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CONTROLE AUTOMÁTICO II
LISTA DE EXERCÍCIOS
Controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols
๏ƒ˜ Exercício resolvido
Considere o sistema mostrado na Figura abaixo:
Calcule os ajustes de um controlador PID para este sistema usando
1- Cálculo de Kc e Pc (crítico).
A função de transferência em malha fechada para o sistema da figura acima é dada
por:
A aplicação do critério de Routh-Hurwitz fornece:
S³
1
3,5
S²
3,5
Kc+1
S
(๐Ÿ‘, ๐Ÿ“๐Ÿ ) โˆ’ (๐‘ฒ๐’„ + ๐Ÿ)
=๐ŸŽ
0
๐Ÿ‘, ๐Ÿ“
๐‘ฒ๐’„ โ‰ค ๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ๐Ÿ“
S0
Kc+1
๐‘ฒ๐’„ โ‰ค ๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ๐Ÿ“
Substituído Kc encontrado, na linha 2 (linha amarela) teremos:
๐Ÿ‘, ๐Ÿ“๐‘บ² + ๐‘ฒ๐’„ + ๐Ÿ = ๐ŸŽ โ†’ ๐Ÿ‘, ๐Ÿ“๐‘บ² + ๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ๐Ÿ“ + ๐Ÿ = ๐ŸŽ
Mas como S é um numero complexo, o mesmo pode se assim escrito ๐‘บ = ๐ˆ + ๐’‹๐Ž.
Contudo, a parte real no caso do Kc é igual a zero*. Desta forma ๐‘บ = ๐’‹๐Ž
* A instabilidade do sistema acontece quando os polos se encontram no semi plano
positivo, assim o valor do ganho crítico começa a instabilizar o sistema logo na
origem do plano S, isto é ๐ˆ = ๐ŸŽ.
Substituindo ๐‘บ
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๐Ÿ‘, ๐Ÿ“(๐Ž๐’‹)² + ๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ๐Ÿ“ + ๐Ÿ = ๐ŸŽ
โˆ’๐Ÿ‘, ๐Ÿ“๐Ž๐Ÿ + ๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ๐Ÿ“ = ๐ŸŽ
๐Ž๐Ÿ = ๐Ÿ‘, ๐Ÿ“ โ†’ ๐Ž = โˆš๐Ÿ‘, ๐Ÿ“
๐Ž = โˆ“๐Ÿ, ๐Ÿ–๐Ÿ•
Sabe-se que:
๐Ž = ๐Ÿ๐…๐’‡ = ๐Ÿ, ๐Ÿ–๐Ÿ•
Como se busca encontrar o período crítico, teremos:
๐Ÿ๐…
= ๐Ÿ, ๐Ÿ–๐Ÿ• โ†’ ๐‘ท๐’„ = ๐Ÿ‘, ๐Ÿ‘๐Ÿ” ๐’”
๐‘ท๐’„
2- Parâmetros do controlador
A partir da tabela de Ziegler-nichols encontramos os parâmetros do controlador.
PID
๐‘ฒ๐’‘ = ๐ŸŽ, ๐Ÿ” ๐‘ฒ๐’„
๐‘ฒ๐’‘ = ๐Ÿ•, ๐Ÿ“
๐‘ป๐‘ฐ = ๐ŸŽ, ๐Ÿ“ ๐‘ท๐’„
๐‘ป๐‘ฐ = ๐Ÿ, ๐Ÿ”๐Ÿ–
๐‘ป๐‘ซ = ๐ŸŽ, ๐Ÿ๐Ÿ๐Ÿ“ ๐‘ท๐’„
๐‘ป๐‘ซ = ๐ŸŽ, ๐Ÿ’๐Ÿ
Portanto, a função de transferência do controlador e dada por:
๐Ÿ
๐‘ช(๐’”) = ๐‘ฒ๐’‘ (๐Ÿ +
+ ๐‘ป๐‘ซ ๐’”)
๐‘ป๐‘ฐ ๐’”
๐Ÿ
๐‘ช(๐’”) = ๐Ÿ•, ๐Ÿ“(๐Ÿ +
+ ๐ŸŽ, ๐Ÿ’๐Ÿ๐’”)
๐Ÿ, ๐Ÿ”๐Ÿ–๐’”
Comparação do sistema com e sem compensador.
