Sumário
 Apresentação da disciplina e corpo docente
 Equação da energia para sistemas abertos
 Equação de Bernoulli generalizada para regime
não-estacionário
 Problema de aplicação
 Bibliografia para esta aula:
 Sabersky (Fluid Flow): 3.7 e 3.8 (3ª Ed.)
 White (Fluid Mechanics): 3.6 e 3.7 (4ª Ed.)
Prof. António Sarmento MFII – DEM/IST
MF II – Matéria
1. Equação de Bernoulli generalizada.
Escoamento não-estacionário em condutas
2. Escoamento de fluidos reais:
A. Escoamento turbulento em tubos
B. Camada Limite laminar e turbulenta
C. Escoamentos Exteriores
3. Escoamento compressível
4. Turbomáquinas
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1º Teste
2º Teste
MF II - Bibliografia
Capítulo 1:
J.E. Finnemore, R.L. Daugherty, J.B. Franzini, E.J.
Finnemore, Fluid Mechanics with Engineering Applications,
ISBN-13: 9780071142144; ISBN-10: 0071142142, 1997,
McGraw-Hill Education – Europe.
Capítulo 2 e 3 :
• R.H. Sabersky, A.J. Acosta, E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª
edição, Prentice Hall, 1999.
• F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, McGraw-Hill, 1994.
Capítulo 4:
A.F.O. Falcão, Mecânica dos Fluidos II: Turbomáquinas,
AEIST, 2002.
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MF II – Contacto com os alunos
 É apenas utilizada a página do Fénix e
email
(os alunos devem verificar se a conta email
do Fénix está actualizada)
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MF II – Avaliação

Problemas aulas:

2 testes (16 valores NF):
obrigatórios; 2 valores NF; realizados aula sim,
aula não; são classificados 4 por aluno (ao acaso).
 27/4 – Capítulos 1 e 2
 1ª data de exame (22/6) – Capítulos 3 e 4
 Exame Final (escrita e oral) (16 valores NF) -
para quem não tem
aprovação nos testes.
 2 Trabalhos Práticos:
2 valores NF (apresentação resultados na
aula e miniteste americano) – quem fez em 2007-8 está dispensado
Pré-inscrição obrigatória em todas as provas (testes e exames)
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MF II – Aprovação na disciplina

Nota Final > 9,5 com nenhuma nota < 8 em qualquer
prova escrita.

Quem fez TP em 2007-8 com aproveitamento:
NF = Problemas (2v) + Testes ou Exame Final (18v)
 Quem não fez TP em 2007-8 com aproveitamento:
NF = Problemas (2v) + Testes ou Exame Final (16v)
+ TP (2v)
 Oral obrigatória para NF>16 (oral dispensável para > 9,5 sujeito a
discricionariedade do Corpo Docente; acesso à oral só para NF>9,5)
Pré-inscrição obrigatória em todas as provas (testes e exames)
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MF II – Corpo Docente
Nome
Telefone Email
António Sarmento
21 8417405 [email protected]
João Teixeira Borges 21 8417991 [email protected]
João Baltazar
21 8419289 [email protected]
Docência Horário de Dúvidas
Matéria
Teóricas
3F 18-19:30, 4F 9-10:30
Problemas
5F 10:30-12:00, 6F 11-12:00
Laboratórios 2F 17:30-19:00, 3F 17:30-18:30
Teóricas e práticas
Teóricas e práticas
Laboratórios
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Problema
Perda de carga: h1-2 =h3-4 =5 m
Caudal: Q = 0,5 m3/s
Material: aço comercial
Elevações:
y1=20 m ; y5=40 m
Área A4=0,04 m2
Rendimento da bomba:  = 0,75
Quais a altura de elevação da bomba (H), a potência ao veio da
bomba, a potência dissipada na instalação, a dissipada na bomba e a
acumulada no reservatório?
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Equação de Energia (I)
Equação da energia para sistemas abertos:
Taxa temporal de
cumulação de energia
-Saldo do fluxo de
energia através da SC
Fontes – Poços de
Energia

 
V2  
V2   
  Q




u


d


u


V
.
n
ds

W









t
2
2
 

VC
SC 

 
Energia interna por
unidade de massa
Potência calorífica
Potência mecânica
trocada através da SC trocada através da SC
Positivos se recebidos pelo sistema
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Equação de Energia (II)
 Equação da energia para sistemas abertos:

 
V2  
V2   
  d    u 
  V .n ds  W  Q
 u 

t 
2  
2 
VC
SC 
 
Potência mecânica realizada:
 forças mássicas (peso)
alteração da energia potencial
 forças de pressão e tensão de corte nas superfícies onde a
velocidade do fluido não é nula:
 
 secções de entrada e saída
  pn.V ds
SC
 superfícies móveis – pistões, pás rotativas, etc.)
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Wveio
Equação de Energia (III)
 Potência mecânica realizada:
 forças mássicas (peso)
alteração da energia potencial
 forças de pressão e tensão de corte nas superfícies onde a velocidade do
fluido não é nula:
 
 secções de entrada e saída
 pn.V ds

Wveio
SC
 superfícies móveis – pistões, pás rotativas, etc.)
 Equação da energia para sistemas abertos:

 
 
V2  
p V2
  d    u  
 gy   V .n ds  Wveio  Q
 u 

t 
2  
 2

VC
SC 
 
h - entalpia
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Equação de Energia:
escoamentos unidimensionais
 Equação da energia para sistemas abertos:

 
 
V2  
V2



  V .n ds  Wveio  Q
u


d


h


gy






t 
2  
2

VC
SC 
 
Escoamentos unidimensionais:
V2
h
 gy constante em cada secção do escoamento
2
Equação para escoamentos unidimensionais:




 
V2  
V2
V2






 m k  Wveio  Q
u


d


h


gy
m

h


gy



i 





t 
2  
2
2
saída 
ent 
i
k
VC
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Equação de Energia:
escoamentos incompressíveis
Escoamentos incompressíveis:
 pd
1

0
Não há trocas entre energia interna u e energia mecânica,
excepto por dissipação de energia mecânica por atrito interno
 


u d   u V .n ds  Q  Q diss

t
VC
SC
 Equação da energia para escoamentos incompressíveis:

 
 
V2  
V2
  d    h 
 gy   V .n ds  Wveio  Q
 u 

t 
2  
2

VC
SC 
 
 
 p V2
 
  V2 
  Q





d




gy

V
.
n
ds

W
veio
diss


 2 
 2


t



VC
SC 
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Equação de Energia:
aplicação a condutas
 Equação da energia para escoamentos unidimensionais
incompressíveis:
 p V2

 p V2

  V2 






 m k  Wveio  Q diss

d




gy
m



gy

i 





t  2 
2
2
saída  
ent  
i
k
VC
 Aplicação a condutas:
 1 entrada; 1 saída
 ent  m
 saída  m

m
 Velocidade constante em cada secção transversal
d  Adl
 VC fixo e indeformável
  V2 
 
d 

t  2 
VC
saída

ent
V
AV dl  m  V dl
t
t
ent
saída
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Equação de Bernoulli
generalizada
 Equação da energia para escoamentos unidimensionais
incompressíveis em condutas:
 p V2
  p V2
 Wveio Q diss
V
1 t dl     2  gy     2  gy  m  m
2
1
2
wv
q
Equação escrita por unidade de massa de fluido circulante na conduta
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Equação de Bernoulli
generalizada
 Equação da energia para escoamentos unidimensionais
incompressíveis em condutas:
Energia recebida por
Energia dissipada por
unidade de peso
unidade de peso
 p V2
  p V2

1 V
dl  

 y   

 y   H  h

g 1 t
 g 2 g
 2  g 2 g
1
2
Altura manométrica total
na secção de saída
Altura manométrica total
na secção de entrada
Equação escrita por unidade de peso de fluido circulante na conduta
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Equação de Bernoulli
generalizada
 Equação da energia para escoamentos unidimensionais
incompressíveis em condutas:
V
1
1

 

dl   p  V 2  gy   p  V 2  gy  gH  gh
t
2
2

2 
1
1
2

Equação escrita por unidade de volume de fluido circulante na conduta
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Exemplo
Perda de carga: h1-2 =h3-4 =5 m
Caudal: Q = 0,5 m3/s
Material: aço comercial
Elevações:
y1=20 m ; y5=40 m
Área A4=0,04 m2
Rendimento da bomba:  = 0,75
Quais a altura de elevação da bomba (H), a potência ao veio da
bomba, a potência dissipada na instalação, a dissipada na bomba e a
acumulada no reservatório?
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Exemplo (resolução)
 Eq. Bernoulli generalizada:
2
 p V2
  p V2

1 V
dl  

 y   

 y   H  h

g 1 t
 g 2 g
 4  g 2 g
1
 Eq. hidrostática entre 4 e 5:
 p
  p


 y   
 y 
 g
 4  g
5
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Exemplo (resolução - II)
 V4=12,5 m/s
V42
H
  y5  y1   h12  h34   38 m
2g
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Exemplo (resolução - III)
 Potência mecânica fornecida ao fluido:
 Potência mecânica ao veio:
 gH  186,2 kW
W fluido  m
Wveio  W fluido   248,3 kW
 Potência mecânica dissipada na conduta: Wdiss.cond .  m gh  49 kW
 Potência mecânica dissipada na bomba: Wdiss.bomba  Wveio W fluido  62,1 kW
 Potência mecânica acumulada no reservatório: Wacum.  m g y5  y1   98 kW
 Potência mecânica dissipada no jacto:
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2
V
Wdiss . jacto  m 4  39 kW
2