MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS 1. FORMAS DIFERENCIAIS NO Rn (1) Considere as seguintes 1-formas (a) ω = y 2 dx (b) η = zdy − ydz (c) θ = (z 2 − 1)dx − dy + x2 dz Calcule ω(~v ), η(~v ) e θ(~v ) onde ~v = (1, 2, −3) ∈ Tp R3 com p = (0, −2, 1). (2) Dadas funções f, g : R3 −→ R e campos de vetores V, W ∈ X(R3 ), mostre que (a) ω(f V + gW ) = f ω(V ) + gω(W ) (b) (f ω + gη)(V ) = f ω(V ) + gη(V ) para todas 1-formas ω, η ∈ Λ1 (R3 ). (3) Dadas funções diferenciáveis f, g : R3 −→ R, verifique que (a) d(f + g) = df + dg (b) d(f g) = gdf + f dg dx + ∂f dy + ∂f dz. utilizando a definição df = ∂f ∂x ∂y ∂z (4) Sejam ω, η, σ formas em R3 dadas pelas seguintes expressões: ω = xdx − ydy, η = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, σ = zdy Calcule ω ∧ η e σ ∧ ω ∧ η. (5) Seja f : Rn −→ Rm uma função diferenciável. Sejam ainda ω, η ∈ Λk (Rm ). Mostre que f ∗ (ω + η) = f ∗ (ω) + f ∗ (η). (6) Seja f : Rn −→ Rm diferenciável e ω ∈ Λk (Rm ). Mostre que f ∗ (gω) = f ∗ (g)f ∗ (ω) onde g : Rm −→ R é uma função diferenciável. (7) Seja f : Rn −→ Rm diferenciável. Mostre que se ω1 , . . . , ωs ∈ Λ1 (Rm ), então é válida a seguinte igualdade f ∗ (ω1 ∧ . . . ∧ ωs ) = f ∗ (ω1 ) ∧ . . . ∧ f ∗ (ωs ) 1 2 MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS (8) Considere a 1-forma ω ∈ Λ1 (R2 − {(0, 0)}) dada pela seguinte expressão y x ω=− 2 dx + 2 dy 2 x +y x + y2 Seja agora f : U := {(r, θ) ∈ R2 : r > 0 e 0 < θ < 2π} −−−−−−→ R2 dada por f (r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) Calcule f ∗ (ω). Solução: Dado p ∈ U e ~v = (v1 , v2 ) ∈ Tp R2 , temos f ∗ (ω)p (~v ) = ωf (p) (dfp (~v )) −r sin(θ) r cos(θ) (v cos(θ) − r sin(θ)v ) + (v1 sin(θ) + r cos(θ)v2 ) 1 2 r2 r2 v1 sin(θ) cos(θ) v1 sin(θ) cos(θ) =− + sin2 (θ)v2 + + cos2 (θ)v2 r r = v2 = dθ(~v ) = Assim f ∗ (ω) = dθ (9) Uma função g : R3 −→ R é dita homogênea de grau k se, para todo t > 0 e para todo (x, y, z) ∈ R3 , temos g(tx, ty, tz) = tk g(x, y, z). Mostre que é válida a igualdade xgx + ygy + zgz = kg. Suponha agora que a, b, c : R3 −→ R são homogêneas de grau k e considere a 1-forma ω = adx + bdy + cdz ∈ Λ1 (R3 ). Suponha que ω é fechada (isto é dω = 0). Mostre que ω = df onde f é dada por 1 (xa(x, y, z) + yb(x, y, z) + zc(x, y, z)) k+1 Considere agora a 2-forma σ = ady ∧ dz + bdz ∧ dx + cdx ∧ dy. Mostre que se σ é fechada, então σ = dη onde η ∈ Λ(R3 ) é a 1-forma dada por f (x, y, z) = η= 1 [(zb − yc)dx + (xc − za)dy + (ya − xb)dz] k+2 (10) Mostre que se ω, η ∈ Ωk (Rn ), então d(ω + η) = dω + dη. Mostre também que se ω ∈ Ωk (Rn ) e se η ∈ Ωs (Rn ), então d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη. (11) Mostre que se ω ∈ Ωk (Rn ), então d(dω) = 0. Mostre ainda que se f : Rm −→ Rn é diferenciável, então d(f ∗ (ω)) = f ∗ (dω). (12) Calcule dω para cada uma das seguintes formas diferenciais ω definidas no R3 : (a) w = sin(xyz) (b) w = xdx + x2 yzdy + yzdz (c) w = xyzdx ∧ dy + xydx ∧ dz + xdy ∧ dz MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 2. 1-FORMAS DE CONEX ÃO (1) Sejam p = (2, 1, 0) ∈ R3 , ~v = (−1, 0, 2) ∈ Tp R3 e X = x2 e1 + yze3 ∈ X(R3 ). Calcule ∇~v X. (2) Sejam X, Y ∈ X(R3 ) campos de vetores dados pelas seguintes expressões: X = (y − x)e1 + (xy)e3 Y = (x2 )e1 + (yz)e3 Calcule ∇X Y . (3) Seja {E1 , E2 , E3 } o referencial ortonormal cilı́ndrico definido em R3 − {eixo z} E1 (r, θ, z) = (cos(θ), sin(θ), 0) E2 (r, θ, z) = (− sin(θ), cos(θ), 0) E (r, θ, z) = (0, 0, 1) 3 onde x = r cos(θ), y = r sin(θ) e z = z. Mostre que as 1-formas de conexão são ω12 = dθ, ω21 = −dθ e ωij = 0 (nos outros casos) Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas expressões ω1 = dr ω2 = rdθ ω = dz 3 Mostre que E1 (r) = 1, E2 (θ) = 1/r, E3 (z) = 1 e que todas as outras alternativas dão zero. Verifique a validade das equações de estrutura. (4) Seja {E1 , E2 , E3 } o referencial ortonormal esférico definido em R3 − {eixo z} E1 (r, θ, ϕ) = (cos(ϕ) cos(θ), cos(ϕ) sin(θ), sin(ϕ)) E2 (r, θ, ϕ) = (− sin(θ), cos(θ), 0) E (r, θ, ϕ) = (− sin(ϕ) cos(θ), − sin(ϕ) sin(θ), cos(ϕ)) 3 onde x = r cos(ϕ) cos(θ), y = r cos(ϕ) sin(θ) e z = r sin(ϕ). Mostre que ω12 = cos(ϕ)dθ, ω13 = dϕ, ω23 = sin(ϕ)dθ Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas seguintes expressões ω1 = dr ω2 = r cos(ϕ)dθ ω = rdϕ 3 Verifique ainda a validade das equações de estrutura. 4 MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS (5) Seja M uma superfı́cie regular no R3 . Seja também {E1 , E2 , E3 } um referencial ortonormal adaptado sobre M , (ωij ) as 1-formas de conexão e (ωi ) as 1-formas duais associadas. Mostre que valem as seguintes igualdades ω13 ∧ ω23 = Kω1 ∧ ω2 dω12 = −Kω1 ∧ ω2 2Hω1 ∧ ω2 = ω13 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω23 K = E2 [ω12 (E1 )] − E1 [ω12 (E2 )] − ω12 (E1 )2 − ω12 (E2 )2 onde K e H representam, respectivamente, as curvaturas Gaussiana e Média. (6) Com as mesmas notações do exercı́cio anterior, suponha ainda que o referencial {E1 , E2 , E3 } é principal. Mostre que valem as seguintes igualdades E2 (λ1 ) = (λ1 − λ2 )ω12 (E1 ) E1 (λ2 ) = (λ1 − λ2 )ω12 (E2 ) onde λ1 e λ2 são as curvaturas principais de M . (7) Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie regular umbı́lica. Mostre que M tem curvatura Gaussiana constante não negativa. (8) Com as hipóteses do exercı́cio anterior, mostre que se K = 0, então a superfı́cie M está contida em um plano. Mostre ainda que se K > 0, então M está contida √ em uma esfera de raio 1/ K. (9) Mostre que se F : M −→ M̃ é uma isometria entre duas superfı́cies regulares, dM (p, q) = dM̃ (F (p), F (q)) (10) Seja F : M −→ M̃ uma isometria entre duas superfı́cies regulares. Tome agora um referencial ortonormal {E1 , E2 } de M e o referencial correspondente de M̃ n o Ẽ1 , Ẽ2 , Ẽi = dF (Ei ), i = 1, 2 Mostre que se ω̃1 , ω̃2 e ω̃12 indicam os duais e a 1-forma de conexão de M̃ , então ω1 = F ∗ (ω̃1 ), ω2 = F ∗ (ω̃2 ), ω12 = F ∗ (ω̃12 ) (11) Seja F : M −→ M̃ uma isometria entre duas superfı́cies regulares. Mostre que K(p) = K̃(F (p)) para todo p ∈ M . MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS 5 3. GEOMETRIA RIEMANNIANA (1) (Plano projetivo) Sobre S2 defina a seguinte relação de equivalência p ∼ q ⇐⇒ p = q ou p = −q Mostre que existe uma estrutura natural de 2-variedade diferenciável no espaço quociente P2 := S2 /∼ utilizando a estrutura diferenciável natural de S2 e a aplicação quociente π : S2 −→ P2 . (2) Mostre que é possı́vel definir uma métrica Riemanniana sobre P2 de modo que a aplicação quociente π : S2 −→ P2 seja uma isometria local. (3) (Semi-plano de Poincaré) Seja H2 = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0} com a seguinte métrica h~u, ~v i(x,y) := ~u · ~v y2 Mostre que se trata de uma métrica Riemanniana. Calcule o comprimento da curva α :]0, π[−→ H2 dada por α(t) = (cos(t), sin(t)). Mostre ainda que K = −1. (4) Seja g : R2 −→ (0, ∞) diferenciável. Considere o plano R2 munido da métrica h~u, ~v i(u,v) := ~u · ~v g(u, v)2 Mostre que se trata de uma métrica Riemanniana sobre R2 . Denote por {e1 , e2 } o referencial ortonormal canônico e por {ω1 , ω2 } as formas duais correspondentes. Mostre que ω1 = du/g e ω2 = dv/g. Mostre ainda que valem as igualdades gv dω1 = du ∧ ω2 g gu dω2 = dv ∧ ω1 g gu gv ω12 = du − dv g g K = g(guu + gvv ) − (gu2 + gv2 ) (5) Utilize a projeção estereográfica para definir, na superfı́cie S que é formada pela esfera x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1 menos o ponto (0, 0, 2), uma métrica Riemanniana tal que S seja isométrica ao plano R2 . (6) (O plano hiperbólico) Seja D2 (0) = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 4} munido da métrica h~u, ~v i(x,y) = ~u · ~v , g(x, y)2 g(x, y) := 1 − x2 + y 2 4 Mostre que se trata de uma métrica Riemanniana e que K = −1. 6 MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS (7) No Plano hiperbólico mostre que a área da região u2 + v 2 ≤ r2 , com r < 2, é A(r) = πr2 2 1 − r4 Conclua que a área do plano hiperbólico é lim A(r) = +∞. r→2 (8) Seja M uma superfı́cie regular do R3 . Sejam X e Y campos de vetores tangentes ¯ a derivada covariante usual do R3 e por ∇ a derivada a M . Denotando por ∇ covariante de M como 2-variedade Riemanniana, mostre que vale a relação ¯ X Y = ∇X Y + (A(X) · Y )N ∇ onde A é o operador de Weingarten segundo uma normal unitária N de M . (9) Seja α : [0, 1] ⊂ R −→ M uma curva definida em uma 2-variedade Riemanniana M . Seja ~v ∈ Tα(0) M . Mostre que existe um único campo de vetores paralelo Y definido sobre α tal que Y0 = ~v . (10) Considere o semi-plano de Poincaré H2 . Seja α : [0, 1] −→ H2 a curva dada por α(t) = (t, 1). Seja (0, 1) ∈ Tα(0) H2 . Determine o campo de vetores paralelo Yt , definido ao longo de α, tal que Y0 = (0, 1). (11) Seja M uma 2-variedade Riemanniana. Mostre que se existe campo unitário Y ∈ X(M ) tal que ∇X Y = 0 para todo campo X ∈ X(M ), então K = 0. (12) Seja M uma 2-variedade Riemanniana e ϕ : U ⊂ R2 −→ M uma carta do atlas de M . Suponha que ϕ é ortogonal, isto é, F = hϕu , ϕv i = 0. Mostre que (a) Os campos abaixo formam um referencial ortonormal em ϕ(U ) ϕv ϕu E1 = √ E2 = √ E G (b) As 1-formas duais correspondentes são dadas por √ √ ω1 = Edu ω2 = Gdv (c) A 1-forma de conexão correspondente é dada pela expressão √ √ ( E)v ( G)u ω12 = − √ du + √ dv G E (d) São válidas as seguintes igualdades 1 1 h∇ϕu ϕv , ϕv i = √ h∇ϕv ϕu , ϕv i EG EG 1 1 ω12 (ϕu ) = √ h∇ϕv ϕu , ϕu i = √ h∇ϕu ϕv , ϕu i EG EG (e) ∇ϕv ϕu = ∇ϕu ϕv é válida para ϕ e para qualquer carta do atlas de M . ω12 (ϕv ) = √ MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS 7 (13) Seja M uma 2-variedade Riemanniana. Mostre que se p ∈ M e ~v ∈ Tp M , existe uma (única) geodésica maximal γ : I ⊂ R −→ M tal que γ(0) = p e γ 0 (0) = ~v . (14) Denote por γ~v a única geodésica maximal do exercı́cio anterior. Mostre que γa~v (t) = γ~v (at), ∀t ∈ R onde a ∈ R é uma constante. (15) Determine as geodésicas do semi-plano de Poincaré H2 . Solução: Considere a carta ϕ(u, v) = (u, v) de H2 . Então E = G = 1/v 2 e F = 0. Seja α(t) = ϕ(u(t), v(t)) = (u(t), v(t)) uma geodésica de H2 . O sistema de equações diferenciais que define uma geodésica fica na seguinte forma 2 0 0 00 u − vu v = 0 v 00 + 1 (u02 − v 02 ) = 0 v Se u0 = 0 então u = u0 é constante e v satisfaz v 00 = (v 0 )2 /v e então v(t) = aebt (com a, b ∈ R constantes) e assim as curvas α(t) = (u0 , aebt ), com t ∈ R, são geodésicas de H2 . Por outro lado, supondo u0 6= 0, podemos escrever 0 0 d( uv 0 ) ( uv 0 )0 d2 v d v0 v 00 u0 − v 0 u00 1 = ( ) = = = · 0 du2 du u0 du u0 (u0 )2 u (1) Multiplicando a primeira equação do sistema por v 0 e a segunda por u0 , temos 2 0 0 2 u0 · u (v ) e v 00 u0 = − · ((u0 )2 − (v 0 )2 ) v v Substituindo (2) em (1) obtemos u00 v 0 = (2) 1 v0 2 1 dv d2 v = − (1 + ( 0 ) ) = − (1 + ( )2 ) 2 du v u v du resultando na equação diferencial (na variável u) d2 v dv d dv v 2 + ( )2 = −1 ou (v ) = −1 du du du du Integrando a última equação obtemos u2 +v 2 = αu+β (com α, β ∈ R constantes). 8 MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS 4. PROPRIEDADES MINIMIZANTES DAS GEOD ÉSICAS (1) Verifique que, em cada um dos seguintes casos, a aplicação ϕ é parametrização polar geodésica de pólo p da 2-variedade Riemanniana M : (a) M = R2 com a métrica usual, p = (0, 0) e ϕ : (0, ∞) × R −→ R2 dada por ϕ(u, v) = (u cos(v), u sin(v)) (b) S2 com a métrica induzida pelo R3 , p = (0, 0, 1) e ϕ : (0, π) × R −→ S2 sendo ϕ(u, v) = (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)) (c) D2 (0) com métrica ds2 = dx2 +dy 2 (1− (u2 +v 2 ) 2 ) 4 , p = (0, 0) e ϕ : (0, ∞) × R −→ D2 (0) u u ϕ(u, v) = (2 tanh( ) cos(v), 2 tanh( ) sin(v)) 2 2 (2) Seja M uma 2-variedade Riemanniana, p ∈ M e ϕ : S −→ M a parametrização1 ϕ(u, v) = γcos(v)e1 +sin(v)e2 (u) Mostre que essa parametrização polar geodésica de pólo p satisfaz: (a) E = hϕu , ϕu i = 1; (b) F = hϕu , ϕv i = 0; (c) G = hϕv , ϕv i > 0; (d) γ(u) := ϕ(u, v0 ) minimiza o comprimento de arco entre p e q := ϕ(u0 , v0 ); (e) Se α é uma curva em M unindo p e q (item (d)) e ainda L(γ) = L(α), então α(u) = ϕ(a1 (u), v0 + 2kπ) = γ(a1 (u)), k∈Z ou seja, α é uma reparametrização de γ. (3) Seja M uma 2-variedade Riemanniana e d a distância intrı́nseca de M . Mostre que (M, d) é um espaço métrico. (4) Seja M uma 2-variedade Riemanniana. Sejam p, q ∈ M e α : [0, 1] −→ M uma curva em M tal que α(0) = p e α(1) = q. Mostre que se a curva α minimiza o comprimento de arco entre p e q, então α é geodésica. (5) (Teorema de Hopf-Rinow) Sejam p e q dois pontos distintos de uma 2-variedade Riemanniana completa M . Mostre então que existe uma geodésica minimizante γ : [0, 1] −→ M tal que γ(0) = p e γ(1) = q. 1 Onde S = (0, ) × R e γ~v denota a (única) geodésica de M com γ~v (0) = p e γ~v0 (0) = ~v ∈ Tp M . MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS 9 (6) Seja γ um segmento geodésico unindo dois pontos p e q de uma 2-variedade Riemanniana M . Se não existem pontos conjugados de p = γ(0) sobre γ, mostre que γ minimiza localmente o comprimento de arco entre p e q. (7) Seja ϕ uma aplicação polar geodésica. Mostre que equação diferencial (chamada equação de Jacobi) √ G = kϕv k satisfaz a seguinte √ √ ( G)uu + K G = 0 que possui condições iniciais √ √ √ G(0, v) = 0 e ( G)u (0, v) := lim ( G)u (u, v) = 1. u→0 (8) Seja ϕ(u, v) = ((R+r cos(v)) cos(u), (R+r cos(v)) sin(u), r sin(v)) a parametrização do toro de revolução com (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π]. Considere agora a geodésica p γ(u) = ϕ(u, 0) desse toro. Mostre que ϕ(π r(R + r), 0) é ponto conjugado de p = ϕ(0, 0) sobre γ. (9) Mostre que não existem pontos conjugados sobre qualquer geodésica de uma 2variedade Riemanniana com K ≤ 0. Conclua que qualquer segmento geodésico de tal 2-variedade Riemanniana é localmente minimizante. (10) Seja p um ponto de uma 2-variedade Riemanniana M . Considere um disco geodésico D contido na vizinhança normal de centro p de M . Denote por C a fronteira de D e por L(C ) o comprimento de C . Mostre que 3 {2π − L(C )} →0 π3 K(p) = lim (11) Seja F : M −→ N uma isometria local entre 2-variedades Riemannianas. Tome p ∈ M e ~v ∈ Tp M . Mostre que F (γ~v ) = γdFp (~v) . (12) Considere duas isometrias F, G : M −→ N entre 2-variedades Riemannianas. Seja p ∈ M e {e1 , e2 } um referencial ortonormal de Tp M . Suponha também que F (p) = G(p) e dFp (ei ) = dGp (ei ) para todo i = 1, 2. Mostre que F = G. (13) Seja M uma 2-variedade homogênea, ou seja, dados dois pontos p e q de M , existe uma isometria F : M −→ M tal que F (p) = q. Mostre que M possui curvatura Gaussiana constante e é completa. (14) Seja M uma 2-variedade Riemanniana completa e com curvatura Gaussiana constante K. Mostre que M é localmente isométrica a H2 , a R2 ou a S2 caso se tenha K = −1, K = 0 ou K = 1, respectivamente. 10 MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS 5. O TEOREMA DE GAUSS-BONNET (1) Mostre que se M é uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa, orientável e com K > 0, então M é homeomorfa à esfera. (2) Mostre que se M é uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa, orientável e de gênero 1, então existe p ∈ M tal que Kp = 0. (3) Mostre que se M é uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa, orientável e de gênero g ≥ 2, então existe p ∈ M tal que Kp < 0. (4) Seja M uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa, orientável. Mostre que são equivalentes: (a) Existe X ∈ X(M ) unitário; (b) χ(M ) = 0; (c) M é difeomorfa ao toro. Conclua que se uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa e orientável possui K = 0, então M é homeomorfa ao toro. (5) Mostre que se P ⊂ H2 é um polı́gono geodésico de n lados cujos vértices estão na reta limite v = 0, então área de P é dada por π(n − 2). Conclua que H2 possui área infinita. A NDR É DE O LIVEIRA G OMES E-mail address: [email protected]