2 ) AS FUNÇÕES
Professora Laura Aguiar
2.1)Estudando funções
2.1.1) Noção intuitiva
Com frequência em matemática encontramos relações entre duas grandezas variáveis. Observe o exemplo
abaixo:
Seja um quadrado cujo lado mede l . Designando por
podemos estabelecer entre P e l a seguinte relação:
P  4l a medida do perímetro desse quadrado,
P  4l
Notamos então , que a medida P do perímetro depende da medida
ser verificado pela seguinte tabela:
Medida do Lado ( l )
0,5
1
1,2
2
3
4,5
l do lado do quadrado, o que pode
Medida do Perímetro ( P )
2
4
4,8
8
12
18
Pela tabela observamos que:




A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável
A medida P do perímetro do quadrado é uma grandeza variável
Todos os valores de l está associado a um valor de P
A cada valor de l está associado um único valor de P
Sendo assim, dizemos então:



A medida P do perímetro do quadrado está dada em função de l
A relação P  4l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função
Na lei de associação temos que l é a variável independente e P é a variável dependente.
Podemos abordar de outra forma utilizando este outro exemplo:
Uma estamparia cobra uma taxa fixa, referente ao trabalho de desenvolvimento da estampa padrão, mais um
valor por peça de roupa estampada. Para estampar camisetas de certa encomenda, o orçamento calculado
estabelecia uma taxa fixa de R$30,00 mais R$2,50 por camiseta.
Observe o quadro:
23
Quantidade de
camisetas
1
2
10
20
50
...
x
Valor cobrado
(R$)
30 + 2,50
32,50
30 + 2.2,50
35
30+10.2,50
55
30+20.2,50
80
30+50.2,50
155
...
30+x.2,50
A relação entre a quantidade de camisetas e o valor cobrado é descrita por uma função, cuja fórmula é dada
por:
Valor cobrado
V=30+2,50x
Taxa fixa
quantidade de camisetas
valor cobrado por camiseta
Nesse caso, o valor cobrado está em função da quantidade de camisetas. Assim, dizemos que o “valor
cobrado” (v) é a variável dependente e a “quantidade de camisetas” (x), a variável independente da função.
2.1.2) Grandezas que variam
Na natureza encontramos inúmeros exemplos de grandezas variáveis inter-relacionadas.
A relação de dependência entre grandezas, isto é, a variação de uma conforme as mudanças sofridas pela
outra, é um fenômeno que pode ser observado e, muitas vezes, traduzido através do estabelecimento de uma
lei matemática que rege a referida relação. Muitas grandezas variam na dependência de outras, e é muito difícil,
às vezes impossível, garantir que determinada grandeza varie independentemente de qualquer outra.
A dificuldade, muitas vezes, reside em selecionar a variável que se deseja estudar na dependência de qual
outra. Quando esta questão está clara e decidida, dizemos que a primeira grandeza varia em função da
segunda grandeza.
Ao longo do tempo, estudar a variação de uma grandeza em função da variação de outra tem-se mostrado uma
ideia tão frutífera que, em diferentes âmbitos do conhecimento humano, percebemos a constante busca de
novas correlações, com o estabelecimento das mais variadas dependências.
2.2)
A Noção de Função através de Conjuntos
Vamos agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois as colunas vistas na tabela do item
anterior representam conjuntos numéricos.
Veja o exemplo:
A  0,5,10 e B  0,5,10,15, 20, 25 , seja a relação de A em B expressa pela
fórmula y  x  5 , com x  A, y  B .
Dados os conjuntos
24
DEFINIÇÃO: Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é
uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e somente um
elemento y de B
Pode-se escrever:
f : A  B (lê-se: f é uma função de A em B).
Observação: Podemos usar a seguinte notação para a lei de associação que define uma função:
y  x  5 ou f ( x)  x  5
A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois
linguagem matemática.
y e f ( x) significam o mesmo na
EXEMPLO: Observe os diagramas abaixo, que representam relações de A em R, assinale com F
aquelas que são funções e com R as que não são funções.
a)
b)
b)
d)
2.3) Domínio,
Imagem e Contra – Domínio de uma Função
A  0,1, 2 e B  0,1, 2,3, 4,5 ; vamos considerar a função f : A  B definida
por y  x  1 ou f ( x)  x  1
Sejam os conjuntos
Observando o diagrama da função, vamos definir:
25

D . No exemplo acima
D  0,1, 2 . O domínio da função também é chamado campo de definição ou campo de existência da
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por
função.
1, 2,3 , que é
indicamos por Im  1, 2,3

O conjunto

O conjunto B, tal que
um subconjunto de B, é denominado o conjunto imagem da função e
Im  B , é denominado contradomínio da função.
f (0)  1
2 é a imagem de 1 pela função; f (1)  2
3 é a imagem de 2 pela função; f (2)  3
No exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função;
EXEMPLO
Dados os conjuntos
A  {2, 1,0,1} e B  {3, 2, 1,0,1, 2,3, 4} , determine:
f : A  B definida por f ( x)  x 2
b) o conjunto imagem da função f : A  B definida por f ( x)  2 x  2
a) o conjunto imagem da função
c) o conjunto imagem da função
2.4)
f : A  B definida por f ( x)  x 2  1
Estudo do Domínio de uma Função
Quando definimos uma função, o domínio D, que o conjunto de todos os valores possíveis da variável x,
pode ser dado explícita ou implicitamente. Assim:
f ( x)  2 x  5 , sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser qualquer
número real, ou seja D  R .
 Se dado f ( x)  2 x  5 , com 1  x  10 , está implícito que o domínio da função dada é
D  {x  R,1  x  10} .
2x  3
 Se é dado apenas f ( x) 
, sem explicitar o domínio, está implícito que x pode ser qualquer
x2
número real diferente de 2, com isso, D  {x  R, x  2} .

Se é dado apenas

Se é dado apenas
f ( x)  x  2 , sem explicitar o domínio D, está implícito que x  2  0  x  2 .
Assim D  {x  R; x  2}
Logo, quando o domínio de uma função não está explícito, devemos considerar para este domínio todos os
valores reais em x que tornam possíveis em R as operações indicadas na fórmula matemática que define a
função.
Veja o Exemplo:
26
Determinar o domínio da função
1
x2
f ( x)  x  4 
Exemplos:
Determinar o domínio das seguintes funções definidas por:
2.5)
x2
2x
a)
f ( x) 
x
x 5
e)
f ( x) 
1
x  9 x  20
f)
f ( x) 
1
x

x x3
g)
h)
f ( x) 
x 1
1
 2
x 1 x  9
i)
f ( x) 
2x 1
x
j)
b)
2
f ( x) 
c)
f ( x) 
x
x 4
2
f ( x) 
d)
f ( x) 
x
2x 1
x 1
2x

3
x
x4
f ( x)  x  2
Função Sobrejetora, Função Injetora, Função Bijetora
Vamos considerar os seguintes exemplos:
1°)
A  {2, 1,0,1} , B  {0,1, 4} e f : A  B definida por y  x 2
Você observa que não há elemento de B que não seja
um elemento de A, isto é, chegam flechas em todos os
de B. O conjunto imagem é igual ao contradomínio da
Neste caso dizemos que a função f é sobrejetora.
imagem de
elementos
função.
f é sobrejetora  Im( f )  CD( f )
A  {1,0,1, 2} , B  {0,1, 2,3, 4,5} e f : A  B definida
y  x 1
por
Você observa que não existe elemento de B que seja imagem
mais de um elementos de A, isto é, em cada elemento de B
imagem de um elemento de A chega apenas uma flecha. Neste
dizemos que a função é injetora.
de
que é
caso
2°)
f é injetora  x1 , x2  A, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
3°)
A  {0, 2,3}, B  {1,5,7} e f : A  B definida por y  2 x  1
Você observa que não existe um elemento de B que não seja
imagem de um elemento de A (f é sobrejetora); cada elemento
imagem de um único elemento de A (f é injetora). Neste caso,
a função f, é ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora, dizemos
uma função bijetora.
de B é
quando
que f é
f é bijetora  f é sobrejetora e f é
injetora
27
EXEMPLO: Marque V ou F nas sentenças abaixo:
a) A função
b) A função
c) A função
d) A função
e) A função
f)
2.6)
A função
f
f
f
f
f
f
: R  R definida por y  x 2 é injetora
: R  R definida por y  x  1 é bijetora
:{0,1, 2,3}  R definida por y  x  1 não é sobrejetora
:{0,1, 2,3}  N definida por y  x  1 é injetora
: R  R definida por f ( x)  x 2  1 é bijetora
: N  R definida por y  x é bijetora.
Função Par e Função Ímpar
Seja a função
Veja que:
f : R  R definida por f ( x)  x 2
f (1)  1  f (1); f (2)  4  f (2); f ( 2)  2  f ( 2)
Qualquer que seja
Agora seja a função
Veja que:
x  D ocorre f ( x)  f ( x) ; neste caso , dizemos que a função f é par.
f : R  R definida por f ( x)  2 x
1
 1
f (1)  2, f (1)  2; f (2)  4, f (2)  4; f    1, f     1
2
 2
Para todo x  D ocorre f ( x)   f ( x) , neste caso dizemos que f é uma função ímpar
EXEMPLO: Classifique as funções como pares ou ímpares.
2.7)
a)
f ( x)  3 x
b)
f ( x)  x 2  1
d)
y  4x 1
e)
y  7 x4
f ( x)   x 3
1
f) f ( x) 
x
c)
Função Crescente e Função Decrescente
Uma função
y  f ( x) é crescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer x1 e x2
pertencentes ao conjunto A, com
x1  x2 , tivermos f ( x1 )  f ( x2 ) .
y  f ( x) é decrescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer x1 e x2
pertencentes ao conjunto A, com x1  x2 , tivermos f ( x1 )  f ( x2 ) .
Uma função
2.8)
Função Composta
Dados os conjuntos
A  {0,1, 2}, B  {0,1, 2,3, 4}, C  {0,1, 4,9,16} e as funções f : A  B; f ( x)  2 x e
f : B  C ; f ( x)  x 2
28
Então:
f  {(0,0);(1, 2);(2, 4)}
e
g  {(0,0);(1,1);(2, 4);(3,9);(4,16)}
Observamos que:
y  B tal que y  2 x ;

