Álgebra I – Prof. Robson Rodrigues
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5ª Lista de Exercícios – Congruência
O conceito de congruência bem como sua notação foi apresentado pelo matemático alemão Karl Friedrich Gauss
(1777 – 1855), em sua obra Disquisitione arithmeticae em 1801. Hoje a congruência é um poderoso instrumento
utilizado na Teoria dos Números.
Questão 01. Uma relação que apresenta as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva é chamada
relação de equivalência. A congruência de inteiros é uma relação de equivalência, pois possui as
propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. Enuncie e demonstre essas propriedades.
Questão 02. Utilizando as propriedades de congruência módulo m, determine:
a) O resto da divisão de 1212 por 5.
b) O resto da divisão de 22002 + 32002 por 13. (Sugestão: observe que 22 + 32  0 (mod 13))
c) O resto da divisão de 4165 por 7.
Questão 03. Utilizando as propriedades da congruência módulas m, resolva o seguinte problema:
(Provão 2003) Se o resto da divisão de um inteiro n por 5 é igual a 3, o resto da divisão de n 2 por 5 é,
necessariamente, igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Questão 04. Mostre que, qualquer que seja o inteiro ímpar x, o resto da divisão de x2 por 8 é 1.
Questão 05. No Brasil o sistema de código de barras EAN – 13 (European Article Numbering) foi
adotado para identificação de produtos em 1983. Esse sistema é constituído por 13 algarismos sendo
que o último é o digito controle (a13). O cálculo do digito de controle é fundamentado na congruência
módulo 10. Os doze primeiros dígitos são multiplicados pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e
indicando a soma desses produtos por S têm-se que: S + a13  0 (mod 10).
Com base nas informações anteriores, determine o dígito controle do código de barras indicado na
figura abaixo: