Mecânica dos Fluidos
Análise Dimensional e
Semelhança Dinâmica
Análise Dimensional
Os problemas em Fenômenos de Transporte
envolvem muitas variáveis com diferentes
sentidos físicos;

As equações derivadas analiticamente são
corretas para qualquer sistema de unidades
(cada termo da equação deve ter a mesma
representação dimensional: homogeneidade)

Cada uma dessas variáveis é expressa por
uma magnitude e uma unidade associada;

Análise Dimensional
As unidades são expressas utilizando apenas
quatro grandezas básicas ou categorias
fundamentais:
- massa[M];

- comprimento[L];
- tempo[T] e
- temperatura[θ]
As quatro grandezas básicas representam as
dimensões primárias que podem ser usadas
para representar qualquer outra grandeza ou
grupo de grandezas físicas;

Análise Dimensional

Dimensões Primárias:
Análise Dimensional
É
um meio para simplificação
de um problema físico
empregando a homogeneidade
dimensional para reduzir o
número das variáveis de
análise;
Análise Dimensional
A análise dimensional é particularmente útil
para:
Apresentar e interpretar dados experimentais;
 Resolver problemas difíceis de estudar com
solução analítica;
 Estabelecer a importância relativa de um
determinado fenômeno;
 Modelagem física.


Dimensões de Grandezas Derivadas:
Geometria
Grandeza
Símbolo
Dimensão
Área
A
L2
Volume
V
L3
U
LT-1
ω
T-1
Q
L3T-1
m
MT-1
F
MLT-2
T
ML2T-2
E
ML2T-2
P
ML2T-3
Pressão
p
ML-1T-2
Densidade
ρ
ML-3
Viscosidade
µ
ML-1T-1
Viscosidade Cinemática
v
L2T-1
Tensão superficial
Condutividade Térmica
σ
k
MT-2
MLT-3θ
Calor Específico
C ,C
L2T-2 θ-1
 Dimensões de grandezas
Cinemática
Velocidade
Velocidade Angular
Vazão
Fluxo de massa
Dinâmica
Força
Torque
Energia
Potência
Propriedades
dos Fluidos
derivadas:
Análise Dimensional
Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas
tem uma dimensão que é representada por
uma relação das grandezas primárias;
 Se esta relação é unitária, o grupo é
denominado adimensional, isto é, sem
dimensão;
 Um exemplo de grupo adimensional é o
número de Reynolds:

VD ML3 . LT 1 .L
Re y 

1
1 1
ML T 

Análise Dimensional
Como o número de grupos adimensionais é
relativamente menor que o número de
variáveis físicas, há uma grande redução de
esforço experimental para estabelecer a
relação entre algumas variáveis;

A relação entre dois números adimensionais
é dada por uma função entre eles com uma
única curva relacionando-os;

Pode-se afirmar que os grupos adimensionais
produzem melhor aproximação do fenômeno
do que as próprias variáveis;

Análise Dimensional e
Semelhança Dinâmica
Restringindo as condições dos experimentos
é possível obter dados de diferentes condições
geométricas mas que levam ao mesmo ponto
na curva;

Isto é, experimentos de diferentes escalas
apresentam os mesmos valores para os grupos
adimensionais a eles pertinentes;

Nessas condições os experimentos
apresentam semelhança dinâmica;

Semelhança
Problemas em Engenharia (principalmente na
área de Térmica e Fluidos) dificilmente são
resolvidos aplicando-se exclusivamente análise
teórica;

Utilizam-se
com freqüência estudos
experimentais;
Muito
do trabalho experimental é feito com o
próprio equipamento ou com réplicas exatas;
Porém,
a maior parte das aplicações em
Engenharia são realizadas utilizando-se modelos
em escala.
Semelhança
Semelhança é, em sentido bem geral, uma
indicação de que dois fenômenos têm um mesmo
comportamento;

Por exemplo: é possível afirmar que há
semelhança entre um edifício e sua maquete
(semelhança geométrica)

Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança
indica a relação entre dois escoamentos de
diferentes dimensões, mas com semelhança
geométrica entre seus contornos;

Semelhança
Geralmente o escoamento de maiores
dimensões é denominado escala natural ou
protótipo;

O escoamento de menor escala é denominado
de modelo;

Estudo em modelo reduzido
da Barragem de Pedrógão - Portugal
Modelo reduzido em
escala geométrica da
tomada d’água e da
comporta vagão da Usina
Hidrelétrica de Paulo
Afonso IV (CHESF), no rio
São Francisco, projetadas
pela Ishikawajima do
Brasil Estaleiros S/A,
1978.
Modelo reduzido
do Brennand
Plaza, no Recife,
ensaiado no
túnel de vento.
Medidas de
pressões devidas
ao vento na
superfície externa
do edifício. Escala
do modelo: 1/285
Estudo em modelo
reduzido do
vale do rio Arade
Semelhança

Utilização de Modelos em escala:
Vantagens econômicas (tempo e
dinheiro);
 Podem ser utilizados fluidos diferentes
dos fluidos de trabalho;
 Os resultados podem ser extrapolados;
 Podem ser utilizados modelos reduzidos
ou expandidos (dependendo da
conveniência);

Semelhança
 Para ser possível esta comparação entre o
modelo e a realidade, é indispensável que os
conjuntos de condições sejam FISICAMENTE
SEMELHANTES;
O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral
que envolve uma variedade de tipos de
semelhança:
 Semelhança
Geométrica
 Semelhança Cinemática
 Semelhança Dinâmica
Semelhança

Semelhança Geométrica
Semelhança de forma;
 A propriedade característica dos
sistemas geometricamente
semelhantes é que a razão entre
qualquer comprimento no modelo e o
seu comprimento correspondente é
constante;
 Esta razão é conhecida como FATOR DE
ESCALA.

