́da nos infinitos modos do reservatório ponderados pela sua função espectral.
Para um estado geral de S temos a seguinte evolução unitária USR dada pelo mapa:
USR |χiS |0iR = USR (α |0iS +β |1iS ) |0iR = (α |0iS +β
p
√
1 − p |1iS ) |0iR +β p |0iS |1iR ;
(4.14)
com 0 ≤ p ≤ 1. A concurrência deste estado composto pode ser facilmente calculada:
p
C = 2|β|2 p(1 − p). Vemos que quando p = 0 o estado do sistema está intacto e o
reservatório está no seu estado fundamental. Também temos um estado produto quando
p = 1, |0iS (α |0iR + β |1iR ), nesse regime o estado inicial do sistema é transferido para
o reservatório; temos no entanto certeza (máxima informação) de que o sistema S está
no seu estado fundamental. No regime intermediário, com 0 < p < 1, temos um estado
emaranhado e a informação inicial está distribuı́da entre S e R. Agora, olhar somente S
representa uma perda de informação, o que é claramente verificado se calculamos como
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
46
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
a
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
0.2
b
0.4
0.6
0.8
1
c
Figura 4.3: Reservatório de Amplitude. Concurrência - Linha Contı́nua (preta), Previsibilidade Linha Tracejada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado |1i. b) Estado
√
(|0i + |1i)/ 2. c) Estado |0i.
evolui nosso sistema de interesse independentemente do reservatório:


√
|α|2 + p|β|2 αβ ∗ 1 − p
;
$(ρS ) = T rR [USR |χiS hχ| ⊗ |0iR h0|] = 
√
α∗ β 1 − p (1 − p)|β|2
(4.15)
onde $ é um super-operador que aplicado em ρS dá a sua evolução, ainda que não
unitária. Temos que a pureza do estado de S depois de aplicado o mapa é dada por:
T r[($ρS )2 ] = |α|4 + 2|α|2 |β|2 + p2 |β|4 + (1 − p)2 |β|4 ;
(4.16)
Como esperado o estado de S somente é puro quando p = 0 ou p = 1. No intervalo
0 < p < 1 o estado é uma mistura devido ao emaranhamento com R.
Calculamos também as figuras de mérito P e V definidas no capı́tulo anterior:
PS (p) = ||α|2 − |β|2 + 2p|β|2 | = |1 − 2(1 − p)|β|2 |;
p
p
VS (p) = 2 1 − p|αβ| = 1 − p VS (0).
(4.17)
Estas funções estão graficamente mostradas para diferentes estados iniciais na Figura 4.3.
Podemos ver que este tipo de reservatório sempre leva a um estado de máxima previsibilidade quando p = 1, uma vez que qualquer estado termina no estado fundamental |0i.
Mais ainda fica claro o papel do emaranhamento no papel de canal de comunicação entre
o sistema S e o reservatório R: no caso do estado inicial |1iS , Figura 4.3a, vemos que o
emaranhamento assume seu máximo valor em p = 1/2, quando temos menos informação
sobre o estado, máxima mistura.
A dinâmica temporal do estado pode ser obtida por sucessivas aplicações do mapa.
p
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
47
Se aplicamos n vezes o mapa temos a seguinte matriz densidade:


2
n−1
2
∗
n/2
|α| + p(1 + (1 − p) + · · · + (1 − p)
)|β| αβ (1 − p)

$⊗n (ρS ) = 
∗
n/2
n
2
α β(1 − p)
(1 − p) |β|


|α|2 − (1 + (1 − p)n )|β|2 αβ ∗ (1 − p)n/2
.
= 
α∗ β(1 − p)n/2
(1 − p)n |β|2
Se p ≪ 1 então podemos fazer a aproximação (1 − p)n ≈ 1 − np ≈ exp(−np). Se
usamos que a aplicação do mapa evolui o estado por um intervalo ∆t então n = t/∆t; onde
t é o tempo total de evolução. Mais ainda se escrevemos p = Γ∆t, onde Γ representa a
probabilidade por aplicação do mapa da excitação de S passar para o reservatório, temos
as seguinte evolução

ρS (t) = 
|α|2 + (1 − e−Γt )|β|2 αβ ∗ e−Γt/2
α∗ βe−Γt/2
e−Γt |β|2

.
(4.18)
Vemos que quando t ≫ 1/Γ o sistema vai todo para o estado fundamental e a coerência
se anula assintoticamente.
Cabe aqui ressaltar a importância da suposição de que p ∝ ∆t. A linearidade com
∆t implica que estamos observando o sistema em tempos longos quando comparado com
o tempo de correlação com o reservatório. Devemos lembrar que a teoria de perturbação
dependente do tempo nos dá em primeira ordem uma dependência quadrática com o
tempo [73]. No entanto, se temos que a dinâmica de S tem uma escala tı́pica muito
maior do que o tempo de correlação com o reservatório podemos usar a “regra de ouro
de Fermi”, a qual nos dá a dependência linear da probabilidade de transição com o
tempo [73]. Essa aproximação é comumente chamada de aproximação Markoviana, e
implica que a evolução do sistema não depedende de tempos passados, é uma dinâmica
“sem memória”.
Nesse regime a dinâmica acima mostrada é a mesma obtida pelo conhecido Lindbladiano de decaimento de amplitude [7, 71]:
Γ
Lρ = − (σ+ σ− ρ + ρσ+ σ− − 2σ− ρσ+ ).
2
(4.19)
Dessa forma, a associação (1 − p) = exp(−Γt) é valida para todo p entre zero e um, não
só para p infinitesimal. Isso significa que p é uma parametrização do tempo com p = 0
para o tempo inicial e p → 1 quando t → ∞.
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
48
Uma forma de achar a evolução do sistema S é através dos operadores de Kraus. Os
operadores de Kraus do reservatório de amplitude podem ser obtidos do mapa unitário
através da seguinte relação:
USR |iiS |0iR =
X
µ
Mµ |iiS |µiR .
(4.20)
Dessa forma:
USR |0iS |0iR = |0iS |0iR = M0 |0iS |0iR
(4.21)
p
√
1 − p |1iS |0iR + p |0iS |1iR = M0 |1iS |0iR + M1 |0iS |1iR .
USR |1iS |0iR =
Sendo assim os operadores de Kraus são:


1
0

M0 = 
√
1−p
0

M1 = 
0
√
p
0
0

.
(4.22)
Esses operadores representam respectivamente a possibilidade do sistema não decair
(M0 ) e de perder a excitação para o reservatório (M1 ).
A evolução do sistema utilizando esses operadores é dada por:
ρ(t) =
X
Mµ ρ(0)Mµ†
µ
= M0 ρ(0)M0† + M1 ρ(0)M1†


√
|α|2 + p|β|2 αβ ∗ 1 − p
;
= 
√
α∗ β 1 − p (1 − p)|β|2
(4.23)
fazendo a identificação de (1 − p) = exp(−Γt), temos a mesma evolução que obtida pelas
sucessivas aplicações do mapa ou pelo Lindbladiano. Esses operadores serão de grande
utilidade quando, na próxima seção, tratarmos dois sistemas de dois nı́veis interagindo
com reservatórios individuais.
Essa dinâmica será implementada em um experimento com óptica linear, como mostrado na seção (4.5).
Decaimento de Fase
Este tipo de reservatório leva a extinção das coerências quânticas sem que as amplitudes
sejam modificadas, ou seja, essa interação acaba com as superposições quânticas porém
sem dissipação. Esta caracterı́stica é fundamental para o entendimento da transição
clássico-quântico, uma vez que não observamos superposições no nosso cotidiano.
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
49
O mapa unitário dessa dinâmica é o seguinte:
|0iS |0iR → |0iS |0iR
p
√
1 − p |1iS |0iR + p |1iS |1iR .
|1iS |0iR →
(4.24)
Novamente o sistema se emaranha com o reservatório. Esse mapa pode, por exemplo,
representar o fenomeno de espalhamento elástico. Nesse caso o sistema S tem a possibilidade de ser espalhado caso esteja nos estado |1iS ; os diferentes estados do reservatorio
podem ser pensados como distintas direções de espalhamento com a mesma energia. A
evolução de um estado genérico segundo esse mapa e a seguinte:
USR (α |0iS + β |1iS ) |0iR = α |0iS |0iR + β
A concurrência deste estado é então:
p
√
1 − p |1iS |0iR + β p |1iS |1iR
√
√
C = 2 p|αβ| = pV(0).
(4.25)
(4.26)
Vemos que nesse caso o emaranhamento aumenta com p, ou seja, como p é uma parametrização do tempo podemos dizer que o emaranhamento do sistema com o reservatório
aumenta com o passar do tempo. Perdemos continuamente informação sobre o sistema
de interesse, como é confirmado pela pureza do estado:
T r(ρ(p)2 ) = 1 − 2p|αβ|2 ;
(4.27)
a qual decresce continuamente com o aumento de p.
A evolução não unitária do sistema S, como já explicado, pode ser obtida através
do traço das variáveis do reservatório na evolução unitária, ou pela aplicação direta dos
operadores de Kraus. Para esta caso os operadores são os seguintes:




0 0
1
0

;
M1 = 
M0 = 
√
√
0
0
1−p
p
(4.28)
os quais são diagonais uma vez que não há troca de energia entre os sistemas. A evolução
do sistema é então obtida:
ρ(t) =
X
Mµ ρ(0)Mµ†
µ

√
|α|2
αβ ∗ 1 − p
;
= 
√
|β|2
α∗ β 1 − p

(4.29)
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
50
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
a
0.8
1
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
b
0.2
0.4
0.6
0.8
1
c
Figura 4.4: Reservatório de Fase. Concurrência - Linha Contı́nua (preta), Previsibilidade - Linha
Tracejada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado |1i. b) Estado (|0i +
√
√
|1i)/ 2. c) Estado (|0i + i |1i)/ 2.
vemos claramente que os termos fora da diagonal principal decrescem com o aumento
de p. Isto significa que as probabilidades quânticas evoluem para as suas equivalentes
clássicas. Aqui também podemos fazer a associação (1 − p) = exp(−Γt), ou seja, a
aproximação Markoviana, aqual nos leva ao seguinte Lindbladiano de decaimento de
fase:
Γ
Lρ = − (ρσ+ σ− + σ+ σ− ρ + 2σ+ σ− ρσ+ σ− ).
2
(4.30)
A partir da matriz densidade evoluı́da fica simples calcularmos as demais figuras de
mérito que entram na expressão da complementaridade, Eq. (3.22):
p
p
VS (p) = 2 1 − p |α∗ β| = 1 − p VS (0)
PS (p) = ||α|2 − |β|2 | = PS (0)
(4.31)
O principal efeito deste reservatório é então diminuir a visibilidade do estado de S sem
mudar sua previsibilidade. Isso é obtido através do crescente emaranhamento entre S e
R. Essas figuras de mérito para diferentes estados iniciais de S são mostradas na Fig. 4.4.
Vemos que para esses dois reservatórios as coerências (visibilidades), em geral, decaem
√
com 1 − p, ou seja, decaimento exponencial com o tempo, só se anulando em p = 1.
No que segue tratamos dos reservatórios que são comumente associados a erros na
computação quântica [74]. Como já foi dito, o número de “erros” possı́veis na computação quântica é maior do que o único possı́vel erro em computação clássica. De forma
geral o número de possı́veis erros é igual ao número de geradores do sistema usado; no
presente caso usamos um qbit, ou seja, temos uma álgebra de SU(2) que possui assim 3
p
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
51
geradores 4 . A representação usual do grupo SU(2) é dada pelas matrizes de Pauli, cada
uma delas representa um tipo de erro, como veremos no que segue.
Bit-Flip
O primeiro erro que tratamos é o de bit-flip, este é ilustrado na Figura 4.1 e pode também
ocorrer para os bits quânticos. Unitariamente podemos descrever esse processo com o
seguinte mapa:
|0iS |0iR
→
|1iS |0iR →
p
p
1 − p/2 |0iS |0iR +
1 − p/2 |1iS |0iR +
p
p
p/2 |1iS |1iR
p/2 |0iS |1iR ;
(4.32)
o fato de agora usarmos p/2 ficará claro com a analogia com o Lindbladiano equivalente [74]. Note no entanto que se não fizessemos essa divisão por dois, no final da
evolução terı́amos um estado puro de S, completamente desemaranhado, para todo estado puro inicial. Essa não é uma caracterı́stica esperada desse tipo de reservatório.
Vemos por este mapa que a informação do estado do sistema é transferida para o
reservatório através do emaranhamento destes. Explicitamente, a evolução de um estado
puro geral do sistema segundo este mapa é a seguinte:
p
p
p
p
(α |0i+β |1i) |0i → α( 1 − p/2 |00i+ p/2 |11i)+β( 1 − p/2 |10i+ p/2 |01i); (4.33)
onde |α|2 + |β|2 = 1 e usamos a notação simplificada |iji = |iiS ⊗ |jiR . O efeito desse
mapa é levar:
|0iS S h0| → 1/2(|0iS S h0| + |1iS S h1|)
(4.34)
|1iS S h1| → 1/2(|0iS S h0| + |1iS S h1|);
ou seja, leva os estados da base computacional para a máxima mistura com a inversão
do bit.
O emaranhamento CSR entre S e R pode ser facilmente obtido:
r p 2
p
1−
|α − β 2 |.
CSR (p) = 2
2
2
(4.35)
De forma geral vemos que somente para p = 0 os estados estão desemaranhados, ou seja,
para p > 0 estabelecemos um canal de transferência de informação do sistema para o
reservatório, temos emaranhamento entre essas partes. Note porém que para estados
4
Lembramos que o número de geradores do SU(N) é igual N 2 − 1.
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
52
√
|±i = (|1i ± |0i)/ 2, com previsibilidade nula em p = 0, o sistema não se emaranha,
transferindo assim nenhuma informação. Todas essas caracterı́sticas ficam mais claras
com o cálculo da evolução do estado segundo essa dinâmica.
Os operadores de Kraus podem ser obtidos a partir do mapa unitário como mostrado
na seção 4.2, e nesse caso são:
 p
M0 = 
M1
1 − p/2
0
p

=
p
1 − p/2


p
p
p/2
0
 = p/2 σx .
=  p
p/2
0
0
1 − p/2 11 ;
(4.36)
Esses são os operadores que intuitivamente esperávamos para representar o processo de
erro da Figura 4.1. M0 representa a probabilidade do estado permanecer o mesmo e M1
do estado ser modificado, “flipado”. Fica claro por estes operadores que este tipo de
erro está associado à aplicação probabilı́stica da matriz σx de Pauli.
A evolução de um estado puro do sistema é então obtida:
ρ(p) = M0 ρ(0)M0† + M1 ρ(0)M1†


2
2
∗
∗
(1 − p/2)|α| + p/2 |β| (1 − p/2)αβ + p/2 α β
.
= 
∗
∗
2
2
p/2 αβ + (1 − p/2)α β (1 − p/2)|β| + p/2 |α|
(4.37)
PS = |(1 − p)(|α|2 − |β|2 )| = |1 − p| PS (0);
(4.38)
VS = 2|(1 − p/2)αβ ∗ + p/2α∗ β|.
(4.39)
Podemos calcular para este estado as suas caracterı́sticas de partı́cula única, Pe V:
Essas variáveis são graficadas para diferentes estados iniciais do sistema na Figura
4.5.
Fase-Flip
Como quanticamente temos a possibilidade de superposição, podemos ter também uma
mudança na fase relativa do estado.
O mapa associado com este erro é o que seguinte:
|0iS |0iR
→
|1iS |0iR →
p
p
1 − p/2 |0iS |0iR +
1 − p/2 |1iS |0iR −
p
p
p/2 |0iS |1iR
p/2 |1iS |1iR .
(4.40)
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
53
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
a
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
0.2
0.4
b
0.6
0.8
1
c
Figura 4.5: Erro de Bit-Flip. Concurrência - Linha Contı́nua (preta), Previsibilidade - Linha Tracejada
√
(azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado |1i. b) Estado (|0i + |1i)/ 2. c)
√
Estado (|0i + i |1i)/ 2.
Para este mapa temos a seguinte evolução unitária:
p
p
p
p
(α |0i+β |1i) |0i → α( 1 − p/2 |00i+ p/2 |01i)+β( 1 − p/2 |10i− p/2 |11i). (4.41)
Novamente o emaranhamento transfere continuamente a informação do estado para o
reservatório. A concurrência é então dada por:
p
p
CSR = 4 p/2(1 − p/2)|αβ| = 2 p/2(1 − p/2)V(0).
(4.42)
Diferentemente do erro de bit-flip, vemos que no presente caso os estados com visibilidade
inicial nula não se acoplam com o reservatório. O que é esperado de um erro cujo papel
é alterar a fase relativa do estado.
Os operadores de Kraus são facilmente obtidos do mapa unitário:

 p
p
1 − p/2
0
 = 1 − p/2 11 ;
M0 = 
p
1 − p/2
0

 p
p
p/2
0
 = p/2 σz .
M1 = 
p
0
− p/2
(4.43)
Este erro é então claramente associado à matriz σz de Pauli.
A evolução de um estado inicialmente puro pode ser então calculada:
ρ(p) = M0 ρ(0)M0† + M1 ρ(0)M1†


|α|2
(1 − p)αβ ∗
.
= 
(1 − p)α∗ β
|β|2
(4.44)
Vemos que esse erro é bastante semelhante ao de reservatório de fase, nos dois somente
as coerências decaem. Notamos também que a parametrização com o tempo deve ser
outra, como será visto através do Lindbladiano associado a este erro.
p
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
54
As caracterı́sticas de uma partı́cula são então:
V(p) = 2|(1 − p)αβ| = |1 − p|V(0)
P(p) = ||α|2 − |β|2 | = P(0).
(4.45)
Essas quantidades são mostradas para alguns diferentes estados iniciais na Fig.4.6.
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 4.6: Erro de Fase-Flip. Concurrência - Linha Contı́nua (preta), Previsibilidade - Linha Trace-
√
jada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado |1i. b) Estado (|0i + |1i)/ 2.
√
c) Estado (|0i + i |1i)/ 2.
Fase-Bit-Flip
O outro erro possı́vel é uma combinação dos outros dois acima descritos. O erro de
Fase-Bit-Flip troca não só o registro quântico como também a fase relativa.
O mapa que descreve este erro é o seguinte:
|0iS |0iR
|1iS |0iR
p
1 − p/2 |0iS |0iR + i p/2 |1iS |1iR
p
p
→ 1 − p/2 |1iS |0iR − i p/2 |0iS |1iR .
→
p
(4.46)
A evolução unitária segundo este mapa para um estado puro geral de S é então:
p
p
p
p
(α |0i + β |1i) |0i → α( 1 − p/2 |00i + i p/2 |11i) + β( 1 − p/2 |10i − i p/2 |01i).
(4.47)
Quando p = 1 temos tanto o efeito de bit-flip quanto de fase-flip. O emaranhamento
criado com o reservatório é então facilmente calculado:
p
CSR = 2 p/2(1 − p/2)|α2 + β 2 |;
(4.48)
que também cresce monotonicamente com p, no intervalo de zero a um.
A dinâmica do estado no entanto difere e pode ser obtida através dos operadores de
p
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
55
Kraus:
M0
M1

 p
p
1 − p/2
0
 = 1 − p/2 11 ;
= 
p
1 − p/2
0


p
p
0
i p/2
 = − p/2 σy .
= 
p
0
−i p/2
(4.49)
Associamos este erro então à matriz σy = iσx σz de Pauli, o gerador do SU(2) que faltava.
A evolução de um estado inicialmente puro é então obtida:
ρ(p) = M0 ρ(0)M0† + M1 ρ(0)M1†


(1 − p/2)|α|2 + p/2 |β|2 (1 − p/2)αβ ∗ − p/2 α∗ β
.
= 
p/2 αβ ∗ − (1 − p/2)α∗ β (1 − p/2)|β|2 + p/2 |α|2
(4.50)
As propriedades que representam totalmente o conteúdo de partı́cula única são então:
= |(1 − p)(|α|2 − |β|2 )| = |1 − p| PS (0);
PS
VS = 2|(1 − p/2)αβ ∗ − p/2 α∗ β|.
(4.51)
Exemplificamos as quantidades complementares para alguns estados iniciais diferentes
na Fig.4.7.
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 4.7: Erro de Bit-Fase-Flip. Concurrência - Linha Contı́nua (preta), Previsibilidade - Linha
Tracejada (azul), Visibilidade - Linha Ponto-Tracejada (vermelha). a) Estado |1i. b) Estado (|0i +
√
√
|1i)/ 2. c) Estado (|0i + i |1i)/ 2.
Para esses três erros temos o mesmo tipo de Lindbladiano [74]:
Li ρ = −Γ(ρ − σi ρσi );
(4.52)
onde i ∈ x, y, z representa os erros de bit-flip, fase-flip e fase-bit-flip respectivamente.
Nesses três casos a parametrização com o tempo é (1 − p) = exp(−2Γt); que é da mesma
forma que no caso dos decaimentos. Observe que o fato de introduzirmos a divisão de
p
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
56
p por dois nos mapas dos erros é exclusivamente para que p possa variar entre zero e
um, representando assim o tempo inicial e o limite infinito respectivamente. Caso não o
tivessemos feito, só poderı́amos variar p até 1/2 pois terı́amos (1 − 2p) = exp(−2Γt) e
no limite de t → ∞ essa parametrização nos daria p → 1/2.
4.3.2
2 Qbits - Decaimento do Emaranhamento
Quando temos dois ou mais sistemas podemos, além de estudar as coerências individuais
de cada sistema, estudar a evolução do emaranhamento sob influência do reservatório.
Como podemos associar um caráter de informação também ao emaranhamento, uma
vez que esse pode ser usado fisicamente, é esperado que essa informação também passe
para o reservatório. Mostraremos que, diferentemente do que acontece com as coerências
individuais que somente são extintas assintoticamente, para alguns estados/reservatórios
o emaranhamento acaba em um tempo finito. Dois qbits formam o caso mais simples de
ser estudado, pois temos uma medida de emaranhamento bem definida, a concurrência,
e só temos emaranhamento bipartido; em contraste com o caso multipartido onde podemos ter emaranhamento entre as diversas partições.. Esse tipo de análise é de grande
importância tanto para o melhor entendimento do emaranhamento quanto para fins de
processamento de informação quântica, uma vez que o emaranhamento é um dos principais elementos responsáveis pela eficiência superior ao processamento clássico.
Na análise que segue a relação de complementaridade bipartida não é mais uma
igualdade, uma vez que o estado de dois qbits se emaranha com outros graus de liberdade.
Desta forma vamos somente nos interessar com a dinâmica do emaranhamento entre os
qbits do sistema S.
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
57
Reservatório de Amplitude
Se temos dois qbits não interagentes e imersos cada um em um reservatório de amplitude,
a dinâmica do sistema total pode ser obtida através do seguinte mapa:
|00iS |00iR → |00iS |00iR
p
√
1 − p2 |01iS |00iR + p2 |00iS |01iR
(4.53)
|01iS |00iR →
p
√
1 − p1 |10iS |00iR + p1 |00iS |10iR
|10iS |00iR →
√
√
√
√
1 − p1 1 − p2 |11iS |00iR + 1 − p1 p2 |10iS |01iR +
|11iS |00iR →
√ √
√ √
+ p1 1 − p2 |01iS |10iR + p1 p2 |00iS |11iR ;
onde pi é a probabilidade de decaimento do i-ésimo qbit. Este mapa é obtido pela
aplicação direta do mapa (4.13) para cada um dos dois qbits, uma vez que os reservatórios são individuais. Note que aqui também é o emaranhamento com o reservatório,
agora representado por 2 qbits, que vai levar à perda de coerência individual e ao desemaranhamento.
Achamos mais apropriado para determinar a dinâmica do sistema usar diretamente os
operadores de Kraus obtidos anteriormente. Como os reservatórios não são comunicantes,
os novos operadores de Kraus conjuntos devem contemplar todas as possibilidades dos
dois qbits, ou seja, a possibilidade de os dois permanecerem sem decair; de somente
um decair (qualquer um dos dois) e, finalmente, de os dois decaı́rem. Os operadores de
Kraus são então:

K1 = M0 ⊗ M0 = 

K2 = M0 ⊗ M1 = 

1
0
1
0
0
K3 = M1 ⊗ M0 = 
0
K4 = M0 ⊗ M0 = 
0

0
0
√
1 − p1




⊗
1
0
√
1 − p2

√
p2
0
0
⊗
;
√
1 − p1
0
0

 
√
1
0
p1
;
⊗
√
1 − p2
0
0
 

√
√
0
p1
p2
⊗
.
0
0
0
0

;
(4.54)
E a dinâmica é obtida da seguinte forma:
ρ(t) =
4
X
µ=1
Kµ ρ(0)Kµ† .
(4.55)
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
Para a matriz densidade mais

ρ
 00,00

 ρ01,00


 ρ10,00

ρ11,00
58
geral possı́vel:
ρ00,01 ρ00,10 ρ00,11



ρ01,01 ρ01,10 ρ01,11 
;

ρ10,01 ρ10,10 ρ10,11 

ρ11,01 ρ11,10 ρ11,11
temos a seguinte evolução:

ρ
+ p1 ρ10,10 + p2 (ρ01,01 + p1 ρ11,11 )
 00,00
 √
 1 − p2 (ρ01,00 + p1 ρ11,10 )

 √
 1 − p1 (ρ10,00 + p2 ρ11,01 )

√
√
1 − p1 1 − p2 ρ11,00
(4.56)
√
1 − p2 (ρ00,01 + p1 ρ10,11 )
(1 − p2 )(ρ01,01 + p1 ρ11,11 )
√
√
1 − p1 1 − p2 ρ10,01
√
− 1 − p1 (−1 + p2 )ρ11,01

√
√
√
1 − p1 (ρ00,10 + p2 ρ01,11 )
1 − p1 1 − p2 ρ00,11

√
√
√

1 − p1 1 − p2 ρ01,10 − 1 − p1 (−1 + p2)ρ01,11 
.
√

−(−1 + p1 )(ρ10,10 + p2 ρ11,11 ) −(−1 + p1 ) 1 − p2 ρ10,11 

√
−(−1 + p1 ) 1 − p2 ρ11,10 (−1 + p1 )(−1 + p2 )ρ11,11
(4.57)
No caso dos dois reservatórios possuı́rem a mesma taxa de decaimento, ou seja, se p1 =
p2 = p, então a evolução é a seguinte:

ρ
+ p(ρ01,01 + ρ10,10 + pρ11,11 )
 00,00
√

 1 − p(ρ01,00 + pρ11,10 )

 √
 1 − p(ρ10,00 + pρ11,01 )

(1 − p)ρ11,00
√
√
1 − p(ρ00,01 + pρ10,11 )
(1 − p)(ρ01,01 + pρ11,11 )
(1 − p)ρ10,01
(1 − p)3/2 ρ11,01
1 − p(ρ00,10 + pρ01,11 )
(1 − p)ρ00,11
(1 − p)ρ01,10 (1 −
p)3/2 ρ01,11
(1 − p)(ρ10,10 + pρ11,11 ) (1 − p)3/2 ρ10,11
(1 − p)3/2 ρ11,10
(1 − p)2 ρ11,11




.



(4.58)
Novamente podemos fazer a associação 1 − p → exp (−Γt) para obtermos a evolução
para todo o tempo.
O decaimento do emaranhamento para um estado geral opde ser calculado a partir da
evolução mostrada acima. Resultados analı́ticos mais simples podem ser obtidos considerando o estado inicial adotado M. França et al [69]: |α| |00i+|β| exp(iθ) |11i. Para esse
estado, foi mostrado que dependendo da relação entre α e β temos desemaranhamento
assintótico ou em tempo finito. Reproduzimos no que segue esse resultado.
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
59
Para o estado inicial |α| |00i + |β| exp(iθ) |11i, com |α|2 + |β|2 = 1, temos que a
√
concurrência é 2|αβ|; atingindo seu valor máximo para |α| = |β| = 1/ 2. A evolução
desse estado quando os dois qbits estão em contato com reservatórios individuais idênticos
é obtida através da Eq.(4.58):




ρ(p) = 



0
0
0
(1 − p)p|β|2
(1 − p)|αβ|e−iθ
0
0
0
0
0
(1 − p)|αβ|eiθ
(1 − p)p|β|2
0
0
|α|2 + p2 |β|2
(1 − p)2 |β|2




.



(4.59)
Podemos notar que os estados |01i e |10i são populados incoerentemente e, devido à
simetria do decaimento, p1 = p2 , da mesma forma.
Para observarmos a dinâmica do emaranhamento calculamos a concurrência desse
estado. De forma geral, para um estado da forma:

a 0 0 ce−iθ


 0 d 0
0
ρ̃ = 

 0 0 d
0

ceiθ 0 0
b




;



(4.60)
√
com 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1, os autovalores da matriz ρ̃σy ⊗ σy ρ̃∗ σy ⊗ σy são {(c − ab)2 , (c +
√ 2 2 2
ab) , d .d }. Como a matriz densidade deve sempre ter autovalores positivos, então
√
ab > c o que implica que C = 2max{0, c − d}.
Para o estado da Eq. (4.59) temos que a concurrência é então igual a:
C = 2max{0, (1 − p)|β|(|α| − p|β|)}.
(4.61)
Por esta expressão podemos constatar os seguintes regimes: se |α| ≥ |β|, então
C ≥ 0 para todo p ∈ [0, 1], ou seja, se fazemos p = (1 − exp(−Γt)) temos um decaimento
assintótico do emaranhamento (C = 0, somente em p = 1). Porém se |β| > |α| então para
0 ≤ p < |α/β| temos C > 0, significando um estado emaranhado. Já para |α/β| ≤ p ≤ 1
temos um estado separável. Fica assim claro que neste caso temos um desemaranhamento
abrupto quando p = |α/β|. Este comportamento de desemaranhamento súbito devido à
interação com reservatórios de amplitude individuais contrasta com o decaimento sempre
assintótico das coerências individuais. É interessante notar que o desemaranhamento se
dá exatamente quando a coerência do estado se iguala com a população dos estados |01i
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
60
e |10i criada pelo decaimento, ficando sempre menor após esse ponto (até que ambos
vão para zero em p = 1).
Para verificarmos esse comportamento podemos fazer a tomografia de diferentes estados dessa classe para diferentes p’s e calcularmos sua concurrência ou negatividade.
Outra forma é através da medida de testemunhas de emaranhamento.
A testemunha ótima (WN ) para a medida da negatividade dessa classe de estados
deve ser tal que T r[ρ(p)WN ] = λ− , onde λ− é o menor auto-valor da matriz transposta
parcialmente. Essa testemunha pode ser determinada da seguinte forma:
WN = [|wi hw|]T2
onde
ρ(p)T2 |wi = λ− |wi ;
(4.62)
como discutido no capı́tulo 2.
Para o caso aqui tratado calculamos que:
1
|wi = √ (|10i − e−iθ |01i);
2
(4.63)
o que implica que a negatividade e a concurrência são idênticas, uma vez que |wi é um
estado tipo de Bell, como discutido no capı́tulo 2.
Sendo assim:
WN =
1
(|10i h10| + |01i h01| − e−iθ |00i h11| − eiθ |11i h00|);
2
(4.64)
independente de p.
Para a medida dessa testemunha temos que realizar diversas medidas locais, uma vez
que devemos medir a coerência |00i h11|. Podemos no entanto reescrever essa testemunha
da seguinte forma:
2WN
= 11 − 11 + |10i h10| + |01i h01| − e−iθ |00i h11| − eiθ |11i h00| ;
= 11 − (|00i h00| + |11i h11| + e−iθ |00i h11| + eiθ |11i h00|
iθ
(4.65)
iθ
√ |11i) (h00|+e
√ h11|) .
= 11 − 2 (|00i+e
2
2
√
Se definimos o estado maximamente emaranhado |φ(θ)i = (|00i + exp (iθ) |11i)/ 2,
temos então:
2T r[ρ(p)WN ] = T r[(11 − 2 |φ(θ)i hφ(θ)| ρ(p)]
2λ− = 1 − 2 hφ(θ)| ρ(p) |φ(θ)i
(4.66)
2λ− = 1 − 2Pφ(θ) ;
onde Pφ(θ) é a probabilidade de projeção no estado |φ(θ)i. Como a negatividade é
definida por max{0, −2λ− }, basta-nos medir a probabilidade Pφ(θ) para determinar o
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
61
emaranhamento do estado. É importante notar que como essa testemunha é ótima e,
mais ainda, como nesse caso a concurrência e a negatividade são idênticas, esta medida
nos determina sem ambigüidade o momento no qual o estado se desemaranha.
Essa testemunha, nessa forma, foi obtida na Ref. [69]. Para essa testemunha precisamos somente a medida de um projetor, porém não-local. Experimentalmente essa tarefa
pode ser realizada, por exemeplo, com a implementação de um analisador de estados de
Bell [7]. Nesse caso medimos a projeção do estado de interesse com cada estado da base
de Bell, e assim podemos determinar a probabilidade Pφ(θ) . Isso implica em quatro distintas medidas; um ganho considerável no número de medidas quando comparado com o
processo tomográfico e, mais importante, representa um ganho no entendimento do emaranhamento: neste caso o emaranhamento significa o quanto do estado maximamente
emaranhado dessa classe ainda está presente em ρ(p) em relação a 50%. Vale ressaltar
que para medirmos Pφ(θ) nos basta uma medida dicotômica, uma vez que temos somente
que determinar a probalidade de um projetor; a implementação dessa medida porém não
é óbivia.
Esta dinâmica de desemaranhamento a tempo finito é dependente não só do tipo de
decaimento, reservatório ou erro, mas também do estado. Podemos analisar outra classe
de estados:
|α| |01i + |β|eiθ |10i ;
com |α|2 + |β|2 = 1. Segundo a Eq.(4.58) temos a seguinte evolução.:


p
0
0
0




 0
(1 − p)|α|2
(1 − p)|αβ|e−iθ 0 

.
ρ(p) = 

iθ
2
 0 (1 − p)|αβ|e
(1 − p)|β|
0 


0
0
0
0
(4.67)
(4.68)
A concurrência para esse estado pode ser facilmente calculada:
C = 2(1 − p)|αβ|.
(4.69)
Vemos que para esse estado o desemaranhamento só ocorre quando p = 1, ou seja, assintoticamente em t → ∞. Qualquer coerência para esse estado significa emaranhamento.
Analisamos também a dinâmica do emaranhamento para os demais reservatórios.
Podemos sempre determinar a evolução do estado mais geral possı́vel através do calculo
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
62
dos operadores de Kraus como feito acima. Nos concentraremos nas duas famı́lias de
estados já estudadas para o caso do reservatório de amplitude.
Decaimento de Fase
Os operadores de Kraus dessa dinâmica são obtidos, novamente, pelos operadores locais:
 


1
0
1
0
⊗
;
K1 = M0 ⊗ M0 = 
√
√
1 − p1
1 − p2
0
0

 

0
0
1
0
⊗
;
K2 = M0 ⊗ M1 = 
(4.70)
√
√
1 − p1
p2
0
0

 

0
0
1
0
⊗
;
K3 = M1 ⊗ M0 = 
√
√
0
p1
1 − p2
0
 


0
0
0
0
⊗
.
K4 = M0 ⊗ M0 = 
√
√
p1
p2
0
0
Agora todos os operadores são diagonais, não há troca de populações com os reservatórios.
A evolução do estado mais geral possı́vel segundo essa dinâmica com reservatórios
idênticos (p1 = p2 = p), é a seguinte:

√
√
1 − pρ00,01
1 − pρ00,10 (1 − p)ρ00,11
ρ00,00

√
 √
 1 − pρ01,00
1 − pρ01,11
ρ01,01
(1 − p)ρ01,10

√
 √
 1 − pρ10,00 (1 − p)ρ10,01
1 − pρ10,11
ρ10,10

√
√
1 − pρ11,01
1 − pρ11,10
ρ11,11
(1 − p)ρ11,00
Vemos que os elementos diagonais ficam inalterados.




.



(4.71)
Para a classe de estados da forma |α| |00i + |β|exp(iθ) |11i podemos então determinar
a sua evolução:




ρ(p) = 



|α|2
0 0 (1 − p)|αβ|e−iθ
0
0 0
0
0
0 0
0
(1 − p)|αβ|eiθ 0 0
Sua concurrência em função de p é então:
C = 2(1 − p)|αβ|.
|β|2




.



(4.72)
(4.73)
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
63
O que novamente representa desemaranhamento assintótico, para todo os estados dessa
classe.
Já para a classe |α| |01i + |β|exp(iθ) |10i temos a seguinte evolução:

0
0


 0
|α|2
ρ(p) = 

 0 (1 − p)|αβ|eiθ

0
0
0
(1 −
p)|αβ|e−iθ
|β|2
0
0



0 
.

0 

0
(4.74)
O qual também possui concurrência igual a C = 2(1 − p)|αβ|, ou seja, o emaranhamento somente acaba com p = 1.
Esses resultados não implicam que não existe estado com desemaranhamento a tempo
finito com este tipo de reservatório. Por exemplo, foi mostrado na Ref.[75] que para
estados do tipo Werner o emaranhamento acaba em tempo finito.
O emaranhamento é fundamental nos processo de computação quântica, sendo assim
é importante verificarmos a dinâmica do emaranhamento sob a influência dos erros já
abordados.
Bit-Flip ( e Bit-Fase-Flip)
Novamente, como os erros nos dois qbits são descorrelacionados, podemos achar os operadores de Kraus que determinam a evolução pelo produto das diversas possibilidades
locais:
Os operadores de Kraus dessa dinâmica são obtidos, novamente, pelos operadores
locais:
K1 = M0 ⊗ M0
K2 = M0 ⊗ M1
K3 = M1 ⊗ M0
K4 = M0 ⊗ M0
 p
1 − p1 /2
0
=
p
1 − p1 /2
0
 p
1 − p1 /2
0
=
p
0
1 − p1 /2
 

p
p1 /2
0
⊗
= p
p1 /2
0

 
p
0
p1 /2
⊗
= p
p1 /2
0
 p

1 − p2 /2
0
⊗
;
p
1 − p2 /2
0
 

p
p2 /2
0
⊗ p
;
(4.75)
p2 /2
0

p
1 − p2 /2
0
;
p
1 − p2 /2
0

p
0
p2 /2
.
p
p2 /2
0

4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
64
A evolução do estado mais geral possı́vel é facilmente obtida através desses operadores, no entanto devido a complexidade da expressão geral mostramos diretamente a
evolução dos estados da classe |α| |00i + |β| |11i5 :



1

2


((2 − p)2 |α|2 + p2 |β|2 )/2
0
0
(2 − 2p + p2 )|αβ|
0
(2 − p)p/2
(2 − p)p|αβ|
0
0
(2 − p)p|αβ|
(2 − p)p/2
0
0
0
(2 − 2p + p2 )|αβ|




.



(4|β|2 − 4p|β|2 + p2 )/2
(4.76)
A diferença fundamental em relação ao decaimento de amplitude é a possibilidade
de coerência entre os estados |10i e |01i. Isso claramente vem da possibilidade do estado
|0iS “flipar” para |1iS , o qual é coerentemente somado com a possibilidade do estado
|1iS ir para o |0iS ; note que essas possibilidades são coerentemente somadas pois estão
ambas acopladas com o estado |1iR .
Podemos então calcular a dinâmica da caracterı́stica bipartida, o emaranhamento.
Dentre as várias possibilidades de ordenamento da dos auto-valores da matriz ρ σy ⊗ σy
ρ∗ σy ⊗ σy mostramos numericamente que a concurrência dessa classe é dada por:
√
C = max{0, 2( ρ00,00 ρ11,11 − ρ01,01 )}.
(4.77)
Essa expressão é de difı́cil análise, sendo assim para sua análise usamos que |α|2 =
1 − |β|2 . Dessa forma a concurrência é uma função de p e β, a qual é mostrada na
Figura 4.8.
Podemos observar que o desemaranhamento é sempre assintótico para essa classe de
estados. Podemos dizer que este tipo de reservatório de Bit-Flip é mais “fraco” do que o
de decaimento de amplitude, uma vez que o emaranhamento persiste para toda a classe.
Isso se deve provavelmente à mais lenta diminuição das coerências.
Calculamos também a evolução do emaranhamento para a classe |α| |01i + |β| |10i.
Para este caso temos:
√
C = max{0, 2( ρ01,01 ρ10,10 − ρ00,00 )}.
(4.78)
Novamente temos decaimento assintótico para todo p e β dessa classe, como mostrado
na Figura 4.9.
5
Note que estamos tomando θ = 0, ou seja, coeficientes reais.
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
65
1
0.75
C
0.5
0.25
0
0
1
0.8
0.6
0.2
0.4
Β
0.4
p
0.2
0.6
0.8
10
Figura 4.8: Evolução da concurrência para toda a famı́lia de estados |α| |00i + |β| |11i, em função de
p e β.
Por fim notamos que essas duas classes têm dinâmicas idênticas segundo os reservatórios de Bit-Flip e Bit-Fase-Flip, tendo assim o emaranhamento o mesmo comportamento.
Fase-Flip
Por fim temos o reservatório do erro de Fase-Flip. Da mesma forma que anteriormente
determinamos o operadores de Kraus da dinâmica de fase-flip para dois qbits em reservatórios individuais:
4.3. Dinâmicas de Descoerência e Erros
66
1
0.75
C
0.5
0.25
0
0
1
0.8
0.6
0.2
Β
0.4
0.4
p
0.2
0.6
0.8
10
Figura 4.9: Evolução da concurrência para toda a famı́lia de estados |α| |01i + |β| |10i, em função de
p e β.
K1 = M0 ⊗ M0
K2 = M0 ⊗ M1
K3 = M1 ⊗ M0
K4 = M0 ⊗ M0
 p
  p

1 − p1 /2
1 − p2 /2
0
0
⊗
;
=
p
p
1 − p1 /2
1 − p2 /2
0
0
 p
  p

1 − p1 /2
0
p2 /2
0
⊗
 ; (4.79)
=
p
p
1 − p1 /2
0
0
− p2 /2
  p

 p
p1 /2
0
1 − p2 /2
0
⊗
;
=
p
p
0
− p1 /2
0
1 − p2 /2
 p
  p

p1 /2
p2 /2
0
0
⊗
.
=
p
p
0
− p1 /2
0
− p2 /2
Com esses operadores podemos calcular a evolução do estado mais geral possı́vel de
dois qbits no caso de reservatórios idênticos:

ρ00,00
(1 − p)ρ00,01 (1 − p)ρ00,10 (1 − p)2 ρ00,11


 (1 − p)ρ01,00
ρ01,01
(1 − p)2 ρ01,10 (1 − p)ρ01,11


 (1 − p)ρ10,00 (1 − p)2 ρ10,01
ρ10,10
(1 − p)ρ10,11

(1 − p)2 ρ11,00 (1 − p)ρ11,01 (1 − p)ρ11,10
ρ11,11




.



(4.80)
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
67
Para a classe de estados estudada |α| |00i + |β|exp(iθ) |11i temos então a seguinte
evolução:




ρ(p) = 



|α|2
0 0 (1 − p)|αβ|e−iθ
0
0 0
0
0
0 0
0
(1 − p)|αβ|eiθ 0 0
|β|2




.



(4.81)
A evolução da concurrência para esta classe é facilmente calculada:
C = max{0, (1 − p)2 |αβ|};
(4.82)
o que mostra que, de forma geral, só temos desemaranhamento quando p = 1. Note que
essa expressão é muito semelhante à evolução da concurrência no reservatório de fase;
no presente caso o decaimento é mais rápido com 1 − p.
Para a outra classe, |α| |00i + |β|exp(iθ) |11i, a evolução é então:


0
0
0
0




2
−iθ
 0
|α|
(1 − p)|αβ|e
0 

.
ρ(p) = 

iθ
2
 0 (1 − p)|αβ|e
|β|
0 


0
0
0
0
(4.83)
Novamente a concurrência é escrita como função de p da seguinte forma:
C = max{0, (1 − p)2 |αβ|};
(4.84)
também levando ao decaimento assintótico do emaranhamento.
Mostramos que, para as classes de estado estudadas, nenhuma dinâmica de erro
leva ao desemaranhamento súbito. Esse fato pode ser importante para os protocolos de
computação/comunicação quântica que dependam do emaranhamento.
4.4
Implementação Experimental com Óptica Linear
Mostramos agora como todas as dinâmicas acima analisadas podem ser implementadas
com óptica linear. Esse é o principal resultado deste capı́tulo.
A implementação dos diferentes reservatórios é obtida através do hiperemaranhamento de diferentes graus de liberdade de um mesmo fóton. Dessa forma cada qbit já
“leva consigo” seu reservatório, uma vez que este é simplesmente outro grau de liberdade
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
68
do mesmo fóton. Nos casos aqui tratados, usamos dinâmicas com somente dois operadores de Kraus, o que implica no emaranhamento com somente mais um qbit. Dinâmicas
com mais super-operadores podem ser ainda implementadas com o uso de múltiplos
graus de liberdade, ou ainda, com o emaranhamento com um grau de liberdade de maior
dimensão, como por exemplo um maior número de direções de momento.
No presente caso utilizamos os grau de liberdade de polarização e de modos espaciais
dos fótons com qbits, ora seja como o sistema de interesse S ora seja como o reservatório
R. A idéia principal é a de realizarmos os mapas que representam os processos de
descoerência pelo emaranhamento dessas diferentes variáveis fotonicas.
4.4.1
Elementos Ópticos Lineares ↔ Portas Lógicas Universais
Os elementos ópticos lineares mais comuns em um laboratório são: divisores de feixe
(BS), divisores de feixes polarizados (PBS), placas de meia-onda (HWP), placas de
quarto-de-onda (QWP)e lentes. Usamos estes dispositivos para estabelecer uma ligação
com as portas lógicas de um e dois qbits (como iniciado na Ref.[76]), sem nos preocuparmos com os detalhes dos mesmos.
Divisor de Feixes
O divisor de feixes (BS) atua somente nos graus de liberdade de modo espacial do fóton.
Podemos quanticamente descrever a sua atuação pelo seguinte operador:
† +a† b)
B = eiθ(ab
,
(4.85)
onde a (b) são os operadores de aniquilação e a† (b† ) e criação de fótons no modo de
momento 0 (1) como ilustrado na Fig.4.10.
0
c
#
c #
#
c
# c
c
#
BS
1
⇓
Ry (−2θ)
Figura 4.10: Divisor de Feixes - Porta de Rotação em torno de y, Ry (θ) = e−iσy θ/2 .
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
69
Com um só fóton incidindo sobre o BS temos que os estados |01i, um fóton no modo
0 e nenhum no modo 1, e |10i, um fóton no modo 1 e nenhum no modo 0 formam uma
base para todos os estados possı́veis.
É fácil mostrar que a atuação do BS nos elementos da base é a seguinte:
B |01i = cos θ |01i + sin θ |10i
B |10i = cos θ |10i − sin θ |01i .
(4.86)
Podemos então definir uma base lógica como:
|0i = |01i
|1i = |10i ,
(4.87)
definindo assim nosso qbit de modo espacial. Nesta base o operador do divisor de feixes
pode ser escrito como:

B(θ) = 
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ

 = e−iθσy ;
(4.88)
o que corresponde a uma rotação de 2θ em torno do eixo y. O ângulo de rotação é
definido então pela refletância r do BS, r = sin θ.
É importante notar que no caso de θ = π/4 e simplesmente invertendo o registro
quântico da nossa base lógica após o BS, como mostrado na Fig.4.11, criamos a porta
Hadamard, a qual faz parte das portas universais [77].
O operador do divisor de feixes nesse caso especı́fico fica então:


1  1 1 
√
= H;
2
1 −1
(4.89)
exatamente uma porta Hadamard.
Divisor de Feixes Polarizado
O divisor de feixes polarizado (PBS) atua de forma semelhante ao BS, no entanto a
refletância e a transmitância do PBS são dependentes da polarização. Com este dispositivo interagimos o qbit de polarização {|Hi , |V i}, com o qbit de modo espacial {|0i , |1i},
definidos como anteriormente.
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
0
c
#
c #
#
c
# c
c
#
Z #
Z #
#
# Z
#
Z
70
0
.
BS
1
1
⇓
H
Figura 4.11: Divisor de Feixes como Hadamard.
O PBS atua de forma que um fóton incidente com polarização H continua no mesmo
modo e, no outro caso, quando o fóton possui polarização V este muda de modo. É claro
assim que temos uma interação condicional. Todas as possibilidades estão ilustradas na
Fig.4.12.
|H1i
|V 1i
6
|H0i
|H0i
PBS
6
|V 0i
-
|V 0i
-
6
-
6
|H1i
|V 1i
⇓
•
Figura 4.12: Divisor de Feixes Polarizado → CNOT Polarização-Modo Espacial.
A tabela de verdades desse processo é então:
Entrada
Saı́da
H
0
H
0
H
1
H
1
V
0
V
1
V
1
V
0
Fazendo a associação usual do qbit de polarização |Hi → |0P i e |V i → |1P i, onde o
sub-ı́ndice P é somente para ressaltar o fato que estamos tratando do qbit de polarização,
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
71
temos precisamente a tabela de verdades da porta não controlada (CNOT). Neste caso
o qbit de controle é o de polarização enquanto o qbit alvo é o de modo espacial.
No divisor de feixes, quando temos somente um fóton incidente, na outra porta de
entrada sempre “entra” vácuo, no entanto como a realização dos experimentos aqui
tratados é condicionada à detecção do fóton, essa contribuição do vácuo não é medida,
ou seja, é retirada por pós-seleção.
Placa de Meia-Onda
A placa de meia onda (HWP) atua no espaço da polarização do fóton incidente segundo
o operador [26]:

UHW P (θ) = 
cos 2θ
sin 2θ
sin 2θ
− cos 2θ

;
(4.90)
o qual possui a propriedade UHW P (θ)UHW P (θ) = 11 para todo θ. θ é o ângulo entre os
eixos rápido e lento da placa de meia-onda.
Podemos identificar os casos especiais mostrados na Fig.4.13. Se orientamos a placa
tal que θ = π/8 temos uma porta Hadamard para as polarizações. Se ajustamos θ = 0
temos a porta Z. Por fim, se θ = π/4 temos a porta X.
HW P (π/8)
-
HW P (0)
-
-
HW P (π/4)
-
-
⇓
⇓
⇓
H
Z
X
-
Figura 4.13: Placa de Meia Onda atuando como diferentes portas locais no qbit de
polarização.
Podemos também com este dispositivo implementar uma porta CNOT onde o qbit
de controle é o modo espacial e o qbit alvo é a polarização. Este processo é mostrado
na Fig.4.14. Vemos quando o fóton está no modo |0i nada acontece à sua polarização.
No entanto quando no modo |1i a polarização é alterada. Construı́mos assim a CNOT
Modo Espacial-Polarização.
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
72
|0i
|1i
HW P (π/4)
⇓
•
Figura 4.14: CNOT Modo Espacial-Polarização.
Placa de Quarto-de-Onda
O último elemento que tratamos é a placa de Quarto-de-Onda (QWP). O operador
associado com este dispositivo é o seguinte [26]:


cos2 θ + i sin2 θ (1 − i) cos θ sin θ
.
UQW P (θ) = 
(1 − i) cos θ sin θ sin2 θ + i cos2 θ
(4.91)
A única instância deste operador que vai nos importar é θ = 0, como mostrado na
Fig.4.15, neste caso temos:

que é a porta S [7].
UQW P (0) = 
1 0
0 i

 = S,
(4.92)
QW P (0)
-
-
⇓
S
Figura 4.15: Placa de quarto-de-onda como porta S.
Para fazermos a porta S controlada ao qbit de modo espacial basta procedermos
como no caso da HWP e colocarmos a QWP no modo 1. Assim será aplicado a operação
S somente quanto o fóton estiver no modo espacial 1.
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
73
Vale ressaltar que, uma vez que conseguimos construir a porta Hadamard nos dois
espaços,
polarização e modo espacial,
e a porta CNOT nos dois sentidos,
modo espacial→polarização e polarização→modo espacial, podemos construir qualquer
dinâmica com esses dois qbits de um mesmo fóton, já que essas portas são universais
[77]. O esquema de hiperemaranhamento aqui utilizado não resolve no entanto o problema de construir portas não-locais entre diferentes fótons. Este ponto negativo na
implementação da computação quântica pode ser parcialmente solucionado com portas
probabilı́sticas e adição de estados auxiliares para pós seleção [48].
4.4.2
Interferômetros de Decaimento - 1 Qubit
A partir da definição das portas lógicas básicas acima, mostramos agora uma forma
sistemática de como construir os interferômetros que simulam as dinâmicas de decaimento estudadas. Na verdade esse procedimento pode ser estendido para diversas outras
dinâmicas onde usamos o hiperemaranhamento entre polarização e modo espacial.
Em todos os casos aqui tratados definimos a base lógica dos dois qbits como:
|Hi → |0P i
|V i → |1P i
|0i → |0M i |1i → |1M i .
(4.93)
Cada qbit pode assumir o papel de sistema ou reservatório.
Decaimento de Amplitude
Para construirmos experimentalmente o mapa (4.13) notamos primeiro que esse pode
ser produzido pelo circuito lógico mostrado na Fig.4.16.
ρS
|0iR
•
Ry (θ̃)
•
Figura 4.16: Circuito Quântico para a realização do mapa de decaimento amplitude. Ry (θ̃) = e−iσy θ̃/2 ,
uma rotação de θ̃ ao redor do eixo y, onde sin2 (θ̃/2) = p.
Esse circuito realiza o seguinte mapa:
|0iS |0iR → |0iS |0iR
|1iS |0iR → cos(θ̃/2) |1iS |0iR + sin(θ̃/2) |0iS |1iR .
(4.94)
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
74
Fazendo a associação sin2 (θ̃/2) = p temos um mapa idêntico ao de decaimento de amplitude (4.13). Temos agora que a parametrização do tempo é dada por uma função do
ângulo θ̃. Com este circuito e as portas lógicas definidas acima podemos estabelecer qual
deve ser sua implementação com fótons.
Para o circuito lógico mostrado na Figura 4.94 é mais conveniente usarmos o qbit
de modo espacial como o sistema S e a polarização como o reservatório R. Percebemos
inicialmente que:
Ry (θ̃) |0i = cos(θ̃/2) |0i + sin(θ̃/2) |1i
UHW P (θ) |Hi = cos(2θ) |Hi + sin(2θ) |V i ;
(4.95)
sendo assim podemos usar a placa HWP com o ângulo θ = θ̃/4 para criarmos a rotação
em torno de y desejada. Para que essa rotação seja controlada pelo |1i basta colocarmos
essa placa somente no modo 1. A porta CNOT Polarização Modo Espacial pode ser
obtida através do PBS, como explicado anteriormente.
O interferômetro então sugerido é mostrado na Figura 4.17. O mapa de decaimento
de amplitude neste circuito óptico é obtido da seguinte forma: o estado |0Hi passa
inalterado pelo PBS e é então analisado. Já o estado |1Hi é rodado pela placa HW P (θ)
e evolui para |1i ⊗ (cos(2θ) |Hi + sin(2θ) |V i); após os PBS’s temos então cos(2θ) |1Hi +
sin(2θ) |0V i. Realizamos completamente o mapa 4.13 se tomarmos θ = θ̃/4, ou ainda,
p = sin2 (2θ). Note que é fundamental para essa realização que o mapa simulado seja
de temperatura nula, ou seja, que o estado inicial do reservatório-ancilla seja |Hi; do
contrário terı́amos perdas no PBS do modo 0.
Analisador de
Modo
PBS
|0i
|1i
HW P (θ)
PBS
$
%
Detector
Figura 4.17: Interferômetro para realização do reservatório de amplitude para um qbit.
O analisador de modo espacial e o detector são usados para fazer as diferentes medidas
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
75
necessárias para reconstruir a matriz densidade do estado de modo espacial, ou seja,
tomando o traço nas variáveis de polarização. Esta tomografia de estados de modo
espacial ainda não foi desenvolvida e é assunto de estudo atual no laboratório de Óptica
Quântica do IF-UFRJ e tem como seu principal pesquisador o aluno Daniel Tasca [78].
Por esse motivo escolhemos no que segue o qbit de S como sendo o de polarização e o
de R como sendo o de modo espacial, neste caso sabemos como fazer a tomografia dos
estados do qbit de polarização A. Ficará claro porém que a implementação com essa
escolha é mais trabalhosa.
O circuito mostrado na Figura 4.16 não é conveniente se exigimos que o estado de S
seja descrito pela polarização do fóton. Isto porque para fazermos a rotação controlada
pela polarização precisarı́amos antes separar em modos espaciais diferentes os dois elementos dessa base, o que implica em uma porta prévia. Um outro circuito que realiza o
mesmo mapa de decaimento de amplitude é introduzido na Figura 4.18.
ρS
•
Ry (−θ̃)
•
|0iR
•
Figura 4.18: Circuito Quântico para a realização do mapa de decaimento amplitude. Ry (−θ̃) = eiσy θ̃/2 ,
uma rotação de θ̃ ao redor do eixo y, onde sin2 (−θ̃/2) = p.
Nesta configuração sugerimos então a implementação mostrada na figura 4.19. As
portas CNOT’s Polarização-Modo Espacial são realizadas pelos PBS’s e rotação controlada é feita pela placa de meia-onda.
P BS
....
....
....
....
.
(α |Hi + β |V i) |0i
Analisador
de
Polarização
....
....
....
....
.
..
..
..
...
.
..
..
..
..
HW P (−θ)
|1i
P BS
!
....
....
....
Detector
....
.
|0i
Figura 4.19: Implementação experimental do mapa de decaimento de amplitude para fótons.
Neste circuito óptico, o estado |Hi |0i passa pelo primeiro PBS inalterado, e da
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
76
mesma forma pelo segundo. Construı́mos assim a primeira parte do mapa (4.94). Já
o estado |V i |0i é totalmente refletido no primeiro PBS. A placa HW P faz a rotação
condicionada em torno do eixo y e sua orientação pode ser controlada de forma a produzir rotações em diferentes ângulos, neste ponto o estado composto é descrito por
(cos(2θ) |V i+sin(2θ) |Hi) |1i. No PBS final o estado de polarização vertical é novamente
refletido e o horizontal transmitido, recolocando assim o estado |V i no modo |0i, ou seja,
o estado após o circuito é cos(2θ) |V i |0i + sin(2θ) |Hi |1i. Desta forma construı́mos completamente o mapa do decaimento de amplitude, onde tomamos p = sin2 (2θ).
Para um estado geral podemos assim simular o decaimento de amplitude pela medida
da polarização independentemente do estado de modo espacial. Isto significa que estamos
tomando o traço em relação ao grau de liberdade de modo espacial; como em geral a
dinâmica emaranha os diferentes graus de liberdade o estado de polarização vai ter sua
pureza reduzida.
Decaimento de Fase
Para realizarmos experimentalmente a dinâmica de decaimento de fase, notamos que o
mapa dessa dinâmica, Eq.(4.24), é muito semelhante ao do decaimento de amplitude,
Eq.(4.13). A diferença, como esperado, está no fato de não haver troca de excitações
entre o sistema S e o reservatório R, o que implica que o estado |1iS se emaranha com
o reservatório porém sem decair. O circuito lógico, apropriado para a codificação usada,
é então facilmente obtido e é mostrado na Figura 4.20.
ρS
•
Ry (−θ̃)
•
|0iR
•
•
Figura 4.20: Circuito Quântico para a realização do mapa de decaimento de fase. Ry (−θ̃) = eiσy θ̃/2 ,
uma rotação de θ̃ ao redor do eixo y, onde sin2 (−θ̃/2) = p.
É então fácil propor o interferômetro para esta dinâmica, bastando adicionar uma
porta CNOT Modo Espacial→Polarização que, como já vimos, é obtida por uma placa
de meia-onda orientada em π/4. O interferômetro é mostrado na Figura 4.21.
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
77
P BS
....
....
....
....
.
(α |Hi + β |V i) |0i
Analisador
de
Polarização
HW P
. (π/4)
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
.
....
....
....
....
.
HW P (−θ)
P BS
.
..
..
..
.
..
..
..
..
!
....
....
....
Detector
....
..
Figura 4.21: Implementação experimental do mapa de decaimento de fase para fótons.
Bit-Flip
O erro de bit-flip, como podemos perceber, é semelhante ao reservatório de amplitude.
Neste caso no entanto podemos tanto ter o erro |1i → |0i como |0i → |1i. Esta diferença
nos indica que a rotação agora deve ser feita nos dois estados, note no entanto que a
rotação deve ser em direções opostas. O circuito lógico que representa o mapa de Bit-Flip
é mostrado na Figura.4.22.
ρS
•
Ry (θ̃)
Ry (−θ̃)
•
|0iR
•
Figura 4.22: Circuito Quântico para a realização do mapa de Bit-Flip. Ry (θ̃) = e−iσy θ̃/2 , uma rotação
de θ̃ ao redor do eixo y, onde sin2 (θ̃/2) = p/2 e a bola aberta significa o controle no estado |0i.
Podemos novamente construir o circuito óptico diretamente do circuito lógico. A
proposta de implementação é mostrada na Figura.4.23.
Experimentalmente, para variar o p nesse caso, teremos que rodar as duas placas em
direções opostas. Esta prática, além de consumir mais tempo, pode levar a um maior
erro. Uma forma de minimizar isso é usar a identidade:
=
X
•
X
No interferômetro isso significa mudar a polarização em um dos modos antes da placa
HW P e depois retornar para a polarização anterior. Dessa forma fazemos as rotações
para o mesmo lado. Podem até mesmo serem realizadas por uma só placa de meia-onda
que passe pelos dois caminhos do interferômetro, minimizando assim os erros.
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
P BS
78
HW P. (θ)
.
..
..
..
.
.
..
..
..
..
(α |Hi + β |V i) |0i
....
....
....
....
.
Analisador
de
Polarização
..
..
..
..
.
.
..
..
..
..
....
....
....
....
.
HW P (−θ)
P BS
!
....
....
....
Detector
...
..
Figura 4.23: Implementação experimental do mapa de Bit-Flip para fótons.
Fase-Flip
O erro de Fase-Flip é mais facilmente implementado uma vez que as rotações são todas
para a mesma direção. O circuito lógico que simula o erro de Fase-Flip é mostrado na
Figura 4.24.
ρS
•
|0iR
Ry (θ̃)
•
•
Figura 4.24: Circuito Quântico para a realização do mapa de Fase-Flip. Ry (θ̃) = e−iσy θ̃/2 , uma
rotação de θ̃ ao redor do eixo y, onde sin2 (θ̃/2) = p/2.
O interferômetro é agora também facilmente obtido e é ilustrado na Figura 4.25.
P BS
(α |Hi + β |V i) |0i
HW P. (θ)
.
..
..
..
.
.
..
..
..
..
....
....
....
....
.
Analisador
de
Polarização
....
....
....
....
.
..
..
..
..
.
.
..
..
..
..
HW P (θ)
P BS
!
....
....
....
Detector
...
..
.
..
..
..
...
.
..
..
..
..
HW P (π/4)
Figura 4.25: Implementação experimental do mapa de Fase-Flip para fótons.
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
79
Bit-Fase-Flip
Finalmente o erro de Bit-Fase-Flip pode ser obtido utilizando a porta de fase S como
indicado no circuito lógico da Figura 4.26.
ρS
•
|0iR
Ry (θ̃)
S
•
•
•
Figura 4.26: Circuito Quântico para a realização do mapa de Bit-Fase-Flip. Ry (θ̃) = e−iσy θ̃/2 , uma
rotação de θ̃ ao redor do eixo y, onde sin2 (θ̃/2) = p/2.
Esse circuito pode ser experimentalmente realizado com o arranjo mostrado na figura 4.27.
P BS HW P.. (θ) QW P.. (0)
.
..
..
..
..
.
..
..
..
(α |Hi + β |V i) |0i
.
..
..
..
..
.
..
..
..
....
....
....
....
.
Analisador
de
Polarização
..
..
..
....
..
....
.
.
....
.... ...
. ..
..
..
HW P (θ)
.
..
..
..
...
.
..
..
..
..
.
..
..
..
...
.
..
..
..
..
.
..
..
..
...
.
..
..
..
..
QW P (0)
P BS
!
....
....
....
Detector
...
..
?
HW P (π/4)
Figura 4.27: Implementação experimental do mapa de Bit-Fase-Flip para fótons.
Possivelmente existe uma implementação mais simples, juntando por exemplo as
diversas placas de onda em uma só placa efetiva, no entanto apresentamos esse esquema
pois assim fica clara a conexão entre os circuitos lógicos e os interferômetros. Lembramos
que todos esses circuitos seriam mais facilmente realizados se tivéssemos usado os qbits
de S como sendo os dois caminhos e as polarizações como reservatório.
Com este circuito final mostramos que todas as dinâmicas de descoerência e erros
aqui analisadas podem ser simuladas com óptica linear e com um mesmo interferômetro.
Para tal usamos o hiperemaranhamento entre polarização e modo espacial de um só
fóton e os diferentes objetos ópticos disponı́veis usualmente.
4.4. Implementação Experimental com Óptica Linear
4.4.3
80
Interferômetros de Decaimento - 2 Qbits
Reservatórios Individuais
Para dois qbits com reservatórios individuais, assim como ocorreu com os mapas, podemos construir o circuito lógico através do circuito para um qbit, bastando para isso
repetir o circuito para cada qbit. Dessa forma podemos estudar a dinâmica global, ou
seja, como varia o emaranhamento segundo os mapas de descoerência ou erros.
Experimentalmente podemos utilizar os dois fótons produzidos na conversão paramétrica espontânea descendente (SPDC). Esses fótons podem ser produzidos em um
estado emaranhado tanto de polarização quanto de modo espacial. Para os esquemas
aqui propostos usamos estados emaranhados de polarização multiplicados por estados
produtos dos estados de modo espacial do dois fótons.
Exemplificamos essa abordagem somente com o mapa de decaimento de amplitude
para dois qbits; o mesmo pode ser feito para os demais mapas.
Temos assim o circuito lógico apresentado na Fig.(4.28). Note que o fato dos reservatórios serem individuais fica bastante claro neste circuito lógico, uma vez que as linhas
pares formam um circuito completamente independente das linhas ı́mpares.
ρS
Ry,1 (−θ˜1 )
•
Ry,2 (−θ˜2 )
•
|0iR
|0iR
•
•
•
•
Figura 4.28: Circuito Quântico para a realização do mapa de decaimento amplitude para dois qbits
˜ = eiσy,i θ˜i /2 , uma rotação de θ̃ ao redor do eixo y do qbit i, onde
com reservatórios individuais. Ry,i (−θ)
sin2 (−θ˜i /2) = pi .
A implementação experimental com óptica linear é então óbvia, bastando repetir
o circuito apresentado na Fig. 4.19 para cada um dos qbits do estado. Um estado
arbitrário de dois qbits de polarização pode ser criado através da conversão paramétrica
descendente e de operações unitárias locais. O esquema experimental é mostrado na
Figura 4.29 6 .
A medida tomográfica do estado conjunto de polarização dos dois fótons, indepen6
Figura gentilmente cedida pelo Marcelo Almeida. Aliás, todas as figuras mais elaboradas desse
capı́tulo são cortesia do Marcelo.
4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados
PBS
81
D1
λ/2
λ/4
λ/2
state analyzer
PBS
PBS
λ/2
λ/4
PBS
nsator
compe
compe
nsator
PBS
λ/2
D2
Figura 4.29: Implementação experimental do mapa de decaimento de amplitude para 2 qbits com
reservatórios individuais
dente do modo espacial, mostra tanto o comportamento de decaimento local quanto o
global. Em princı́pio, se somente nos interessamos pelo decaimento do emaranhamento
de estados da classe α |00i + β |11i podemos medir a testemunha proposta WN .
4.5
Realização Experimental: Descrição e Resultados
Esse experimento foi realizado no laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ. O arranjo
experimental implementado é ilustrado na Figura 4.31. Descreveremos aqui de forma
breve a implementação e alguns dos resultados obtidos.
O estado fotonico é criado pelo processo de conversão paramétrica descendente espontânea [79] em dois cristais não-linear tipo I, ver Fig. 4.30.
Os dois cristais possuem os eixos alinhados perpendicularmente de tal forma que
um deles produza somente o estado |HHi e o outro somente o estado |V V i. A proporção de cada uma dessas componentes é obtida através da polarização do feixe de
entrada (“pump-beam”); desta forma se temos por exemplo o feixe de bombeio em
uma super-posição balanceada de |Hi e |V i vamos ter um estado da forma (|HHi +
√
exp(iφ) |V V i)/ 2 ⊗ |00i. De forma geral as amplitudes podem ser controladas por uma
4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados
82
Figura 4.30: Processo de criação dos fótons gêmeos através da conversão paramétrica espontânea
descendente em dois cristais não lineares do tipo I.
HWP e a fase por uma QWP no feixe de bombeio, dando a possibilidade de criar qualquer estado do tipo (|α| |HHi + |β| exp (iφ) |V V i) ⊗ |00i, onde |00i é o estado inicial dos
qbits de modo espacial. Estados gerais de polarização podem ser criados após criação
dos fótons gêmeos por transformações locais. De forma geral, a placa de HWP determina
o emaranhamento do estado de polarização inicial e transformações locais produzem o
estado desejado. Para obter a indistiguibilidade entre os pontos de criação é feita uma
filtragem espacial de modos, onde são selecionados os modos onde há interseção entre os
cones de criação de fótons dos dois cristais. É só nesse momento que é definido o estado
|00i dos qbits de modo espacial. Todo esse processo é claramente sujeito à imperfeições
e o estado criado experimentalmente não é totalmente puro.
Nessa implementação foi usado o interferômetro de Sagnac, diferentemente do proposto na Figura 4.29. No presente caso a polarização H percorre um caminho antihorário; já a polarização V percorre um caminho horário, como mostrado na Figura 4.32.
Foi escolhido esse tipo de interferômetro pois sua estabilidade é maior, uma vez que o
caminho percorrido pelas duas polarizações é garantido ser o mesmo simplesmente pela
geometria do interferômetro.
O mapa de decaimento de amplitude é então aplicado da mesma forma que explicado
anteriormente; a variação do ângulo da placa HWP dentro do interferômetro nos dá a
variação em p. Finalmente o estado é coletado e é feita a tomografia do grau de liberdade
de polarização dos dois fótons, sem medirmos o grau de liberdade de modo espacial.
Foi desenvolvido para essa tomografia um analisador de duas portas, como mostrado
em detalhe na Figura 4.32. O processo tomográfico consiste em calcular a projeção
do estado dos fótons nos 16 vetores necessários para se realizar a tomografia, como
4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados
83
Figura 4.31: Implementação realizada experimentalmente do mapa de decaimento de amplitude para
2 qbits com reservatórios individuais.
mostrado no apêndice A. Para entendermos o processo tomográfico realizado pensemos
por um instante na análise tomográfica de um só fóton. De forma geral podemos escrever
√
√
o estado puro de um qbit de polarização como λ |ψν i + 1 − λ ψν⊥ , onde |ψν i é o
projetor sendo medido e ψν⊥ é o estado ortogonal a ele. As placas HWP e QWP são tais
√
√
que transformam esse estado em λ |Hi + 1 − λ |V i, todos os fótons com polarização
H devem então ser detectados, o que nos dá a projeção do estado em |ψν i. No entanto,
como temos agora dois modos e a abertura do detector é finita, foi usado um PBS para
reunir, de modo incoerente, as amplitudes de probabilidade dos dois caminhos; como
o PBS sempre transmite a polarização H temos que rodar a polarização do fóton no
modo b de π, isso é obtido com uma HWP(45◦ ). Dessa forma são coletados todos os
fótons com polarização H. No caso mais geral, quando temos um estado mistura para o
fóton incidente, essa análise pode ser extendida para cada estado puro da decomposição
do estado mistura. Mais ainda, essa análise é válida mesmo para a tomografia dos dois
fótons, uma vez que as medidas são locais em cada um. Neste caso porém, como queremos
medir também as correlações, só serão contabilizadas as medidas em coincidência.
É importante enfatizar que a recombinação dos modos deve ser incoerente, uma
4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados
84
Figura 4.32: Detalhe do reservatório para cada qbit e do analisador de polarização de duas portas.
vez que os modos representam os estados ortogonais do reservatório e, além disso, por
que queremos fazer uma medida do estado de polarização independentemente do estado
de modo espacial, ou seja, tomando o traço em relação à esse grau de liberdade. Isso é
experimentalmente obtido através do mapeamento do grau de liberdade de modo espacial
no grau de liberdade de tempo, uma vez que os caminhos no interferômetro de análise
tomográfica são desbalanceados. A diferença entre os caminhos deve ser maior do que
o comprimento de coerência dos fótons gêmeos, o qual é selecionado pelos filtros de
interferência para serem da ordem de 0.1mm, mas deve ser menor do que a janela de
detecção em coincidência, aproximadamente 5ns.
Apresentamos agora alguns resultados já obtidos. O primeiro passo é caracterizar
os reservatórios individuais. Para isso usamos como estado inicial um estado produto e
fazemos a tomografia de cada qbit de polarização. Os resultados obtidos para um dos
braços do interferômetro, ou seja, para um reservatório, são mostrados na Figura 4.33.
Na primeira linha da Figura 4.33 mostramos o comportamento do estado inicial |Hi.
Esse estado corresponde ao estado fundamental e sendo assim não deve ter sua população
alterada. A tomografia do canto esquerdo mostra que de fato o estado |Hi é produzido
inicialmente, com pureza da ordem de 90%. Vemos que a probabilidade de medirmos
|Hi e também a pureza não variam com p, como esperado. Na segunda linha vemos a
reconstrução do estado |V i que corresponde ao estado excitado. Vemos que a probabilidade de detectar a polarização V decai linearmente com p, ou seja, exponencialmente
4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados
85
Figura 4.33: Resultados obtidos em um dos braços do interferômetro para a dinâmica de 1-qbit sujeito
ao reservatório de amplitude.
com t, evidenciando assim a principal caracterı́stica do reservatório de amplitude. A
pureza desse estado é inicialmente alta e diminui conforme o estado se emaranha com
o reservatório. Como mostrado anteriormente, esse emaranhamento começa a diminuir
no momento em que a probabilidade de medir H se torna maior que a probabilidade
de medir V . A pureza novamente fica da ordem de um quando em p = 1 (t → ∞) o
estado vai para o nı́vel fundamental. Essa análise também foi feita para o outro ramo
do interferômetro e resultados semalhantes são obtidos.
Para estudarmos a dinâmica do emaranhamento foram criados estados emaranhados
a partir do processo de conversão paramétrica espontânea. Podemos variar entre os
casos de interesse, |α| > |β| e |α| < |β| variando o ângulo da placa de meia onda antes
do cristal não-linear.
A tomografia do estado inicial com |α| < |β| é mostrada na Figura 4.34. Para este
estado temos C = 0.8185 ± 0.04 e a pureza P = 0.973 ± 0.036.
4.5. Realização Experimental: Descrição e Resultados
a
86
b
Figura 4.34: Representação gráfica da matriz densidade reconstruı́da.a) Parte Real. b0 Parte Imaginária.
A matriz densidade reconstruida foi:


0.2333
−0.0041 − 0.0254i 0.0280 + 0.0120i 0.4033 − 0.0676i




 −0.0041 + 0.0254i
0.0050
−0.0035 + 0.0031i 0.0094 + 0.0447i 

.
ρ=

 0.0280 − 0.0120i −0.0035 − 0.0031i
0.0053
0.0376 − 0.0297i 


0.4033 + 0.0676i
0.0094 − 0.0447i
0.0376 + 0.0297i
0.7564
(4.96)
Para esse estado temos que α é aproximadamente três vezes menor do que β. Esperamos
então decaimento em tempo finito do seu emaranhamento.
No outro caso, |α| > |β|, temos a seguinte matriz densidade:


0.6934
−0.1223 + 0.0306i 0.0868 + 0.1119i
0.2770 + 0.2478i




 −0.1223 − 0.0306i
0.0287
−0.0114 − 0.0224i −0.0400 − 0.0391i 

.
ρ=

 0.0868 − 0.1119i −0.0114 + 0.0224i
0.0293
0.0783 − 0.0162i 


0.2770 − 0.2478i −0.0400 + 0.0391i 0.0783 + 0.0162i
0.2486
(4.97)
Para esse estado temos C = 0.792 ± 0.103 e a pureza P = 0.913 ± 0.073. Neste caso
α é aproximadamente três vezes maior do que β, ou seja, esperamos um decaimento
assintótico do emaranhamento.
A dinâmica do emaranhamento para esses dois estados é comparada no gráfico da Figura 4.35. Nesse gráfico vemos claramente a diferença entre os dois comportamentos. Os
pontos negativos significam emaranhamento nulo,e são mostrados aqui para conferência
4.6. Conclusões
87
da dinâmica prevista com a dinâmica obtida experimentalmente. Fica assim experimentalmente comprovado o decaimento em tempo finito do emaranhamento, mostrando a
diferença entre as dinâmicas locais e globais..
Concurrence
0.8
0.6
0.4
0.2
0
p
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 4.35: Dinâmica do emaranhamento para os casos de decaimento em tempo finito e assintótico.
A curva em vermelho (azul) representa a previsão teórica para a evolução do emaranhamento dado o
estado inicial com |α| < |β| (|α| > |β|). Os pontos são as medidas experimentais para cada caso.
Analisamos também a dinâmica da pureza dos dois estados. Esse resultado é mostrado na Figura 4.36.
Podemos observar que para o caso onde o emaranhamento decai em tempo finito a
pureza atinge valores mais baixos, o que se deve ao maior emaranhamento do estado do
sistema com o reservatório. Isso acontece devido à maior parcela de |HHi no estado
quando |α| > |β|.
Outros tipos de reservatório estão sendo implementados experimentalmente no laboratório de óptica quântica do IF-UFRJ e em breve os resultados serão publicados.
4.6
Conclusões
Em conclusão, mostramos como implementar com óptica linear e hiper-emaranhamento
diversas dinâmicas dissipativas. Nessas dinâmicas o emaranhamento atua como canal de
4.6. Conclusões
88
Purity
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
Figura 4.36: Dinâmica da Pureza. A curva em vermelho (azul) representa a previsão teórica para
a evolução da pureza dado o estado inicial com |α| < |β| (|α| > |β|). Os pontos são as medidas
experimentais para cada caso.
transferência de informação do sistema principal para o reservatório. Mostramos também
como implementar experimentos para acompanhar a evolução do emaranhamento entre
dois qbits quando estes estão inseridos em diversos reservatórios individuais. Para esse
tipo de dinâmica é esperado que o emaranhamento possa decair em alguns casos, em
um tempo finito, diferentemente das coerências de partı́cula única, as quais decaem
assintoticamente.
Os experimentos aqui propostos podem ser todos realizados com um mesmo interferômetro, somente com a inclusão/modificação de placas de onda. Experimentos desse
tipo estão sendo realizados no laboratório de Óptica Quântica do IF-UFRJ e já comprovam as previsões aqui formuladas. Os resultados aqui mostrados constituem a primeira
observação experimental do decaimento em tempo finito do emaranhamento.
Outras possibilidades interessantes de estudo futuro são os reservatórios conjuntos,
onde pode haver interação entre os qbits via reservatório, reservatórios a temperatura
finita e evolução dinâmica da fase de Berry em sistemas dissipativos.
89
Capı́tulo 5
Qbit Super-condutor: Medida da
Função de Wigner
Resumo do Capı́tulo
Este capı́tulo tem um caráter mais prático do que os demais. Apresentamos um protocolo
de medida da função de Wigner do campo Eletromagnético aprisionado em um cavidade
super-condutora uni-dimensional. Para isso utilizamos o acoplamento do campo com um
qbit super-condutor dentro da cavidade, e as diversas dinâmicas possı́veis. O emaranhamento é utilizado aqui para transferir a informação do campo para o qbit super-condutor,
onde realizamos as medidas.
Esse trabalho foi realizado em colaboração com: Leandro Aolita, Fabrı́cio Toscano e
Luiz Davidovich.
5.1
Introdução
Várias são as possı́veis plataformas experimentais para a realização dos protocolos de
informação/computação quântica [7]. Alguns exemplos são: átomos em cavidades (“cavity Quantum Electro-Dynamics” - cQED) [80], fótons gêmeos [81], ı́ons aprisionados [82]
entre outros; onde cada uma delas possui suas vantagens e desvantagens. Quando pensamos realmente na construção de um computador quântico várias são as caracterı́sticas
que devem ser satisfeitas. DiVincenzo formalizou essas caracterı́sticas essenciais com
cinco critérios necessários e independentes da implementação [83], são eles:
5.1. Introdução
90
1. Um sistema fı́sico escalável e com qbits bem caracterizados;
2. Habilidade de inicializar os qbits em um estado simples como |000 . . .i;
3. Tempos de descoerência longos quando comparados com os tempos das portas
lógicas;
4. Um conjunto universal de portas lógicas;
5. Capacidade de medida do qbit.
Nenhuma das implementações acima citadas satisfazem todos esses critérios. Devemos destacar no entanto a implementação com ı́ons aprisionados que tem a escalabilidade
como seu maior desafio.
Nesta gama de possibilidades surgem os qbits super-condutores, veja a referência [84]
para uma ótima revisão. Nessa implementação são utilizados os estados macroscópicos
dos super-condutores como qbits, como será melhor explicado no decorrer do capı́tulo.
Para esses sistemas já foi experimentalmente demonstrado o controle de 1 qbit [85, 86,
87], portas controladas entre dois qbits [88, 89] e eficientes métodos de medida do estado
do qbit [90, 84]. Desta forma, dos critérios acima mencionados, somente os tempos
de descoerência ainda são uma questão aberta. Outra vantagem dessa implementação
é ter fácil correspondência com a tecnologia atual baseada em silı́cio. Destacamos a
necessidade de baixas temperaturas como sua principal desvantagem.
Para computação quântica somente os critério acima são suficientes. No entanto, se
queremos explorar todas as possibilidades de processamento quântico, também se torna
importante a comunicação quântica. Processos como teletransporte [11, 81], códificação
densa [91, 92] e criptografia quântica [93, 94] são bons exemplos dessas possibilidades
quânticas de comunicação. Dois critérios extras foram então concebidos por DiVincenzo [83] para contemplar a comunicação quântica:
6. Habilidade de transferir informação entre qbits estacionários e qbits “voadores”
7. Habilidade de transmitir qbits “voadores”
Com essas perspectivas o qbit super-condutor é então colocado dentro de uma cavidade super-condutora [95, 96, 97]. O campo na cavidade pode fazer as vezes do qbit
voador e comunicar dois qbits super-condutores distantes.
5.1. Introdução
91
Apesar de não ser nossa intenção mostrar a viabilidade da implementação de computação quântica com qbits super-condutores, nosso trabalho está ligado diretamente ao
item 6. Mostramos como através do emaranhamento podemos transmitir a informação
do campo dentro da cavidade para o qbit super-condutor. De forma geral mostramos
como qualquer estado do campo eletromagnético pode ser medido diretamente através
de medidas no qbit não ficando assim restrito ao contexto da computação quântica mas
também abrangendo a informação quântica.
Vale também ressaltar que este estudo une a Óptica Quântica com a área de Matéria
Condensada, devido à analogia do sistema de átomos em cavidades [80] com os qbitssupercondutores em cavidades uni-dimensionais. A medida direta da função de Wigner
para o campo de micro-ondas em cavidades 3-D de alto fator de qualidade (Q) foi primeiramente proposta por Lutterbach e Davidovich na ref.[98], posteriormente realizada
experimentalmente como mostrado na referência [99]. Nesse experimento átomos de
Rydberg passam pela cavidade e dois de seus nı́veis interagem dispersivamente com o
campo na cavidade, transferindo a informação do campo para o sistema atômico. Este é
depois medido e através da estatı́stica da população de seus dois nı́veis pode-se reconstruir a função de Wigner do campo. Essa analogia será mais enfatizada no decorrer do
capı́tulo.
O protocolo proposto na Ref.[98] não pode no entanto ser diretamente aplicado aos
qbits super-condutores na cavidade 1-D, uma vez que estes qbits estão sempre na cavidade e a interação com o campo não pode ser desligada totalmente. Mostramos que
ainda assim, com algumas mudanças, podemos medir a função de Wigner na cavidade
super-condutora 1-D através da medida direta do qbit [100].
A função de Wigner contem toda a informação sobre o estado do campo, dessa
forma mostramos como o qbit “voador” pode ser lido através do quibt “fixo”. Mais
ainda, através dessa medida podemos estudar os efeitos de descoerência na cavidade e a
transição quântico-clássico [101].
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
5.2
92
Qbit e Cavidade Supercondutores
5.2.1
Qbits Supercondutores
Como já mencionado, este tipo de qbit utiliza estados macroscópicos dos supercondutores
[102] e do efeito Josephson [103] para construir o sistema de dois nı́veis. A junção
Josephson é formada pela união de dois supercondutores através de um isolante. O qbit
é obtido pelo excesso de um par de Cooper em um dos lados supercondutores, e pelo
tunelamento coerente deste par através da barreira isolante (ver Fig. 5.1). Note que
esses estados, por serem super-condutores, contam com um número macroscópico de
elétrons.
Figura 5.1: Ilustração da Junção Josephson. a) O excesso de carga em um dos lados super-condutores
serve de qbit. N ∼ 108 pares de Cooper e a área da junção é da ordem de 1µm2 . b) Função de onda do
estado simétrico e anti-simétrico (observar a queda exponencial dentro do isolante).
A grande vantagem deste tipo de qbit é que os estados excitados estão separados do
nı́vel fundamental pelo gap do super-condutor (2∆ ∼ 1M eV ). Isso traz uma “proteção”
dos estados contra a descoerência. Claramente essa proteção só é obtida nas baixas
temperaturas (∼ 5K) necessárias para o fenômeno de super-condutividade.
Mostraremos agora como são formados os qbits supercondutores [95, 97]. Existem
vários tipos de qbits supercondutores, a saber: qbits de carga, de fluxo e de fase [84].
Especializamos para o caso dos qbits de carga.
A união de uma ilha super-condutora com a terra através de uma junção Josephson
nos dá o qbit super-condutor (ver Fig. 5.2).
Sendo N o número de pares de Cooper na ilha, ou seja 2N elétrons, e sendo V o
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
93
Figura 5.2: Qbit super-condutor. Caixa super-condutora com N pares de Cooper ligada ao potencial
nulo por uma junção Josephson (representado aqui por quadrado com uma cruz). Vg e Cg servem para
controlar os parâmetros do qbit.
potencial na mesma, podemos determinar a energia de carga do circuito notando que:
−2N e = Cg (V − Vg ) + Cj V ;
⇒ V (N ) =
Cg Vg −2N e
;
CΣ
(5.1)
(5.2)
onde CΣ = Cg + Cj . Sendo assim, a energia necessária para mover n pares de Cooper
para dentro da ilha é dada por:
E(N + n) − E(N ) = −2e
Z
n
V (N + n′ )dn′ =
0
2e2 n2 + 4e2 N n − 2eCg Vg n
.
CΣ
(5.3)
Como N é arbitrário, podemos fazer N=0 na equação acima e definir o zero de energia
2
Cg Vg 2
. Assim temos:
tal que E(0) = 2e
CΣ
2e
E(n) = 4EC (n − ng )2 ;
(5.4)
onde EC = e2 /2CΣ , ng = Cg Vg /2e e n representa o excesso de carga na ilha. Esta é
então a energia de carga do circuito.
A junção Josephson nos dá uma energia potencial EJ = EJ0 cos Θ, onde Θ é a fase
relativa entre os estados de cada lado da junção. A energia do circuito é então:
E = 4EC (n − ng )2 − EJ0 cos Θ.
(5.5)
Considerado n, o excesso de pares de Cooper na ilha, e Θ, o parâmetro de ordem,
como operadores temos a quantização do circuito. Os operadores são canonicamente
conjugados, n = −i~∂/∂(~Θ).
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
94
Se EC ≫ EJ , a melhor base para tratarmos esse sistema é a de carga. Sendo assim,
o hamiltoniano da junção é dado por:
Z 2π
dΘ
0
cos Θ|ΘihΘ|
HJ = −EJ
2π
0
X Z 2π dΘ
= −EJ0
|n1 ihn1 |ΘihΘ|n2 ihn2 | cos Θ
2π
0
n1 ,n2
iΘ
X Z 2π dΘ
e + e−iΘ
= −EJ0
e−i(n1 −n2 )Θ
|n1 ihn2 |
2π
2
0
n ,n
1
= −
EJ0
2
2
X
(|nihn + 1| + |n + 1ihn|).
(5.6)
n
O hamiltoniano total na base de carga é:
X
EJ0
2
H=
4EC (n − ng ) |nihn| −
(|nihn + 1| + |n + 1ihn|) .
2
n
(5.7)
Os autovalores de energia estão mostrados na Fig. 5.3. Vemos que o efeito de
introduzir a junção é quebrar a degenerescência quando ng é semi-inteiro. Com isso
temos a criação dos nı́veis simétrico e anti-simétrico (ver Fig. 5.1). Mais ainda, se
nos restringimos aos parâmetros {n, ng } ∈ [0, 1] temos um sistema de dois nı́veis e seu
hamiltoniano pode ser reescrito como:
H = −δEC
E0
σz
− J σx ;
2
2
(5.8)
onde δEC = 4EC (1 − 2ng ).
a)
b)
Figura 5.3: a) Autovalores do hamiltoniano. b) detalhe da quebra da degenerescência entre os nı́veis
devido à junção. A diferença entre os nı́veis, para ng semi-inteiro é EJ0 .
Além disso, se usarmos duas junções Josephson ao invés de uma podemos controlar
EJ com um fluxo (ver Fig. 5.4). Neste caso EJ0 → EJ0 cos(πΦ/Φ0 ), onde φ0 = h/2e.
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
95
Desta forma podemos controlar, possivelmente durante o experimento, todas as partes
do hamiltoniano. Mudando ng , através de Vg , mudamos a parte diagonal; variando o
fluxo mudamos o acoplamento entre os nı́veis. Esta flexibilidade do hamiltoniano, ”em
tempo real”, é um diferencial destes qbits. Isto proporciona uma grande variedade de
dinâmicas, e é uma de suas grandes vantagens. Este tipo de qbit é comumente chamado
de “caixa de pares de Cooper” (Cooper pair box).
Figura 5.4: Qbit super-condutor com duas junções Josephson. Com este arranjo podemos controlar o
valor de EJ com um fluxo externo Φ que passa pelo anel formado pelas junções.
5.2.2
Cavidade Super-condutora 1-D
A cavidade super-condutora é mostrada na Figura 5.5. A linha central serve de guiade-onda para o campo eletromagnético. Este, por sua vez, é “aprisionado” na cavidade
pelas duas descontinuidades dessa linha; estas descontinuidades atuam como capacitores,
de capacitâncias C0 , e são equivalentes aos espelhos na implemtentação de cQED.
O campo dentro da cavidade é então acoplado capacitivamente com o meio externo; o
controle dessa capacitância determina o quão isolado está o campo, exigindo um compro-
Figura 5.5: Cavidade 1-D com o qbit no centro e o respectivo circuito equivalente.
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
96
misso entre o tempo de descoerência e facilidade de injeção de campo. Esse compromisso
aparece em qualquer implementação, quanto mais isolado do reservatório está o qbit mais
difı́cil é o seu acesso. Tanto a medida e/ou manipulação do qbit quanto a descoerência
usam o mesmo canal: o emaranhamento com graus de liberdade externos. Fazer isso de
forma controlada, balanceada, é o grande desafio dos computadores quânticos.
A quantização dos modos da cavidade é feita percebendo que esta pode ser representada por um circuito efetivo como mostrado na Fig. 5.6. O circuito equivalente
exprime o fato de que a cavidade atua como um antena, só permitindo a transmissão de
determinadas freqüências [97, 104].
Figura 5.6: Circuito equivalente do ressonador com os elementos de circuito infinitesimais, onde l é a indutância, c a capacitância, in o n-ésimo elemento de corrente e qn o
n-ésimo elemento de carga.
Sem levar em conta, por um momento, o qbit dentro da cavidade, podemos escrever
para o circuito equivalente (ver fig.5.6) a seguinte lagrangiana:
X li2
qn2
n
L=
−
.
2
2c
n
(5.9)
P
Notando que q̇n = in−1 − in , então in = − nm=1 q̇m . A lagrangiana fica então:
"
#
X l (Pn q̇m )2 q 2
m=1
− n .
L=
(5.10)
2
2c
n
Passando para o limite do contı́nuo, podemos definir uma variável coletiva que corresponde ao acúmulo de carga:
Θ(x, t) =
Z
x
dx′ q(x′ , t).
(5.11)
−L/2
Para esta variável temos a seguinte equação de Euler-Lagrange:
1 ∂2Θ
∂2Θ
−
= 0,
∂t2
lc ∂x2
(5.12)
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
97
√
que é uma equação de onda com velocidade v = 1/ lc. Além disso, temos que levar em
conta as condições de contorno nas descontinuidades, capacitores Co , devido à neutralidade de carga, que são Θ(−L/2, t) = Θ(L/2, t) = 0. A solução desta equação é dada
por:
Θ(x, t) =
r
jc 2X
(2j)πx
(2j + 1)πx
+ φ2j (t) sin
,
φ2j+1 (t) cos
L
L
L
(5.13)
j
onde jc é um limite na soma devido ao fato da cavidade não ser exatamente unidimensional. As auto-freqüências são wj = jπv/L.
A parte temporal obedece à seguinte equação:
φ̈j + ωj2 φj = 0,
que é a equação de um oscilador harmônico.
(5.14)
Seguindo a quantização do oscilador
harmônico podemos definir os operadores de criação e aniquilação da seguinte forma:
r
~ωj c L
[âj (t) + â†j (t)];
(5.15)
φ̂j (t) =
2 π
r
~ωj l
π̂j (t) = −i
[âj (t) − â†j (t)],
(5.16)
2
onde πj = lφ̇j (t) é o momento canonicamente conjugado, finalizando assim a quantização
do campo.
Para o acoplamento do qbit com o campo, como veremos na próxima seção, é importante calcularmos o operador potencial elétrico:
V̂ (x, t) =
1 ∂Θ(x, t)
=
c ∂x
jc
X
j
r

