Lei Quantitativa
Lei que diz respeito a
variação da quantidade.
instrumentos para o estudo das leis quantitativas
Incógnita
São símbolos (letras) que são usados
para representar valores desconhecidos específicos.
Variável (Número Genérico)
São símbolos (letras) que são usados para representar
quantidades que variam ou mudam.
Função:
Instrumento próprio para o estudo das
leis quantitativas. As funções são relações ou regras (leis)
que associam exclusivamente os membros de um
conjunto com os membros de outro conjunto.
instrumentos para o estudo das leis quantitativas
Função:
Instrumento próprio para o estudo das leis quantitativas;
As funções são relações ou regras (leis) que associam
exclusivamente os membros de um conjunto com os
membros de outro conjunto.
Escrita algébrica: lei analítica
modo de estabelecer a correspondência entre duas variáveis.
Escrita gráfica: pontos, retas e curvas (lei geométrica)
Escrita tabular: tabelas
Termo
Desconhecido
• Valor da variável a ser determinado;
• Representação de quantidades
desconhecidas ;
• Equações e expressões algébricas
que descrevem relacionamentos
entre dados fornecidos.
TD1 – Reconhecer e identificar numa situação-problema a
presença de algo desconhecido que pode ser determinado,
considerando as limitações do problema;
TD2 – Interpretar a variável simbólica que aparece na
equação, como um ente que pode assumir valores
específicos;
TD3 – Substituir a incógnita pelo valor ou valores que
faz ou fazem da equação uma indicação verdadeira;
TD4 – Determinar a incógnita que aparece na equação ou nos
problemas, executando as operações algébricas e/ou
aritméticas requeridas;
TD5 – Identificar a incógnita em uma situação específica e
representá-la simbolicamente numa equação.
No caminho de peregrinação à Meca, o marajó de Laore e Délhi,
Cluzir Schá, foi apresentado ao geômetra Beremiz Samir. O
calculista lhe contou uma lenda sobre o sábio Bháskara. Para
homenagear a filha Lilaváti, Bháskara perpetuou seu nome em
um livro. Pois o príncipe nunca esqueceu da história e quis
também escrever um livro para sua própria menina.
Entusiasmado com as lições numéricas do homem que calculava,
preparou-lhe um bilhete para enviar junto com a obra:
“Admirado Beremiz, se leres três páginas por dia, terá
consumado a leitura 16 dias mais tarde do que se dedicasse
cada dia a cinco páginas. Seja como for, espero o tempo
necessário para ter sua opinião”. Antes mesmo de ver o livro,
certamente Beremiz soube quantas páginas ele tinha. E você
saberia dizer quantas páginas há nesse livro?
Nº de Dias
3 páginas
por dia
5 páginas
por dia
01
02
03
06
05
10
Diferença
entre o nº
de páginas
lidas
02
04
03
04
05
...
09
12
15
...
15
20
25
...
06
08
10
...
20
...
36
60
...
108
100
...
100
40
...
-8
TD1 – Reconhecer e identificar numa situação-problema a presença de
algo desconhecido que pode ser determinado, considerando as
limitações do problema;
Determinar o total de páginas existentes no livro
indicado pelo problema.
TD5 – Identificar a incógnita em uma situação específica e representá-la
simbolicamente numa equação;
Total de páginas do livro
Sentença fechada (equação)
Incógnita
x
3

x
5
 16
TD2 – Interpretar a variável simbólica que aparece na equação, como um
ente que pode assumir valores específicos;
O livro possui a quantidade de páginas fixa, a qual
será indicada por um número, solução da equação
dada. Portanto “x” só poderá assumir um valor que
torne a sentença (equação) verdadeira.
TD4 – Determinar a incógnita que aparece na equação ou nos problemas,
executando as operações algébricas e/ou aritméticas requeridas;
x

x
 16
3 5
5 x 3x 240


15 15 15
5x = 3x + 240
5x - 3x = 240
2x = 240
Reescrever as frações (equivalentes)! Aritmética
Ampliar 15 vezes todos os termos! Aritmética
Adicionar, a ambos os membros da equação, o oposto
do monômio “3x”!
Op. Algébrica
Dividir por 2, os membros da equação. Aritmética
x = 120 páginas
TD3 – Substituir a incógnita pelo valor ou valores que faz ou fazem da
equação uma indicação verdadeira;
O único valor que torna a sentença fechada (equação) “
x/3 = x/5 + 16 (dias)” verdadeira é x = 120 páginas.
(120/3 = 120/5 + 16)
Total de dias
Incógnita “x”
Escrita Matemática (equação): 3x + 48 = 5x
Solução da equação
x = 24 dias
Solução do problema:
(5 páginas/dia) . 24 dias = 120 páginas
ou ainda
(3páginas/dia).24 dias + 48 páginas = 120 páginas
Obs.: É extremamente importante perceber que neste
contexto interpretativo a incógnita não é a solução do
problema!!!
