7º CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA DE FABRICAÇÃO
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7 BRAZILIAN CONGRESS ON MANUFACTURING ENGINEERING
20 a 24 de maio de 2013 – Penedo, Itatiaia – RJ - Brasil
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May20 to 24 , 2013 – Penedo, Itatiaia – RJ – Brazil
SÉRIE E TRANSFORMADA DE FOURIER NA ANÁLISE
CRISTALOGRÁFICA POR DIFRAÇÃO DE RAIO-X
Jose Flavio Feiteira1, [email protected]
Glaucio Soares Fonseca1 , [email protected]
Marcos Flavio de Campos1, [email protected]
1
Depto de Engenharia Mecanica PUVR. Universidade Federal Fluminense. Av dos Trabalhadores 420, Vila Santa
Cecilia. 27255-125. Volta Redonda RJ.
Resumo: A Análise de Fourier é essencial na interpretação de dados experimentais obtidos por Difração de Raiosx.Especialmente no caso da estrutura de deformação, a teoria de Fourier é útil. . Os sinais captados por difratômetros
de raios-x permitem estimar o tamanho da célula de deformação e até mesmo a densidade de discordâncias em metais
deformados. Este trabalho pretende oferecer uma introdução detalhada, realçando a facilidade do emprego da
referida teoria de Fourier aos dados experimentais. No presente estudo é colocado ênfase no emprego da computação
digital na análise dos dados.
Palavras-chave:Cristalografia, difratogramas, coeficientes de Fourier, difração de raios-x.
1. INTRODUÇÃO
A aplicação da transformada de Fourier a dados experimentais obtidos por Difração de Raios-X permite estimar
diversos parâmetros da estrutura deformada, entre os quais o tamanho de célula de deformação e a densidade de
discordâncias. Assim, a transformada de Fourier (Warren, 1969)(Louer&Aldebrand, 1999) é uma ferramenta essencial
no estudo de metais deformados, como aços e alumínio laminados. Neste estudo édescrita a metodologia de aplicação
desse poderoso método matemático (transformada de Fourier) aos dados experimentais.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) foi um matemático da corte de Napoleão. Seu nome foi imortalizado pelas
séries trigonométricas que introduziu em 1807 e, até hoje, são admiradas por matemáticos, físicos, estatísticos
eengenheiros. Essas séries são valiosas para quem precisa descrever uma função relativamente complexa, de uma forma
simples de se visualizar e de se manipular.A história das séries de Fourier ilustra como a solução de um problema físico
acaba gerando novas fronteiras na matemática. Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de
calor em corpos sólidos. Supondo que essa propagação se dava por ondas de calor e levando em conta que a forma mais
simples de uma onda é uma função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode
ser expressa como uma soma de senos e cossenos, (José Maria Bassalo,2009).
Desde cedo estudam-se as funções seno e cosseno representadas na Fig. (1), aprendendo-se que suas amplitudes
originais são unitárias, que a abscissa x é o valo de um ângulo em radianos, e que ambas estão defasadas (“deslocadas”)
𝜋
𝜋
entre si de
radianos, isto é, que cos(𝑥) = sin(𝑥 + ).
2
2
Também na Fig. (1) mostra-se, com asteriscos, o gráfico da função resultante da soma das funções sen(x) com cos(x).
Essa curva (em asteriscos) é obtida traçando-se, em cada ponto x, a soma das amplitudes de sen(x) e cos(x) nesse ponto.
Observe-se que a função soma é também uma função periódica. Esse fato foi generalizado no trabalho de Fourier: suas
séries são composições (somas) de muitas curvas tipo seno e cosseno. A forma de uma função periódica pode ser bem
mais complexa que a forma de uma senóide. O gráfico da função f(x) indicado, por exemplo, na Fig. (2) mostra uma
curva periódica cuja função não é composta apenas por um seno e por um cosseno. Inexoravelmente surge a pergunta:
como achar uma equação matemática que descreva uma função como essa?
