Lizlane Trevelin
&
Felipe Calixtre
E. E. Jesuino de Arruda
Profs. Ensino
Fundamental e Médio
Desde o tempo dos faraós até nossos dias, o objetivo básico da álgebra
continua o mesmo:
Permitir a solução de problemas matemáticos que
envolvam números desconhecidos.
Um papiro egípcio de 3 600 anos,
chamado Papiro de Rhind (em
homenagem a um antiquário
escocês Henry Rhind, que o
adquiriu em uma loja de Luxor,
no Egito, em 1858) mostra,
através do famoso problema “Ah,
seu inteiro, seu sétimo fazem 19”,
que o homem já se aventurava,
desde aquela época, nos domínios
da álgebra.
Para desenvolver o problema e mantê-lo
inalterável, enquanto as manipulações
procuram simplificá-lo, deve-se traduzir a
relação entre números conhecidos e
desconhecidos por meio de uma equação.
Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira
sem precisar resolver uma só equação algébrica, mas no mundo em que
vivem, tais equações são indispensáveis para reduzir problemas
complexos a termos simples.
Hoje, as equações são usadas em muitos campos diferentes. Resolvemos
equações para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma
aplicação financeira, para projetar aviões e naves espaciais, para encontrar as
correntes de uma rede elétrica, para fazer a previsão do tempo etc..
Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas
vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos
levam até a entender mistérios da natureza.
Tente responder as questões abaixo:
1) Queremos cortar um pedaço
de barbante de 30 cm de
comprimento em duas partes não
necessariamente iguais. Quanto
deverá medir cada parte?
2) Agora se quer cortar um pedaço de
barbante, também com 30 cm de
comprimento, em duas partes de forma
que uma dessas partes meça o dobro da
outra. Quanto deverá medir cada parte?
3) O que se deseja é dividir um pedaço de
barbante de 35 cm de comprimento em
quatro partes de modo que uma dessas
parte seja igual ao triplo de uma das
outras três, quanto deverá medir cada
parte?
4) Ache um número que:
a) adicionado ao seu triplo
resulte 20.
b) somado com o seu quadrado
resulte 30.
A maneira como a matemática se desenvolveu fez com que os matemáticos
passassem a usar as letras dos alfabetos mais conhecidos para representar uma
expressão matemática.
Assim, por exemplo, a soma de dois números
racionais quaisquer pode ser representada por:
Começam a surgir, então, as sentenças matemáticas, ou seja, duas expressões
matemáticas ligadas por um verbo. Por exemplo:
a área do retângulo é igual ao produto da
medida da base pela altura
Com isso, surgiram as sentenças matemáticas com o sinal =, que
indica uma igualdade. Quando a igualdade apresenta um ou mais
elementos desconhecidos, chama-se equação.
Para encontrar a solução de um
problema
utilizamos
os
conhecimentos e as habilidades
de cálculo que possuímos. Mas,
conhecimentos e técnicas de
cálculo apenas não são
suficientes: raciocínio, lógica e
imaginação
são
também
necessários quando procuramos
o caminho que nos levará mais
fácil e rapidamente a resposta
correta.
Equações na Antiguidade
Naquele dia de março de 415, uma multidão de romanos, gregos e egípcios,
judeus e cristãos, escravos e homens livres andava pelas ruas de Alexandria. Situada
no delta do Nilo, Alexandria era um centro comercial e cultural.
O museu da cidade era ponto de encontro de sábios de todo Império
Romano do Oriente. Era para o museu que ia aquela bonita jovem. Na carroça que a
levava pelas ruas cheias de gente, talvez pensasse nas conferências que costumava
dar. Freqüentemente falava sobre o matemático Diofanto, grande estudioso em
álgebra, que tinha morrido pouco antes. Fazia tempo que ela se dedicava a estudar o
trabalho do mestre, a escrever e dar aulas sobre ele.
De repente, até hoje ninguém sabe por quê, um grupo de desordeiros parou
a carroça e, a golpes de afiadas conchas de ostra, matou a jovem conferencista. Assim
o mundo perdeu Hipatia, a primeira mulher matemática da história.
Sabe-se pouco sobre Diofanto, um
matemático grego que viveu no séc III d.C.
Ele ficou conhecido como “pai da álgebra”,
pois foi o primeiro a usar símbolos com
significados próprios ao trabalhar problemas.
A obra de Diofanto comportava símbolos
e abreviações semelhantes que hoje usamos.
Sua principal obra foi encontrar soluções para
equações indeterminadas cujas raízes são
números inteiros, ou seja, estudava soluções
para problemas do tipo:
Neusa tem o dobro mais uma
laranja que Emílio. Quantas laranjas
tem cada um?
Esse problema se equaciona na forma:
Neusa
Emílio
Este problema é indeterminado, pois:
Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.
Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.
Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução, portanto
chama-se indeterminado.
Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas.
Apesar de se conhecer muito pouco sobre Diofanto, conta que é possível
saber a idade com que ele faleceu, através de uma inscrição que figura em seu
sepulcro sob a forma de um exercício matemático:
Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofanto.
E os números podem, ó milagre!
Revelar quão dilatada foi sua vida...
Cuja sexta parte constituiu sua linda infância...
Transcorrera uma duodécima parte de sua vida,
quando seu queixo se cobriu de penugem....
A sétima parte de sua existência, transcorreu num matrimônio estéril...
Passado um qüinqüênio, fê-lo feliz o nascimento de seu preciso primogênito...
O qual entregou seu corpo sua formosa existência, que durou apenas a
Metade de seu pai, à terra...
E com dor profunda desceu à sepultura, tendo sobrevivido quatro anos ao
falecimento de seu filho....