๏ƒ˜ Exercício Proposto
๏ƒ˜ Considere os sistemas mostrado nas Figuras abaixo, e aplique a regra de
Ziegler โ€“ Nichos para determinar os parâmetros do controlador.
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Forma de onda sem compensador
Lugar geométrico das Raízes (LGR)
๏ƒ˜ Exercício resolvido
Obtenha o Root-Locus para um sistema com realimentação unitária com função de
transferência de malha aberta dada por:
Diagramas de Pólos e Zeros:
Regra 1: (Pontos de Inicio e Término do L.G.R.): Os ramos do Root Locus
começam nos pólos de G(s)H(s), dos quais Kโ†’ 0. Os ramos terminam nos zeros
de G(s)H(s) nos quais Kโ†’ +¥.
Obs\ O número de zeros no infinito é igual ao número de pólos de G(s)H(s) menos
o número de zeros de G(s)H(s).
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Regra 2: (L.G.R. sobre o eixo real): As regiões do eixo real à esquerda de um
número ímpar de pólos e zeros de โ€œG(s)H(s)โ€ pertencem ao Root-Locus.
Trechos pertencentes ao Root-Locus: todo o eixo real negativo pertence ao
Root Locus
Regra 3: Quando K se aproxima de โ€œ¥โ€, os ramos de Root-Locus assintotam retas
com inclinação.
Regra 4: O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade da associação
de pólos e zeros:
Regra 5: Os pontos nos quais os ramos do Root-Locus deixam (ou entram) no eixo
real são determinados conforme a seguir:
IMPORTANTE:
Como encontramos 2 valores possíveis, precisamos determinar qual deles é ponto
de saída. Para tal, devemos obter a derivada segunda de K em relação à โ€œsโ€
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e substituir as raízes encontradas em
, nesta equação. Quando o valor for
positivo, o ponto é de chegada, uma vez que este ponto é o valor mínimo do
polinômio. Quando o valor for negativo, o ponto é de saída, uma vez que este
ponto representa o máximo valor do polinômio.
Assim sendo, retornando-se ao exemplo, temos:
Regra 6: Os ângulos de saída (de chegada) de pólos (zeros) são determinados a
partir da condição geral do ângulo. (contribuição)
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Regra 7: A intersecção do โ€œRoot-Locusโ€ com o eixo imaginário pode ser
determinada empregando o critério de โ€œRouth-Hurwitzโ€.
๏ƒ˜ Exercício proposto
Determine o LGR para as FTโ€™s abaixo:
Controlador com avanço de fase baseado no método do Lugar geométrico
das Raízes (LGR)
๏ƒ˜ Exercício resolvido
Considere o sistema mostrado abaixo. Projete um compensador avanço de fase
de forma que os polos em malha fechada tenham coeficiente de amortecimento
๐œน=0,5 e a frequencia natural a amortecida ๐Ž๐’ = 3 rad/s. Deseja-se tambem reduzir
overshoot.
Controlador com atraso de fase baseado no método do Lugar geométrico das
Raízes (LGR)
Assim teremos:
* A FT de malha fechada
๐’€(๐’”)
๐Ÿ๐ŸŽ
= ๐Ÿ
๐‘ผ(๐’”) ๐‘บ + ๐‘บ + ๐Ÿ๐ŸŽ
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* Os polos em Malha fechada
๐‘บ = โˆ’๐ŸŽ, ๐Ÿ“ โˆ“ ๐Ÿ‘, ๐Ÿ๐Ÿ๐Ÿ‘๐’‹
* A Frequencia natural não amortecida
๐Ž๐’ = โˆš๐’ƒ โ†’ ๐’ƒ = ๐Ž๐’ ๐Ÿ = ๐Ÿ๐ŸŽ โ†’ ๐Ž๐’ = ๐Ÿ‘, ๐Ÿ๐Ÿ”๐ซ๐š๐/๐ฌ
* O fator de amortecimento
๐’‚ = ๐Ÿ๐œน๐Ž๐’ โ†’ ๐œน = ๐ŸŽ, ๐Ÿ๐Ÿ“๐Ÿ–๐Ÿ
Como o fator de amortecimento é muito pequeno, e consequentemente o
sobressinal alto, deve-se buscar um polo que forneça as especificações desejadas
(os novos valores de ๐œน=0,5 e ๐Ž๐’ = 3 rad/s.) sem alterar as características da planta.
A localização desejada do polo é determinado por:
๐‘บ๐Ÿ + ๐Ÿ๐œน๐Ž๐’ ๐’ + ๐Ž๐’ ๐Ÿ = ๐‘บ๐Ÿ + ๐Ÿ‘๐’ + ๐Ÿ—
๐‘บ = โˆ’๐Ÿ, ๐Ÿ“ โˆ“ ๐Ÿ, ๐Ÿ”๐’‹
O controlador por avanço de fase é do tipo:
๐‘ป๐‘บ + ๐Ÿ
๐‘ฎ(๐’”) = ๐‘ฒ
๐‘ป๐‘บ + ๐Ÿ
O método é o seguinte:
1- Inserir polos e zeros
desejado.
Neste exemplo temos:
que anulem o ângulo do polo em malha fechado
โˆ‘ â๐’๐’ˆ๐’–๐’๐’๐’” ๐’…๐’† ๐’›๐’†๐’“๐’๐’” โˆ’ โˆ‘ â๐’๐’ˆ๐’–๐’๐’๐’” ๐’…๐’† ๐’‘๐’๐’๐’๐’” = ๐Ÿ๐Ÿ–๐ŸŽº
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Assim o controlador vai inserir um zero do tipo (S +1) e um polo (S + 3).
2- Agora devemos encontrar o valor do ganho K
A FT em malha fechada para o sistema acima é dado por:
๐’€(๐’”)
๐‘ช(๐’”)๐‘ฎ(๐’”)
=
๐‘ผ(๐’”)
๐Ÿ + ๐‘ช(๐’”)๐‘ฎ(๐’”)๐‘ฏ(๐’”)
๐Ÿ + ๐‘ช(๐’”)๐‘ฎ(๐’”)๐‘ฏ(๐’”) = ๐ŸŽ
Logo
๐‘บ+๐Ÿ
๐Ÿ๐ŸŽ
|๐Š
|=๐Ÿ
๐‘บ + ๐Ÿ‘ ๐’”(๐’” + ๐Ÿ)
Assim
๐‘บ(๐‘บ + ๐Ÿ‘)
๐Š=
๐Ÿ๐ŸŽ
Fazendo S igual ao polo em malha fechada desejado ๐‘บ = โˆ’๐Ÿ, ๐Ÿ“ โˆ“ ๐Ÿ, ๐Ÿ”๐’‹, teremos:
๐Š = ๐ŸŽ, ๐Ÿ—
Avaliando o desempenho da planta com o controlador, via MATLAB
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๏ƒ˜ Exercício proposto
A figura abaixo representa um sistema de controle de variação de posição de uma
aeronave. Projete um controlador com avanço de fase, de forma a minimizar as
oscilações em regime transitório.
OBS. O ponto de trabalho com as especificações de desempenho do sistema deve
ser arbitrado pelo projetista.
Forma de onda sem compensador
Controlador com atraso de fase baseado no método do Lugar geométrico das
Raízes (LGR)
๏ƒ˜ Exercício resolvido
Dado sistema abaixo:
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Determine as características do compensador com atraso de fase.
1º Passo
Verificar a estabilidade (Critério de Routh);
2º Passo
Determinar o erro de posição;
100
๐พ๐‘ = lim ๐‘ โ†’0 ๐บ(๐‘ ) = (๐‘ +1)(๐‘ +2)(๐‘ +10)
๐พ๐‘ = lim ๐‘ โ†’0 ๐บ(๐‘ ) =
100
(0+1)(0+2)(0+10)
๐‘ฒ๐’‘ = 5
3º Passo
Determinar o erro estático;
๐Ÿ
๐Ÿ
e(โˆž) = ๐Ÿ+ ๐‘ฒ = ๐Ÿ+ ๐Ÿ“
๐’‘
e(โˆž) = 0,167
4º Passo
Arbitrar o percentual de erro que se quer reduzir e recalcular ๐‘ฒ๐’‘ ( ๐‘ฒ๐’‘๐’„ com o
controlador).
