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PUCRS - Faculdade de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
Equações diferenciais
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas,
sendo que são de grande interesse nas ciências exatas e nas engenharias, uma vez que muitas leis
e relações físicas podem ser formuladas matematicamente por meio de uma equação diferencial.
Uma equação diferencial pode ser classificada como ordinária ( EDO ) se a função incógnita
depende de apenas uma variável independente, ou parcial ( EDP ) no caso da função incógnita
depender de mais de uma variável independente.
Exemplos:
dy
⎫
= 3x + 1
⎪⎪
dx
⎬ são EDOs
d3y
dy
2
t ⎪
−t
+ (t + 2 )y = e
⎪⎭
dt
dt 3
2
2
∂ y
∂ y
− 5 2 = 0 é uma EDP
2
∂t
∂x
OBS: Nossos estudos estarão restritos às equações diferenciais ordinárias.
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece, e o grau
de uma equação diferencial que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas
derivadas, é a potência a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta.
Exemplo:
3
5
4
⎛ d2y ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dy ⎞
⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2y⎜ ⎟ − y 5 ⎜ ⎟ = 6x
⎝ dx ⎠
⎝ dx ⎠
⎝ dx ⎠
EDO de ordem 2 e grau 3
Uma função y = y(x ) é uma solução de uma equação diferencial num intervalo aberto I se
ao substituirmos y e suas derivadas na equação a mesma estiver satisfeita.
Exemplo:
dy
y = e 2x é uma solução da EDO
− y = e 2x no intervalo I = (− ∞ , + ∞ )
dx
Teste:
2e 2x − e 2x = e 2x
✔
No entanto, esta não é a única solução em I, pois y = Ce x + e 2x também é uma solução para
todo valor real da constante C. Na verdade a solução y = e 2x vem a ser um caso particular da
solução envolvendo a constante C, onde C = 0. A solução y = Ce x + e 2x é chamada de
solução geral da equação em I. O gráfico de uma solução de uma equação diferencial é
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
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chamado de curva integral da equação, ou seja, a solução geral de uma equação diferencial
produz uma família de curvas integrais correspondentes a diferentes valores possíveis de serem
assumidos pelas constantes, conforme pode ser constatado no gráfico a seguir.
Quando um problema aplicado leva a uma equação diferencial, geralmente existem condições
que determinam valores específicos para as constantes arbitrárias. Para uma equação de primeira
ordem, a única constante arbitrária pode ser determinada especificando-se o valor da função
desconhecida y(x ) em um ponto arbitrário x 0 . Isto é chamado de condição inicial, e o
problema é então denominado problema de valor inicial de primeira ordem ( PVI ),
genericamente representado da seguinte forma:
⎧ dy
= f (x )
⎪
⎨ dx
⎪⎩ y(x 0 ) = y 0
Geometricamente a condição inicial y(x 0 ) = x 0 tem o efeito de isolar da família de curvas
integrais a curva que passa pelo ponto (x 0 , y 0 ) .
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
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Equações de primeira ordem separáveis
Equações de primeira ordem que podem ser expressas da forma h (y ) dy = g(x ) dx são
denominadas separáveis, já que as expressões envolvendo x e y aparecem em lados diferentes da
equação. Esta separação permite que a integração de ambos os lados determine a solução da
equação na forma H (y ) = G (x ) + C .
Exemplos:
Resolução de equações por separação de variáveis:
dy y
❶
=
dx x
Cálculo via Maple
> dsolve(diff(y(x),x)=y(x)/x);
y( x ) = _C1 x
dy
= x2y
dx
Cálculo via Maple
❷
y( x ) = _C1 e
> dsolve(diff(y(x),x)=x^2*y(x));
⎛⎜ x 3 ⎞
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 3 ⎠
'
2 3
❸ y =y x
Cálculo via Maple
> dsolve(diff(y(x),x)=(y(x))^2*x^3);
4
y( x ) = − 4
x − 4 _C1
⎧ y ' − 2xy = 2x
❹ ⎨
⎩ y(0 ) = 3
Cálculo via Maple
> dsolve({diff(y(x),x)-2*x*y(x)=2*x,y(0)=3},y(x));
y ( x ) = −1 + 4 e
2
(x )
⎧ ' 2 + x2
y =
❺ ⎪⎨
y
⎪ y(1) = 2
⎩
Cálculo via Maple
> dsolve({diff(y(x),x)=(2+x^2)/y(x),y(1)=2},y(x));
−6 + 36 x + 6 x 3
y( x ) =
3
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✔
Exercícios
Determine a função y(x ) utilizando separação de variáveis.
'
① y =
Solução:
sen (x )
y
y = ± − 2cos(x ) + C
② (y 2 + 1) + (x 2 + 1)
dy
=0
dx
③ (x y + 3x ) dy = −2y dx
y = − tg (arctg(x ) + C )
y + 3 ln y = −2 ln x + C
④ e x dx − y dy = 0 ; y(0) = 1
y = 2e x − 1
Equações lineares de primeira ordem
Uma equação diferencial de primeira ordem é denominada linear se puder ser escrita no formato:
dy
+ p(x ) y = q(x )
dx
dy
Exemplo:
+ x 4 y = cos(x ) sendo
p(x ) = x 4 e q(x ) = cos(x )
dx
Resolução: Método dos fatores integrantes
p ( x ) dx
⒜ Determinação do fator integrante: μ = e ∫
⒝ Multiplicar ambos os lados da equação por μ e expressar o resultado como
d
(μ y ) = μ q(x )
dx
⒞ Integrar ambos os lados da equação obtida no passo ⒝ em relação a x e então determinar y.
Exemplos:
Resolução de equações lineares:
dy
❶
− y = e 2x
dx
> dsolve(diff(y(x),x)-y(x)=exp(2*x));
⎧ dy
x
−y=x
❷ ⎪⎨ dx
⎪⎩ y(1) = 2
> dsolve({x*diff(y(x),x)-y(x)=x,y(1)=2});
y( x ) = ( e x + _C1 ) e x
y( x ) = ( ln( x ) + 2 ) x
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✔
Exercícios
Determine a função y(x ) das equações lineares abaixo.
Solução:
① y ' − 2xy = x
2
y = C ex −
1
2
y = −2 + C e 3x
② y ' − 3y = 6
③ y ' − 5y = 0 ( ** variáveis separáveis )
④ y ' + y = sen(x )
y = C e −x
y = C e 5x
sen (x ) cos(x )
+
−
2
2
Aplicações das EDOs de primeira ordem
∙ Problemas de crescimento e decrescimento
Seja N(t ) a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou
dN
, taxa de variação da quantidade de substância, é
dt
proporcional à quantidade de substância presente, então
decrescimento. Se admitirmos que
dN
=kN
dt
onde k é a constante de proporcionalidade.
Exemplo:
Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se,
inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da
massa original, determine:
⒜ a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t
⒝ a massa restante após 4 horas
⒞ o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade
OBS: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da
quantidade original é chamada meia-vida da substância.
➥
⒜ N(t ) = 50 e -0,053 t ⒝ N(4 ) = 40,5 mg ⒞ t ≈ 13 h
Cálculo via Maple
> restart;
> dsolve(diff(N(t),t)=k*N(t));
(k t )
N( t ) = _C1 e
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> N:=t->C*exp(k*t);
N := t → C e
(k t )
> solve({N(0)=50,N(2.)=45},{C,k});
{ C = 50., k = -0.05268025783 }
> k:=-0.0527; C:=50;
k := -0.0527
C := 50
(a)
> N(t); plot(N(t),t=0..100,color=black);
( −0.0527 t )
50 e
(b)
> N(4);
(c)
> solve(N(t)=25,t);
40.49680190
13.15269792
∙ Problemas de variação de temperatura
Segundo a lei de variação de temperatura de Newton a taxa de variação de temperatura de um
corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a
temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da
dT
, e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser
temperatura do corpo é
dt
formulada como
dT
= k (Tm − T )
dt
onde k é a constante de proporcionalidade.
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Escolhendo-se para K um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton a
dT
fim de tornar
negativa em um processo de resfriamento. Neste processo, T é maior que Tm ;
dt
e assim T - Tm é positiva.
Exemplo:
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100º F num quarto com temperatura constante de
0º F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine:
⒜ o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25º F
⒝ a temperatura da barra após 10 minutos
➥
⒜ t = 39,6 min ⒝ T(10 ) ≈ 70,5 o F
Cálculo via Maple
> restart;
> Tm:=0;
Tm := 0
> dsolve(diff(T(t),t)=k*(Tm-T(t)));
( −k t )
T( t ) = _C1 e
> T:=t->C*exp(-k*t);
T := t → C e
( −k t )
> solve({T(0)=100,T(20.)=50},{C,k});
{ C = 100., k = 0.03465735903 }
> k:=0.035; C:=100;
k := 0.035
C := 100
> T(t);
plot(T(t),t=0..150,color=black);
( −0.035 t )
100 e
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
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(a)
> solve(T(t)=25,t);
39.60841032
(b)
> T(10);
70.46880897
∙ Circuitos elétricos
A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em ampéres) em um circuito simples do
tipo RL consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força
eletromotriz (fem) E (em volts) é
di R
E
+ i=
dt L
L
Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C (em farads), uma
força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em
coulombs) no capacitor é
dq
1
E
+
q=
dt RC
R
A relação entre q e i é
i=
dq
dt
Exemplo:
Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. Sendo a
corrente inicial nula, determine a corrente no circuito no instante t.
−50 t
➥ i= 1 −e
10 10
> restart;
> E:=5; R:=50; L:=1;
E := 5
R := 50
L := 1
> dsolve(diff(i(t),t)+50*i(t)=E/L);
( −50 t )
1
i( t ) =
+e
_C1
10
> i:=t->1/10+C*exp(-50*t);
i := t →
> solve({i(0.)=0},{C});
( −50 t )
1
+Ce
10
{ C = -0.1000000000 }
> C:=-0.1;
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C := -0.1
> i(t);
( −50 t )
1
− 0.1 e
10
> plot(i(t),t=0..1);
✔
➀
Exercícios
Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma
hora, observaram-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos.
Determine:
⒜ a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t
⒝ o número de núcleos inicialmente existentes na cultura
➥
➁
⒜ N(t ) = 694 e 0,366 t e ⒝ N (0 ) = 694
A população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes
existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20.000
habitantes, determine a população inicial.
➥
➂
N (0 ) = 7062
Um corpo à temperatura inicial de 50º F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente
é de 100º F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60º F, determine:
⒜ o tempo necessário para a temperatura atingir 75º F
⒝ a temperatura do corpo após 20 minutos
➥
➃
⒜ t = 15,4 min e ⒝ T(20) = 79,5 o F
Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido à temperatura
constante de 30º F. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é 0º F e após 20 minutos é
15º F, determine a temperatura inicial desconhecida.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
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➥
➄
T0 = −30 o F
Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses.
Encontre quanto tempo essa quantia será quadruplicada supondo que o aumento é proporcional
ao investimento feito.
➥
t = 3 anos, 1 mês e 25 dias
3
. Sabendo
y
que em t = 0 dias o gelo tem 2,5 cm de espessura, determine em quanto tempo a camada de gelo
terá 5 cm de espessura.
➅
A espessura y(t ) de gelo formado num lago satisfaz a equação diferencial y ' =
➥
t = 3 dias e 3 horas
dQ Q
+ = V descreve a carga Q em um condensador com
dt C
capacidade C durante um processo de carga envolvendo uma resistência R e uma força
eletromotriz V. Se a carga é nula quando t = 0 , expresse Q como função de t.
➆
A equação diferencial R
− t
⎛
RC ⎞
=
−
Q
CV
1
e
⎜
⎟
➥
⎝
⎠
Fonte: Moderna introdução às Equações Diferenciais
Autor: Richard Bronson
Coleção Schaum – McGraw-Hill
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