Marília Brasil Xavier
REITORA
Prof. Rubens Vilhena Fonseca
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
MATERIAL DIDÁTICO
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO
BELÉM – PARÁ – BRASIL
- 2011 -
APRESENTAÇÃO.
A Análise Real é uma das disciplinas Matemáticas que teve seu
desenvolvimento mais formal estabelecido como conseqüência da tentativa de
estabelecer bases sólidas para o calculo diferencial e integral que teve seu
grande desenvolvimento nos séculos XVII até o inicio do século XIX.
A análise é uma visão aprofundada do cálculo diferencial onde alguns dos
resultados estudados nas disciplinas de cálculo são revisto sob uma óptica mais
rigorosa a fim de garantir uma maior visão das possibilidades e limites das
técnicas do cálculo diferencial e integral.
Como uma das tarefas de um professor de Matemática é enunciar e
demonstrar proposições matemáticas, aa licenciatura o papel da análise é o de
praticar demonstrações.
Portanto, nesta disciplina o enfoque a ser dado será o de praticar
demonstrações de resultados sem, no entanto ser deixado de lado a aplicação de
alguns resultados em situações mais ligadas as ações do cotidiano.
SUMÁRIO
CONJUNTOS ......................................................................................................................................... 9
RELAÇÃO DE INCLUSÃO. ...................................................................................................................... 9
RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS. ..................................................................................... 10
SUBCONJUNTOS............................................................................................................................... 10
QUESTÕES................................................................................................................................... 10
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. ......................................................................................................... 11
INTERSEÇÃO. ................................................................................................................................... 11
QUESTÕES................................................................................................................................... 13
UNIÃO.............................................................................................................................................. 13
QUESTÕES................................................................................................................................... 14
LIMITES.............................................................................................................................................. 28
O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE. .................................................................................................... 28
CONCEITO FORMAL........................................................................................................................... 30
LIMITES INFINITOS. .......................................................................................................................... 31
FUNÇÕES CONTÍNUAS....................................................................................................................... 32
QUESTÕES................................................................................................................................... 33
DERIVADAS. ....................................................................................................................................... 35
QUESTÕES................................................................................................................................... 37
SEQUENCIAS E SÉRIES..................................................................................................................... 39
IGUALDADE DE SEQUENCIAS. ............................................................................................................ 39
TIPOS DE SEQUENCIAS. .................................................................................................................... 39
OPERAÇÕES COM SEQUENCIAS. ........................................................................................................ 40
SEQUENCIAS CONVERGENTES. .......................................................................................................... 40
QUESTÕES................................................................................................................................... 41
SERIES. ................................................................................................................................................ 43
QUESTÕES................................................................................................................................... 45
BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................... 49
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CONJUNTOS
INTRODUÇÃO
Neste momento não faremos uma abordagem formal da teoria dos conjuntos por motivos
diversos entre eles os objetivos do nosso curso e o tempo disponível para o mesmo.
Nossos objetivos são apresentar as operações com conjuntos de uma forma um pouco mais
rigorosa que as apresentações realizadas na maioria dos livros didáticos do ensino médio com
a finalidade de fundamentar a prática pedagógica envolvendo tal assunto que é um dos
componentes curriculares do atual ensino médio e praticar a resolução de questões
envolvendo o referido assunto.
Noções Básicas.
A teoria dos conjuntos, assim como a Geometria Euclidiana, é uma teoria axiomática, ou seja,
se baseia em noções que não demonstradas, que são seus axiomas.
Os axiomas da Teoria dos Conjuntos são os seguintes:
1) A noção de conjunto;
2) A noção de elemento de um conjunto;
3) A relação de pertinência entre elemento e conjunto.
Normalmente os conjuntos são representados por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas de nosso alfabeto.
NOTAÇÕES:
Para indicar que um elemento x pertence a um conjunto A usamos a
seguinte notação: x A.
Para indicar que um elemento x não pertence a um conjunto A usamos a
seguinte notação: x A.
RELAÇÃO DE INCLUSÃO.
Definição 1: Quando todos os elementos de um conjunto A são elementos de um conjunto B
dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B.
Para indicar que o conjunto A está contido no conjunto B usamos a seguinte notação A B.
Para indicar que o conjunto A não está contido no conjunto B usamos a seguinte notação A B.
Para se demonstrar que um conjunto A está contido em conjunto B basta mostrar que todo
elemento de A pertence a B. Durante o desenvolvimento desta unidade esta técnica será
muitas vezes utilizada.
Propriedades da inclusão de conjuntos.
1) Todo conjunto está contido si mesmo. Esta é a propriedade reflexiva da de conjuntos. A
propriedade reflexiva da inclusão de conjuntos é expressa simbolicamente por A, A
A.
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2) Se um conjunto A está contido em um conjunto B e o conjunto B está contido em um
conjunto C, então o conjunto A está contido no conjunto C. Esta é a propriedade transitiva
da inclusão de conjuntos. A propriedade transitiva da inclusão de conjuntos é expressa
simbolicamente por A, B, C, A B, B C
A C.
RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS.
Definição 2: Dois conjuntos A e B são ditos iguais se e somente se todos os elementos de A
são elementos de B e todos os elementos B são elementos de A, ou seja, A = B se e somente
se A B e B A .
A igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente por A, B, A = B
A B e B A.
Para se demonstrar que um conjunto A é igual a um conjunto B basta mostrar que todo
elemento de A pertence a B e que todo elemento de B pertence a A. Durante o
desenvolvimento desta unidade esta técnica será muitas vezes utilizada.
Propriedades da igualdade de conjuntos.
1) Todo conjunto é igual a si mesmo. Esta é a propriedade reflexiva da igualdade de
conjuntos. A propriedade reflexiva da igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente
por A, A = A.
2) Se um conjunto A é igual a um conjunto B, então o conjunto B é igual ao conjunto A .
Esta é a propriedade simétrica da igualdade de conjuntos. A propriedade simétrica da
igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente por A, B , A=B B = A.
3) Se um conjunto A é igual a um conjunto B e o conjunto B é igual a um conjunto C, então
o conjunto A é igual ao conjunto C. Esta é a propriedade transitiva da igualdade de
conjuntos. A propriedade transitiva da igualdade de conjuntos é expressa simbolicamente
por A, B, C, A= B, B = C
A= C.
SUBCONJUNTOS.
Definição 3: Todo conjunto A que está contido num conjunto B é um subconjunto ou uma
parte de B.
Q
UESTÕES
1- Demonstre que todo conjunto está contido si
mesmo.
3- Demonstre que todo conjunto é igual a si
mesmo.
2- Demonstre que se um conjunto A está contido
em um conjunto B e o conjunto B está contido
em um conjunto C, então o conjunto A está
contido no conjunto C.
4- Demonstre que se um conjunto A é igual a um
conjunto B, então o conjunto B é igual ao
conjunto A.
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5- Demonstre que se um conjunto A é igual a um
conjunto B e o conjunto B é igual a um
conjunto C, então o conjunto A é igual ao
conjunto C.
6- Demonstre que todo conjunto é subconjunto de
si mesmo.
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.
Antes de iniciarmos a nossa apresentação é importante que façamos alguns
comentários acerca da inserção dosa conjuntos na Matemática.
Com o advento da Teoria dos Conjuntos muitos conceitos foram firmados, questões
antigas sobre o infinito foram dirimidas e muitos resultados em diversos campos da
Matemática foram reinterpretados a luz da nova teoria. Como conseqüência de todo esse
movimento hoje é consenso entre a maioria dos matemáticos que em matemática tudo é
conjunto, ou seja a estrutura ou os objetos mais gerais da Matemática são os conjuntos.
Desse modo temos que sempre que realizamos uma operação entre dois conjuntos o
resultado é sempre um conjunto. Agora vejamos as operações básicas entre conjuntos.
INTERSEÇÃO.
Definição 4: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto interseção de A com B ao
conjunto formado pelos elementos comuns entre o elementos do conjunto A e do conjunto B.
A interseção ente dois conjuntos A e B é indicada por A B.
Simbolicamente temos que A
B={x x
Assim podemos afirmar que x
A
Aex
B}.
B é equivalente a x
Aex
B.
Exemplo 1.
Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}.
A interseção de A com B é A
conjuntos A e B.
B = {3,4}, pois 3 e 4 são os elementos comuns entre os
Exemplo 2.
Sejam os conjuntos A = {3,5,4} e B = {3,6, 2,8, 9}.
Da comparação entre os elementos dos conjuntos A e B podemos concluir que o único
elemento comum entre os dois conjuntos é 3. Como sempre que realizamos uma operação
entre dois conjuntos o resultado é sempre um conjunto. Nesta situação temos um conjunto que
possui apenas um elemento. Este conjunto é denominado conjunto unitário e é definido como
segue.
Definição 5: Chama-se de conjunto unitário a todo conjunto que possui apenas um elemento.
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Desse modo podemos afirmar que a interseção dos conjuntos A = {3,5,4} e B ={3,6, 2,8, 9} é
um conjunto unitário e no caso A B ={3}.
A definição de conjunto unitário amplia a noção de conjunto.
Exemplo 3.
Sejam os conjuntos A = {3,5,4} e B = {6, 2,8, 9}.
Da comparação entre os elementos dos conjuntos A e B podemos concluir que não elementos
comuns entre os dois conjuntos. Como sempre que realizamos uma operação entre dois
conjuntos o resultado é sempre um conjunto. Nesta situação temos um conjunto que não
possui elementos. Este conjunto é denominado conjunto vazio e definido como segue.
Definição 6: Chama-se de conjunto vazio ao conjunto que não possui elementos.
O conjunto vazio é indicado por ou por { }.
Desse modo podemos afirmar que a interseção dos conjuntos A = {3,5,4} e B = {6, 2,8, 9} é o
conjunto vazio, ou seja, A B = .
Um equívoco comum é se representar o conjunto vazio por { }, que na verdade é um
conjunto unitário.
A definição de conjunto vazio amplia mais ainda a noção de conjunto.
O conjunto vazio na Teoria dos Conjuntos tem papel análogo ao zero na Aritmética.
Um resultado interessante envolvendo conjunto vazio é o seguinte: O conjunto vazio está
contido em todo conjunto.
Vejamos agora a definição de um outro conjunto um tanto especial, o conjunto universo.
Definição 7: Chama-se de conjunto universo de uma teoria o conjunto de todos os entes que
são considerados como elementos nessa teoria. Normalmente o conjunto universo é indicado
pela letra U.
Na Aritmética o conjunto universo é conjunto de todos os números inteiros.
Na Geometria o conjunto universo é o conjunto de todos os pontos do espaço em estudo.
Vejamos agora algumas propriedades da interseção de conjuntos.
1) A interseção de um conjunto consigo mesmo é o próprio conjunto.
2) A interseção de conjuntos é comutativa.
3) A interseção de conjuntos é associativa.
4) A interseção de dois conjuntos está contida em cada um dos conjuntos.
5) Um conjunto está contido em outro se e somente se a interseção de ambos coincide com o
primeiro conjunto.
6) Um conjunto está contido em dois outros conjuntos se e somente se está contido na
interseção de ambos.
7)
Se um conjunto está contido num outro, então a interseção do primeiro com um terceiro
conjunto está contida na interseção do segundo com o terceiro conjunto.
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8) A interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto vazio.
9) A interseção de qualquer conjunto com o conjunto universo é o conjunto.
Q
UESTÕES
1- Demonstre que o conjunto vazio está contido
em todo conjunto.
7- Demonstre que se um conjunto está contido
num outro, então a interseção do primeiro com
um terceiro conjunto está contida na interseção
do segundo com o terceiro conjunto.
2- Demonstre que a interseção de um conjunto
consigo mesmo é o próprio conjunto.
8- Demonstre que a interseção de qualquer
conjunto com o conjunto vazio é o conjunto
vazio.
3- Demonstre que a interseção de conjuntos é
associativa.
4- Demonstre que a interseção de dois conjuntos
está contida em cada um dos conjuntos.
9- Demonstre que a interseção de qualquer
conjunto com o conjunto universo é o conjunto
universo.
5- Demonstre que um conjunto está contido em
outro se e somente se a interseção de ambos
coincide com o primeiro conjunto.
10- Demonstre que se A
C B D.
BeC
D, então A
6- Demonstre que um conjunto está contido em
dois outros conjuntos se e somente se está
contido na interseção de ambos.
UNIÃO.
Definição 8: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto união ou reunião de A com B
ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto A ou pertencem ao
conjunto B.
A união entre dois conjuntos A e B é indicada por A
Simbolicamente temos que A
B={x x
Assim podemos afirmar que x
A
A ou x
B.
B}.
B é equivalente a x
A ou x
B.
Exemplo 4.
Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}.
A união de A com B é A
B = {1,2,3,4,5,6}, pois os elementos 1,2,3, e 4 pertencem ao
conjunto A e os elementos 3,4,5 e 6 pertencem ao conjunto B.
Vejamos agora algumas propriedades da união de conjuntos.
1) A união de um conjunto consigo mesmo é o próprio conjunto.
2) A união de conjuntos é comutativa.
3) A união de conjuntos é associativa.
4) A união de dois conjuntos contem cada um dos conjuntos.
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5) Um conjunto está contido num outro conjunto se e somente se a união de ambos coincide
com o segundo conjunto.
6) Dois conjuntos estão contidos num terceiro se e somente se a união dos dois primeiros
estiver contida no terceiro.
7) A união de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto.
8) A união de qualquer conjunto com o conjunto universo é o conjunto universo.
9) A união de conjuntos é distributiva em relação à interseção.
10) A interseção de conjuntos é distributiva em relação à união de conjuntos.
11) Se um conjunto está contido num outro, então a união do primeiro com o terceiro
conjunto está contida na reunião do segundo com o terceiro.
Q
UESTÕES
1)
Demonstre que a união de um conjunto
consigo mesmo é o próprio conjunto.
7)
Demonstre que a união de qualquer conjunto
com o conjunto vazio é o conjunto.
2)
Demonstre que a união de conjuntos é
comutativa.
8)
3)
Demonstre que a união de conjuntos é
associativa.
Demonstre que a união de qualquer conjunto
com o conjunto universo é o conjunto
universo.
9)
Demonstre que a união de conjuntos é
distributiva em relação à interseção.
4)
5)
6)
Demonstre que a união de dois conjuntos
contém cada um dos conjuntos.
12) Demonstre que a interseção de conjuntos é
distributiva em relação à união de conjuntos.
Demonstre que um conjunto está contido num
outro conjunto se e somente se a união de
ambos coincide com o segundo conjunto.
13) Demonstre que se um conjunto está contido
num outro, então a união do primeiro com o
terceiro conjunto está contida na reunião do
segundo com o terceiro.
Demonstre que dois conjuntos estão contidos
num terceiro se e somente se a união dos dois
primeiros estiver contida no terceiro.
DIFERENÇA DE CONJUNTOS.
Definição 9: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto diferença entre A e B ao
conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto A e não pertencem ao
conjunto B.
A diferença entre os conjuntos A e B é indicada por A - B.
Simbolicamente temos que A - B = { x x
Assim podemos afirmar que x
Ae x
B}.
A - B é equivalente a x
Aex
B.
Da definição de diferença entre conjuntos é fácil notar que A- B é diferente de B- A.
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Exemplo 5.
Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}.
A diferença entre A e B é A - B = {1,2,}, pois os elementos 1 e 2 pertencem ao conjunto A e
não pertencem ao conjunto B.
Exemplo 6.
Sejam os conjuntos A = { 1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}.
A diferença entre A e B é B - A = {5,6}, pois os elementos 5 e 6 pertencem ao conjunto B e
não pertencem ao conjunto A.
Definição 10: Se A está contido em B dizemos que B-A é o complementar de A em relação à B.
O complementar de A em relação à B é indicado por
C AB
Exemplo 7.
Sejam os conjuntos A = {3,4} e B = { 3,4,5,6,8}.
O complementar de A em relação à B é
C AB = B – A = {5,6, 8}.
O complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo é indicado por U`.
Vejamos agora algumas propriedades da diferença de conjuntos.
1) A diferença de um conjunto consigo mesmo é o conjunto vazio.
2) A união de um conjunto com seu complementar em relação ao conjunto universo é o
conjunto universo.
3) A interseção de um conjunto e seu complementar em relação ao conjunto universo é o
conjunto vazio.
4) O complementar em relação ao conjunto universo da interseção de dois conjuntos é a
união de complementares de cada conjunto em relação ao conjunto universo.
5) O complementar em relação ao conjunto universo da união de dois conjuntos é a
interseção de complementares de cada conjunto em relação ao conjunto universo.
6) Dois conjuntos estão contidos num terceiro se e somente se a união dos dois primeiros
estiver contida no terceiro.
7) A diferença entre qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto.
8) A diferença entre o conjunto vazio e qualquer o conjunto universo é o conjunto vazio.
9) A diferença entre um conjunto e o conjunto universo é o conjunto vazio.
10) A diferença entre o conjunto universo e qualquer conjunto é o complementar do conjunto
em relação ao conjunto universo.
11) A diferença entre o conjunto qualquer conjunto complementar desse conjunto em relação
ao conjunto universo é igual ao próprio conjunto.
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Q
UESTÕES
1)
Demonstre que a diferença de um conjunto
consigo mesmo é o conjunto vazio.
7)
Demonstre que a diferença entre qualquer
conjunto com o conjunto vazio é o conjunto.
2)
Demonstre que a união de um conjunto com
seu complementar em relação ao conjunto
universo é o conjunto universo.
8)
Demonstre que a diferença entre o conjunto
vazio e qualquer o conjunto universo é o
conjunto vazio.
3)
Demonstre que a interseção de um conjunto e
seu complementar em relação ao conjunto
universo é o conjunto vazio.
9)
Demonstre que a diferença entre um conjunto
e o conjunto universo é o conjunto vazio.
4)
Demonstre que o complementar em relação ao
conjunto universo da interseção de dois
conjuntos é a união de complementares de
cada conjunto em relação ao conjunto
universo.
5)
6)
10) Demonstre que a diferença entre o conjunto
universo e qualquer conjunto é o
complementar do conjunto em relação ao
conjunto universo.
11) Demonstre que a diferença entre o conjunto
qualquer conjunto complementar desse
conjunto em relação ao conjunto universo é
igual ao próprio conjunto.
Demonstre que o complementar em relação ao
conjunto universo da união de dois conjuntos
é a interseção de complementares de cada
conjunto em relação ao conjunto universo.
12) Demonstre que (A –B)` = A` B.
13) Demonstre que A –B = B`- A`.
Demonstre que dois conjuntos estão contidos
num terceiro se e somente se a união dos dois
primeiros estiver contida no terceiro.
DIFERENÇA SIMÉTRICA.
Definição 11: Dados dois conjuntos A e B chama-se de conjunto diferença simétrica entre A
e B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao do conjunto união de A com B e
não pertencem ao conjunto interseção de A com B.
A diferença entre os conjuntos A e B é indicada por A
Simbolicamente temos que A
Assim podemos afirmar que x
B={x x
A
A B e x
B é equivalente a x
B.
A
B}.
A Bex
A
B.
Exemplo 8.
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6,8}.
A diferença simétrica entre A e B é A
A
B = { 3,4}e (A B) –(A
B = { 1,2,5,6,8}.Pois, A B= {1,2,3,4,5,6,8},
B)= { 1,2,5,6,8}.
Vejamos agora algumas propriedades da diferença simétrica entre dois conjuntos.
1) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto vazio é o próprio conjunto.
2) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto universo é o complementar do
conjunto em relação ao conjunto universo.
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3) A diferença simétrica entre um conjunto e o conjunto e o seu complementar em relação
ao conjunto universo é igual ao próprio conjunto.
4) A diferença simétrica entre um conjunto e ele próprio é o conjunto vazio.
5) A diferença simétrica é comutativa.
6) A diferença simétrica é associativa.
7) A interseção é distributiva na diferença simétrica.
Q
UESTÕES
C
OMPLEMENTARES.
01 – Uma sala possui 40 alunos, dos quais
30 estudam Álgebra, 13 estudam
Biologia
e
10
estudam
simultaneamente Álgebra e Biologia.
a) quantas famílias não assinam
jornais?
b) quantas famílias assinam os dois e
só dois jornais?
c) quantas famílias assinam um e
somente um jornal?
Quantos,
dentre
os
alunos
considerados, não estudam pelo
menos uma das duas matérias?
02
05 – Numa pesquisa aplicada a 1.400
famílias, em relação à audiência de
programas de televisão, encontraramse os seguintes resultados:
800 famílias assistem ao programa X
250 famílias assistem ao programa Y
420 famílias assistem ao programa Z
120 famílias assistem aos programas
XeY
40 famílias assistem aos programas
YeZ
18 famílias assistem aos programas
XeZ
8 famílias assistem aos programas
X, Y e Z
– Num escritório trabalham 27
secretárias, das quais 10 sabem
datilografia, 08 sabem estenografia,
sendo que 05 são estenodatilógrafas.
Quantas secretárias não são nem
datilografas nem estenografas?
03 – Numa escola com 250 alunos, 60
estudam Matemática, 70 estudam
Física, 80 estudam Química, 15
estudam Matemática e Física, 25
Física e Química, 30 Matemática e
Química e 10 estudam as três
matérias.
Quantos alunos não estudam pelo
menos uma das três disciplinas?
a) quantas famílias não assistem a
esses programas?
b) quantas assistem a pelo menos um
dos programas?
c) quantas assistem a um e somente
um programa?
d) quantas assistem a pelo menos
dois programas?
e) quantas assistem a dois e só dois
programas?
04 – Em uma cidade onde circulam três
jornais existem 6.000 famílias; 3.200
assinam A Gazeta, 3.100 assinam a
Folha, 3.400 assinam O Diário,
enquanto que 1.600 assinam A
Gazeta e A Folha, 2.000 assinam O
Diário e A Folha, 1.800 assinam O
Diário e A Gazeta, sendo que 850
famílias assinam os três jornais.
Pergunta-se:
06 – Num grupo de motoristas há 28 que
dirigem carro, 12 que dirigem moto e
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8 que dirigem carros e moto.
Quantos motoristas há nesse grupo?
Quantos só dirigem carro?
brasileiros, 64 homens, 47 fumantes,
51 homens brasileiros, 25 homens
fumantes, 36 brasileiros fumantes e
20 homens brasileiros fumantes.
Calcule:
a) o número de mulheres brasileiras
fumantes;
b) número de homens fumantes não
brasileiros;
c) número de mulheres fumantes.
07 – Numa classe de 36 alunos temos: 19
jogam futebol, 25 jogam vôlei, 13
jogam basquete,
12 jogam futebol e vôlei, 8 jogam
vôlei e basquete, 8 jogam futebol e
basquete e 4 praticam os três
esportes.
11 – Os 36 alunos de uma classe fizeram
uma prova de 3 questões. Sabendo
que 4 erraram todas as questões, 5 só
acertaram a primeira questão , 6 só
acertaram a segunda, 7 só acertaram
a terceira, 9 acertaram a primeira e a
segunda, 10 acertaram a primeira e a
terceira e 7 acertaram a segunda e a
terceira, determine quantos acertaram
as três questões.
Determine:
a) quantos alunos da classe não
praticam estes esportes?
b) quantos praticam exatamente um
destes esportes?
c) quantos praticam exatamente dois
desses esportes?
08 – Um conjunto A tem 13 elementos, A
B tem 8 elementos e A B tem
15 elementos. Quantos elementos
tem B?
12 – Feito exame de sangue em um grupo
de 200 pessoas, constatou-se o
seguinte: 80 delas têm sangue com
fator Rh negativo, 65 têm sangue
tipo O e 25 têm sangue tipo O com
fator Rh negativo. O número de
pessoas com sangue de tipo diferente
de O e com fator Rh positivo é:
a) 40
b) 65
c) 80
d) 120
e) 135
09 – Num grupo de 22 aniversários há 8
que cursam Engenharia, 10 que
cursam Administração e 3 que
cursam Engenharia e Administração.
Quantos
não
estão
cursando
Engenharia nem Administração?
10 – Num avião encontravam-se 122
passageiros dos quais 96 eram
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.
Quando os conjuntos numéricos são estudados nos níveis fundamental e médio temos
a impressão que os mesmos foram criados na seguinte ordem: naturais, relativos, racionais ,
irracionais, reais e complexos.
Entretanto, a realidade é outra. Os números não foram sendo criados nessa ordem e
sim foram surgindo a medida que o homem buscou resolver situações de cunho cotidiano,
comercial ou tecnológico.
Na idade media já se usava os números complexos e o conceito de número real não
existia. Infelizmente essa discussão não é o objetivo dessa disciplina.
Os números reais foram construídos como conseqüência do movimento denominado
Aritmização da Análise da necessidade que os matemáticos do século XIX sentiram de
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fundamentar o calculo diferencial e integral em bases mais sólidas que a Geometria como até
então havia sido.
Como conseqüência da Aritmização da Análise surgiram varias construções formais
do conjunto dos números reais e também o resultado que garante que o referido conjunto é um
corpo ordenado completo, ou seja, o conjunto dos números reais satisfaz as seguintes
propriedades:
A1) A adição de reais é comutativa, ( a + b = b + a ,
a, b
R) ;
A2) A adição de reais é associativa, ((a+b) + c = a + (b +c) ,
a, b, c
A3) A adição de reais possui um elemento neutro, ( 0 + a = a + 0 = a,
R) ;
a
R) ;
A4) A adição de reais possui elemento simétrico;
M1) A multiplicação de reais é comutativa, ( a. b = b.a , a, b
R);
M2) A multiplicação de reais é associativa, ( (a.b).c = a.(b.c),
a, b, c
M3) A multiplicação de reais possui um elemento neutro, (1.a = a.1 = a,
R);
a
R);
M4) Todo elemento real diferente de zero possui um inverso multiplicativo;
D) A multiplicação de reais é distributiva à adição.(a.(b +c) = a.b + a .c, a, b, c
R).
Que permitem junto com a relação de ordem natural e o axioma do completamento do
conjunto dos números reais fundamentar a analise matemática em bases sólidas.
Vejamos agora alguns resultados importantes acerca do conjunto dos números reais.
Definição 12: Dado um número real x chamamos de módulo ou valor absoluto de x ao
número
Proposição 1: Para todo x e y pertencente a R vale.
a)
b)
x
x. y
x;
x. y ;
c) Se c 0, então
d)
e)
f)
x
y
x y
x y
x
c se e somente se –c
x
x
;
y
x y;
y x.
19
c;
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Q
UESTÕES
1. Demonstre que para todo x e y pertencentes a
10. Demonstre que a raiz quadrada de dois é um
R vale.
numero irracional.
a)
x
b)
x. y
c)
x;
11. Demonstre que 0,9999999...... = 1.
x. y;
12. Demonstre que 0, a1a2.....ara1a2.....ar ..... =
Se c 0, então
x
a1a 2 .....a r
10 r 1
x c se e somente se –c
c;
x
13. Demonstre que b,c1c2c3.....cs
d)
x
y
e)
x
y
x
f)
x
y
y x.
y
;
a1a2.....ara1a2.....ar ..... =
bc1c 2c3.....c s a1a 2 .....a r - bc1c2 .....cs
10 r s 10 s
y;
2. Sabendo que um conjunto X
R é
denominado denso em R quando para todo par
de reais a e b com a menor que b é possível
encontrar x X tal que a x b. Demonstre
que:
O conjunto dos números inteiros não é denso em R.
O conjunto dos números racionais é denso em R.
O conjunto dos números irracionais é denso em R.
3. Demonstre que a adição de dois números
racionais é um numero racional.
4. Demonstre que o produto de dois números
racionais é um numero racional.
5. Demonstre que a adição de um número
racional com um número irracional é um
número irracional.
6. Demonstre que o produto de um número
racional por um número irracional é um
número irracional.
7. Demonstre que a adição de dois números
irracionais
irracional.
nem
sempre
é
um
numero
8. Demonstre que a raiz quadrada de 2 é
irracional.
9. Demonstre que o produto de dois números
irracionais
irracional.
nem
sempre
é
um
numero
20
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FUNÇÕES REAIS.
O conceito de função sofreu muitas modificações ao longo do tempo. Hoje ele é um conceito
central no edifício do conhecimento matemático. Agora veremos alguns conceitos e
resultados importantes acerca das funções definidas no conjunto dos números reais.
Definição1: Uma função f é dita real se seu domínio é o conjunto dos números reais ou um
subconjunto dele e seu contradomínio é o conjunto dos números reais.
Exemplo 1: A função f : R
R com f(x) = 2x +1 é uma função real.
Exemplo 2: A função f : N
R com f(x) = x +1 é uma função real.
Exemplo 3: A função f : R+
Exemplo 4: A função f : R
R com f(x) = x2 + 2x +1 é uma função real.
R com f(x) = ex é uma função real.
FUNÇÕES ESPECIAIS.
 FUNÇÃO CONSTANTE.
Definição 2: Sejam A e B dois conjuntos e b B. Chamamos de função constante de A em B
a toda função f:A B tal que f(x) = b, x A.
IDENTIDADE.
Definição 3: Seja a um conjunto. Chamamos de função identidade de A à função f:A
que f(x) = x, x A.
B tal
 FUNÇÃO ESCADA.
Definição 4: Chamamos de função escada a toda função f:A
reunião de intervalos sendo f em cada intervalo constante.
R em que o domínio A é a
 FUNÇÃO CARACTERÍSTICA.
Definição 5: Sejam A um conjunto e X um subconjunto de A . Chamamos função
característica de X em A a função KX: A { 0,1} dada por
 FUNÇÃO SINAL.
Definição 6: Chamamos de função sinal a função sgn: R
21
Z definida por
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TIPOS DE FUNÇÕES.
 FUNÇÃO INJETORA.
Definição 7: Uma função f é dita injetora se e somente se para todo x 1 x 2 vale
f (x 1 ) f (x 2 )
Para demonstrar que uma função f é injetora costuma -se mostrar que se f (a) =
f (b) então a = b.
Exemplo: A função f : R R com f(x) = 2x +1 é injetora pois, se f(a) = f(b) então 2a +1= 2b
+1. Logo, a = b. O que garante a injetividade de f.
 FUNÇÃO SOBREJETORA.
Definição 8: Uma função f é dita sobrejetora se e somente se para todo y pertencente a R
existe um x tal que f(x) = y.
Ou seja, uma função f é sobrejetora quando o seu conjunto imagem coincide com seu contradomínio.
Para demonstrar que uma função é sobrejetora costuma-se mostrar que dado y pertencente aos
reais existe um x pertencente aos reais tal que y é imagem de x pela função.
Exemplo: f : R
R com f(x) = 3x –4 é sobrejetora pois, para todo y R a equação 3 x - 4 =
y tem como solução x = y
4
R e f (x) = y.
3
 FUNÇÃO BIJETORA.
Definição 9: Uma função f é dita sobrejetora se e somente se f é injetora e sobrejetora.
Exemplo:
A função f : R
R com f(x) = 3x –5 é injetora.
De fato, se f(a) = f(b) então 3a –5 = 3b –5 o que implica em a =b. Logo, f é injetora.
Seja y
R, então a equação 3x –5 = y tem como solução x = y 5 e f(x) = y.Logo, f é
3
sobrejetora.
Portanto, f é bijetora.
 FUNÇÃO PERIÓDICA.
Definição 10: Uma função real f é dita periódica se e somente se existir um número real
positivo p tal que f(x) = f( x + p) para todo x R.
22
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Exemplo:
A função f :R
R com f(x) = senx é periódica pois senx = sen( x +2 ) para todo x
R.
 FUNÇÃO PAR.
Definição 11: Uma função real f é dita par se e somente se f(x) = f( -x) para todo x
Exemplo: A função f :R
f(-x)=
x 2
x 2
R.
R dada por f(x) = x
( 1)( x 2)
2 x 2 é par pois,
( 1)( x 2) = x 2 x 2 =f(x)
 FUNÇÃO IMPAR.
Definição 12: Uma função real f é dita par se e somente se f(-x) = -f( x) para todo x
Exemplo: A função f :R*
f(-x) =
2( x)
1 ( x) 2
R dada por f(x) =
R.
2 x é impar pois,
1 x2
2 x = - f(x).
1 x2
 FUNÇÕES MONÓTONAS.
Definição 13: Seja f uma função real e I um intervalo de R contido no domino de f. dizemos
que f é uma função monótona em I se a mesma preserva o seu comportamento em I.
Uma função monótona pode ser
a) crescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2).
b) decrescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2).
c) estritamente crescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2).
d) estritamente decrescente em I se e somente se: x1,x2 I , se x1 x2 então f(x1 ) f(x2).
e) constante em I se e somente se: x1,x2 I , f(x1 ) = f(x2).
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES.
 ADIÇÃO DE FUNÇÕES:
Definição14: Dadas duas funções f: A R e G: A R com A
f e g a função f+g: R R dada por (f+g)(x) = f(x) + g(x).
R chamamos de adição de
Proposição1: A adição de funções é comutativa.
Proposição2: A adição de funções é associativa.
 MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO POR UM ESCALAR:
Definição 15: Dada uma função f: A R e
R com A
f por a função ( f): R R dada por ( f)(x) = f(x).
23
R chamamos de multiplicação de
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Proposição 3: Seja f uma função real, ,
Proposição 4: Seja f uma função real, ,
R então ( + )f= ( f)+( f).
R então ( . )f= ( ( f)).
 PRODUTO DE FUNÇÕES:
Definição 16: Dadas duas funções f: A R e G: A R com A
f e g a função (f.g): R R dada por (f.g)(x) = f(x) . g(x).
R chamamos de produto de
Proposição 5: O produto de funções é comutativo.
Proposição 6: O produto de funções é associativo.
Proposição 7: O produto de funções é distributivo na adição de funções.
 COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES:
Definição 17: Dadas duas funções f: A R e G: R
g a função (g f): A R dada por (g f)(x) = g[f(x)].
R chamamos de composição de f com
Proposição 8: A composição de funções é associativa.
Proposição 9: A composição de funções sobrejetoras é sobrejetora.
Proposição10: A composição de funções injetoras é injetora.
Proposição11: A composição de funções bijetoras é bijetora.
FUNÇÕES INVERSÍVEIS.
Definição18: Uma função f: A R com A R é dita inversível se existir uma função g: R
A tal que (g f)(x) = x e (f g)(x) = x. A função g é indicada por f –1. As funções f e f –1 são
ditas inversas.
Proposição12: Uma função f: A B é inversivel se e somente se f é bijetora.
Proposição 13: Se as funções f: A B e g: B C são inversíveis então g f:A
inversivel e (g f)-1 = f-1 g-1.
C também é
 CONJUNTOS EQUIPOTENTES.
Definição19: Dois conjuntos A e B tem a mesma potência se existir uma bijeção entre eles.
A notação para indicar que o conjunto A é equipotente ao conjunto B é a seguinte: A ~ B.
Com base na definição de potencia de conjuntos é fácil mostrar que a relação de equipotencia
tem as seguintes propriedades:
1- Para todo conjunto A, A ~A (propriedade reflexiva);
2- Se A~B, então B ~ A (propriedade simétrica);
3- Se A~ B e B ~ C, então A ~ C (propriedade transitiva).
Definição 20: Dizemos que todo conjunto equipotente ao conjunto dos números naturais é
um conjunto enumerável.
Vejamos alguns exemplos de conjuntos enumeráveis.
24
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Exemplo 1: O conjunto dos números pares é enumerável.
Pois, a função f: N Pares, dada por f(n)= 2n é bijetora.
Exemplo 2: O conjunto Z dos números relativos é enumerável.
De fato, a função f: N Z dada por
, se n é ímpar
, se n é par é bijetora. O que
mostra que N e Z são equipotentes.
Definição 21: Dois conjuntos A e B são eqüipolentes se e somente se existe uma função f
bijetora entre A e B.
Proposição 14: Todo intervalo [ a, b] com b a é eqüipolente ao intervalo [0, 1] .
Demonstração: Para mostrar que [0, 1] é equipotente ao intervalo [a, b] é necessário exibir
uma função bijetora entre os dois intervalos.
Como a função f : [0, 1] [ a, b],dada por f(x) = a + ( b – a )x
é uma função do primeiro grau,para todo a,b R e toda função do primeiro grau é bijetora.
Logo, podemos afirmar que [0,1] é equipotente a qualquer intervalo [a, b] com a b.
Proposição 15: Todo intervalo [ a, b[ com b a é eqüipolente ao intervalo [0, 1[.
Proposição 16: Todo intervalo ] a, b] com b a é eqüipolente ao intervalo ]0, 1] .
Proposição 17: Todo intervalo ] a, b[ com b a é eqüipolente ao intervalo ]0, 1[ .
Prosposição 18: Os intervalos [0,1] e ] 0, 1[ são equipotentes.
Demonstração:
Seja o conjunto A = [0,1] – {0, 1, ½, 1/3, .....},então podemos concluir que: [0,1] = {0, 1, ½,
1/3, .....} A.
Como o conjunto A também pode ser definido como sendo A = ]0,1[ -{½, 1/3, ¼, .....}, então
podemos concluir que: ]0,1[ = {½, 1/3, ¼, .....} A.
Agora consideremos a seguinte função f :[0,1] ]0,1[ definida pelo seguinte diagrama.
{0, 1, ½, 1/3, .....}
A
iA
{½, 1/3, ¼, 1/5 .....}
A
Analisando o diagrama acima podemos expressar a função f da seguinte maneira:
f: [0,1] ]0,1[
25
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Como f é uma função bijetora de [0,1] em ]0,1[ , podemos
e ]0,1[ são equipotentes.
concluir que os intervalos [0,1]
Proposição 19 Os intervalos [0,1] e [0,1[são equipotentes.
Proposição 20 Os intervalos [0,1] e ]0,1] são equipotentes.
Proposição 21 Todos os intervalos são equipotentes.
Demonstração:
Como: [0,1] ~ [a, b] pela proposição 14;
[0,1[ ~ [a, b[ pela proposição 15;
]0,1[ ~ ]a, b[ pela proposição 16;
]0,1] ~ ]a, b[ pela proposição 17;
[0,1] ~ [0, 1[ ~ ]0, 1[ ~ ]0, 1] pelas proposições 18, 19 e 20 e pela transitividade da
relação de equipotencia.
Então, pela transitividade da equipotencia podemos afirmar que [a, b] ~ [a, b[~ ]a, b[~ ]a, b[
para todo a b .
Logo, todos os intervalos são equipotentes.
Proposição 22 Todo intervalo é equipotente ao conjunto dos números reais.
Demonstração:
Como todos os intervalos são equipotentes, para mostrar que todo que todo intervalo é
equipotente ao conjunto R dos números reais basta que seja exibida uma bijeção entre R e um
intervalo.
Como a função f: R ] –1 , 1[ dada por f(x) = arctg x,
cujo gráfico que está esboçado abaixo deixa claro que a função é uma bijeção de R em ]–1,1[,
então R é equipotente ao intervalo ]–1,1[.
Teorema 1(Teorema de Cantor): O conjunto dos números reais é não-enumerável.
Demonstração:
Como R ~ [0, 1] , mostraremos que [0 , 1] não é enumerável.
Suponhamos que [0 , 1] seja enumerável. Então, [0, 1] pode ser escrito da seguinte forma:
[0, 1] = { x1, x2, x3, .... xn...}.
Escrevendo x1, x2,..., xn, ... sob a forma decimal, com um número ilimitado de algarismos,
obtemos a seguinte tabela:
x1 = 0,a11 a12 a13.....a1n...
x2 = 0, a21a22 a23......a2n...
x3 = 0 ,a31 a32 a33......a3n.....
...........................................................
............................................................
.............................................................
xn = 0,an1an2an3....... ann
, onde aij {0 , 1, 2, ..., 9}.
26
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Agora seja y [0, 1] dado por y = 0 ,b1 b2 b3.....bn......., onde
É fácil notar que y não consta da tabela acima. Logo [0,1] é não enumerável.
Como [0, 1] é equipotente a R, temos que R é não enumerável.
Q
UESTÕES
1- Demonstre que duas circunferências de raios
distintos tem a mesma quantidade de pontos.
7- A função numérica f : [- 1, 1]
é par. Mostrar
que f não é bijetora.
8- Mostrar que a função f : R
R + tal que f(x) =
x + x é sobrejetora
2- Demonstre que os intervalos [0,1] e [0,1[são
equipotentes.
9- Mostrar que a função f : Z+
definida:
3- Demonstre que os intervalos [0,1] e ]0,1] são
equipotentes.
Z+ assim
é
sobrejetora e não é injetora.
10- Mostrar que a função f : Z
N definida por
f(x) = x2 + 1 não é injetora nem sobrejetora.
4- Sejam A e B conjuntos finitos com m e n
elementos, respectivamente. Demonstrar:
(1) Se f : A
B é um função injetora, então
m n.
(2) Se f: A
B é uma função sobrejetora,
então m n.
(3) Se f : A
B é uma função bijetora, então
m = n.
11- Seja a função f : Z+ x Z+
Z+ definida por
f(x, y) = x + y + 3. Determinar se a função f é :
(a) injetora ; (b) sobrejetora.
12- Seja a função f :Z R definida por f(x) = 2x2 x + 6. Determinar se a função f é: (a) injetora ;
(b) sobrejetora.
5- A função numérica f, definida em R, é
crescente em R. Mostrar que a função numérica
g definida por g(x) = f(2x – 3) é crescente em
R.
13- Mostrar que a função f : R – {2}
R – {1}
definida por f(x) = x/(x – 2) é bijetora.
6- Seja f uma função numérica periódica a de
período 2 . Mostrar que a função numérica g
definida por g(x) = f( x ) é periódica.
3
14- Mostrar que a função f : ] – 1, 1 [
x
definida por f (x) =
.
1- x
27
R
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LIMITES.
A idéia de limite de uma função pode ser considerada de maneira intuitiva e de
maneira formal, ambas são importantes para a compreensão desse conceito.
Iniciaremos pelo conceito intuitivo e em seguida apresentaremos o conceito formal.
O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE.
O gráfico abaixo representa uma função. Observe-o um pouco.
A observação do gráfico acima permite afirmar que:
Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela direita a imagem da função tem
valores bem próximos de 3;
Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela esquerda a imagem da função tem
valores bem próximos de 3;
Quando tomamos valores de x próximos bem de 4 pela direita a imagem da função tem
valores bem próximos de -1 ;
Quando tomamos valores de x próximos bem de 4 pela esquerda a imagem da função tem
valores bem próximos de 4;
Quando tomamos valores de x bem próximos de 5 pela direita a imagem da função tem
valores bem próximos de 3,5;
Quando tomamos valores de x próximos bem de 5 pela esquerda a imagem da função tem
valores próximos bem de -1;
Quando tomamos valores de x próximos bem de 0 pela direita a imagem da função
decresce infinitamente;
Quando tomamos valores de x próximos bem de 0 pela esquerda a imagem da cresce
indefinidamente;
28
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Quando tomamos valores de x bem próximos de -2 pela direita a imagem da função tem
valores bem próximos de -3;
Quando tomamos valores de x bem próximos de -2 pela esquerda a imagem da função tem
valores bem próximos de -3.
Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela direita e a função toma valores bem
próximos de 3. Dizemos que x tende a 1 pela direita e que a imagem função tende a 3.
Desse modo podemos afirmar que para a função representada pelo gráfico acima podemos
afirmar que:
Quando x tende a 1 pela direita a imagem da função tende a 3.
Quando x tende a 1 pela esquerda a imagem da função tende a 3.
Quando x tende a -2 pela direita a imagem da função tende a -3.
Quando x tende a -2 pela esquerda a imagem da função tende a -3.
Quando x tende a 5 pela direita a imagem da função tende a 3,5.
Quando x tende a 5 pela esquerda a imagem da função tende a -1.
Quando x tende a 4 pela direita a imagem da função tende a -1.
Quando x tende a 4 pela esquerda a imagem da função tende a 4.
Em linguagem mais formalizada a afirmação de que “Quando x tende a 1 pela direita a
imagem da função tende a 3 .” É equivalente a afirmar que: O limite da função quando x
tende a 1 pela direita é 3 .
Assim, podemos afirmar que para a função representada pelo gráfico acima podemos afirmar
que:
O limite da função quando x tende a -2 pela direita é -3.
O limite da função quando x tende a -2 pela esquerda é -3.
O limite da função quando x tende a 5 pela direita é 3,5.
O limite da função quando x tende a 5 pela esquerda é -1.
O limite da função quando x tende a 4 pela direita é -1.
O limite da função quando x tende a 4 pela direita é 4.
O limite da função quando x tende a -5 pela direita é 0.
O limite da função quando x tende a -5 pela direita é 0.
Quando os limites de uma função à direita e a esquerda de um ponto são iguais dizemos que o
limite da função no ponto existe e é o valor para o qual o valor da função tende.
Quando os limites de uma função à direita e a esquerda de um ponto são diferentes dizemos
que o limite da função no ponto não existe.
Desse modo, temos que:
O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 2 é –3;
O limite de função representada pelo gráfico no ponto x = -5 é 0;
O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 1 é 3;
O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 4 não existe;
O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 5 é não existe.
29
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Em linguagem simbólica a afirmação: “O limite da função f(x) quando x tende a 1 pela direita
é 3 .” É representada por: lim f(x) = 3.
x 1
Em linguagem simbólica a afirmação: “O limite da função f(x) quando x tende a 2 pela é -3.”
É representada por: lim f(x) = 3.
x
2
Assim, temos que:
lim f(x) = 3.
x 1
lim f(x)= 0.
lim f(x) não existe.
lim f(x) não existe.
x
5
x
4
x
5
Como acabamos de ver, por meio do gráfico de uma função é possível determinar o
limite da mesma num x0 dado ponto por observação do comportamento da imagem função à
direita e a esquerda de x0. Isso pode levar a idéia de que o conceito intuitivo de limite de uma
função é suficiente. Entretanto, com o conceito intuitivo de limite não é possível se perceber
resultados muito importantes acerca dos limites que são possíveis por meio de seu conceito
mais formal.
CONCEITO FORMAL.
O conceito de limite é apresentado mais formalmente da seguinte forma.
Definição: O limite de uma função f(x) quando x tende a x 0 é L se e somente se para
todo > 0 existir um > 0 tal que, para todo x, se 0 < x – x0 < , então f(x) – L < .
Em símbolos temos:
lim f ( x) L
x
> 0 existir um > 0 tal que, x, se 0 < x –x0 < , então f(x) –L < .
x0
Vejamos algumas propriedades do limite de uma função.
então lim
Proposição1: Se f é uma função definida por f(x) = c x
x
f ( x)
c,
x 0.
x0
lim f ( x) L então lim c. f ( x) c. lim f ( x) c.L .
g )( x) L M .
Proposição3: Se lim f ( x) L e lim g ( x) M então lim ( f
Proposição2: Se c
e
x
x
Proposição 4: Se
x0
x0
x
x
x0
x0
x
x
x0
x0
lim f ( x) L e lim g ( x) M então lim ( f .g )( x) L.M .
x
x0
x
x0
30
x
x0
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Proposição5: Se
lim f ( x) L e lim g ( x) M com M
x
x0
x
0 então
f
x
x0
L
lim g ( x) M
x0
Teorema 1: O limite de uma função polinomial f(x) = a0 + a1x +a2x2 + .....+ an xn quando x
tende a x0 é o valor de f(x) quando x = x0 , ou seja, f(x0).
Teorema 2: ( Teorema do confronto) Se lim f ( x) lim g ( x)
b e g(x)< h(x)< f(x)
x
para todo x então
lim h( x)
x
x0
x
x0
b.
x0
LIMITES INFINITOS.
Definição: Seja f uma função, se quando x tende a x0 , f(x) cresce ilimitadamente dizemos
que o limite de f(x) quando x tende a x0 é + e representamos por lim f ( x)
.
x
x0
Definição: Seja f uma função, se quando x tende a x0 , f(x) decresce ilimitadamente dizemos
que o limite de f(x) quando x tende a x0 é - e representamos por lim f ( x)
.
x
x0
Definição: Seja f uma função definida em [ a , + ) e L
e quando x cresce ilimitadamente
a imagem de f se aproxima de L, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é L e
representamos por lim f ( x) L .
x
Definição: Seja f uma função definida em (- , a] e L
e quando x decresce ilimitadamente
a imagem de f se aproxima de L, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a - é L e
representamos por lim f ( x) L .
x
Definição: Seja f uma função definida em e quando x cresce ilimitadamente a imagem de f
também cresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é + e
representamos por lim f ( x)
.
x
Definição: Seja f uma função definida em e quando x decresce ilimitadamente a imagem
de f também decresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a - é e representamos por lim f ( x)
.
x
Definição: Seja f uma função definida em e quando x decresce ilimitadamente a imagem
de f cresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a - é + e
representamos por lim f ( x)
.
x
Definição: Seja f uma função definida em e quando x cresce ilimitadamente a imagem de f
também decresce indefinidamente, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a + é - e
representamos por lim f ( x)
.
x
Teorema: Se n é um inteiro positivo, então:
i)
1
lim x
x
n
0;
ii)
1
lim x
x
31
n
0.
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Teorema: O limite de uma função polinomial f(x) = a0 + a1x +a2x2 + .....+ an xn, com an 0,
n
quando x tende a + é igual ao valor do limite lim ( an x ) e quando x tende a - é igual
x
ao valor do limite
n
lim (a x ) .
n
x
Definição: Chamamos de e ao limite da função f(n) =
tende a + , ou seja
lim
n
1
1
n
n
1
1
n
definida em N*, quando n
n
= e.
O número e é irracional, transcendente, tem valor aproximado a 2,7182818284 e muitos
modelos de fenômenos naturais o envolve-o.
Teorema: Seja a função f(x) =
lim
x
x
x < -1ou x > 0}, então
1
1
x
definida em { x
x < -1ou x > 0}, então
x
x
= e.
Teorema: Seja a função f(x) =
x
definida em { x
=e.
1
1
x
lim 1 x
x
x
1
1
x
Teorema: Seja a função f(x) =
lim
1
1
x
1
x
1 x
1
x
definida em { x
-1< x
0}, então
= e.
0
Teorema: (Do limite trigonométrico fundamental)
sen x
lim x
x
= 1.
0
FUNÇÕES CONTÍNUAS.
Definição: Dizemos que uma função f é contínua em x = x 0 se, e somente se,
lim f ( x) f ( x0 ) caso contrário dizemos que f é descontínua em x= x0.
x
x0
Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f + g é contínua.
Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f - g é contínua.
Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 então a função f.g é contínua.
Proposição: Se f e g são funções contínuas em x= x0 com g(x0) 0 então a função f/g é
contínua.
32
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Proposição: Se a função g é contínua em x0 e a função f é contínua em g(x0) então a função
composta fog é contínua em x0.
Teorema: Se lim f ( x ) = L onde L 0 e n
N* ou L < 0 e n é natural ímpar então
x
lim f ( x)
n
x
x0
n
x0
n
lim f ( x)
x
L.
x0
Q
UESTÕES
 Calcule os limites.
1) lim (2x2 -7x+5) =
11) lim
x
0
sen x sen 3x sen 5x
=
x
x
2)
lim
sen 2 4 x
12) lim
=
x 0
2x2
( -7x3 +5x2 –4x +1) =
x
3)
lim ( -2x5+3x4+5x2-6) =
sen( x 2 3x 2)
13) lim
=
x 2
x 2 3x 2
x
4)
lim ( -10x4+8x3-9x2+7x +5) =
sen( x 2 4)
14) lim
=
x 2
x 2
x
5)
6)
3x 5 x 4 8 x 3 3
=
lim
x
4x5 x3 x 2 x 1
lim x
x
7)
8)
lim
0
sen 5 x
x
sen 5 x
lim 3x
x
1 2x
) =
x
16) lim (1
1 3x
) =
x
x
8x 2 3
=
x2 x 1
3x 4 7 x 1
lim
x
10 x 4 x 3 x 2 5
x
9)
3
15) lim (1
x
=
17) lim
x
(1
1 2
)
x
=
18) lim
x
x
x
=
x
=
x 1
=
0
sen x. sen 3x. sen 5x
10) lim
x 0
x3
19) lim
x
=
33
x 1
x 1
x
=
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20) lim
(1 4 x)
5
x
=
x
34
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DERIVADAS.
O calculo diferencial tem sua origem na busca da solução de dois problemas:
A determinação da reta tangente a uma curva;
A determinação da variação instantânea de uma grandeza.
Esses problemas foram resolvidos de maneira independente por Newton e Leibniz no século
XVII.
Vejamos a definição de derivada de uma função real num ponto.
Definição: Seja f uma função real definida num intervalo I, chamamos de derivada de f no
ponto x0 ao limite finito de f ( x) f ( x0 ) quando x tende a x0 .
x x0
A derivada de uma função no ponto x0 é comumente indicada por f`(x0) ou
df (x )
0
dx
Em símbolos a derivada de uma função no ponto x0 é dada por
Lim
f`(x0) =
x
x0
f ( x)
x
f ( x0 )
x0
Fazendo x – x0 = h podemos reescrever a derivada de uma função no ponto x0 como
f`(x0) =
Lim
h
Definição: Uma função f: I
de f no ponto.
f ( x0
0
h)
h
f ( x0 ) .
R é dita derivável em I para todo ponto de I existe a derivada
A derivação tem uma relação muito interessante com a continuidade que é expressa por meio
do seguinte teorema.
Teorema: Toda função derivável num ponto é continua nesse ponto.
Definição: Seja f uma função real definida num intervalo I, chamamos de função derivada de
f a função f `(x) dada por
Lim
h
0
f ( x h)
h
f `(x) =
f ( x) . Ou seja,
Lim
h
0
f ( x h)
h
f ( x)
Teorema: ( Derivada de soma)A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
35
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Teorema: ( Derivada de uma função multiplicada por uma constante)A derivada de uma
função multiplicada por uma constante não nula é igual a constante multiplicada pela derivada
da função.
Teorema: (Derivada de constante) A derivada de uma função constante é zero.
Teorema: (Derivada do produto) A derivada do produto de duas é igual ao produto da
derivada da primeira função pela segunda função adicionado com o produto da primeira
função pela derivada da segunda função.
Teorema: (Derivada do quociente) A derivada do quociente de duas funções é igual ao
quociente entre a diferença da derivada de primeira função multiplicada pela segunda função
com a primeira função multiplicada pela derivada de segunda função e o quadrado da segunda
função.
Teorema: (Derivada da função inversa) Seja y = f(x) uma função derivável num intervalo I,
com f`(x) sempre positiva ou sempre negativa então a função f -1(x) inversa de f(x) é derivável
e a derivada de função f -1(x) é dada por [f -1(x)]`= 1/ f `(x).
Teorema: ( Derivada de função composta ou regra da cadeia) Sejam f: I R e g: J R com
f(I)
J e f (c) um ponto de J. Se f é derivável em c e g derivável e f(c) então a função
composta gof : I
R é derivável em c e sua derivada (gof)` é dada por
(gof)` = g`(f(c)).f `( c).
Teorema: ( Teorema de Fermat) Seja f: I R uma função que é derivável em I. Se existir um
máximo local ou um mínimo local de f em c I, então f`(c)= 0.
Teorema: ( Teorema de Rolle) Seja f: [a,b] R uma função contínua em [a,b]. suponha que f
seja derivável em (a,b) e que f(a) = f(b), então existe um c (a,b) tal que f `(c) = 0.
Teorema: ( Teorema do valor médio) Seja f: [a,b]
suponha que f seja derivável em (a,b), então existe um c
R uma função contínua em [a,b].
(a,b) tal que
f `(c) = f (b) f (a) .
b a
Teorema: ( Teorema de Rolle) Seja f: I
= 0 x I, então f é constante em I.
R uma função contínua no intervalo I tal que f`(x)
Teorema: Seja f: (a,b) R uma função derivável em (a,b), então
1) Se f `(x) > 0 para todo x (a, b) então f é crescente em (a, b);
2) Se f `(x) < 0 para todo x (a, b) então f é decrescente em (a, b).
Definição: Seja f uma função continua no intervalo [a,b] e derivável no ponto c [a,b].
Dizemos que o gráfico de f tem concavidade positiva em c se, e somente se, existe um
intervalo V contendo c tal que, para todo x V, os pontos do gráfico de f estão acima da reta
tangente á curva no ponto c.
36
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Geometricamente quando o gráfico de uma função tem a concavidade positiva num intervalo
significa que o gráfico está voltado para cima.
Definição: Seja f uma função continua no intervalo [a,b] e derivável no ponto c [a,b].
Dizemos que o gráfico de f tem concavidade negativa em c se, e somente se, existe um
intervalo V contendo c tal que, para todo x V, os pontos do gráfico de f estão abaixo da reta
tangente á curva no ponto c.
Geometricamente quando o gráfico de uma função tem a concavidade negativa num intervalo
significa que o gráfico está voltado para baixo.
Teorema: Seja f uma função derivável até a segunda ordem no intervalo (a,b).
1) Se f ``(x)>0 para todo x (a,b) então f tem a concavidade positiva em todo x (a,b);
2) Se f ``(x)<0 para todo x (a,b) então f tem a concavidade negativa em todo x (a,b).
Q
UESTÕES
dada por h = t3 – 3t2 – 9t + 1, onde t indica o
número de segundos decorridos após o
lançamento. Em que instante a pedra atingirá
sua altura máxima?
1)
Demonstre que se f(x) = xn com n -1 então f
`(x) = n xn-1.
2)
Demonstre que se f(x) = ax então f `(x) =
axlna.
3)
Demonstre que se f(x) = ex então f `(x) = ex.
4)
Demonstre que se f(x) = lnx então f`(x) = 1/x.
5)
Demonstre que se f(x) = cosx então f`(x) = senx.
a)
6)
Demonstre que se f(x) = senx então f`(x) =
cosx.
b) instantes e posições em que é mínima a
aceleração do móvel.
7)
Demonstre que se f(x) =
1
x
12) Um móvel desloca-se sobre um eixo de modo
que sua abscissa s no instante t é dada por s =
a. cos (ky + l), sendo a, k, l constantes dadas.
Determinar:
13) Um triangulo está inscrito numa semicircunferência de raio R. Seus lados medem a,
b e 2R. Calcular a e b quando a área do
triangulo é máxima.
então f`(x) =
.
2 x
8)
Demonstre que o ponto de máximo da função
f(x) = ax2 + bx +c é dado por
x = -b/2a
e y = - /4a ;
9)
Demonstre que se a > 0 então a concavidade
da função f(x) = ax2 + bx + c é voltada para
cima.
instantes e posições em que é máxima a
velocidade do móvel;
14) Um retângulo de dimensões x e y tem
perímetros 2ª ( a é constante dada ). Determinar
x e y para que sua área seja máxima.
15) Calcular o perímetro máximo de um trapézio
que está inscrito numa semi-circunferência de
raio R.
16) Calcular o raio da base e a altura do cilindro de
volume máximo que pode ser inscrito numa
esfera de raio R.
10) Demonstre que se a < 0 então a concavidade
da função f(x) = ax2 + bx + c é voltada para
baixo.
17) Calcular o raio da base e a altura do cone de
área lateral máxima que é inscritível numa
esfera de raio R.
11) Uma pedra é lançada verticalmente para cima.
Sua altura h (metros) em relação ao solo, é
37
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18) Calcular o raio da base e altura do cone de
volume mínimo que pode circunscrever uma
esfera de raio R
19) Um fabricante de caixas de papelão pretende
fazer caixas abertas a parti de folhas de cartão
quadrado de 576 cm2 , cortando quadrados
iguais nas quatros pontas e dobrando os lados.
Calcular a medida do lado do quadrado que
deve ser cortado para obter uma caixa cujo
volume seja o maior possível.
28) Um fabricante de caixa pretende produzir
caixas com tampa de um certo volume V, cuja
a base e um retângulo com comprimento igual
ao triplo da largura. Calcular as dimensões
mais econômicas que deve usar.
29) Uma pagina para impressão deve conter
300cm2 de área impressa, uma margem de 2
cm nas partes superiores e inferiores e uma
margem de 1,5cm nas laterais. Quais são as
dimensões da pagina de menor área que
preenche essas condições?
20) Uma ilha esta no ponto A, a 10 Km do ponto B
mais próximo sobre uma praia reta. Um
armazém esta no ponto C, a 7 Km do ponto B
sobre a praia. Se um homem pode remar a
razão de 4 Km/h e andar a 5Km/h , aonde
deveria desembarcar para ir da ilha a ao
armazém no menor tempo possível.
30) Um fazendeiro tem 80 porcos, pesando 150
Kg cada um. Cada porco aumenta de peso na
proporção de 2,5 Kg por dia. Gastam-se 2
reais por dia para manter um porco. Se o preço
de venda esta 3 reais e cai 3 centavos por dia,
quantos dias deve o fazendeiro aguardar para
que seu lucro seja máximo ?
21) Um fio de comprimento L é cortado em 2
pedaços, um dos quais formaram um circulo e
o outro um quadrado. Como deve ser cortado o
fio para que a soma das áreas do circulo e do
quadrado seja máxima?
31) Considere f: R
R uma função derivável até
a ordem 2, pelo menos, tal que f(-2) = 0, f(-1)
= -1, f(0) = -2, f(1) = 1 e f(2) = 2. O gráfico da
função derivada de primeira ordem f`, tem o
aspecto apresentado abaixo.
22) Um funil cônico tem raio r e altura h. se o
volume do funil e V (constante), calcular a
razão r/h de modo que sua área lateral seja
mínima?
23) Um fazendeiro precisa construir dois currais
lado a lado, com uma cerca comum, conforme
mostra a figura.Se cada curra deve ter uma
certa área A, qual o comprimento mínimo que
a cerca deve ter
X
Y
X
Y
X
Com base nos valores dados para a função f e
no gráfico de sua derivada f `, faça o que se
pede a seguir.
Y
X
a)
24) Uma calha de fundo plano e lado igualmente
inclinados vai ser construída dobrando-se uma
folha de metal de largura l . se os lados e o
fundo têm largura l/3 calcular o ângulo de
forma que a calha tenha a máxima secção reta
Numa reta com origem O, represente com
seta
ou
os intervalos em que a
função f é crescente ou decrescente,
respectivamente.
b) Quais são os pontos de máximo e mínimo
de f?
25) Um triangulo isósceles de base a esta inscrito
numa circunferência de raio R. calcular a de
modo que seja máxima a área do triângulo?
c)
Quais são os pontos de inflexão de f?
d) Com as informações dadas e as
informações deduzidas construa num
sistema de eixos coordenados ortogonais
um esboço do gráfico da função f.
26) Calcular o raio da base e a altura do cone de
Maximo volume que se pode inscrever numa
esfera de raio R.
27) Determinar as dimensões do cone de área total
mínima que se pode circunscrever uma esfera
de raio R
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SEQUENCIAS E SÉRIES.
DEFINIÇÃO: Uma seqüência é toda função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.
Dada uma seqüência f: N
R, as imagens f(1), f(2), f(3),........e f(k) são indicados por a1,
a2,a3,.......e ak e denominadas de termos da seqüência.
É comum indicar uma seqüência f: N R por x ={ak}ou por x = (ak).
IGUALDADE DE SEQUENCIAS.
Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yi } são iguais se e somente se, xk = yk k N.
TIPOS DE SEQUENCIAS.
Sequências monótonas.
Definição: Seja {xk} uma seqüência em R, dizemos que {xk} é uma sequencia monótona se a
mesma preserva o seu comportamento.
Uma função monótona é:
a) crescente se e somente se: k N , xk xk+1;
a) decrescente se e somente se: k N , se x k+1 xk ;
b) estritamente crescente se e somente se: k N , xk x k+1 ;
c) estritamente decrescente se e somente se: k N , xk+1 xk ;
d) constante se e somente se: k N , xk = xk+1.
Seqüências periódicas.
Definição: Seja {xk} uma seqüência em R é dita periódica se existi um inteiro positivo p tal
que para todo k N temos xk+p = xk.
Seqüências Aritméticas.
Definição: Seja {xk}uma seqüência em R é dita aritmética de razão r, com r
somente se, para todo k N temos que xk = x1 + ( k –1)r.
R, se e
Seqüências geométricas.
Definição: Seja {xk}uma seqüência em R é dita geométrica de razão q, com r
somente se, para todo k N temos que xk = x1 qk-1.
39
R*, se e
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OPERAÇÕES COM SEQUENCIAS.
Adição.
Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yk }chamamos de adição de {xk} com {yk } à
seqüência {xk + yk } k N.
Exemplo:
2
Sejam as seqüências x ={2k} e y ={1/k}então x + y = { 2k 1 } k N.
k
Multiplicação por um número.
Definição: Dada a seqüência {xk}chamamos de multiplicação de{xk}por
{ . xk } k N.
R à seqüência
Exemplo:
Sejam as seqüências x ={1/k}então 4x = { 4/k} k N.
Produto.
Definição: Dadas duas seqüências {xk} e {yk }chamamos de multiplicação de {xk} por{yk } à
seqüência {xk . yk } k N.
Exemplo:
Sejam as seqüências x ={2k} e y ={1/k}então x . y = {2 }
SEQUENCIAS CONVERGENTES.
Definição: Uma seqüência {ak} tem limite L quando k tende ao infinito se para cada
dado existe M 0 tal que ak – L < qualquer que seja k > M.
0
Definição: Uma seqüência que tem um limite finito é dita convergente.
Definição: Uma seqüência que não tem um limite finito é dita divergente.
Teorema 1: Seja f uma função real tal que
f(k) = ak, para todo k inteiro positivo, então
Teorema 2: Se
f(x) = L . se a seqüência {ak}é tal que
Lim
x
ak = L.
Lim
k
ak = L e Lim bk = M, então
Lim
k
k
1)
ak
Lim
k
2)
ak = L.
Lim
k
3)
ak . bk = L . M .
Lim
k
bk = L
M.
40
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4)
ak
bk
Lim
k
=
L
M
, com bk
0eM
Teorema 3: (Teorema do sanduíche) Se
ak ck
bk , para todo n >N , então
0.
ak = L = Lim bk e existe um inteiro N tal que
Lim
k
k
ck = L.
Lim
k
Teorema 4: ( Teorema do valor absoluto) Dada uma seqüência {ak}, se
ak = 0 então
Lim
k
ak = 0.
Lim
k
Definição: Uma seqüência {ak} é dita limitada se existe um numero real positivo m tal que
ak M , k N. O numero M é chamado de cota superior da seqüência {ak}.
Teorema 5: (Teorema das seqüências monótonas limitadas) Toda seqüência {ak} monótona e
limitada é convergente.
Q
UESTÕES
01. Calcule a soma dos n primeiros termos da
seqüência 1.5, 3.7, 5.9 , ....
07. Podem os números
uma mesma PA?
02. Calcule a soma dos n primeiros termos da
seqüência 1.2.3, 2.3.4, 3.4.5,...
08. Calcule o valor da soma de n parcelas 1 + 11 +
........ + 111 ..... 1.
03. Determine m para as raízes da equação x4 –
(3m + 4) x2 + (m + 1)2 = 0 estejam em PA.
Calcule em seguida as raízes.
x1
x2
1
xn
1
+
1
x2
=
xn
5 pertencer a
x2
1 x
10. Dada a seqüência
1
10 a
1
1
1
,
10 a 10 a
1
... x n
1
10 a
......,
2
determine:
a) a expressão da soma Sn dos seus n
primeiros termos;
+..........+
x3
b) o valor de S = limn- Sn ;
c) os valores de n para os quais S( 1 – 10-18)
Sn S (1+10-21).
n 1
x1
3 e
2
4
2n
09. Simplifique a expressão: 1 x x ... x
04. Mostre que, se {x1} é uma PA de termos
positivos, em tão:
1
2,
xn
11. Demonstre que, sendo lim n(1 + a +a2 + ...
+ na) = A ( a 1) e lim n(1+b+b2 + ..... +
n
b ) = B (b 1), teremos: lim n(1 + ab +a2
b2+ ... + na bn) =
.
05. As medidas dos ângulos de um triangulo estão
em PA, e os comprimentos das alturas do
mesmo triangulo também estão em PA.
Demonstre que o triângulo é eqüilátero.
06. Se {ai } é uma PA de termos não nulos, mostre
que:
1 + 1 + ..... +
1
= n 1
a1.a 2
a 2 .a 3
a1.a n
a n 1 .a n
12. Determine o limite da soma: S = 1 - 1 - 1 +
2 4
1 - 1 - 1 + 1 - 1 - ......
8 16 32
64 128
41
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
13. Sendo x e y positivos, ache o limite das
seguintes expressões:
a)
x x x x......
b)
x y x y......
c) x
x
x
x ......
14. 31 livros estão arrumados em uma estante, em
ordem crescente de preços da esquerda para a
direita. O preço de cada livro defere em R$100,00 dos preços dos livros que lhe são
adjacentes. O preço do livro mais caro é a soma
dos preços do livro do meio e de um dos que
lhe são adjacentes. Determine o preço do livro
mais caro.
15. Aumentos sucessivos de 10% e 20% equivalem
a um único aumento de quanto?
16. Se os preços sobem 25% ao mês e seu salário
permanece inalterado, de quanto diminuem o
seu poder de compra:
a) mensalmente?
b) trimestralmente?
c) semestralmente?
17. Um crescimento mensal de 10% gera um
crescimento anual de quanto?
18. A população de certa cidade era, em 1985, de
50.000 habitantes e, em 1990, passou a ser de
80.000 habitantes. Supondo que a população
tenha crescido com a taxa constante, determine
a população em 1987.
19. A espessura de uma folha de estanho é de
0,1mm. Forma-se uma pilha de folhas
colocando-se uma folha na primeira vez e, em
cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já
houveram sido colocadas anteriormente.
Depois de 33 dessas operações, a altura da
pilha será, aproximadamente:
a) a altura de um poste de luz.
b) a altura de um prédio de 40 andares.
c) o comprimento da praia de Copacabana.
d) a distância Rio-São Paulo.
42
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SERIES.
Definição: Seja {ak} uma seqüência infinita.Dizemos que a soma
ak = a1 + a2 + a3 + ... + an +...... é uma série infinita.
k 1
Definição: Dada uma série a1 + a2 + a3 + ... + an +.... chamamos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an . de
n-ésima soma parcial da série.
Definição: Dada uma série infinita
ak converge
série
ak
se a seqüência {Sn} converge para S dizemos que a
e S é denominado de soam da série. Se a seqüência {S n} diverge
dizemos que a série
ak diverge.
Definição: A série
ak = a + ar + ar2 +ar3 +.....+arn + ....., a 0 é denominada de serie
k 1
geométrica de razão r.
Teorema: (Teorema da convergência de uma serie geométrica) Uma série geométrica de
razão r diverge se r
ar k =
1. A serie converge se r < 1 e sua soma é igual a
k 1
Teorema: ( Propriedades das séries convergentes). Se
numero real então
ak
= A ,
bk =
a
1 r
.
B e c é um
ca k = cA.
1)
k 1
2)
ak
bk = A + B.
ak
bk = A – B.
k 1
3)
k 1
Teorema: ( Teste do n-ésimo termo.) Se a série
ak converge, então Lim
k
{ak} = 0.
Teorema: (Teste da integral.) Seja f uma função continua, positiva e decrescente, definida
para x 1, e seja {ak}= f(k).
ak e a integral
Então a série
k 1
Definição: A série
f ( x)dx , convergem ou divergem.
1
1
1
1
k 1 k
2
1
1
......
.... é denominada de série harmônica.
3
k
43
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Definição: Uma série da forma
1
p
k 1 k
1
2p
1
1
3p
......
1
kp
....
onde p é uma
constante positiva é denominada de série p.
Teorema: (Teste da convergência das séries p.)
A série
1
p
k 1 k
1
1
2p
1
3p
......
1
kp
.... é:
1) convergente se p>1;
2) divergente se 0 < p
1.
Corolário: A série harmônica é divergente.
Teorema: (Teste da comparação.) Suponha que 0 ak
bk converge, então
1) Se
k 1
bk , para todo k inteiro positivo então:
ak converge;
k 1
ak diverge, então
2) Se
k 1
bk diverge.
k 1
Teorema: (Teste da comparação dos limites.) Suponha que ak>0, bk>0 e que
ak
onde L é finito e positivo. Então, as séries
e
bk
lim
k
ak
=L
bk
convergem simultaneamente ou
bk divergem simultaneamente.
ak
Definição: Definição uma série que contem termos positivos e negativos alternadamente é
denominada de série alternada.
Exemplo:
( 1) k
A série
k 0
1
2k
1
1
2
1
4
1 1
....
8 16
é uma série alternada.
( 1) k a k
Teorema: (Teste para as séries alternadas.) Se ak>0 , então as séries alternadas
k 0
( 1) k 1a k convergem , desde que:
e
k 0
1) ak+1
2)
ak , para todo k inteiro positivo e.
lim
ak = 0.
k
Teorema: (Teste do resto de uma série alternada.) Se uma série alternada convergente
satisfaz a condição an+1 ak, então o valor absoluto do resto Rn ao aproximar a soma s por Sn é
menor ou igual ao primeiro termo excluído, ou seja, S -Sn = Rn an+1.
44
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Centro de Ciências Sociais e Educação
ak
Teorema: (Teste da convergência absoluta.) Se a série
converge então a série
ak converge.
também
ak
Definição: Uma série
ak
é absolutamente convergente se
Definição: Uma série
ak
é condicionalmente convergente se a série
ak
e
ak é convergente
é divergente.
ak uma série com termos não-nulos.
Teorema: (Teste da razão.) Seja
1) Se
é convergente.
lim
ak 1
< 1 então a série
ak
ak
ak 1
> 1 então a série
ak
ak diverge;
converge;
k
2) Se
lim
k
3) Se lim
ak 1
=1 então a nada se pode afirmar acerca da convergência da série
ak
ak .
k
Teorema: (Teste da raiz.)
1) Se
lim k ak
< 1, então a série
ak
converge;
k
2)
lim k ak
Se
ak
> 1, então a série
diverge;
k
3) Se lim k
ak
=1,então nada se pode afirmar acerca da convergência da série
k
Q
UESTÕES
01. Verifique quais
convergentes:
das
series
abaixo
são
3
n n
c)
n 1
(
a)
n
1) n 15
d)
n
n 1
n 1
5
n
b)
2n
n 1
e)
n 1
n 1
45
4
ak .
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
n
f)
2n
n 1
2
1
n n 2
3
( 1)
2n
g)
n 1
10
h)
3 n3
n 1
03. Uma companhia estima que a venda anual de
um produto novo será de 8.000 unidades.
Suponha que todo 10% das unidades
(independentemente
de
quando
foram
produzidas) param de funcionar. Quantas
unidades estarão em uso após n anos?
10 n 3
n 2n
i)
n 1
2n
4n2 1
j)
n 1
n
1 In
l)
n 1
n 2
n
04. Uma bola cai de uma altura de 4,6 metros.
Cada vez que ela cai h metros, ela quiçá e sobe
até uma altura de 0,81h metros. Encontre a
distância total percorrida pela bola.
1
n 2
m)
n 1
n
1 In
n)
n 1
n 2
n
05. Os lados de um quadrado medem 16
centímetros. Um novo quadrado é formado
unindo-se os pontos médios dos lados do
quadrado original. Dois dos triângulos fora do
segundo quadrado original. Dois dos triângulos
fora do segundo quadrado são sombreados
(veja a figura correspondente). Determine a
área da região sombreada (a) se esse processo
for repetido por mais cinco vezes e (b) se esse
processo for repetido indefinidamente.
1n
nInn
o)
n 1
cos n
2n
p)
n 1
( 1) n
n ln n
q)
n 2
n7n
n!
r)
n
1
ln n
n2
s)
06. Uma população estável de 35.000 pássaros
vive em três ilhas. Cada ano, 10% da
população da ilha A migram para a ilha B, 20%
da população da ilha B migram para a ilha C e
5% da população da ilha C migram para a ilha
A. Denotemos por An, Bn e Cn,
respectivamente, os números de pássaros nas
ilha A,B e C no ano n antes da ocorrência da
migração.
n 1
1 n 3n
n!
t)
1
n 1
1 n 3n
u)
n 2n
n 1
3n
3.5.7... 2 n 1
v)
n 1
x)
n 1
a)
3.5.7... 2n 1
18n 2n 1 n!
Mostre que
An+1=0,9An+ 0,05Cn,
Bn+1=0,1An+ 0,80Bn e Cn+1=0,95Cn+
0,20Bn
b) Supondo que
02. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros,
começa a quicar ao atingir o solo, como indica
a figura abaixo. A altura máxima atingida pela
bola após cada batida no solo é igual a três
quartos da altura da queda correspondente.
Calcule a distância vertical total percorrida pela
bola.
lim An lim Bn
,
n
n
e
lim Cn
n
existiam, dê uma aproximação do número
de pássaros em cada ilha após muitos anos.
07. Uma população de linces é classificada por
idade como “gatinhos” (menos de um ano) e
adultos (pelo menos um ano). Todas as fêmeas
adultas, inclusive as nascidas no ano anterior,
46
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Centro de Ciências Sociais e Educação
tem uma cria a cada mês de junho, com uma
média de três “gatinhos” por cria. A taxa de
sobrevivência dos “gatinhos” é de 50%,
enquanto a dos adultos é de 66 2 % por ano.
85% unidade original são gastos, em seguida
85% daqueles 0,85 são gastos e assim por
diante. Determine o impacto econômico ( o
total gasto) se
R$-1.000.000,00 são
introduzidos na economia.
3
Seja Kn o número de “gatinhos” recémmo
12. Em um programa de erradicação de epidemia,
liberam-se diariamente na população N moscas
macho esterilizadas, e 90% dessas moscas
sobrevivem a um determinado dia.
nascidos em junho do n . ano, seja An o
número de adultos, e suponha que a relação de
machos para fêmeas seja sempre 1.
a)
Mostre que Kn+1 =
An+1 e An+1 = An +
a)
Kn
b) Conclua que An+1 =
e que An =
17
12
17
12
An e Kn+1 =
n 1
A1 e Kn =
17
12
17
12
n 1
Kn,
b) Se objetivo do programa, a longo alcance,
é manter 20.000 moscas esterilizadas na
população, quantas moscas devem ser
liberadas cada dia?
K1.
Que se pode concluir sobre a população?
13. Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2
horas na corrente sangüínea. A cada 4 horas
administram-se doses de K miligramas, com K
a ser ainda determinado.
08. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma
altura de 10 metros. A bola repica
aproximadamente metade da distância após
cada queda. Use uma série geométrica para
aproximar o percurso total feito pela bola até o
repouso completo.
a)
09. A extremidade de um pêndulo oscila do longo
de um arco de 24 cm em sua primeira
oscilação.
Se
cada
oscilação
é
aproximadamente 5/6 da oscilação precedente,
use uma série geométrica para obter uma
aproximação da distância total percorrida pelo
pêndulo até entrar em repouso completo.
b)
c)
k 1
n 0
1
4
K + ... +
1
4
n-1
soma é aproximadamente
K, e que esta
3
4
K, para
grandes valores de n.
b) Se mais de 500 miligramas do remédio na
corrente sangüínea é considerado um nível
perigoso, determine a maior dose possível
que possa ser administrada repetidamente
por um longo período de tempo.
14. A primeira figura exibe uma seqüência de
quadrados S1, S2, ...., Sk, ... Denotemos por ak,
Ak e Pk o lado, a área e o perímetro,
respectivamente do quadrado Sk, O quadrado
Sk+1 se constrói a partir de Sk, com cada ponto à
distância de 1 ak de um vértice, conforme
Mostre que a quantidade A(k) do
remédio
na
corrente
sangüínea
imediatamente após a k .ma dose é dada
por
A(k) =
Mostre que o número de miligramas do
remédio na corrente sanguínea após a n .ma
dose é K +
10. Administra-se a um individuo uma dose de Q
unidades de certo remédio. A qualidade que
permanece na corrente sanguínea ao cabo de t
minutos é Qe-ct, como c>0. Suponhamos que a
mesma dose seja administrada a intervalos
sucessivos de T minutos.
a)
Mostre que o número de moscas
esterilizadas na população após n dias é
dado por N+(0,9)N ... (0,9)n-1N.
4
mostra a segunda figura.
Qe-ncT
a) Ache uma relação entre ak+1 e ak.
b) Ache an, An e Pn.
Ache uma cota superior para a
quantidade de remédio na corrente
sangüínea após um número arbitrário de
doses.
c) Calcule
Pn
n 1
Ache o menor tempo entre doses que
garanta que A(k) não excede certo nível
M,M>Q.
11. Suponha que cada unidade monetária
introduzida na economia recircule como segue:
47
e
An .
n 1
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
15. Na figura abaixo cada circulo está inscrito em
um quadrado é cada quadrado (exceto o maior)
está inscrito em um círculo. Seja Sn a área do
n-ésimo quadrado e Cn a área do n-ésimo
circulo.
a)
Estabeleça relações entre Sn e Cn, e
entre Cn e Sn+1.
b) Que porção do maior quadrado está
sombreada na figura?
48
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
BIBLIOGRAFIA
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APOSTOL, T. M. Cálculo. Vol 1 Madri: 1988.
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FERREIRA, J. C. Introdução à Análise Matemática.Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian. 1985.
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GUERREIRO, J.S. Curso de Análise Matemática. Lisboa: Escolar. 1989.
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NIVEN, I. Números racionais e irracionais. RJ : SBM, 1984.
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