Equações para o escoamento turbulento
 Conceitos:
– Equações para o campo médio
– Tensões de Reynolds;
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
 Equação
da continuidade
( const.):
Introduzindo: u  u  u
u v w
 
0
x y z
v  v  v
w  w  w
 u v w   u v w 

  
  0
 


 x y z   x y z 
Tomando a média temporal
u v w


0
x y z
2004
Subtraindo à
equação inicial:
Mecânica dos Fluidos II
u v w


0
x y z
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
u v w


0
x y z
u v w


0
x y z
Equação do campo médio
Equação do campo turbulento
 Observações:
1. As velocidades instantâneas, médias e turbulentas satisfazem
a mesma equação: .V  .V  .V   0
2. Nos termos lineares de qualquer equação, basta substituir a
variável instantânea pelo seu valor médio para obter o valor
médio temporal desse termo.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
 Equação
de Navier-Stokes:
u
u
u
u
1 p   2u  2u  2u 
u v  w  
   2  2  2 
t
x
y
z
 x  x y z 
(p – pressão relativa à hidrostática local)
Tomando a média temporal
u
u
u
u
1 p   2u  2u  2u 
u v  w  
   2  2  2 
t
x
y
z
 x  x y
z 
u  u
2004
u  u
u
u
u
u


u
u
u
u
x
x
x
x
x
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
 Termo
de inércia (único não-linear):
u  u
u  u
u
u
u
u


u
u
u
u
x
x
x
x
x
u
u
x
u
u
0
x
u
u
0
x
u  0
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
u
u
x
Equações para escoamento turbulento
 Equação
N-S para o escoamento médio:
  2u  2u  2u 
u
u
u
u
1 p
u v  w  
   2  2  2 
t
x
y
z
 x  x y
z 
u
u
u

u
u
u
x
x
x
v
u
u
u
v
 v
y
y
y
u
u
u 
w
w
 w
z
z
z
  2u  2u  2u   u
u
u
u
u
1 p
u
u 

u
v
w

   2  2  2    u
 v
 w
t
x
y
z
 x
y
z   x
y
z 
 x
2004
Mecânica dos Fluidos II
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Equações para escoamento turbulento
 Equação
N-S para o escoamento médio:
  2u  2u  2u   u
u
u
u
u
1 p
u
u 

u
v
w

   2  2  2    u
 v
 w
t
x
y
z
 x
y
z   x
y
z 
 x
u uv
v
u uu
u
u  u w
w


v

u
u

 u
w

 u
y
y
y
x
x
x
z
z
z
 u v w 
uu uv uw



 u


x
y
z
z 
 x y
=0 pela equação da continuidade
2004
Mecânica dos Fluidos II
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Equações para escoamento turbulento
 Equação
N-S para o escoamento médio:
  2u  2u  2u 
u
u
u
u
1 p
u
v
w

   2  2  2 
t
x
y
z
 x
y
z 
 x
 uu uv uw 

 


y
z 
 x
Resultante das Tensões de Reynolds: termo adicional que
representa a acção dos vórtices turbulentos (difusão
turbulenta) no escoamento médio
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento
turbulento
 Interpretação
das tensões de Reynolds:
v’
u’
u
y
x
Fluxo (caudal por unidade de área) médio de quantidade
de movimento longitudinal através das faces normais a y:
T
u v
1
Porquê
a
derivada

  u  u vdt  uv
na equação de N-S?
y
T o
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
 Interpretação das
v’
tensões de Reynolds:
u’
u
y
x
u v u v é o fluxo de q.mov. na
Porquê a derivada

na equação de N-S?
y
direcção y. O simétrico da
derivada é o saldo do fluxo (o que entra menos o que sai) e é isso
que contribui para o balanço da q. movimento no volume de controlo
infinitésimal.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
 Perfil
das tensões de Reynolds:
1
0,8
uv 0,6
u2 0,4
Turbulent
Total
0,2
0
0
0,5
r0  r  r
1
Nota: no centro do tubo as flutuações turbulentas não estão
correlacionadas, pelo que o seu valor médio é nulo. Na parede
as tensões turbulentas são nulas pois não há turbulência.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Comprimento de mistura

2004
Na proximidade da
parede (50<y*<100):
Mecânica dos Fluidos II
uv  u   0 
2
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Comprimento de mistura
 Na
proximidade da parede (est. e 2D):
  2u  2u
u
u
1 p
u
v

  2  2
x
y
 x
y
 x
  uu uv uw 
  



y
z 
  x
(as variações em y são muito mais intensas que as em x ou z)

u
u
1 p   u



u
v



 u v 

x
y
 x y  y

l – Comprimento
de mistura
2004
u
T  l
y
2
Mecânica dos Fluidos II
aproximação
Prof. António Sarmento - DEM/IST
u
T
y
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
 Conceitos:
– Equações para o campo médio
– Tensões de Reynolds;
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
MECÂNICA DOS FLUIDOS II

Bibliografia:
– Sabersky – Fluid Flow: 7.10, 7.11.
– White – Fluid Mechanics: 6.3.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
Fluid Flow 7.31
Von Kármán sugeriu que, em tubos lisos, fora da sub-camada laminar, em regime turbulento,
l=Ky, em que K é uma constante e l o comprimento de mistura.
a) Mostre que na região em que a tensão de corte turbulenta é aproximadamente constante (o
que ocorre relativamente próximo da parede) e próxima da tensão de corte na parede, o perfil
de velocidades é dado pela lei logarítmica
u* 
1
ln y *  c
K
u*
b) Estime os valores das constantes K e
c usando os valores da figura ao lado.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
y* 
yu

MECÂNICA DOS FLUIDOS II
Fluid Flow 7.31
Von Kármán sugeriu que, em tubos lisos, fora da sub-camada laminar, em regime turbulento,
l=Ky, em que K é uma constante e l o comprimento de mistura.
a) Mostre que na região em que a tensão de corte turbulenta é aproximadamente constante (o
que ocorre relativamente próximo da parede) e próxima da tensão de corte na parede, o perfil
de velocidades é dado pela lei logarítmica
1
u* 
Resposta:
u
T
 uv  u2
y
2 u
2 u
T  l
 Ky 
y
y
2004
Mecânica dos Fluidos II
K
ln y *  c
dy
Kdu  u
y
du
Ky
 u
dy
u
1
 ln y  a
u K
Prof. António Sarmento - DEM/IST
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
1
*
u  ln y  c
K
*
Fluid Flow 7.31
b) Estime os valores das constantes K e
c usando os valores da figura ao lado.
y*  51
u*  15
y*  100
u*  16,7
u*
1 100
1,67  ln
K  0,40
K
51
1
C  15 
ln(51)  5,25
0,40
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
y* 
yu