Diz-me quantos anos vivera Diofante
Quando lhe sobreveio a morte?
Esta mesma inscrição poderá ser vista da seguinte forma:
...
Cuja sexta parte constituiu sua linda infância...
Transcorrera uma duodécima parte de sua vida,
quando seu queixo se cobriu de penugem....
A sétima parte de sua existência, transcorreu num
matrimônio estéril...
Passado um qüinqüênio, fê-lo feliz o nascimento de
seu preciso primogênito...
O qual entregou seu corpo sua formosa existência,
que durou apenas a metade de seu pai, à terra...
E com dor profunda desceu à sepultura, tendo
sobrevivido quatro anos ao falecimento de seu
filho....
...
...
A minha infância durou 1/6 de
minha vida, a barba surgiu após
1 /12 depois de outro 1/7 de
minha vida, casei-me. 5 anos
depois nasceu meu filho, que
viveu somente a metade de
minha idade. Morri 4 anos após
a morte do meu filho....
Utilizamos sempre o mesmo método de resolução. Primeiramente,
chamamos de x o número que queríamos calcular, a incógnita. Em seguida,
traduzimos o problema para a linguagem matemática, isto é, equacionamos
o problema. Depois, usando propriedades matemáticas, descobrimos o valor
de x. E finalmente, chegamos à resposta do problema.
Resumindo, temos então as duas seguintes etapas:
Escrevemos a equação do problema, com
base nas informações dadas no próprio
problema;
Resolvemos a equação, para encontrar o
valor de x.
Vamos treinar a tradução para a linguagem matemática, utilizando
apenas símbolos matemáticos, escreva as seguintes expressões:
a) O triplo de um número é igual a 10.
3x = 10
b) A soma de um número com três é igual a 15.
x + 3 = 15
c) O quádruplo de um número resulta 90.
4x = 90
d) A diferença entre um número e dois faz 36.
x - 2 = 36
e) A terça parte de um número é igual a 66.
_x = 66
3
f) Os três quartos de um número é igual a 20.
3x
__ = 20
4
g) A soma de um número com sua metade
resulta 45.
x + _x = 45
2
h) A soma de cinco com o triplo de um número
é igual a 67.
5 + 3x = 67
i) A quinta parte de um número é 46.
_x = 46
5
j) A décima parte de um número faz 78.
x
__
= 78
10
k) O dobro de um número somada ao triplo de
outro número é igual a 96.
2x + 3y = 96
f) A soma de três números resulta 123.
x + y + z = 123
m) O produto de três números é igual a 34.
xyz = 34
n) Um número p, aumentado de vinte e cinco
faz 90.
p + 25 = 90
o) A diferença entre o quíntuplo e a quinta
parte de um número x resulta 56.
5x - _x = 56
5
p) Um número par mais 5 é igual a 89.
x é par → x + 5 = 89
q) Um número ímpar menos 5 é igual a 78.
x é ímpar → x - 5 = 78
r) Três números consecutivos totalizam 100.
x + (x + 1) + (x + 2) = 100
s) Três números pares consecutivos
perfazem 128.
x é par →
x + (x + 2) + (x + 4) = 128
t) Três números ímpares consecutivos é
igual a 990.
x é ímpar →
x + (x + 2) + (x + 4) = 990
Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braço
em equilíbrio!
1) Qual é o peso do cachorro?
2) Desenvolva a Equação.
9kg
x + 16 = 25
3) Os dois sacos tem pesos iguais.
Quanto pesa cada saco?
4) Desenvolva a Equação.
6kg
2x = 12
5) As 3 caixas possuem o mesmo
peso. Qual o peso de cada caixa?
6) Desenvolva a Equação.
6kg
3x = 18
7) Qual o peso do coelho?
8) Desenvolva a Equação.
2kg
x+1+1+1=1+1+1+1+1
x+3=5
9) As bolsas são iguais. Qual o peso de
cada uma?
10) Desenvolva a Equação.
2x = x + 3 + 2
5kg
2x = x + 5
11) A balança não está em posição de equilíbrio.
Represente simbolicamente esta situação.
13 < 18
Fique atento às próximas atividades para que você possa tirar algumas
conclusões importante!
Considere uma balança com os pratos em equilíbrio.
Se trocarmos os pratos
O equilíbrio se mantém.
Se acrescentarmos elementos de
mesmo peso em cada um dos pratos
O equilíbrio
se mantém.
Considere outra balança com os pratos em equilíbrio.
Se retirarmos elementos de mesmo peso
de cada um dos pratos
O equilíbrio se
mantém.
Se duas balanças estão em equilíbrio:
Podemos somar o conteúdo dos pratos
do mesmo lado.
O equilíbrio se
mantém.
As Equações de Copo de Feijão
Este material representa as técnicas de resolução de equações de 1º. Grau
com uma incógnita, chamando a atenção para a “mudança de membro na equação”.
Nas primeiras vezes em que for usado deve-se considerar como principio
fundamental o equilíbrio dos membros da equação. Nestes primeiros casos deve-se
perceber que retirar ou acrescentar números iguais a cada membro da equação
corresponde a mudá-los de membro da tal forma que realizem a operação inversa. Só
então é que o procedimento de passar de um membro na equação pode se tornar
automático.
Neste material cada copo representa a
incógnita x, os feijões brancos unidades
positivas, os feijões pretos unidades negativas
e os copos invertidos, o inverso aditivo da
incógnita (-x).
A seguir representamos algumas sugestões, gradativamente mais elaboradas,
acompanhadas da equação correspondente:
1º Exemplo:
2º Exemplo:
3º Exemplo:
4º Exemplo:
5º Exemplo:
6º Exemplo: