Raízes n-ésimas
A raiz n-ésima de um número complexo s é o complexo z ⇔ zn = s
Vamos ver que os complexos possuem n raízes diferentes!!!
Em coordenadas polares: s = r (cos θ + i sen θ) e z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ)
Aplicando Moivre teremos:
r (cos θ + i sen θ) = ρn (cos nϕ + i sen nϕ)
Portanto:
ρn cos nϕ = r cos θ
ρn = r ⇒ ρ = (r)1/n
nϕ = θ + 2kπ; k = 0, 1, 2, 3, 4,...
ρn sen nϕ = r sen θ
Portanto:
θ + 2kπ
θ + 2kπ 

z k = s = r  cos
+ i sen

n
n 

n
n
Se k ≥ n, as raízes se repetem e basta tomar k = 0, 1, ... , n-1 para esta
fórmula produzir n raízes distintas do número complexo s.
(1)
Raízes n-ésimas
Exemplo 1: As raízes cúbicas do número complexo 8i podem ser obtidas da
seguinte forma. Se s = 0 + 8i, então |s| = 8 e θ = π/2.
Logo o módulo é:
3
r =3 8 =2
É os argumentos são ϕ = (θ + 2kπ)/n
As raízes de s são:
ϕ0 = (π/2 + 0π)/3 = π/6
ϕ1 = (π/2 + 2π)/3 = 5π/6
ϕ2 = (π/2 + 4π)/3 = 3π/2
w0 = 2[cos (π/6) + i sen (π/6) ] = (3)½ + i
w1 = 2[cos (5π/6) + i sen (5π/6)] = - (3)½ + i
w2 = 2[cos (3π/2) + i sen (3π/2)] = -2i
As n raízes de um número complexo s pertencem a
uma circunferência com o centro na origem e raio
igual a |s|1/n, esses números dividem esta
circunferência em n partes iguais.
(2)
Raízes n-ésimas
Exemplo 2: Para resolver a equação complexa s6-1=0, basta obter as 6
raízes complexas da unidade, ou seja, obter todos os ω tal que ω6 = 1.
Tomaremos s = 1+0i, evidentemente |s|=1, θ = 0 e os argumentos das raízes
são:
θ + 2kπ
θ + 2kπ 
ϕ0 = (0 + 0π)/6 = 0π/3 = 0

z k = n s = n r  cos
+ i sen

n
n 

ϕ1 = (0 + 2π)/6 = 1π/3 = π/3
ϕ2 = (0 + 4π)/6 = 2π/3 = 2π/3
ϕ3 = (0 + 6π)/6 = 3π/3 = π
ϕ4 = (0 + 8π)/6 = 4π/3 = 4π/3
ϕ5 = (0 + 10π)/6 = 5π/3 = 5π/3
As raízes são:
ω0 = [cos (0)
+ i sen (0)
]= 1
ω1 = [cos (π/3 ) + i sen (π/3 ) ] = 1/2 + i (3)½/2
ω2 = [cos (2π/3 ) + i sen (2π/3 )] = - 1/2 + i (3)½/2
ω3 = [cos (π)
+ i sen (π)
] = -1
ω4 = [cos (4π/3 ) + i sen (4π/3 )] = - 1/2 - i (3)½/2
ω5 = [cos (5π/3 ) + i sen (5π/3 )] = 1/2 - i (3)½/2
(3)
Raízes n-ésimas
No caso da raiz n-ésima da unidade a fórmula geral
θ + 2kπ
θ + 2kπ 

zk = s = r  cos
+ i sen

n
n 

n
n
ficou reduzida a:
2kπ
2kπ
ωk = cos
+ i sen
n
n
Se definimos :
2π
2π
ω ≡ cos
+ i sen
n
n
e utilizamos a fórmula de Moivre, veremos que as raízes n-ésimas da
unidade são dadas por 1, ω, ω2, ..., ωn-1 (e são os vértices de um
polígono regular de n lados).
(4)
Raízes n-ésimas
Assim, a equação geral
θ + 2kπ
θ + 2kπ 

n
n
z
=
s
=
r
cos
+
i
sen


(para qualquer complexo s): k
n
n 

poderia ser
re-escrita:
ou seja,
θ
θ 
2kπ
2kπ 

z k = s = r  cos + isen  cos
+ i sen

n
n 
n
n 

n
n
θ
θ k

zk = r  cos + i sen  ω
n
n

n
k = 0, 1, ... , n-1.
Esta expressão diz que as raízes n-ésimas (zk) de um número complexo
s podem ser obtidas como o produto de uma de suas raízes particulares
θ
θ

z0 = r  cos + i sen 
n
n

n
multiplicada pelas raízes n-ésimas da unidade 1, ω, ω2, ..., ωn-1
(5)
Raízes n-ésimas
Lembrando o exemplo 1 (As raízes cúbicas do número complexo 8i)
poderíamos ter feito o seguinte para achar as raízes
As raízes cúbicas da unidade são 1, ω, ω2. Assim :
2π
2π
ω ≡ cos
+ i sen
n
n
Lembrando nossa definição
1
3
com n=3 teríamos ⇒ ω = cos 2π + i sen 2π = ω = − + i
2
2
3
3
1
3
ω = − +i
2
2
logo
4π
4π
1
3
+ i sen
= − −i
ω = cos
ω =1
3
3
2
2
π
π



θ
θ

n
z0 = r  cos + i sen 
z0 = 3 8  cos 2 + i sen 2 
n
n
3
3






π
π 0

z0 = 2 cos + i sen  ω = 3 + i
6
6

 1
3
z1 =
2
1
0
(
 1
3

 = − 3 +i
3 + i − + i
2 
 2
)
(
z2 =
)
(
)
 = −2i
3 + i  − − i
2 
 2
(6)
Raízes primitivas
Definição: lembrando que uma raiz n-ésima da unidade, onde n = 1, 2, 3,...,
é um número complexo z que satisfaze a equação zn = 1.
Uma raiz n-ésima da unidade é chamada primitiva se satisfaz a equação:
zk ≠ 1 (k = 1, 2, 3,..., n-1).
É claro que, qualquer que seja n ω ≡ cos
2π
2π
+ i sen
n
n
é raiz primitiva
Ela é a primeira raiz que ocorre quando percorremos o círculo unitário no
sentido anti-horário a partir da unidade real.
Ou seja, uma raiz n-ésima da unidade é chamada de primitiva quando ela não
é também uma raiz m-ésima da unidade para m < n.
Por exemplo, i é uma raiz quarta e também é uma raiz oitava da unidade, mas
é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade (pois para n = 8 ela já é raiz
para m = 4 ou seja m < n).
Vejamos outros exemplos
(7)
Raízes primitivas
Como já assinalamos, uma raiz n-ésima primitiva da unidade é:
pois: 
e

e:
2π i
n

e


2π i
n
e
2π i
n
k
2 kπ i

 = e n ≠ 1 (k = 1, 2, 3,..., n − 1)


n
2 nπ i

 = e n =1


1. O que podemos dizer das raízes quadradas da unidade?
Bom..., elas são +1 e -1! (podem conferir!)
+1 é uma raiz quadrada da unidade pois (+1)2 = 1, mas não é primitiva
pois (+1)1 = 1.
Já a raiz -1 é uma raiz quadrada primitiva da unidade pois (-1)1 ≠ 1 e
(-1)2 = 1.
Para n>2 as raízes n-ésimas primitivas da unidade são números
complexos não reais (pois o 1 e -1 já foram!!!!)
(8)
Raízes primitivas
2. O que podemos dizer das raízes cúbicas da unidade? Quantas são
primitivas?
ω 0 = [cos(0) + isen(0)] = 1 + i 0 = e 0 = 1
2π
2π 
1
3

=e
ω 1= cos( ) + isen( ) = − + i
3
3 
2
2

2π i
3
4π
4π 
1
3

ω 2 = cos( ) + isen( ) = − − i
=e
3
3 
2
2

4π i
3
=e
−
2π i
3
ω1 e ω2 são primitivas!!!
ω1
ω0
ω2
(9)
Raízes primitivas
3. O que podemos dizer das raízes quartas da unidade? Quantas são
primitivas?
ω 0 = [cos(0) + isen(0)] = 1 + i 0 = e 0 = 1
π
i
2π
2π 

ω 1= cos( ) + isen( ) = i = e 2
4
4 

4π
4π 

ω 2 = cos( ) + isen( ) = −1 = e iπ
4
4 

i
6π
6π 

ω 3= cos( ) + isen( ) = −i = e
4
4 

ω1
ω1 e ω3 são primitivas!!!
3π
2
=e
−i
π
2
ω0
ω2
ω3
(10)
Raízes primitivas
4. O que podemos dizer das raízes quintas da unidade? Quantas são
primitivas?
ω 0 = [cos(0) + isen(0)] = 1 + i 0 = e 0 = 1
2π
2π  i

ω 1= cos( ) + isen( ) = e
5
5 

2π
5
4π
4π  i

ω 2 = cos( ) + isen( ) = e
5 
5

4π
5
6π
6π  i

ω 3= cos( ) + isen( ) = e
5
5 

6π
5
8π
8π  i

ω 4 = cos( ) + isen( ) = e
5
5 

8π
5
ω1
ω2
=e
=e
−i
−i
ω0
4π
5
2π
5
ω3
ω4
ω1 ω2 ω3 ω4 são primitivas!!!
(11)
Raízes primitivas
5. O que podemos dizer das raízes sextas da unidade? Quantas são
primitivas?
ω 0 = [cos(0) + i sen(0)] = 1 + i 0 = e 0 = 1
ω1
π
i
2π
2π  1
3

ω 1= cos( ) + i sen( ) = + i
=e 3
6
6  2
2

ω2
i
4π
4π 
1
3

ω 2 = cos( ) + i sen( ) = − + i
=e
6
6 
2
2

6π
6π 

ω 3= cos( ) + i sen( ) = −1 = e iπ = e −iπ
6
6 

8π
8π 
1
3

ω 4 = cos( ) + i sen( ) = − − i
=e
6
6 
2
2

2π
3
ω3
ω4
4π i
3
i
10π
10π  1
3

) + i sen(
) = − i
=e
ω 5 = cos(
6
6  2
2

ω0
5π
3
=e
−i
=e
ω5
2π
3
−i
π
3
ω1 e ω5 são primitivas!!!
(12)
Exercícios
1. Determine as raízes e represente-as geometricamente.
3
−1
2i
3
i
(13)
Exercícios para casa
1. Determine as raízes e represente-as geometricamente.
− 2i
3
−i
4
−1+ i 3
2. Quantas raízes sétimas da unidade são primitivas ?
3. Quantas raízes oitavas da unidade são primitivas ?
(14)