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CÁLCULO II
2007
INSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA
Coordenadora do Curso de Graduação
Sônia Albuquerque - Matemática
Conteudista
Sônia Albuquerque
SUMÁRIO
UNIDADE I
PRIMITIVA
1.1 – Introdução
1.2 – Definição
UNIDADE II
INTEGRAL INDEFINIDA
2.1 - DEFINIÇÃO
2.2 – MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
UNIDADE III
CÁLCULO DE ÁREAS
3.1 –CÁLCULO DE ÁREA UTILIZANDO OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
UNIDADE IV
CÁLCULO DE VOLUMES
4.1 – CÁLCULO DE VOLUMES UTILIZANDO OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Glossário
Referências bibliográficas
ƒ
QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Unidade de Programa
I. PRIMITIVA
Objetivos
-Identificar uma função primitiva.
1.1.INTRODUÇÃO
1.2.DEFINIÇÃO
II. INTEGRAL INDEFINIDA
-Resolver uma integral indefinida
2.1.DEFINIÇÃO
utilizando os diversos métodos de
2.2 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
integração
III. Cálculo de AREA
-Resolver problemas de área de uma
3.1.CÁLCULO DE ÁREAS UTILIZANDO OS
superfície utilizando uma integral
DIVERSOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO.
definida
IV. CÁLCULO DE VOLUMES
-Resolver problemas de volume
4.1.CÁLCULÇO DE VOLUMES
aplicando o conceito de integral
UTILIZANDO OS DIVERSOS MÉTODOS DE
definida
INTEGRAÇÃO
ƒ
CONTEXTUALIZAÇÃO DA DISCIPLINA:
Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido
evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, porém acreditamos ter conseguido
um bom desenvolvimento lógico das unidades, mantendo um certo rigor coerente com o
nível para o qual o material é proposto. O objetivo é fazer com que você compreenda as
idéias básicas da disciplina de Cálculo I e II e, quando necessário, saiba transferir as
estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento.
Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu
aprendizado.
GLOSSÁRIO: INTEGRAL, INTEGRAL INDEFINIDA, INTEGRAL DEFINIDA, CÁLCULO DE
ÁREAS E VOLUME
Objetivo:
- Desenvolver no aluno o raciocínio e criatividade para solucionar problemas que envolvam o cálculo
com integrais. Mostrar as diversas aplicações da integral nas ciências físicas
Bibliografia
GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. LTC, 1995.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. McGraw-Hill, 1993.
MUNEN, Mustafá A. E FOULIS, J. D. Cálculo. Vol. 1. Guanabara, 1982.
SWOKOWSKI, Earl Willian. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. McGraw-Hill, 1993
PRIMITIVA OU ANTIDERIVADA
Definição
“Uma função derivável F(x) denomina-se primitiva (ou antiderivada) de uma outra função f(x) em I (I
⊂ Cf) ⇔ (∀ x ∈ I) : F’(x) = f(x).”
Observação:
Diremos simplesmente que f(x) é uma primitiva (ou antiderivada) de f(x), quando I = Cr.
Exemplos:
1. F(x) = 2 / 3 . x3 – x2 / 2 + 1 é uma primitiva de f(x) = 2 x2 – x;
2. f(X) = x arc senx + √ 1 - x2 e F1(x) = x arc sen x + √ 1 - x2 - 10 são antiderivadas de f(x) = arc
sem x;
3. F(x) = 1 / x (x2 + x – 1 ) é uma primitiva de f(x) = 1 + 1 / x2 .
Proposição:
“Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis num intervalo (ou extensão de intervalo) I. Uma condição
necessária é suficiente para que f(x) e g(x) tenham derivadas iguais em I é que a função diferença f(x)
– g(x) seja constante em I”.
Demonstração:
⇒
Consideremos a função ϑ : I → R definida por ϑ(x) = f(x) – g(x). Das hipóteses do teorema segue que
ϑ(x) é derivável. Assim, aplicando a Fórmula dos Acréscimos Finitos para a função ϑ(x) relativamente
a dois pontos u e x distintos de I, vem ( ∃ ξ ∈ R ) ( ξ= x + (u – x) θ, 0 < θ < 1 ) : ϑ (u) - ϑ(x) = (u – x)
ϑ (ξ). Como a derivada de ϑ (x) se anula em I, tem-se: ϑ (ξ) = 0 ⇒ ϑ (u) = ϑ(x). Sendo u e x
arbitrários, ϑ(x) é constante em I, ou seja, (∃ k ∈ R) : f(x) – g(x) = k.
⇐
Suponhamos que a função diferença f(x) – f(x), isto é, a função ϑ (x) seja constante em I. Como a
derivada de ϑ (x) é nula em I e ϑ’(x) = f’(x) – g’(x) em I, segue imediatamente que f’(x) = g’(x) em I.
Corolário:
“Se f(x) possui uma antiderivada num intervalo I(*), então ela possui uma infinidade de antiderivadas
em I cujas diferenças, duas a duas, são constantes em I.”
Demonstração:
Seja F(x) uma antiderivada de f(x) em I e k uma constante real arbitrária. Como a função F(x) + k é
derivável em I e sua derivada é f(x), F(x) + k para cada constante real k é uma primitiva de f(x) em I e
portanto, existem infinitas primitivas de f(x). Provemos ainda que qualquer primitiva de f(x) é da
forma F(x) + k para alguma constante real k. De fato, se por absurdo, existisse uma primitiva G(x) de
f(x) em I diferente de F(x) + k, para todo k real, por serem G(x) e F(x) primitivas de f(x) em I, viria:
G’(x) = F’(x) = f(x) em I. Mas, pela proposição anterior teríamos a exist6encia de uma constante k0,
de modo que G(x) – F(x) = k0 em I, o que contradiria à hipótese assumida.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Definição:
“Sendo F(x) primitiva de uma função f(x) contínua num intervalo I e K uma constante real
indeterminada, chama-se integral indefinida de f(x) em I e se indica: ∫ f(x) dx, à função F(x) + K
Observação:
Se F(x) é uma primitiva da função contínua f(x) em I, então ( ∫ f(x) dx)’= F’(x) = f(x), ou seja, a função
∫ f(x) dx é uma primitiva (ou antiderivada) genérica de f(x). Por outro lado, temos também d ∫ f(x) dx =
F’(x) dx = f(x) dx. Designando com o termo integração indefinida o processo que nos leva a obter de
uma certa função f(x) a sua integral indefinida e usando o termo (impróprio, mas sugestivo) operação
para as palavras integração, derivação e diferenciação, de significados conhecidos pelo exposto,
podemos dizer que a integração indefinida é a “operação” inversa das “operações”derivação ou
diferenciação. Por outro lado, sendo ∫ f(x) dx = f(x) + K e notando que d F(x) = f(x) dx, por brevidade,
às vezes escrevemos ∫d f(x) ao invés de ∫f(x) dx.
Exemplos:
Na integral indefinida ∫ f(x) dx o símbolo: ∫ chama-se sinal de integral, a função f(x) é a função
integrada, ou simplesmente integranda e a constante k denomina-se constante de integração.
Quando uma função f(x) possui integral indefinida num intervalo, diremos que ela é integrável
segundo Cauchy (Existem autores que denominam função integrável segundo Cauchy a toda
função contínua e limitada num, intervalo, a menos de um número finito de pontos de
descontinuidade, que constitui uma generalização da integrabilidade por nós considerada.) ou
simplesmente é integrável neste intervalo. Usaremos o termo integração para significar o raciocínio
mediante o qual se determina uma primitiva de uma função contínua. No texto que segue, diremos
que uma função contínua é integrável, sem especificar o intervalo em que isso ocorre, quando tal
função é integrável em seu campo de definição, que admitiremos conhecido.
Interpretação Geométrica da Integral
Indefinida
Sendo f(x) integrável no intervalo I, e F(x) uma de suas primitivas, temos por definição: ∫ f(x) dx =
F(x) = k. Supondo que E(x), F(x), G(x) e H(x) sejam algumas das infinitas primitivas de f(x) em I,
representemos seus gráficos ΓE, ΓF, ΓG e ΓH respectivamente, conforme figura a seguir:
Sendo E(x), G(x) e H(x) primitivas de f(x), serão da forma F(x) + k, onde F(x) é a primitiva dada e
k tem valores k1, k2 e k3 respectivamente (k1 < 0, K2 > 0 E K3 > 0). Assim, ( ∀ x ∈ I ) : G(x) =
F(x) + k2, H(x) = F(x) + k3 e E(x) = F(x) + k1.
Conclusão:
“A integral indefinida de uma função, quando existe, representa, geometricamente, uma família de
curvas planas congruentes que, duas a duas podem ser superpostas através de translações
convenientes realizadas na direção do eixo y”.
TEOREMAS SOBRE INTEGRAIS INDEFINIDAS
TEOREMA I 1
“Se f(x) é integrável e c é uma constante real, então c f(x) é integrável e ∫[c f(x)] dx = c ∫f(x)dx(1) “
Demonstração:
F(x) é integrável → f(x) possui uma primitiva F(x) → F’(x) = f(x) → cf(x) = c F’(x) = [c F(x)’→ c
f(x) é uma primitiva de c f (x). Como c f(x) é contínua, ela é integrável.
Para c = 0, o primeiro membro de (1) é constante, enquanto o 2o.membro de (1) é nulo. Assim, por
convenção, consideramos válida a igualdade (1).
Para c ≠ 0 e sendo ∫ f(x) dx = F(x) + k, tem-se: c ∫ f(x) dx = cF(x) + ck. Mas c.k é uma
constante real indeterminada e portanto cx ∫ f(x) dx = ∫ c f(x) dx.
TEOREMA I 2
“Se f(x) e g(x) são integráveis então f(x) +/- g(x) são integráveis e ∫[f(x) +/- g(x)] dx = ∫f(x) dx +/∫g(x) dx.”
Demonstração
F(x) é integrável ⇒ f(x) possui uma primitiva F(x)
G(x) é integrável ⇒ g(x) possui uma primitiva G(x).
Portanto, F’(x) +/- G’(x) = [F(x) +/- G(x)]’ = f(x) +/- g(x) ⇒ F(x) +/- G(x) são primitivas de f(x)
+/- g(x). como f(x) +/- g(x) são contínuas, serão também integráveis.
Sendo e ∫ f(x) dx = F(x) + k1 e ∫ g(x) dx = G(x) + k2, temos: ∫f(x) dx +/- ∫g(x) dx = [F(x) +/G(x)] + (k1 +/- k2) e como k1 +/- k2 são constantes indeterminadas, vem finalmente: ∫f(x) dx +/∫g(x) dx = ∫(f(x) dx +/- g(x)) dx.
Este teorema pode ser generalizado para o caso de n funções (n>,2)’integráveis: “Se fi(x) (i=
1,2,...,n) são integráveis então n Σ i=i é integrável e ∫ n Σ i=i fi(x) dx = nΣ i=i e ∫fi(x) dx”.
Sugerimos ao leitor a demonstração deste resultado utilizando o Princípio da Indução finita sobre
n.
TEOREMA I 3
“Sendo u= f(x) e v = g(g) funções deriváveis com derivadas de 1a. ordem contínuas, se f’(x) x g(x)
é integrável, então f(x) x g’(x) também é integrável e tem-se: ∫f(x) g’(x) dx = f(x) x g(x) - ∫g(x)
f’(x) dx e se indica: ∫u dv = u . v - ∫ v du.”
Demonstração:
Sendo f(x) deriváveis, tem-se: f(x) x g(x) é derivável e (f(x) . g(x))’= f’(x.g(x) + f(x) g’(x) ⇒ f(x) .
g’(x) =(f(x) . g(x))’- g(x) . f’(x).
Mas (f(x). g(x))’ é integrável, pois é contínua e f(x) x g(x) é uma primitiva da mesma; como por
hipótese, g(x) x f’(x) é integrável, pelo Teorema I2 (f(x) g(x))’- g(x). f’(x) é integrável ⇒ f(x) .
g’(x) é integrável.
Sendo H(x) uma primitiva de f’(x) x g(x), ∫f’(x) x g(x) dx = H(x) + k2 e ∫ (f(x).g(x))’dx = f(x) .
g(x) + k1, usando a formula garantida pelo Teorema I2, vem: ∫ f(x) x g’(x) dx = ∫[(f(x) x g(x))’g(x) x f’(x)] dx = ∫(f(x) x g(x))’dx - ∫g (x) x f’(x) dx = f(x) x g(x) – [H(x) + (k2 – k1)]. Como f(x) x
g(x) – H(x) é uma primitiva de f(x) . g’(x) e k1 – k2 é uma constante real indeterminada, vem
finalmente que ∫ f(x) x g’(x) dx = f(x) x g(x) - ∫ f’(x) g(x) dx ou abreviadamente, ∫u dv = u . v - ∫ v
du.
TEOREMA I 4
“Se f(u) é uma função integrável e g(x) é uma função derivável com derivada contínua (g(Cg) ⊂
Cf), então (fog) (x) . g’(x)(*) é integrável e ∫ f(u) du = ∫(fog) (x) . g’(x) dx (u = g(x)).”
Demonstração:
f(u) é integrável ⇒ f(u) possui uma primitiva F(u).
Mas g(x) é derivável por hipótese. Logo, pelo Teorema D5, (Fog) (x) é derivável e fazendo u =
g(x), tem-se (Fog)’(x) = F’(u) . g’(x) = f(u) . g’(x) = (fog) (x) . g’(x). Assim, (Fog) (x) é primitiva
de (fog) (x) . g’(x) e, como esta é contínua, será também integrável. Sendo ∫ f(u) du = F(u) + k =
(Fog) (x) + k, por ser k uma constante real indeterminada, vem: ∫f(u) du = ∫ (fog) (x) . g’(x) dx.
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PRIMITIVAS E INTEGRAIS IMEDIATAS
São chamas de imediatas as primitivas que se deduzem da tabela das derivadas das funções
elementares, como conseqüência imediata da definição de primitiva. As integrais correspondentes
às primitivas imediatas chamaremos de integrais imediatas. Relacionaremos a seguir, numa tabela,
as integrais imediatas, as quais o leitor poderá facilmente justificar pela definição de integral
indefinida.
y = f(x)
y=0
y=1
y = xα (α ≠ - 1)
Integral Indefinida de f(x)
∫0 dx = k (k = constante)
∫dx = x + k
y = 1/x
y = sen x
y = cos x
y = sec2 x
y = sec x . tg x
y = cosec2x
y = cosec x . cotg x
y = 1/ x2 + 1
y = 1/ √1 –x2
y = 1/x√x2 – 1
y = ax (0 < a ≠ 1)
∫dx/x = log ⏐x ⏐ + k
∫sem x dx = - cos x + k
∫cos x dx = sem x + k
∫sec2 x dx = tg x + k
∫sec x . tg x dx = sec x + k
∫cosec2 x dx = - cotg x + k
∫cosec x . cotg x dx = - cosec x + k
∫dx / 1 + x2 = arctg x + k1 = - arccotg x + k2
∫dx/ √1 – x2 = arc sem x + k1 = - arcos x+k2
∫dx/x√x2 – 1 = arcsec x + k1 = - arccosec x + k2
∫axdx = 1/log a ax + k
•
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Pelo que vimos em exemplos, e da tabela anterior, para determinar a integral indefinida de uma
função f(x), devemos procurar uma nova função F(x) cuja derivada seja a própria função dada,
caso uma tal função exista. Como foi observado, quando f(x) é contínua num intervalo, demonstrase que ela possui primitiva que pode ou não ser expressa por meio de funções elementares. Como
as funções elementares ou suas combinações são continuas em qualquer intervalo contido em seus
campos de definição, elas são integráveis nestes intervalos. No estudo que segue, interessa-nos
saber quando uma função continua possui alguma primitiva elementar (primitiva que pode ser
obtida em termos de funções elementares) e como determinar explicitamente uma tal primitiva. Na
tentativa de determinar uma primitiva elementar da função dada, utilizamos um raciocínio que
poderíamos chamar de invertido em relação ao usado para encontrar a derivada de uma certa
função. Por isso, de acordo com uma observação anterior, costuma-se dizer que a integração é a
“operação” inversa da derivação. Por outro lado, enquanto na derivação de função, quando dadas
por meio de funções elementares submetidas, um número finito de vezes, a operações algébricas
ou passagens de função de função, utilizamos regras e fórmulas bem determinadas, que sempre nos
permitem encontrar suas derivadas, no caso da integração indefinida o processo de achar as
primitivas não imediatas, é livre e não obedece, em geral, a formulas bem determinadas. Alem
disso, existem muitas funções, relativamente simples, cujas primitivas não podem ser expressas
por meio de funções elementares, como ocorre, por exemplo, com as funções
.Estas funções
não tem primitivas elementares. A diretriz geral que deve nortear-nos para determinação de uma
primitiva elementar de uma função dada, é procurar, através de artifícios ou passagens engenhosas,
cair em algumas das primitivas imediatas, as quais devemos conhecer de memória.
Freqüentemente podemos chegar a resultados equivalentes utilizando artifícios diferentes, que
correspondem a caminhos, uns muitas vezes mais simples que outros. À as vezes, para efetuar uma
integração, por um certo encaminhamento gasta-se paginas e paginas; por outro, chega-se ao
resultado através de algumas linhas. Cabe, portanto, a cada um, descobrir o caminho melhor a ser
seguido, na integração de uma função; para isto, porem deve-se adquirir uma certa pratica através
de muitos exercícios.
Apesar de não existirem regras bem definidas para encontrar primitivas elementares de
funções, utiliza-se alguns processos gerais, chamados Métodos de Integração, com auxilio dos
quais se consegue, para certas classes de funções, simplificações convenientes que redundam em
primitivas imediatas, ou pelo menos permitem prever a existência ou não de primitivas
elementares. Pode ocorrer também que, ao aplicar um método, a função integrada se transforma
em mais complicada; neste caso convém tentar encaminhar a integração por outro método. Muitas
vezes, por métodos diferentes, chegamos à primitiva desejada. Nestes casos, escolhemos, de
preferencia, o método que simplifica mais as passagens.
I -- Método da Substituição
Este método consiste no emprego da fórmula:
∫f(u)du = ∫fog(x) . g’(x) dx (u = g(x))
que em certas hipóteses estabelecidas, é garantida pelo Teorema I4.
Exemplos:
Observação
Este método é sempre indicado quando a integranda f(x) pode ser colocada na forma αog(x) g’(x):
neste caso, com a substituição u = g(x), a nova integranda será α(u), que certamente será mais simples
que a anterior. O importante é verificar, se a integral pode ser colocada em função de certa expressão
multiplicada pela derivada da mesma, eventualmente a menos de um fator multiplicativo constante.
Substitui-se, então, a expressão em questão por uma nova variável. Um caso particular frequente é
quando f(x) tem a forma α(ax + b) (a, b∈R; a ≠o). Neste caso tem-se:
onde a função u = g(x) = ax + b tem derivada 1, a menos do fator multiplicativo a. (exemplos 1. e 5.).
O estudioso, após adquirir uma certa prática, em lugar de efetuar substituições introduzindo novas
variáveis, pode indicar simplesmente as passagens, mantendo a variável original, como ocorre nos
exemplos seguintes:
II— Método da Decomposição
Neste método utilizamos a fórmula ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx que, em certas hipóteses,
resulta do Teorema I2 e que, como consta na observação após a demonstração desse teorema, pode ser
generalizado para soma ou diferença de n (n > 2) funções..
Para aplicar este método, procura-se decompor a integranda numa soma ou diferença de
funções mais simples, integrando-as separadamente, caso sejam integráveis elementarmente; somando
ou subtraindo as primitivas parciais encontradas, resulta a primitiva desejada.
Exemplos
Da Álgebra sabemos que a função
pode ser decomposta na soma de duas
frações mais simples da forma:
de identidade entre funções racionais, vem:
, onde a e b são constantes convenientes. Pelo princípio
sendo k uma constante indeterminada igual à diferença entre as constantes introduzidas em cada uma
das duas integrações realizadas.
A integranda é uma função racional com o grau do seu numerador 2x3 + 1 menor que o do seu
denominador (x + 1)2 ( 3x2 + 1). Neste caso da Álgebra sabemos que:
onde a, b, c e d são constantes reais convenientes. Portanto, devemos ter :
2x 3 + 1 = (x +1) (3x 2 + 1)a + (3x 2 + 1)b + (x + 1)2 (cx + d) =
= (3a + c) x3 + (3a + 3b + 2c + d) x2 + (a + c + 2d)x + (a + b + d).
As constantes a, b, c, d serão dadas pela solução do sistema :
3a + c = 2
3a +3 b + 2c + d = 0.
a + c + 2d = 0
a + b + d = 1,
onde k
é a soma algébrica das constantes indeterminadas introduzidas nas integrações efetuadas.
III – Método da Integração por Partes
Este método utiliza a fórmula ∫u dv = uv - ∫ v du, demonstrada dentro de condições explicitadas,
no Teorema I 3 .
•
Método da Integração por Partes é usado, de preferência, na integração de funções
transcendentes ou produtos de funções racionais algébricas por funções transcendentes
elementares, se bem que pode também ser aplicado em certas integrais de funções algébricas,
como veremos em exemplos a seguir.
Observação:
Nas integrações que fizermos por este método, e também em outros casos quando convier,
doravante convencionaremos não escrever as constantes de integração dos resultados parciais,
mas unicamente a da resposta final.
Exemplos:
EXERCÍCIIOS SUPLE
E
EMENTAR
RES
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.--
9.-
100.-
111.-
12.-
ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE PLANA
APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE PLANA
b
A = ∫ [ f ( x) − g ( x)].dx
a
∑ h(w ).Δx = ∑ [ f (w ) − g (w )]Δx
k
k
k
k
k
k
k
lim ∑ (hwk ).Δxk = ∫ h( x).dx
b
P →0
a
b
A = ∫ [ f ( x) − g ( x)].dx
a
Se f e g são contínuas e f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b],
então a área da região delimitada pelos gráficos de f, g, x
= a, x = b é
b
A = ∫ [ f ( x) − g ( x)].dx
a
Método para resolução:
1. Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira
superior, e y = g(x) a fronteira inferior. Achar o
menor valor x = a e o valor x = b dos pontos (x, y) na
região.
2. Esboçar um retângulo vertical típico e designar por
dx a sua largura
3. Expressar a área do retângulo como [f(x) – g(x)].dx
4. Aplicar a integrar nos limites x = a, x = b.
Exemplo:
1 ⎤
⎡
A1 = ∫ ⎢( x + 6) − ( − x ) ⎥ dx
−4
2 ⎦
⎣
0
2
[
]
A2 = ∫ ( x + 6) − x 3 dx
0
A = A1 + A2
REGIÃO R1
Front. superior
y=x+6
Front. inferior
y = -(1/2).x
Larg.
do dx
REGIÃO R2
y=x+6
y = x3
dx
retângulo
Comp.
do (x + 6) – (-1/2.x)
(x + 6) – x3
retângulo
Área do retângulo [(x + 6) – (- [(x + 6) – x3].dx
1/2.x)].dx
.
A = A1 + A2
A = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx + ∫ [g ( x ) − f ( x )]dx
c
b
a
c
VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
– MÉTODO DOS DISCOS CIRCULARES -
dV = πr .dx = π [ f ( x )] .dx
2
2
V =∫
x =b
x=a
dV = ∫ π [ f ( x )] .dx
b
2
a
Ex. Use o método dos discos circulares para determinar o
volume V do sólido S gerado pela revolução da
região R sob o gráfico da função f dada, no intervalo
indicado [a,
b], em torno
do eixo x.
f ( x) = x
[1,2]
3
O método pode também ser usado quando a região plana
R gira em torno do eixo y.
dV = ∫ π [g ( y )] .dy
b
a
Ex.
Calcule
o
volume
do
sólido S gerado
pela revolução
da região R,
pelo eixo y,
pela linha y = 4
e pelo gráfico
de y = x2 para
x ≥ 0, em torno
do eixo y.
MÉTODO DOS ANÉIS CIRCULARES.
f (x) > g (x)
2
{
}
dV = π [ f ( x )] − π [g ( x )] dx
2
2
V =π∫
b
a
{[ f ( x)] − [g ( x)] }dx
2
2
Ex.: Usando o método dos anéis circulares, determine o
volume V do sólido S gerado pela revolução da
região R em torno do eixo x, onde R é limitada pelas
curvas y = x2 e y = x + 2.
ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE PLANA
VOLUMES PELO MÉTODO DE DIVISÃO
FATIAS.
EM
O método também pode ser usado com rotação no eixo y
Ex1: Use o
método
dos
anéis
circulares para determinar o volume V do sólido de
revolução S gerado pela revolução da região R em
torno do eixo y, onde R é a região plana limitada à
direita pelo gráfico de x = 2, à esquerda pelo gráfico
de y = x3 e abaixo pelo eixo x.
Ex2: Determine o volume do sólido S obtido pela
revolução da região R em torno da linha x = 6, onde
R é limitada pelos gráficos de y2 = 4x e x = 4.
MÉTODO DAS CAMADAS CILÍNDRICAS
f ( x) > g ( x)
V = ∫ 2πx[ f ( x ) − g ( x )]dx
b
a
Ex.: Seja a região plana limitada pelos gráficos de y = x3/2,
y = 1 e x = 3, e seja S o sólido gerado pela revolução
de R em torno do eixo y. Use o método das cascas
cilíndricas para determinar o volume V de S.
VOLUMES
FATIAS.
PELO
MÉTODO
DE
DIVISÃO
EM
Ex.: Calcule o volume de um sólido cuja base é um círculo
de raio 2, se todas as seções de corte perpendiculares
a um diâmetro fixo da base forem quadrados.
Ex.: Calcule o volume de cone
sólido circular reto de
altura 30 cm se o raio da
base é 10 cm.
Ex.: A gasolina é
armazenada
num
tanque esférico de
raio r = 10 m.
Quantos
metros
cúbicos de gasolina
estão no tanque se a
superfície
da
gasolina está 3 m
abaixo do centro do
tanque.
Ex.: Um sólido tem como
base, a região circular
do plano xy delimitada
pelo gráfico de x2 + y2 =
a2 com a > 0. Ache o
volume do sólido, se
toda secção transversa
por
um
plano
perpendicular ao eixo x
é
um
triângulo
eqüilátero com um lado
na base.
COMPRIMENTO DO ARCO .
(ds) = (dx) + (dy)
2
2
⎡ ⎛ dy ⎞
(ds) = ⎢1 + ⎜ ⎟
⎢⎣ ⎝ dx ⎠
2
2
2
⎤
2
⎥(dx)
⎥⎦
s=
∫
b
a
1 + [ f ' ( x )] 2 dx
Ex 1.: Se f(x) = 3x2/3 – 10, determine o comprimento do
arco do gráfico de f do ponto A(8,2) a B(27,17).
Ex2 : Calcule o comprimento do arco do gráfico da
equação 8x = y4 + 2/y2 de (3/8, 1) a (33/16, 2).