A cada x  A associa-se um único

A cada

A cada x  A associa-se um único z  C tal que
y  B associa-se um único z  C tal que z  y 2 ;
z  y 2  (2 x)2  4 x 2 .
Então podemos afirmar que vai existir uma função h de A em C definida por
h( x)  4 x 2 que indicamos por
g f ou g ( f ( x)) (lê-se g composta com f)
Logo:
h( x)  ( g f )( x)  g ( f ( x))  {(0,0),(1, 4),(2,16)} ou h( x)  4 x 2
A função
h( x) chama-se composta de g com f
EXEMPLOS
1) Sendo
f ( x)  x 2  2 e g ( x)  3x , calcular g ( f ( x)) e f ( g ( x))
2) Dadas as funções
a) Calcular
f ( x)  x2  5x  6; g ( x)  x  1 , pede-se:
f ( g ( x))
b) Achar x de modo que
3) Dados
f ( g ( x))  0
f ( x)  3x 1; f ( g ( x))  6 x  8 calcular g ( x) .
29
2.9)
Função Inversa
A  {1, 2,3, 4} e B  {2, 4,6,8} , consideremos as funções:
f : A  B definida por y  2 x
x
g : B  A definida por y 
2
Dados
f
g
f  {(1, 2),(2, 4),(3,6),(4,8)}
D  {1, 2,3, 4}
Im  {2, 4,6,8}
g  {(2,1),(4, 2),(6,3),(8, 4)}
D  {2, 4,6,8}
Im  {1, 2,3, 4}
Observe que:


A função g pode ser obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada um dos pares ordenados que
pertencem a função f
D( f )  Im( g ) e Im( f )  D( g )

As funções f e g são bijetoras.
A função g é chamada função inversa da função f
Indica-se função inversa por
f 1
Observação importante:
A função y  f ( x) define uma correspondência de x para y, isto é, dado o valor de x podemos obter o
valor de y que lhe corresponde através da função f.
A função inversa de f, que é indicada por
x, e indicamos
f 1 , define uma correspondência contrária, isto é, de y para
x  f 1 ( y)
As funções que possuem inversa são chamadas funções inversíveis. Então podemos definir:
Da uma função bijetora
f : A  B , chama-se função inversa de f a função f 1 : B  A tal que
(a, b)  f  (b, a)  f 1
Processo Algébrico para o cálculo da Função Inversa
a) Achar a expressão que representa a inversa da função
b) Determinar a função inversa da função
f ( x) 
y  x2
x5
3
, com x  .
2x  3
2
30
2.10) Fixação
f (x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz
300 x
entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função f ( x) 
. Se o
150  x
1)(UFMG) Suponha que o número
número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de
moradores que a receberam é:
a) 25
b) 30
c) 40
d) 45
e) 50
2)(UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Esse gráfico representa
a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia.
A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é:
a) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.
b) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante.
c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto
ingerido.
d) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de
20mg/dia.
3) (UFRS) O gráfico seguinte representa a evolução do volume de água de um reservatório, durante certo dia.
A vazão de água do reservatório, em litros/hora, nos períodos das 6h às 15h e das 15h às 24h é, nesta ordem,
em valor absoluto, aproximadamente:
a) 3 e 8 b) 5 e 2 c) 7 e 1 d) 7 e 2 e) 9 e 1
31
4) (Unesp) O gráfico indica o resultado de uma pesquisa sobre o número de acidentes ocorridos com 42
motoristas de táxi em uma determinada cidade, no período de um ano.
Com base nos dados apresentados no gráfico, e considerando que quaisquer dois motoristas não estão
envolvidos num mesmo acidente, pode-se afirmar que:
a) cinco motoristas sofreram pelo menos quatro acidentes.
b) 30% dos motoristas sofreram exatamente dois acidentes.
c) a média de acidentes por motorista foi igual a três.
d) o número total de acidentes ocorridos foi igual a 72.
e) trinta motoristas sofreram no máximo dois acidentes.
5) (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excretada na
urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando
pode ocorrer a osteoporose, uma doença caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo.
A baixa concentração de íon cálcio (Ca®®) no sangue estimula as glândulas paratireoides a produzirem
hormônio paratireoide (HP). Nesta situação, o hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos,
aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins.
(Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia
“Molecular da Célula(.” Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.)
Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra o
gráfico abaixo.
(Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.)
Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30
anos. O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30
anos, é igual a:
a) 14
b) 18
c) 22
d) 26
6) (UFRN) O banho de Mafalda.
Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou observando o nível da água subir.
Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem
32
esvaziar a banheira. O gráfico a seguir que mais se aproxima da representação do nível (N) da água na
banheira em função do tempo (t) é:
7)(OBMEC) Uma formiguinha parte do centro de um círculo e percorre uma só vez, com velocidade constante,
trajeto ilustrado na figura:
Qual dos gráficos a seguir representa a distância d da formiguinha ao centro do círculo em função do tempo t ?
8) (UFMT) O gráfico abaixo apresenta os prejuízos econômicos em consequência de catástrofes naturais, em
função da capacidade de reconstrução da economia afetada (representada por um índice).
33
(Scientific American Brasil. Edição Especial, n.º 19, p.25.)
A partir das informações contidas no gráfico, assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.
( ) Os prejuízos devidos às catástrofes naturais são diretamente proporcionais à capacidade de reconstrução da
economia afetada.
( ) Economias com alta capacidade de reconstrução estão livres dos prejuízos econômicos em consequência de
catástrofes naturais.
( ) Economias com capacidade de reconstrução inferior a 2 são mais vulneráveis a prejuízos econômicos
causados por catástrofes naturais.
Assinale a sequencia correta.
A) V, F, F
B) V, F, V
C) F, V, F
D) F, V, V
E) F, F, V
.
9) (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e cobra de acordo com a seguinte tabela de preços:
Segundo essa tabela, uma pessoa ao fotocopiar, por exemplo, 28 cópias, pagará R$ 0,08 a cópia. Se y for o
preço total e x a quantidade de cópias, a função preço pode ser representada pelo gráfico:
34
10) (FEFISA-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por uma empresa de cosméticos na produção de
perfume varia com a quantidade de perfume produzida (x).
Assim, podemos afirmar que:
a) quando a empresa não produz não gasta.
b) para produzir três litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00.
c) para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00.
d) se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá cinco litros de perfume.
e) para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que fabricar o quinto litro.
11) (UFRN)
O triatlo olímpico é uma modalidade de competição que envolve três etapas. Na primeira etapa, os competidores enfrentam 1,5 km de natação em mar aberto; na segunda etapa, eles percorrem 40 km de corrida
ciclística; e, na terceira etapa, participam de uma meia maratona de 10 km.
O gráfico que melhor representa, aproximadamente, a distância percorrida, em quilômetros, por um atleta que
completa a prova durante as duas horas de competição é:
35
12) UFTM-MG
Um termômetro descalibrado indica 10 °C quando a temperatura real é 13 °C. Quando indica 20 °C, a
temperatura real é de 21 °C. Porém, mesmo estando descalibrado, a relação entre a temperatura real e a
temperatura indicada é linear. Assim sendo, a única temperatura em que a leitura do termômetro descalibrado
corresponderá à temperatura real é:
a) 22 °C
d) 25 °C
b) 23 °C
e) 26 °C
c) 24 °C
13) Uma fórmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta é m/a2 = I, na qual m
é a massa da pessoa, em quilogramas e a é a sua altura, em metros. Se I estiver entre 20 e 50, a pessoa não
precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2 kg obteve I = 20. Qual é a sua altura?
a) 1,60 m
d) 1,52 m
b) 1,58 m
e) 1,50 m
c) 1,55 m
14)(Ufpe) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de três anos.
O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
15) Qual das relações de R em R, cujo os gráficos aparecem a seguir, são funções?
36
16) PUCCamp-SP
Numa certa cidade, as agências de correio cobram R$ 0,30 na postagem de cartas até 20 g, exclusive; R$ 0,50
se o peso variar de 20 g a 50 g e R$ 1,00 se o peso for maior que 50 g. O gráfico da função que ao peso x
da carta, em gramas, associa o preço P da postagem, em centavos, da carta é:
37
17) UFCE(modificado)
O domínio da função
é:
a) {x ∈ R / x > 7}
b) {x ∈ R / x ≤ 2}
c) {x ∈ R / 2 ≤ x < 7}
d) {x ∈ R / x ≤ 2 ou x ≥ 7}
e) {x ∈ R / x ≥ 7}
18)(Ibmec-SP)Um dos tanques de uma plataforma petrolífera tem a forma de um cubo de aresta 10 m.
Considere que inicialmente o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma válvula que verte petróleo
para o tanque, à taxa de 4 m3 por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que fornece a altura (H), em
metros, do petróleo no tanque, t horas após a abertura da válvula?
a) H(t) = t/25, 0 ≤ t ≤ 250
b) H(t) = t/50, 0 ≤ t ≤ 1.000
c) H(t) = 25t, 0 ≤ t ≤ 250
d) H(t) = 50t, 0 ≤ t ≤ 1.000
3
e) H(t) = 4t , 0 ≤ t ≤ 10
19) (UFMS)Para custear seus estudos, um estudante oferece serviços de digitação de textos. O preço a ser
pago pela digitação de um texto inclui uma parcela fixa e outra parcela que depende do número de páginas
digitadas. Se a parcela fixa for de R$ 4,00 e cada página digitada custar R$ 1,60, então a quantidade de
páginas digitadas de um texto, cujo serviço de digitação custou R$ 39,20, será igual a:
38
a) 29
b) 24
c) 25
d) 20
e) 22
20) (UFPB) Em uma indústria de autopeças, o custo de produção de peças é de R$ 12,00 fixos mais um custo
variável de R$ 0,70 por unidade produzida. Se em um mês foram produzidas x peças, então a lei que
representa o custo total dessas x peças é:
a) f(x) = 0,70 – 12x
b) f(x) = 12 – 0,70x
c) f(x) = 12 + 0,70x
d) f(x) = 0,70 + 12x
e) f(x) = 12 · 0,70x
21) . (Puccamp) O gráfico a seguir apresenta os investimentos anuais em transportes, em bilhões de dólares,
feitos pelo governo de um certo país, nos anos indicados.
De acordo com esse gráfico, é verdade que o investimento do governo desse país, em transportes,
a) vem crescendo na década de 90.
b) diminui, por ano, uma média de 1 bilhão de dólares.
c) em 1991 e 1992 totalizou 3,8 bilhões de dólares.
d) em 1994 foi o dobro do que foi investido em 1990.
e) em 1994 foi menor que a décima parte do que foi investido em 1990.
22) (Unesp)O gráfico, publicado na "Folha de S. Paulo" de 16.08.2001, mostra os gastos (em bilhões de reais)
do governo federal com os juros da dívida pública.
39
Obs.: 2001 - estimativa até dezembro.
Pela análise do gráfico, pode-se afirmar que:
a) em 1998, o gasto foi de R$ 102,2 bilhões.
b) o menor gasto foi em 1996.
c) em 1997, houve redução de 20% nos gastos, em relação a 1996.
d) a média dos gastos nos anos de 1999 e 2000 foi de R$79,8 bilhões.
e)os gastos decresceram de 1997 a 1999.
23) (Uel) Um economista, estudando a relação entre o preço da carne bovina (que aumenta na entressafra) e
as vendas de carne de frango, encontrou uma função cujo gráfico é esboçado a seguir
De acordo com esse gráfico, é verdade que
a) v é diretamente proporcional a p.
b) v é inversamente proporcional a p.
c) se p cresce, então v também cresce.
d) v é sempre maior que p.
e) o preço da carne de frango é inferior ao da carne bovina.
“A sabedoria consiste em compreender que o tempo dedicado ao trabalho nunca é perdido.”
Ralph Emerson
Gabarito:
1.b
10.c
19.e
2.b
1q.c
20.c
3.e
12.d
21.e
4.d
13.a
22.d
5.d
14. b
23.c
6.a
15.a,d,e
7.b
16. a
8.d
17.a
9.c
18.a
40
2.11) Pintou no ENEM