Atribuímos um erro 10 vezes menor, assim termos:
e(โˆž) =
๐ŸŽ,๐Ÿ๐Ÿ”๐Ÿ•
๐Ÿ๐ŸŽ
๐Ÿ
= ๐Ÿ+ ๐‘ฒ
๐’‘
โ†’ ๐‘ฒ๐’‘๐’„ = ๐Ÿ“๐Ÿ–, ๐Ÿ—
5º Passo
Determinar o polo e o zero do controlador
* Para manter a resposta transitória inalterada os polos e zeros devem estar um
próximo do outro;
* Para minimizar a contribuição angular do polo e do zero inserido, os mesmos
devem estar bem próximo da origem.
Assim:
๐’๐’„ ๐‘ฒ๐’‘๐’„
๐Ÿ“๐Ÿ–. ๐Ÿ—
๐’๐’„
=
=
โ†’
= ๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ•๐Ÿ–
๐‘ท๐’„
๐‘ฒ๐’‘
๐Ÿ“
๐‘ท๐’„
Arbitrando o valor de Pc
๐‘ท๐’„ = ๐ŸŽ, ๐ŸŽ๐Ÿ
Logo Zc:
๐’๐’„ = ๐ŸŽ, ๐Ÿ๐Ÿ๐Ÿ•๐Ÿ–
Comparando o sistema compensado e não compensado no Matlab.
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๏ƒ˜ Exercício proposto
Determine os parâmetros do controlador com atraso de fase para as FTโ€™s
abaixo:
Controlador com avanço e atraso de fase baseado no método do Lugar
geométrico das Raízes (LGR)
๏ƒ˜ Exercício resolvido
Considere o sistema de controle mostrado na figura abaixo:
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Após a análise do comportamento da forma de onda de saída, deseja-se tornar o
coeficiente de amortecimento igual a 0,5 e aumentar a frequência natural não
amortecida para 5 rad/s². Já em relação ao erro estático pretende-se reduzir em
100 vezes.
๏‚ท Polos em malha aberta - (๐‘บ = ๐ŸŽ ๐’† ๐‘บ = โˆ’๐ŸŽ, ๐Ÿ“);
๏‚ท
๏‚ท
Polos em malha fechada โ€“ (๐‘บ =
โˆ’๐ŸŽ,๐Ÿ“±โˆš๐ŸŽ,๐Ÿ๐Ÿ“โˆ’๐Ÿ๐Ÿ”
๐Ÿ
๐Ÿ
) โ†’ (๐‘บ =
)
(๐‘บ = โˆ’๐ŸŽ, ๐Ÿ๐Ÿ“ ± ๐Ÿ๐’‹)
Polo de malha fechado desejado
Devemos escolher um novo polo para atender as especificações de
desempenho desejado (coeficiente de amortecimento igual a 0,5 e
aumentar a frequência natural não amortecida para 5 rad/s²). Assim
teremos:
๐‘บ๐Ÿ + ๐Ÿ๐’‚๐œน๐Ž๐’ ๐‘บ + ๐Ž๐Ÿ๐’ = ๐‘บ๐Ÿ + ๐Ÿ๐’™๐ŸŽ, ๐Ÿ“๐’™๐Ÿ“๐‘บ + ๐Ÿ“² = ๐‘บ๐Ÿ + ๐Ÿ“๐‘บ + ๐Ÿ๐Ÿ“
Logo o polo desejado é: (๐‘บ =
๏‚ท
โˆ’๐ŸŽ,๐Ÿ“ โˆ“โˆš๐ŸŽ,๐Ÿ“๐Ÿ โˆ’๐Ÿ’๐’™๐Ÿ’
โˆ’๐Ÿ“±โˆš๐Ÿ๐Ÿ“โˆ’๐Ÿ๐ŸŽ๐ŸŽ
๐Ÿ
) โ†’ (๐‘บ = โˆ’๐Ÿ, ๐Ÿ“ ± ๐Ÿ’, ๐Ÿ‘๐Ÿ‘๐‘ฑ)
Erro de posição
๐Ÿ’
โ†’ ๐‘ฒ๐’‘ = ๐Ÿ
๐‘บโ†’๐ŸŽ ๐‘บ² + ๐ŸŽ, ๐Ÿ“๐‘บ + ๐Ÿ’
๐‘ฒ๐’‘ = ๐ฅ๐ข๐ฆ ๐‘ฎ(๐’”) = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐‘บโ†’๐ŸŽ
๏‚ท
Erro estático
๐’†(โˆž) =
๐Ÿ
๐Ÿ
=
โ†’ ๐’†(โˆž) = ๐ŸŽ, ๐Ÿ“
๐Ÿ + ๐‘ฒ๐’‘ ๐Ÿ + ๐Ÿ
A โ€“ Determinação do parâmetros do controlador com avanço de fase
๏‚ท Inserir polos e zeros que anulem o ângulo do polo em malha fechado
desejado.
โˆ‘ â๐‘›๐‘”๐‘ข๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐‘ง๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ๐‘  โˆ’ โˆ‘ â๐‘›๐‘”๐‘ข๐‘™๐‘œ๐‘  ๐‘‘๐‘’ ๐‘๐‘œ๐‘™๐‘œ๐‘  = 180º
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Inserindo um zero no polo -0,5, isso anulará o efeito do ângulo deste polo.
Já para anular o efeito do ângulo ๐›ผ2 deve-se inserir um polo a uma distância que
permita conseguir um ângulo ๐›ผ1 = 180º โˆ’ ๐›ผ2.
Assim:
4,33
๐›ผ2 = 180 + ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘”
โ†’ ๐œถ๐Ÿ = ๐Ÿ๐Ÿ๐ŸŽº
2,5
Desse modo, para que ๐œถ๐Ÿ = ๐Ÿ”๐ŸŽº o polo deve se encontrar em -5.
๏‚ท
Determinação do ganho K
๐พ(๐‘  + 0,5)
4
4๐พ
โŒˆ
๐‘ฅ
โŒ‰=1โ†’โŒˆ
โŒ‰=1
(๐‘  + 5)
๐‘ (๐‘  + 0,5)
(๐‘ ² + 5๐‘ )
Fazendo
๐‘† = โˆ’2,5 + 4,33๐‘—
โŒˆ
4๐พ
โŒ‰=1
(2,5 + 4,33๐‘—)(โˆ’2,5 + 4,33๐‘—) + 5(โˆ’2,5 + 4,33๐‘—)
4๐พ
โŒˆ
โŒ‰ = 1 โ†’ ๐’Œ = ๐Ÿ”, ๐Ÿ๐Ÿ’
โˆ’25
B- Determinação do controlador de atraso de fase
๏‚ท Alteração do erro de posição de 1 para 100
0,5
1
๐’†(โˆž) =
=
โ†’ ๐‘ฒ๐’‘๐’„ = ๐Ÿ๐Ÿ—๐Ÿ—
100
1 + ๐พ๐‘๐‘
๐‘๐‘ ๐พ๐‘๐‘ 199
=
=
๐‘ƒ๐‘
๐พ๐‘
1
Arbitrando um valor para ๐‘ƒ๐‘ โ†’ ๐‘ท๐’„ = ๐ŸŽ, ๐ŸŽ๐ŸŽ๐Ÿ;
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Assim ๐’๐’„ = ๐ŸŽ, ๐Ÿ๐Ÿ—๐Ÿ—.
Comparando o sistema compensado e não compensado no Matlab.
๏ƒ˜ Exercício proposto
Considere o modelo do sistema de um veiculo espacial mostrado na figura abaixo.
Projete um compensador de avanço e atraso de fase C (s) de forma que os polos
em malha fechada tenham coeficiente de amortecimento ๐œน =0,5 e a frequencia
natural a amortecida ๐Ž๐’ = 2 rad/s respectivamente.
Forma de onda sem compensador
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