Semelhança

Semelhança Geométrica
Deve-se lembrar que não só a forma global
do modelo tem que ser semelhante como
também a rugosidade das superfícies deve ser
geometricamente semelhante;

Muitas vezes, a rugosidade de um modelo
em escala reduzida não pode ser obtida de
acordo com o fator de escala – problema de
construção/de material/de acabamento das
superfícies do modelo.

Semelhança

Semelhança Cinemática:
Quando dois fluxos de diferentes escalas
geométricas tem o mesmo formato de linhas de
corrente;


É a semelhança do movimento;
Exemplo de semelhança cinemática: Planetário.
O firmamento é reproduzido de acordo com um
certo fator de escala de comprimento e, ao copiar
os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão
fixa de intervalos de tempo e, portanto, de
velocidades e acelerações.

Semelhança


Semelhança Dinâmica
É a semelhança das forças;
Dois sistemas são dinamicamente
semelhantes quando os valores
absolutos das forças, em pontos
equivalentes dos dois sistemas,
estão numa razão fixa;

Semelhança Dinâmica
Origens das Forças que determinam o
comportamento dos Fluidos:







Forças devido à diferenças de Pressão;
Forças resultantes da ação da viscosidade;
Forças devido à tensão superficial;
Forças elásticas;
Forças de inércia;
Forças devido à atração gravitacional.
Semelhança Dinâmica

Exemplos de estudos em modelos

Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos;

Escoamento em condutos;

Estruturas hidráulicas livres;

Resistência ao avanço de embarcações;

Máquinas hidráulicas;
Semelhança Dinâmica
Grupo
Nome
Adimensional
Razão das Forças
representadas
Símbolo
habitual
UL

Número de
Reynolds
Força de Inércia
Força Viscosa
Re
_U_
(Lg)1/2
Número de
Froude
Força de Inércia
Força da gravidade
Fr
Número de
Weber
Força de Inércia
Força de Tensão Superficial
We
Número de
Mach
Força de Inércia
Força Elástica
M
U L

U
C
1/2
Grupos Adimensionais


São extremamente importantes na
correlação de dados experimentais;
Em razão das múltiplas aplicações dos
grupos adimensionais nos estudos de
modelos e aplicações de semelhança
dinâmica, vários grupos foram criados
nas diversas áreas que compõem os
Fenômenos de Transporte
Grupos Adimensionais

Alguns dos mais importantes:
 Número de Reynolds;
 Número de Froude;
 Número de Euler;
 Número de Mach;
 Número de Weber;
 Número de Nusselt;
 Número de Prandtl;
Grupos Adimensionais
VL
Re y 


Número de Reynolds:

Relação entre Forças de Inércia e Forças
Viscosas;

Um número de Reynolds “crítico” diferencia
os regimes de escoamento laminar e
turbulento em condutos na camada limite ou
ao redor de corpos submersos;
Grupos Adimensionais
V
Fr 
gL

Número de Froude:



Relação entre Forças de Inércia e Peso
(forças de gravidade);
Aplica-se aos fenômenos que
envolvem a superfície livre do fluido;
É útil nos cálculos de ressalto
hidráulico, no projeto de estruturas
hidráulicas e no projeto de navios;
Grupos Adimensionais
p
Eu 
2
V

Número de Euler:


Relação entre Forças de Pressão e as
Forças de Inércia;
Tem extensa aplicação nos estudos
das máquinas hidráulicas e nos
estudos aerodinâmicos
Grupos Adimensionais
V
Ma 
C

Número de Mach:



Relação entre Forças de Inércia e Forças
Elásticas;
É uma medida da relação entre a energia cinética
do escoamento e a energia interna do fluido;
É o parâmetro mais importante quando as
velocidades são próximas ou superiores à do
som;
Grupos Adimensionais
We  V

L

Número de Weber:


Relação entre Forças de Inércia e Forças
de Tensão Superficial;
É importante no estudo das interfaces
gás-líquido ou líquido-líquido e também
onde essas interfaces estão em contato
com um contorno sólido;
Grupos Adimensionais
hL
Nu 
K

Número de Nusselt:


Relação entre fluxo de calor por convecção
e o fluxo de calor por condução no próprio
fluido;
É um dos principais grupos adimensionais
nos estudos de transmissão de calor por
convecção
Grupos Adimensionais
V
Pr 
a

Número de Prandtl:


Relação entre a difusão de quantidade de
movimento e difusão de quantidade de
calor;
É outro grupo adimensional importante
nos estudos de transmissão de calor por
convecção;