Aula 19
Análise Dimensional
e Semelhança
Objetivos
Estabelecer os parâmetros necessários
para guiar estudos experimentais;

Apresentar
a técnica usada para aplicar
os resultados de estudos de modelos a
protótipos para uma variedade de situação
de escoamento;
Objetivos
Extrair os parâmetros do escoamento das
equações diferenciais e condições de
contorno usados para guiar estudos
computacionais;

Objetivos
Fornecer exemplos e problemas que
ilustrem a utilização de parâmetros
adimensionais dos escoamentos, como
estudos de modelo e permitir prever
quantidades de interesse em um protótipo e
verificar o uso de equações diferenciais
normalizadas;

Introdução
Homogeneidade dimensional: Condição
em que todos os termos de uma equação
têm as mesmas dimensões.
m2 / s 2
kg / ms2


2
V1
p1

2
g



m / s2
kg / m2s2
m
2

V2 p2
 z1 

 z2
2g 
Introdução
m2 / s 2
kg / ms2


2
V1
p1

2
g



m / s2
m
2

V2 p2
 z1 

 z2
2g 
kg / m2s2
Dividindo por z1
2
1
2
2
V
p1
V
p2 z 2

1


2gz1 z1
2gz1 z1 z1
Semelhança
Estudo da previsão das
condições do protótipo
a partir de observações
de modelos
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais
obtidos da análise dimensional
Exemplos
Modelo em escala de
edifícios grandes de uma
cidade. O escoamento de
ar ao redor dos edifícios é
estudada. Os elementos
ásperos no chão geram a
turbulência desejada nas
paredes.
Analise
Dimensional
Analise Dimensional
Placa
deslizante
p  f ( V, , , d,h)
Analise Dimensional
,,h
,, d
Analise Dimensional
 Vd h 
p



f
,
2


V
  d
N
kgm
kg
 2 
2
m m s ms

p
2

V
kg m2
kg

m3 s2 ms
m kg
kg
m
3
sm
ms
 f(

Vd


Ns kgm s kg
 2 2
2
m m s ms
h
, )
d
Analise Dimensional
Analise Dimensional
ML
F 2
T
p  RT
2
F ML / T
2
2
2
p  L
L
L
RT      3  3  2
L
T
 L
M
M
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade
Comprimento
Tempo
Massa
Força
Velocidade
Aceleração
Freqüência
Gravidade
Área
Símbolo
l
Dimensões
L
t
m
F
V
a
T
M
ML/T2
L/T
L/T2
T-1
L/T2
L2
w
g
A
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade
Vazão
Fluxo de massa
Pressão
Tensão
Massa específica
Peso específico
Viscosidade
Viscosidade cinemática
Símbolo
Q
Dimensões
L3/T

m
M/T
M/LT2
M/LT2
M/L3
M/L2T2
M/LT
L2/T
p
t



n
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade
Trabalho
Potencia, fluxo de calor
Tensão superficial
Módulo da elasticidade
volumétrica
Símbolo
W

 ,Q
W
Dimensões
ML2/T2
s
B
M/T2
ML2/T3
M/LT2
pCareta
Teorema p de Buckingham
É o teorema que nos permite determinar os números
adimensionais a partir da função característica.
x1  f ( x2, x3 , x 4 ,..., xn )
n- número de variáveis
p  f ( V, , , d,h)
Dependente
Independentes
Teorema p de Buckingham
K  (n  m)
K - Grupos adimensionais;
n – numero de variáveis(grandeza / quantidade);
m - número dimensões básicas;
p1  f1(p2, p3,..., pnm )
Teorema p de Buckingham
Partindo-se da função
característica, f (F, V, ρ, µ,
d) = 0, a aplicação do
teorema dos π respeita a
seguinte seqüência:
1º PASSO:
Determinar o número de variáveis
que influenciam o fenômeno - n
n=5
2º PASSO:
Escrevemos a equação
dimensional de cada uma das
variáveis.
[F] = F
[V] = L x T-1
[ρ] = F x L-4 x T2
[µ] = F x L-2 x T
[D] = L
Teorema p de Buckingham
3º PASSO:
Determinamos o número de
dimensões envolvidas no
fenômeno - m.
m=3
4º PASSO: Determinamos o
número de adimensionais que
caracterizam o fenômeno K
K=n-m∴K=2
5º PASSO:
Estabelecemos a base dos
números adimensionais.
Definição de base - É um
conjunto de variáveis
independentes comuns aos
adimensionais a serem
determinados, com exceção dos
seus expoentes.
Variáveis independentes- São
aquelas que apresentam as suas
equações dimensionais diferentes
entre si de pelo menos uma
grandeza fundamental.
Para o exemplo, temos:
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como
variáveis independentes.
ρ e µ como variáveis dependentes.
Teorema p de Buckingham
Bases possíveis para o
exemplo:
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ
V D.
Para obtermos os
adimensionais já
estabelecidos para os
estudos de Mecânica dos
Fluidos, geralmente
adotamos a base ρ V D, ou a
que mais se assemelha a
esta. Para o exemplo,
adotamos a base ρ V D.
6º PASSO :
Escrevemos os
números adimensionais,
multiplicando a base
adotada por cada uma
das variáveis que
restaram na função
característica após a
sua retirada.
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Teorema p de Buckingham
Para obtermos os expoentes da base,
substituímos cada uma das variáveis por sua
respectiva equação dimensional, inclusive o
número adimensional.
Para p1 tem-se:
Teorema p de Buckingham
Para p2 tem-se: