Funções
Plano Cartesiano
- Consideremos dos eixos perpendiculares
em O.
- Dado um ponto A, chamamos de abcissa do
ponto A, -2, a distância do ponto A ao eixo
OU e de ordenada do ponto A, 3, a distância
ponto A ao eixo Ox.
Produto Cartesiano
ex: Dados os conjuntos A={0,2,3} e B={5,6}, obter os produtos cartesianos
AXB={(0,5),(0,6),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)}
Dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B, o conjunto de todos
os pares ordenados (x,y) onde x é elemento de A, e y é elemento de B.
Teoria das funções
- Definição de função
Uma função f de A em B (f:A→B) é uma relação que associa a cada elemento x ϵ A um
único elemento y ϵ B, tal que y=f(x). O conjunto A é chamado de domínio de f, e o
conjunto B é chamado de contradomínio de f. Diz-se que y é uma função de x.
ex:
f:A→B
f(-1)= -1, ou seja -1 é imagem de -1
f(0)=-2, ou seja -2 é imagem de 0
f(2)=2, ou seja 2 é imagem de 2
f(3)= 7, ou seja 7 é imagem de 3
f(4)=14, ou seja 14 é imagem de 4
Portanto D={-1,0,2,3,4} , CD={-1,-2,2,7,14} , IM={-1,-2,2,7,14}
Não são funções, por exemplo:
Não é função pois o elemento zero do domínio não possui imagem
Não é função, pois existe no domínio, o elemento 1 que possui duas
imagens.
imagem
Tipos de função
- Injetora
-
Não é função, pois existe o elemento d que não tem nenhuma
e o elemento a do domínio que possui duas imagens.
D={0,1,2}
CD={1,2,3,4}
IM={1,2,3}
-
Sobrejetora
-
-
-
D={1,2,3,4}
CD={1,2,3}
IM={1,23}
CD=IM
D={1,2,3}
CD={4,5,6}
IM={4,5,6}
se ela for injetora e sobrejetora
Bijetora
Gráfico de uma função
Sendo f uma função real de variável real, chama-se gráfico de f ao conjunto de todos os
pontos (x,y) do plano cartesiano em que y=f(x)
Para sabermos de um gráfico representa uma função,
devemos traçar retas paralelas ao eixo y e estas só
devem tocar o gráfico uma única vez.
Domínio e Imagem de uma
função dado um gráfico
Domínio: é a projeção do gráfico sobre o eixo das abcissas.
Imagem: é a projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas
ex:
D={xϵIR/-5≤x≤5}
Im={yϵIR/-5≤y≤5}
Função Crescente
A função é crescente, se somente se, quando x aumenta f(x) aumenta.
Função decrescente
A função é decrescente, se somente se, quando x aumenta f(x) diminui
Função constante
A função é constante, se somente se, para todos os valores de x existe somente um
valor de y.
Função Par
Uma função f:IR→é dita função par, se somente se, f(-x)=f(x), para todo xϵIR. O gráfico
de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.
Função ímpar
Uma função f:IR→IR é dita função ímpar, se somente se, f(-x)=-f(x), para todo
xϵIR. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Função inversa
Sendo f:A→B uma função bijetora, dizemos que a função f -1 :B→A é a inversa
de f, se somente se, f(x)=y ↔ f -1 (y)=x para todo xϵA e yϵB
ex: Seja A→B, A={0,1,2,3} e B={1,3,5,7} uma função definida por f(x)=2x+1.
f -1 =y ↔ f(x)=x ↔ 2y+1=x
2y=x-1; y=x-1, Logo: f -1 = x-1
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