1) (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999.
O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:
Resposta: a
2) (ENEM) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada
pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos
inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação
ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
De acordo com as informações do gráfico,
A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente
proporcionais.
B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se
relacionam.
C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente
proporcionais.
D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.
E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
Resposta: e
41
3) (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não
perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10
dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30
novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da
campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos
arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
A) 920kg.
B) 800kg.
C) 720kg.
D) 600kg.
E) 570kg
Resposta: a
4)(ENEM) José Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca.
Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão,
de modo independente, ente meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo
esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no
máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os
pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde ao conjunto de
todas as possibilidades para o par (x; y):
Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "José e Antônio chegam ao marco inicial
exatamente no mesmo horário" corresponde:
a) à diagonal OQ
b) à diagonal PR
c) ao lado PQ
d) ao lado QR
e) ao lado OR
Resposta: a
5)(ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da
oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel
respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas.
O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.
42
Analisando os gráficos, pode-se concluir que
a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o I incorreto.
d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.
Resposta: d
2.12) Sessão Leitura
Como se descobriu o lugar mais fundo do mar?
Ninguém precisou descer até o fundo da fossa das
Marianas, no oceano Pacífico. A profundidade foi descoberta
a partir da superfície da água com um navio inglês de
pesquisa, o HMS Challenger II, em 1951. Comandados pelo
suíço Jacques Piccard, os cientistas da embarcação usaram
um aparelho para emitir um sinal sonoro do casco do barco
até o fundo do oceano. O sinal bateu e voltou na forma de
eco, e os pesquisadores cronometraram quanto tempo durou
essa viagem. Como eles já sabiam a qual velocidade o som
viaja na água, eles usaram uma fórmula simples da física
para calcular a profundidade máxima: 10 900 metros. Em
homenagem ao navio comandado pelo cientista suíço, o
ponto mais baixo foi batizado de Challenger Deep ("o poço
43
Challenger"). A medida, no entanto, foi alterada na segunda expedição de Piccard ao local, em 1960. Usando
um equipamento mais moderno, o submarino Trieste, Piccard desceu bem perto do fundo da fossa e
determinou uma nova profundidade: 11 034 metros. A tal diferença de 134 metros pode ter ocorrido devido à
movimentação das placas tectônicas: a região das Marianas tem muitos terremotos submarinos, e algum deles
pode ter alterado o jeitão do assoalho oceânico.
Música submarina
Sinal sonoro serviu de base para o cálculo dos cientistas
1. Para medir o ponto mais profundo do oceano, os cientistas usaram um aparelho para enviar um sinal sonoro
em direção ao fundo do mar. Na água, o som se propaga a uma velocidade de 1 500 metros por segundo.
2. O sinal sonoro segue até o fundo rochoso e volta. Como o fundo é de pedra, ele devolve um eco bem forte,
que viaja no sentido oposto, rumo à embarcação que está na superfície. Um sensor detecta a chegada do sinal
e o tempo que ele demorou para retornar.
3. Sabendo quanto durou a viagem e a velocidade do som na água, os cientistas aplicaram a fórmula:
distância= velocidade X tempo para determinar a
profundidade. Nesse cálculo, eles tomaram o cuidado
de dividir o tempo da viagem por dois, pois queriam
saber apenas a distância de ida (metade, portanto) da
viagem.
http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-sedescobriu-o-lugar-mais-fundo-do-mar
Questões:
a) Qual a ideia principal do texto?
b) Durante quantos anos a medida oficial da maior
profundidade marítima foi de 10900m?
c) Na primeira medição, em 1951,
aproximadamente quantos segundos após a
missão o sinal sonoro retornou à superfície da
água?
d) Se o mesmo método fosse utilizado em 1960,
qual seria o tempo estimado que o sinal sonoro
levaria para chegar até o fundo do mar?
e) Você acredita que a profundidade de 11034m
da fossa das Marianas se alterou desde 1960?
Justifique
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2.13) Referências
MELLO,J. L.P. (2005). Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna
SOUZA, Joamir. (2010). Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD
PAIVA,Manoel. (2005). Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna
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