Número Genérico
•
•
•
•
Reconhecimento de:
regras gerais;
padrões numéricos;
padrões geométricos.
Podemos entender por variável, “o
tempo, a distância ou qualquer outra
grandeza variável”;
O desenvolvimento histórico do
conceito de variável apresenta uma
relação direta com o conceito de número,
de movimento e com o desenvolvimento
da Física.
NG1 – Reconhecer um padrão, perceber regras nas
sequencias e em problemas similares;
NG2 – Interpretar uma variável simbólica como um
representante geral, entidade indeterminada que pode assumir
qualquer valor;
NG3 – Interpretar a variável simbólica como um
objeto indeterminado que se pode operar;
NG4 – Desenvolver a ideia de método geral que
distingue as variáveis das constantes em problemas
similares, até chegar a uma simbolização de um método
geral e do objeto geral no qual atua;
NG5 – Manipular um símbolo para simplificar ou desenvolver
expressões algébricas.
Com base na sequência algébrica, responda:
2x + 4; 4x + 4; 6x + 4; ...
a) Há algum padrão entre os termos algébricos? Caso haja,
indique-o.
A partir da expressão 2x + 4, basta adicionar 2x ao termo da
expressão anterior.
NG1 – Reconhecer um padrão, perceber regras nas sequências e em
problemas similares;
b) A variável pode assumir quais valores?
Qualquer valor.
NG2 – Interpretar uma variável simbólica como um representante
geral, entidade indeterminada que pode assumir qualquer valor;
Com base na sequência algébrica, responda:
2x + 4; 4x + 4; 6x + 4; ...
c) Há alguma relação entre esta sequência e a sequência dada?
Caso haja, indique.
x2 + 2x; 2x2 + 2x; 3x2 + 2x; ...
Sim. Basta multiplicar cada expressão da sequência inicial por
x/2.
NG3 – Interpretar a variável simbólica como um objeto indeterminado
que se pode operar;
Com base na sequência algébrica, responda:
2x + 4; 4x + 4; 6x + 4; ...
d) Monte algumas sequências aritméticas possíveis de serem
determinadas explorando apenas o termo 2x + k, com k
pertencente ao conjunto dos Número Naturais.
Para k = 3 e x € N : 5; 7; 9; 11; 13; ...
Para k = 4 e x € N : 6; 8; 10; 12; 14; ...
NG4 – Desenvolver a ideia de método geral que distingue as variáveis
das constantes em problemas similares, até chegar a uma simbolização
de um método geral e do objeto geral no qual atua;
Com base na sequência algébrica, responda:
2x + 4; 4x + 4; 6x + 4; ...
e) Indique a sequência que será formada se multiplicarmos cada
termo da sequência por 3y.
6xy + 12y; 12xy + 12y ; 18xy + 12y; ...
NG5 – Manipular um símbolo para simplificar ou desenvolver
expressões algébricas.
Relacionamento
Funcional
• Reconhecimento de situações
em que ocorre a variação
simultânea das variáveis;
• Função: determinação do valor
de uma das variáveis quando a
outra é reconhecida (variável
dependente e independente) .
RF1 – Reconhecer as correspondências relacionadas
entre
as
incógnitas
independentemente
das
representações utilizadas (tabelas, gráficos, problemas
verbais, expressões analíticas);
RF2 – Determinar os valores da variável dependente pelo
valor dado a uma independente;
RF3 – Determinar os valores da variável
independente dado o valor da dependente;
);
RF4 – Reconhecer a variação comum das variáveis envolvidas
em uma relação independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, expressões analíticas;
RF5 – Determinar o intervalo da variação de uma variável
dada e o intervalo da variação da outra;
RF6 – Expressar um relacionamento funcional
de forma tabular, gráfica e/ou analítica baseado
na análise dos dados de um problema.
Um experimento consiste em colocar
certa quantidade de bolas de vidro
idênticas em um copo com água até
certo nível e medir o nível da água,
conforme ilustrado na figura a seguir.
Como resultado do experimento,
conclui-se que o nível da água é função
do número de bolas de vidro que são
colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns
resultados do experimento realizado.
Número de bolas
Nível da água
5
10
15
6,35 cm
6,70 cm
7,05 cm
Lei Quantitativa
Variáveis: quantidades que variam ou mudam
Número de bolas (x) – variável independente
Nível de água (y) – variável dependente
Escrita Matemática: y = f(x)
Função
RF1 – Reconhecer as correspondências relacionadas entre as
incógnitas, independentemente das representações utilizadas
(tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);
Perceber a relação existente entre o nível da água e a
quantidade de bolinhas a serem inseridas no recipiente.
RF2 – Determinar os valores da variável dependente pelo valor
dado a uma independente.
Se colocarmos 7 bolinhas no copo, o nível da água,
registrada na régua graduada, será de:
6,00 cm + 0,07 cm x 7 = 6,00 cm + 0,49 cm = 6,49 cm
RF3 – Determinar os valores da variável independente (incógnita)
dado o valor da dependente.
Para que a água atinja uma altura de 7,26 cm, registrada na
régua graduada, são necessárias 18 bolinhas dentro do
copo.
RF4 – Reconhecer a variação comum das variáveis envolvidas em uma
relação independentemente da representação utilizada (tabelas,
gráficos, expressões analíticas);
Para cada bolinha colocada no copo, o nível da água aumenta
em 0,07 cm.
RF5 – Determinar o intervalo da variação de uma variável dada e o
intervalo da variação da outra;
Representando por h a altura do copo, temos que:
.
o intervalo de variação do nível da água (variável
dependente) será entre 6,07 cm e h.
. o intervalo de variação do número de bolinhas (variável
independente) será entre 1 e (π . R2 . h) : (π . R2 . 0,07) = h /
0,07 cm, onde R = raio da base do copo.
RF6 – Expressar um relacionamento funcional de forma tabular,
gráfica e/ou analítica baseado na análise dos dados de um
problema.
Escrita Tabular
Número de bolas (x)
Nível da água (y)
1
6,07 cm ou 607 mm
2
6,14 cm ou 614 mm
3
6,21 cm ou 621 mm
4
6,28 cm ou 628 mm
5
6,35 cm ou 635 mm
6
6,42 cm ou 642 mm
7
6,49 cm ou 649 mm
RF6 – Expressar um relacionamento funcional de forma tabular,
gráfica e/ou analítica baseado na análise dos dados de um
problema.
Nível da água (cm)
Lei geométrica : conjunto de pontos
Número de bolinhas
Lei analítica (algébrica): y = 6 + 0,07 . x
Indique o atributo à variável para situação.
1) Segundo estudo (modelagem matemática), para que
se torne compensante abastecer um veículo com etanol
(y), este deverá ter um custo inferior a 70% do litro da
gasolina (x). Estabeleça algebricamente uma igualdade
(relação biunívoca), que expresse a dependência entre
o preço destes dois combustíveis.
Variável como termo desconhecido (incógnita)
Variável como número genérico (variável)
Variável como relacionamento funcional (função)
Indique o atributo à variável para situação.
2) Segundo estudo (modelagem matemática), para que
se torne compensante abastecer um veículo com etanol
(y), este deverá ter um custo inferior a 70% do litro da
gasolina (x). Estabeleça algebricamente uma igualdade
(relação biunívoca), que expresse a dependência entre
o preço destes dois combustíveis. y = 0,7 . x
Variável como termo desconhecido (incógnita)
Variável como número genérico (variável)
Variável como relacionamento funcional (função)
Indique o atributo à variável para situação.
2) Atualmente, em muitos postos de combustível o
preço do litro do etanol (y) supera o preço de meio litro
da gasolina (x). Expresse esta relação por meio de uma
comparação.
Variável como termo desconhecido (incógnita)
Variável como número genérico (variável)
Variável como relacionamento funcional (função)
Indique o atributo à variável para situação.
2) Atualmente, em muitos postos de combustível o
preço do litro do etanol (y) supera o preço de meio litro
da gasolina (x). Expresse esta relação por meio de uma
comparação. y > x/2
Variável como termo desconhecido (incógnita)
Variável como número genérico (variável)
Variável como relacionamento funcional (função)
Indique o atributo à variável para situação.
3) Em um posto de combustível, o preço do litro de
etanol corresponde a 70% do preço do litro de gasolina.
Se paguei por 15 litros de etanol R$ 25,20, quanto
pagaria por um litro de gasolina?
Variável como termo desconhecido (incógnita)
Variável como número genérico (variável)
Variável como relacionamento funcional (função)
Indique o atributo à variável para situação.
3) Em um posto de combustível, o preço do litro de
etanol corresponde a 70% do preço do litro de gasolina.
Se paguei por 15 litros de etanol R$ 25,20, quanto
pagaria por um litro de gasolina? 25,20 = 0,7 . x
Variável como termo desconhecido (incógnita)
Variável como número genérico (variável)
Variável como relacionamento funcional (função)
Mais um exemplo...
Comprei um veículo por um valor. Após um
mês, vendi este veículo por R$ 1.000,00 a mais
que o valor de compra. No mês seguinte, tornei
a comprá-lo por um valor, que superava em
R$1.000,00 o preço pelo qual o havia vendido.
Para finalizar, vendi novamente esse
veículo por R$ 1.000,00 acima do preço que
havia pago na última compra. Eu obtive lucro ou
prejuízo nessa transação? De quanto?
Indique o atributo à variável.
É variável como termo desconhecido (incógnita)?
Não
É variável como relacionamento funcional (função)?
Não
É variável como número genérico (variável)?
Sim
Resolução: expressão algébrica e resultado numérico
- x + (x + 1 000) – (x + 2 000) + (x + 3 000) =
- x + x + 1 000 – x – 2 000 + x + 3 000 = 2 000
NG5 – Manipular um símbolo para simplificar ou desenvolver
expressões algébricas.