 − sin jπx , j ı́mpar
~ωj
†
L
.
[âj (t) + âj (t)]
jπx

Lc
+ cos L , j par
(5.17)
Note que esse é um potencial quântico de corrente alternada (AC).
5.2.3
Acoplamento Qbit-Campo
Podemos agora estudar o efeito de adicionar o qbit na cavidade [95, 96, 97]. Observando
o hamiltoniano da Eq. (5.8) vemos que este depende do potencial através de ng =
Vg Cg /(2e). Desta forma, se adicionamos a este potencial DC o potencial AC do campo
dentro da cavidade dado pela Eq.(5.17) temos o acoplamento entre o campo e o qbit.
Mais ainda, colocando o qbit no centro da cavidade, x = 0, o modo dado por j = 1 é
nulo; levamos então em conta somente o modo j = 2, e os demais modos não vão ser
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
98
excitados pois os campos que serão usados possuem freqüência em torno de ω2 . Com
tudo isso, podemos escrever o hamiltoniano de interação do qbit acoplado ao modo da
cavidade simplesmente fazendo a substituição Vg → Vg + V , tal que:
r
eCg ~ω †
(a + a)(1 − 2ng − σz ),
Hint = −
CΣ Lc
(5.18)
onde não escrevemos o ı́ndice j = 2.
Mudando a base do qbit para a base dos estados de σx (σz → σx , σz → −σz ),
fazendo a aproximação de onda girante e tomando ng = 1/2 temos um hamiltoniano
equivalente ao de Jaynes-Cummings [47]:
H=~
ω0
σz + ~ωa† a − g(σ+ a + σ− a† ),
2
onde ω0 = EJ0 /~ é a freqüência caracterı́stica do qbit e g =
(5.19)
eCg
CΣ
q
~ω
Lc
é a constante
de acoplamento campo-qbit. Ou seja, esse sistema tem sua dinâmica idêntica à de um
átomo interagindo com o campo na cavidade 3-D, onde a freqüência de Rabi é dada por
q
2eCg
~ω
CΣ
Lc .
Podemos ainda somar a esse hamiltoniano a contribuição de um campo externo de
freqüência ωd e amplitude complexa ǫ(t) = ǫR (t) + ǫI (t) lentamente variável, que é fonte
para o campo quantizado e que pode ser modelado pelo seguinte hamiltoniano:
Hd = ~[ǫ(t)a† e−iωd t + ǫ∗ (t)aeiωd t ].
(5.20)
Esse campo externo será necessário nas manipulações do sistema como veremos na
seção 5.4.
Em todo nosso protocolo usaremos a interação dispersiva entre o campo na cavidade
√
e o qbit, ou seja, estaremos no regime onde |g n̄ + 1/∆| ≪ 1, onde n̄ é o número médio
de fótons na cavidade e ∆ ≡ ω0 − ω é a dissintonia entre o modo da cavidade e o qbit.
Dessa forma, usando o método da referência [105], obtemos um hamiltoniano efetivo
em segunda ordem de teoria de pertubação já no referencial de interação que gira com
freqüência ωd :
intωd
He
~ σ,
= ~(ω − ωd )a† a + ~[ǫ(t)a† + ǫ∗ (t)a] + (~/2)Ω.~
(5.21)
onde
h
i
~ = (2g/∆)ǫR (t), −(2g/∆)ǫI (t), ω0 − ωd + (g2 /∆)(2a† a + 1) ,
Ω
(5.22)
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
99
e ~σ = (σx , σy , σz ) é o vetor das matrizes de Pauli.Vemos que o segundo termo do hamiltoniano da Eq. (5.21) gera deslocamentos no campo e o terceiro rotações no qbit, com
~ Os dois termos porém agem ao mesmo tempo pois a
eixo de rotação definido por Ω.
interação entre o modo da cavidade e o qbit não pode ser desligada.
5.2.4
Realização Experimental
Esse sistema já foi implementado experimentalmente[95] e uma fotografia de microscopia
eletrônica da montagem é mostrada na Figura 5.7.
Figura 5.7: Circuito integrado super-condutor. A) Cavidade super-condutora feita de Nióbio sobre
substrato de Silı́cio. B) Detalhe do acoplamento capacitivo. C) Caixa de pares de Cooper, o qbit, com
duas junções Josephson.
A cavidade super-condutora é feita de Nióbio através do processo de litografia sobre um chip de 10 × 3mm2 de Silı́cio. A largura do condutor central é de 10µm e é
separada das placas laterais aterradas por uma distância de 5µm. O capacitor mostrado
na Figura 5.7b) acopla o sistema cavidade-qbit com o meio externo tanto para leitura
quanto escrita. O valor da capacitância define assim o quão isolado está o sistema. A
caixa de pares de Cooper é criada, pelo processo de litografia de feixe de elétrons, sobre
o substrato de Silı́cio entre o condutor central e a placa lateral aterrada. Por fim, as
Junções Josephson são criadas na união entre a ilha super-condutora, fina linha paralela
ao condutor central, e os contatos com a placa aterrada.
Apesar de ter uma dinâmica muito conhecida na área da ótica quântica, esse sistema
tem a parâmetros bastante diferentes, como resumido na tabela 5.2.4. Uma importante
diferença é a freqüência de Rabi (∼ 100M Hz) que é muito maior do que a de átomos em
cavidade (∼ 50kHz), o que faz com que o qbit faça várias oscilações em um tempo mais
5.2. Qbit e Cavidade Supercondutores
100
curto; o que minimiza o fato da vida-média do qbit super-condutor ser muito pequena,
2µs.
Parâmetro
Freqüência da Cavidade
Acoplamento
Vida-média do modo
Vida-média do “átomo”
Número de Oscilações
Sı́mbolo
3D (cQED)
1D (SC)
ω
51GHz
10Ghz
g/π
47kHz
100MHz
1/κ, Q
1ms,3.108
160ns,104
1/γ
30ms
2µs
nRabi = 2g(κ + γ)
∼5
∼ 100
Tabela 5.1: Comparação entre os principais parâmetros da implementação com cQED e supercondutores.
5.2.5
Medida do Qbit
Para medir o qbit foi utilizada a interação dispersiva de modo a realizar uma medida
quântica não-demolidora da população do qbit. Explicitamente: podemos reescrever o
hamiltoniano da Eq.(5.21), tomando ǫ = 0 e na descrição de Schrödinger (ωd = 0), da
seguinte forma:
2
H = ~ωa† a + ~2 ω0 σz + g∆ (2a† a + 1),
2
2
= ~ ω + g∆ σz a† a + ~2 ω0 + g∆ σz ;
(5.23)
de onde fica claro haver um deslocamento de freqüência do modo do campo dependente
do estado do qbit. Fazendo assim uma medida da transmitância da cavidade com um
campo clássico podemos determinar o estado do qbit, como ilustrado na Figura 5.8.
Figura 5.8: Deslocamento de freqüência usado para medir o estado do qbit.
5.3. Função de Wigner
101
Segundo esse hamiltoniano, se temos um estado coerente do campo |αi, temos a
seguinte evolução de um estado geral do qbit:
E
E
(a |ei + b |gi) ⊗ |αi → a e, eiφ α + b g, e−iφ α ;
(5.24)
onde {|ei , |gi} são os auto-estados do qbit e φ = g2 /(κ∆), sendo κ−1 o tempo de decaimento do campo da cavidade. Com uma medida homodina desse campo que vaza
podemos determinar sua fase e conseqüentemente o estado do qbit.
Um outro modo de medida é utilizar um transistor sensı́vel a um elétron (“single
electron transistor” - SET). Apesar dessa medida ser destrutiva, ou seja, o par de Cooper
é destruı́do, ela é interessante pois leva menos tempo do que a medida dispersiva. A
introdução do condutor extra para acoplar o SET não represta uma perturbação no
campo muito maior do que a já introduzida pelo qbit. Outro fato sobre esse método é
que o acoplamento com o aparato de medida é ligado somente no momento da medida,
evitando assim dinâmicas espúrias. Esse tipo de medida já foi implementada [90], porém
somente em qbits super-condutores fora de cavidades.
5.3
Função de Wigner
A função de Wigner [106, 107] nos dá uma descrição do espaço de fase quântico. Esta
função pode ser usada para calcular correlações entre operadores ordenados simetricamente [47] como no caso clássico, isto é, a função de Wigner entra como peso da distribuição. Devido no entanto ao princı́pio de incerteza não podemos associar à função de
Wigner o caráter de distribuição de probabilidades, pois não podemos medir simultaneamente a posição e o momento de uma partı́cula, ou ainda, um ponto, matematicamente
falando, no espaço de fase fase quântico não faz sentido; só podemos falar de um elemento de área definido pelo princı́pio de incerteza. Mais ainda, a função de Wigner é um
descrição univoca do estado, ou seja, medir a função de Wigner nos dá toda a informação
sobre o estado e vice-versa.
Foi mostrado na Ref.[107] que a função de Wigner de um modo do campo Eletromagnético com o estado definido pela matriz densidade ρ pode ser escrita como:
W (α) = (1/π)T r[ρD(α)P D −1 (α)];
(5.25)
onde α = x + ip é um ponto no espaço de fase definido pelas quadraturas ortogonais do
5.4. Protocolo de Medida
† −α∗ a
campo x e p; D(α) = eαa
102
é o operador deslocamento do campo, o qual aplicado
∗
†a
a um estado coerente |βi leva este para eℑ(αβ ) |β + αi; e P = e−iπa
é o operador
paridade, o qual multiplica o estado de Fock |ni por (−1)n .
5.4
Protocolo de Medida
Agora mostramos o protocolo para medida da função de Wigner do estado do campo
aprisionado na cavidade super-condutora 1-D através de medidas no qbit [100].
O protocolo consiste em primeiramente codificar a informação contida em um estado
desconhecido do campo, ρ, no estado do qbit através do emaranhamento de ambos e,
posteriormente, medir a população do qbit. A parte da codificação é dividida em quatro
passos, a saber: 1) deslocamento do campo; 2) rotação de π/2 do qbit para o plano
equatorial da esfera de Bloch; 3) interação dispersiva, aqui as partes se emaranham e 4)
outra rotação de π/2. Esses passos são baseados na medida proposta na Ref. [98], mas,
como veremos, a impossibilidade de desligar a interação impõe restrições.
Começamos então com o seguinte estado descorrelacionado:
ρ ⊗ |gi hg| ,
(5.26)
e os parâmetros que temos à disposição para fazer os passos necessários são ǫ, ωd e o
tempo de interação.
1. Deslocamento do Campo
Para fazermos o deslocamento ajustamos ωd = ω − g2 /∆ e ǫ = ǫD com |ǫD | ≪
g + ∆2 /(2g). Esta condição implica que podemos desprezar as componentes em
x e y do vetor (5.22), só aplicando uma rotação em torno de z; esta por sua vez,
como começamos com o qbit no seu estado fundamental, não tem nenhum efeito
além de uma fase global. Já para o campo o hamiltoniano da Eq. (5.21) atua de
forma a deslocar o campo. O operador evolução é então o que segue:
U1 (tD ) = e
−i
(~[ǫa† +ǫ∗ a])
~
= D(αD );
(5.27)
onde αD = iǫD tD com tD o tempo de duração do pulso. Por simplicidade tomamos
ǫ(t) = ǫ, uma vez que este varia lentamente com o tempo. Note que a freqüência
do campo externo foi escolhida exatamente para cancelar o termo de rotação do
campo, para isso sendo necessário que o estado inicial do qbit seja |gi.
5.4. Protocolo de Medida
103
2. Primeira Rotação de π/2
Ajustamos agora ωd = ω0 , o que é intuitivamente esperado se queremos atuar no
qbit (descrição de interação essa que manteremos até o final do protocolo). Mais
ainda, escolhemos ǫ = |ǫπ/2 |eiφ1 e o tempo de duração do pulso tπ/2 = π∆/(4g|ǫπ2 |)
de tal forma que o ângulo de rotação seja π/2. Como queremos que o estado do
qbit seja rodado para o plano equatorial da esfera de Bloch, de modo a maximizar
o emaranhamento com o campo no passo seguinte, impomos a condição |ǫπ/2 | ≫
g(n̄ + 1/2) ⇔ n̄ ≪ |ǫπ/2 |/g − 1/2, onde n̄ é o numero médio de fótons na cavidade
neste momento, ou seja, após o deslocamento. Esta condição faz com que possamos
desprezar a componente de rotação em torno do eixo z frente às demais. Na verdade
essa condição deve ser tomada para todo os estados de n fótons ocupados, ou supor
que todos estão distribuı́dos próximos de n̄. Note que esta condição limita o ponto
do espaço de fase a ser explorado, limitando assim o estado inicial.
Apesar de conseguirmos a rotação desejada, também é induzido dessa forma um
deslocamento do campo. O operador evolução é dado por:
† at
π/2
U2 (tD + tπ/2 , tD ) = ei∆a
onde απ/2 = −iei∆tD
R tπ/2 +tD
tD
D(απ/2 )R~n (π/2);
(5.28)
ǫπ/2 e−i∆t dt, e o eixo de rotação ~n está no plano equa-
torial. Note que apesar de atuar tanto no qbit quanto no campo essa transformação
é local; com isso queremos salientar a possibilidade de escrever esse operador como
o produto tensorial de dois outros, U2 = U2qbit ⊗ U2campo , onde as atuações são
separadas em cada subespaço, não criando emaranhamento..
3. Interação Dispersiva: Emaranhamento
Tomamos agora ǫ = 0 e deixamos o sistema evoluir livremente por um tempo
tP = π∆/(2g2 ). O operador evolução associado a este passo é o seguinte:
2
i π∆2 a† a −i π (a† a+ 1 )σz
2g
2
2
U3 (tD + tπ/2 + tP , tD + tπ/2 ) = e
e
.
(5.29)
Neste passo o sistema qbit-campo se emaranha. O operador paridade entre duas
portas de rotação de π/2 atua como uma porta CNOT, ou seja, uma transformação
global (não local); o que é claro pelo termo de interação. O emaranhamento depende do estado do campo e do deslocamento feito e é fundamental para a transferência de informação do campo para o qbit.
5.5. Análise Experimental: Simulação
104
4. Segunda Rotação de π/2
Neste último passo escolhemos ǫ = |ǫπ/2 |eiφ2 e o operador evolução U4 é análogo
ao U2 .
Juntando todos esses passos temos o operador de evolução total UT = U4 U3 U2 U U1 ,
onde U = ei(∆+g
2 /∆)(a† a+σ /2)t
z
D
é operador que muda de referencial entre o primeiro e o
segundo passo, ω − g2 /∆ → ω0 .
A segunda parte do protocolo consiste em medir a população do qbit. Percebemos
então que:
hσz i = Pe − P g
i
h
= T r σz UT ρ |gi hg| UT†
= T r sin(φ1 − φ2 )ρD† (β)P D(β) ;
(5.30)
onde β = αD +(2|ǫπ/2 |/∆) sin(tπ/2 ∆/2)e−iφ com φ = (tD +tπ/2 /2)∆+g2 tD /∆+π/2−φ1 .
Comparando esta expressão com a Eq.(5.25) notamos quando φ1 − φ2 = π/2 então
hσz i/π nos dá o valor da função de Wigner do campo no ponto −β. Se escolhemos a
amplitude do pulso π/2 de tal forma que tπ/2 ∆/2 = mπ, com m inteiro, então β = αD .
Dessa forma, repetindo o experimento para diferentes tD ’s podemos medir a função de
Wigner em todo o espaço de fase, obtendo assim toda a informação sobre o estado do
campo. Concluı́mos então o protocolo de medida da função de Wigner.
5.5
Análise Experimental: Simulação
Analisamos agora a viabilidade experimental dessa proposta. Para isso fizemos a simulação desse protocolo partindo da hamiltoniana de Jaynes-Cummings, Eq. (5.19),
mais a do campo externo, Eq. (5.20), sem aproximação, quer dizer, sem usarmos diretamente o regime dispersivo ou as aproximações feitas durante os diferentes passos.
As probabilidades são então calculadas e a função de Wigner é reconstruı́da usando a
Eq. (5.30).
Fizemos essa análise para dois conjuntos de parâmetros, os quais são mostrados na
Tabela (5.2). A primeira linha de parâmetros corresponde aos valores utilizados nas
experiências já realizadas com este arranjo experimental [95, 96]; já a segunda linha
mostra o conjunto de parâmetros por nós proposto. O resultado da simulação para os
5.5. Análise Experimental: Simulação
105
dois conjuntos de parâmetros e para diferentes estados iniciais do campo estão mostrados
na Fig.5.9.
∆
g
|ǫD |
|ǫπ/2 |
κ−1 (ns)
γ −1 (µs)
0.1
5 × 10−3
0.025
0.025
160
2
0.025
0.281
1000
2
0.3
5 × 10−3
Tabela 5.2: Parâmetros Experimentais. ∆, g,ǫD , e ǫπ/2 estão expressos em unidades da freqüência da
cavidade
Figura 5.9: Corte da função de Wigner W (α) no eixo real α = x para diferentes estados iniciais do
campo na cavidade: (a1) e (a2) estado de vácuo; (b1) e (b2) estado de Fock com n = 1; (c1) e (c2)
estado de “gato de Schrödinger” ∝ (|α0 i − | − α0 i), com α0 = 2. A linha cheia representa a previsão
teórica e as cruzes os valores obtidos pela simulação numérica. Na coluna da esquerda usamos o primeiro
conjunto de parâmetros e na segunda o conjunto de parâmetros proposto, ver Tabela 5.2. A freqüência
da linha de transmissão foi tomada ω = 2π × 10 GHz.
Com o primeiro conjunto de parâmetros o protocolo leva em torno de 100ns para
cada medida. Este tempo é menor que o tempo médio de vida do campo dentro da
cavidade e muito menor que a vida média do átomo. Também temos que condição
imposta pelo deslocamento,|ǫD | ≪ g + ∆2 /(2g) ∼ ω, é bem satisfeita. Por outro lado a
condição da rotação de π/2, n̄ ≪ |ǫπ/2 |/g − 1/2 = 4.5 não é confortavelmente satisfeita
para estados de interesse. Essa condição é ainda menos satisfeita se lembrarmos que
esta deve ser imposta após o deslocamento do campo, ou seja, se queremos medir o
valor da função de Wigner em pontos mais distantes da origem essa condição é violada
5.5. Análise Experimental: Simulação
106
bem como a condição de regime dispersivo. Mesmo o deslocamento induzido quando
realizamos a rotação no qbit, passos 2 e 4, já é suficiente para violar a condição de
regime dispersivo com o primeiro conjunto de parâmetros; note que isso ocorre mesmo
se escolhermos tπ/2 ∆/2 = mπ, com m inteiro, pois neste caso, apesar do deslocamento
resultante ser nulo, o campo é deslocado em uma direção até metade do tempo e depois
no sentido contrário. Esses fatores explicam o desacordo entre a teoria e a simulação,
principalmente nos pontos mais afastados da origem, nas reconstruções mostradas na
primeira coluna da Figura 5.9. No caso do estado tipo “gato de Schrödinger”, mesmo no
centro a reconstrução é ruim pois existe a contribuição de estados de Fock de mais alto n.
Também devemos considerar que para tempos da ordem de 100ns a descoerência já não
é desprezı́vel em uma cavidade com vida-média de 160ns. Sendo assim, uma cavidade
com melhor qualidade se faz necessária.
Propomos então um segundo conjunto de parâmetros de forma a melhor as reconstruções. A principal diferença é o valor da amplitude do pulso π/2, ǫπ/2 = 0.281ω, uma
ordem de grandeza maior do que o anterior. Essa mudança faz com que a condição sobre
o pulso π/2, n̄ ≪ |ǫπ/2 |/g, seja verificada para uma faixa maior de estados durante todo
o protocolo, veja as Figuras 5.9 (segunda coluna) e 5.10.
a)
b)
Figura 5.10: Corte em y = 0 da reconstrução da função de Wigner. a) estado de Fock |4i. b) estado
de Fock |5i
O aumento na dessintonia foi também motivado pelo aumento no nalor de ǫπ/2 , de
tal forma que a condição de deslocamento resultante nulo na rotação do qbit continuasse
satisfeita. Esse aumento de ∆ implica que o tempo do protocolo agora é de aproximadamente 300ns, o que nos obrigou a aumentar a qualidade da cavidade, κ−1 = 1000ns.
Esse aumento da qualidade pode ser experimentalmente obtido através da diminuição da
5.5. Análise Experimental: Simulação
107
capacitância C0 , a qual acopla o modo interno com os modos externos; esse acoplamento
é diretamente proporcional a C0 como mostrado na ref.[97]. Com esse novo conjunto de
parâmetros as reconstruções são visivelmente melhores.
A descoerência não foi levada em conta em nossa simulação e certamente diminui a
qualidade da reconstrução da função de Wigner com o aumento do número de fótons
médio do estado inicial. Note no entanto que uma vez escrita a informação nas populações
do qbit não precisamos mais nos preocupar com a descoerência do campo nem com a
descoerência de fase no qbit, o único vı́nculo fica sendo a meia-vida do CPB-qbit, uma
vez que só medimos suas populações. Efeitos de temperatura também são desprezı́veis;
para este tipo de experimento a temperatura é tipicamente T = 100mK [95], e para os
nossos parâmetros ~ω/k ≈ 480mK o que dá uma ocupação térmica média de n̄ < 0.008.
Um último ponto referente ao protocolo diz respeito à medida final do qbit. Com
o aumento da qualidade da cavidade, a medida dispersiva não-demolidora do estado do
qbit, mostrada na seção 5.2.5, não pode ser utilizado pois levaria um tempo da ordem
do tempo de meia-vida do átomo. Devemos então, como brevemente discutido, utilizar
o SET e medir diretamente a população do qbit [90].
5.5.1
Geração de Estados iniciais Simples
Para que esse protocolo seja testado experimentalmente também mostramos como gerar
estados iniciais simples [100]. Para criarmos estados coerentes a partir do estado |g, 0i,
vácuo no campo e qbit no estado fundamental, basta utilizarmos o operador evolução U1
do primeiro passo. O estado evolui então para |g, αi; o tempo de criação é tC = |α|/|ǫD |.
A geração de estados tipo “gato de Schrödinger”, (|α0 i±eiΦ |−α0 i)/N onde N é um fator
de normalização, está implı́cita em nosso protocolo. Depois de toda evolução, antes da
√
√
medida do qbit, temos um estado do tipo (1/ 2)(|α0 i + eiϕ | − α0 i) ⊗ |ei + (1/ 2)(|α0 i −
eiϕ | − α0 i) ⊗ |gi. Medindo o estado do qbit projetamos no estado desejado. O tempo
de criação é o mesmo do protocolo. Note que a criação é pos-selecionada, ou seja, só é
a desejada em 50% das vezes o que torna a tomada de dados mais lenta.
Um outro estado de interesse é o estado de um fóton na cavidade. Começando com o
estado |g, 0i fazemos primeiramente um pulso π no qbit; para isso, assim como na rotação
de π/2, escolhemos ωd = ω0 porém agora esperamos o dobro do tempo tπ = π∆/(2g|ǫπ |).
Essa rotação, como já vimos, induz um deslocamento do campo; por isso escolhemos a
5.6. Conclusões
108
amplitude ǫπ tal que tπ ∆/2 = mπ, com m inteiro, o que nos dá um deslocamento
resultante nulo no final do pulso. Através de um campo magnético clássico externo
sintonizamos em ressonância o qbit com a cavidade e deixamos o sistema evoluir pela
dinâmica de Jaynes-Cummings, Eq.(5.19), por uma oscilação de Rabi (tRabi = π/(2g)).
O estado final é então |g, 1i. Feito isso desligamos o campo magnético auxiliar trazendo
novamente o sistema para o regime dispersivo. A mudança rápida (menos de 1ns) do
campo magnético é difı́cil de ser realizada, no entanto propostas recentes [108] com fluxos
dependentes do tempo podem ser uma alternativa.
5.6
Conclusões
Com esse protocolo mostramos como medir o estado do campo eletromagnético aprisionado em uma cavidade super-condutora 1-D através de medidas diretas do CPB-qbit.
Em princı́pio poderı́amos usar o conhecido método de medida homodina para caracterizar
o campo dentro da cavidade. No entanto, como os campos aqui tratados são eminentemente quânticos, de baixa intensidade e as cavidades são de alto fator de qualidade o
campo que sai da cavidade para a homodinagem resultaria em uma má reconstrução do
estado. A razão sinal/ruı́do é muito baixa e ocorrem perdas no sinal transmitido [109].
O resultado aqui apresentado pode ter importância na já estabelecida área de comunicação quântica bem como nos dá a oportunidade de estudar processos fundamentais da interação luz-matéria. Podemos usar esse protocolo para, por exemplo, medir
o efeito da descoerência do campo dentro da cavidade analisando assim a transição
quântico-clássico. O emaranhamento entra neste protocolo como canal de transferência
de informação entre os dois sistemas, o emaranhamento é um recurso. Outro ponto
importante é termos o conhecimento de mais uma plataforma de informação quântica
onde as idéias e métodos de área de óptica quântica podem ser aplicados. Com certeza
esse tipo de implementação experimental ainda vai ser muito desenvolvido, sendo forte
candidato para implementação de vários protocolos de computação quântica.
109
Capı́tulo 6
Conclusões
Nesta tese abordamos o intrigante assunto do emaranhamento em alguns de seus aspectos. Procuramos dar uma abordagem mais prática, ligada a experimentos.
Mostramos, primeiramente, como implementar uma medida quântica não demolidora
do emaranhamento. Essa medida pode ser de grande importância em protocolos de informação quântica. Mais ainda, observando uma das caracterı́sticas principais da medida
QND, a total perda de informação sobre as variáveis complementares ao observável sendo
medido, pudemos verificar a complementaridade entre os aspectos de partı́cula única e
o aspecto bipartido. Mostramos como fazer a medida QND de todos os observáveis associados a essas quantidades com um mesmo circuito quântico. Uma possı́vel extensão
dessas idéias seria estudar o caso de mais qbits ou estados de maior dimensão. Para
o caso de mais qbits seria interessante observar a complementaridade entre os diversos tipos de emaranhamento possı́veis; para maiores dimensões poderı́amos observar a
transição entre estados discretos e contı́nuos, procurando relações de complementaridade
nesse caso.
Apresentamos depois um modo sistemático de implementar dinâmicas dissipativas
com óptica linear e hiper-emaranhamento. Nessa parte o emaranhamento atua como
elo de ligação entre o sistema de interesse e o reservatório. Podemos assim estudar com
óptica linear o efeito de descoerência, o qual é usualmente associado com a transição
quântico-clássico.
Mostramos como implementar diversos tipos de reservatórios, in-
clusive os associados aos erros em computação quântica. Com essas ferramentas foi
possı́vel observar a diferença entre as dinâmicas das caracterı́sticas de partı́cula única
e do caráter bipartido. O interessante fato de que o emaranhamento possa decair em
110
tempo finito, diferentemente das coerências individuais que decaem assintoticamente, foi
dessa forma observado experimentalmente pela primeira vez no laboratório de óptica
quântica do IF-UFRJ, e os resultados obtidos foram aqui expostos. Esse trabalho abre
caminho para uma grande gama de outras idéias como por exemplo a implemetação de
reservatórios conjuntos (onde poderı́amos observar subespaços livres de descoerência e
super-radiância), medidas da evolução dissipativa da fase de Berry e observação direta
do reservatório. Experimentalmente esse trabalho é muito rico em possibilidades.
Por fim foi apresentado um protocolo de medida da função de Wigner de um campo
eletromagnético aprisionado dentro de uma cavidade super-condutora. A medida é feita
de forma direta devido ao emaranhamento do campo com o qbit super-condutor. O
emaranhamento atua como canal de transferência da informação do campo para o qbit.
Apesar desse ser um assunto mais especı́fico, a implementação de qbits super-condutores
dentro de cavidades é uma das mais promissoras para a computação quântica. É também
interessante por unir duas grandes áreas da fı́sica: a matéria condensada e a óptica
quântica. Muito ainda há para ser explorado nessa união. Por um lado, a aplicação e
observação do efeitos conhecidos da óptica quântica em sistemas de matéria condensada.
Por outro lado, a utilização do conhecimento de teoria de muitos corpos pode ser de
grande ajuda nas diversas implementações de informação quântica.
Com tudo isto posto, encerramos essa tese onde algumas faces do emaranhamento
foram exploradas.
111
Apêndice A
Tomografia
Mostramos neste apêndice como foi implementada a reconstrução da matriz densidade de
dois qbits de polarização. Os programas para a reconstrução e cálculo de erros mostrados
no que segue foram desenvolvidos em colaboração com Malena Hor-Meyll e Alejo Salles.
Seguimos basicamente as Ref.[25, 26].
A.1
Reconstrução
Como mostrado na seção 2.2.2, a matriz densidade de dois qbits pode ser decomposta
da seguinte maneira:
ρ=
16
X
Γ̂ν rν ,
(A.1)
ν=1
onde Γν são os geradoress do grupo SU(4). Escolhemos para esses a representação padrão
do grupo SU(2)⊗SU(2), dessa forma podemos reescrever a expansão como segue:
4
1 X
σi ⊗ σj rij ,
ρ=
2
i,j=1
onde σ1 = σx , σ2 = σy , σ3 = σz e σ4 = 11. Podemos fazer o seguinte mapeamento:
(A.2)
A.1. Reconstrução
112
Γ1 = σ1 ⊗ σ1 /2
Γ2 = σ1 ⊗ σ2 /2
Γ3 = σ1 ⊗ σ3 /2
Γ4 = σ1 ⊗ σ4 /2
Γ5 = σ2 ⊗ σ1 /2
Γ6 = σ2 ⊗ σ2 /2
Γ7 = σ2 ⊗ σ3 /2
Γ8 = σ2 ⊗ σ4 /2
Γ9 = σ3 ⊗ σ1 /2
Γ10 = σ3 ⊗ σ2 /2
Γ11 = σ3 ⊗ σ3 /2
Γ12 = σ3 ⊗ σ4 /2
Γ13 = σ4 ⊗ σ1 /2
Γ14 = σ4 ⊗ σ2 /2
Γ15 = σ4 ⊗ σ3 /2
Γ16 = σ4 ⊗ σ4 /2
Para escrevermos a decomposição da matriz densidade na qual os coeficientes são
diretamente as medidas experimentais, falta definir os projetores a serem medidos. O
conjunto de 16 vetores escolhidos para projetores, correspondentes aos estados medidos,
são mostrados na Tabela A.1. Esses vetores foram escolhidos nessa seqüência pois só
necessitamos mudar o ângulo de uma placa de onda para passarmos para o próximo
vetor.
ν
Projetor |ψν i
1
|HHi
2
|HV i
3
|V V i
4
|V Hi
5
|RHi
6
|RV i
7
|DV i
8
|DHi
Vetor
ν
(1, 0, 0, 0)T
Projetor |ψν i
9
(0, 1, 0, 0)T
|DRi
10
(0, 0, 0, 1)T
|DDi
11
(0, 0, 1, 0)T
|RDi
12
|HDi
13
|V Di
14
|V Li
15
|HLi
16
|RLi
√
(1, 0, −i, 0)T / 2
√
(0, 1, 0, −i)T / 2
√
(0, 1, 0, 1)T / 2
√
(1, 0, 1, 0)T / 2
Vetor
(1, −i, 1, −i)T /2
(1, 1, 1, 1)T /2
(1, 1, −i, −i)T /2
√
(1, 1, 0, 0)T / 2
√
(0, 0, 1, 1)T / 2
√
(0, 0, 1, i)T / 2
√
(1, i, 0, 0)T / 2
√
(1, i, −i, 1)T / 2
Tabela A.1: Estados usados para a reconstrução tomográfica em nosso experimento. |Di = (|Hi +
√
√
√
|V i)/ 2 , |Li = (|Hi + i |V i)/ 2 e |Ri = (|Hi − i |V i)/ 2.
De posse desses projetores e das matrizes Γ’s podemos determinar as matrizes M ’s,
Mµ =
16
X
Γν (B −1 )ν,µ ;
ν=1
onde
Bν,µ = hψν | Γµ |ψν i .
A.2. Matriz Densidade Fı́sica - χ2
113
Dessa forma determinamos a expansão da matriz densidade em termos das medidas
experimentais. Da forma aqui escolhida temos que a normalização η = n1 + n2 + n3 + n4 ,
que são os termos diagonais da matriz densidade. Substituindo o valor das medidas
em coincidência em cada detector podemos reconstruir a matriz densidade a partir da
equação:
ρreco
16
1X
=
nµ M̂µ ;
η
(A.3)
µ=1
como mostrado no capı́tulo 2. As matrizes Mµ ’s para essas escolhas estão escritas em um
arquivo MMatrices.txt, onde cada matriz é um elemento de um vetor linha. Note que
se escolhermos vetores diferentes novas matrizes devem ser usadas e, além disso, o novo
conjunto de projetores deve ser tal que Bν,µ seja inversı́vel, como discutido no capı́tulo 2.
A.2
Matriz Densidade Fı́sica - χ2
Como cada medida é independente das demais, não é garantido que a matriz reconstruı́da
seja de fato uma matriz densidade fı́sica, isto é, que possua auto-valores positivos, seja
hermiteana e normalizada. Para isso procuramos a matriz densidade mais próxima à
matriz ρreco tal que essas caracterı́sticas sejam observadas.
Primeiramente obrservamos que toda matriz densidade fı́sica pode ser escrita na
forma:
ρf =
T †T
.
T r[T † T ]
(A.4)
Dessa forma fica claro a positividade de ρf , uma vez que:
hψ| ρf |ψi =
(hψ| T † )(T |ψi)
≥ 0;
T r[T † T ]
(A.5)
para todo |ψi.
ρf também é claramente hermiteana já que:
ρ†f =
(T † T )†
T †T
=
= ρf .
T r(T † T )
T r(T † T )
Por fim, garantimos que ρf seja normalizada dividindo pelo T r(T † T ).
A forma por nós utilizada de T é a seguinte:
(A.6)
A.3. Estimativa dos Erros
114

t1
0
0
0


 t5 + it6
t2
0
0
T =

 t11 + it12 t7 + it8
t3
0

t15 + it16 t13 + it14 t9 + it10 t4




 ;



(A.7)
onde ti com i = 1 . . . 16 são os parâmetros reais a serem ajustados.
Para determinarmos qual é o conjunto de ti ’s que mais se aproxima da matriz reconstruı́da utilizamos o estimador chamado χ2 [110]. Esse é definido por:
χ2 =
16
X
(η hψν | ρf (t1 , . . . , t16 ) |ψν i − ni )2
ν=1
σν2
,
(A.8)
onde σν é o erro associado a nν . Como a distribuição das contagens é poissoniana
√
então σν ≈ nν . Minimizado essa função determinamos a matriz densidade mais
próxima de ρreco que possui todas as caracterı́sticas esperadas de uma matriz densidade,
ou seja, determinamos os ti ’s os quais nos dão a matriz densidade fı́sica. O processo
de minimização é bastante complexo, com 16 graus de liberdade. Sendo assim usamos
uma rotina já pronta do Mathematica 5.2, a função NMinimize que procura o mı́nimo
global. O programa por nós desenvolvido está mostrado no final deste apêndice. A partir
da matriz fı́sica calculada determinamos as quantidades desejadas como concurrência e
pureza.
A.3
Estimativa dos Erros
Os erros foram estimados a partir de uma simulação tipo Monte-Carlo. Construı́mos
√
para cada valor medido uma distribuição poissoniana cuja média é ni e o erro ni .
Respeitando essas distribuições geramos números aleatórios (excluı́ndo o valor nulo)
para cada ni , obtendo assim um conjunto de valores estatı́sticamente válidos. Com cada
conjunto reconstruı́mos a matriz densidade como explicado acima e obtemos o valor
das grandezas desejadas. Repetindo esse procedimento várias vezes pudemos obter a
distribuição de probabilidades da concurrência e da pureza e com isso seus erros.
Escolhemos esse método pois a tradicional propagação de erros os sobre-estima, uma
vez que não leva em conta o procedimento de minimização do χ2 . Esse comportamento
foi também observado na Ref.[26].
A.3. Estimativa dos Erros
115
A.3. Estimativa dos Erros
116
A.3. Estimativa dos Erros
117
118
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