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Figura 1. Gráficos das funções trigonométricas seno e cosseno e da soma de ambas.
Observando-se a Fig. (1) relembra-se do conceito de que estas funções são periódicas, isto é, que suas formas se
repetem a cada período. No caso das funções seno e cosseno esse período é de 2. A forma geral de uma função seno é
y=A.sen(x+)onde A é o valor máximo da função (amplitude), e  é o ângulo de fase.
Figura 2. Gráfico da função periódica 𝐲 = 𝟐𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝟕𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐱 + 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱 + 𝟒𝐜𝐨𝐬⁡(𝟓𝐱)(José Maria
Bassalo,2009)
A resposta foi dada por Fourier no início do século 19. Segundo ele, “qualquer função periódica, por mais complicada
que seja, pode ser expressa como a soma de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos
convenientemente”.Existem alguns requisitos para que essa afirmação seja absolutamente verdadeira. Massão tão
poucos e especializados que podem ser contornados na grande maioria das aplicações práticas.
Em resumo, qualquer funçãof(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma (série) de funções seno e cosseno
com a seguinte forma geral:
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 sen 1𝑥 + a 2 sen 2x + a 3 sen(3x) + ⋯ + b1 cos 1x + b2 cos 2x + …
De um modo mais compacto a série de Fourier pode ser expressa como:
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(1)
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∞
𝑓 𝑥 = 𝑎0 +
(2)
(a k sen kx + bk cos kx )
𝑘=1
As constantes ao, ak, bk, conhecidas, atualmente, como coeficientes de Fourier, são as amplitudes de cada uma das ondas
que compõem o somatório.
2. MÉDIAS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS
No final do século XVIII havia um grande desafio para os integrantes da Academia Francesa: encontrar uma maneira de
calcular os coeficientesa0,a1,a2, ...,b1,b2, etc, de cada termo da série representada na Eq. (1). E foi exatamente essa a
vitória de Fourier. Após trabalho incansável, obteve uma forma simples e elegante de calcular tais coeficientes, coisa
que escapara a gigantes como Euler e Bernouilli (José Maria Bassalo,2009). Para se compreender o método de cálculo
das referidas amplitudes basta que se recorra à definição de média de uma função periódica:
Suponha que se deseje calcular a área da região situada abaixo da curva que representa uma funçãoy= f(x)no trecho OA.
Se, neste trecho, a função f(x) for constante como na Fig. (3a), a área Sserá simplesmente o produto da base pela altura
do retângulo, isto é, S = A.Y.
a
b
Figura 3.a - Área da região situada sob uma função constante; b - Área da região situada sob uma função não
constante.
Porém, se no intervalo considerado a função não for constante, o cálculo não será tão simples e envolverá uma
integração no respectivo intervalo. Ou seja, em um caso como o representado na Fig. (3b) a área em questão será
determinada através da equação
𝐴
𝑆=
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
(3)
0
Uma vez determinado o valor S correspondente à área sob uma função em um determinado trecho, sempre será possível
se associar tal valor à área de um retângulo de mesma base, porém com altura <Y>, como indica a Fig. (4).
Figura 4. Associação entre o Valor Médio de uma função e a área sob a mesma.
Neste caso tem-se
𝑆=𝐴<𝑌>
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(4)
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Onde <Y> é denominado de Valor Médio da função f(x) no intervalo OA, isto é,
< 𝑌 >= 𝑆 𝐴
(5)
Porém, levando-se em consideração a Eq. (3)tem-se que:
<𝑌 >=
𝐴
𝑓
0
𝑥 𝑑𝑥
(6)
𝐴
Além disso, se no trecho considerado a função f(x) possuir valores positivos e negativos, como o indicado na Fig. (5a),
seu Valor Médio será dado por:
< 𝑌 >= 𝑆1 − 𝑆2 /𝐴
a
(7)
b
Figura 5. a - Gráfico de função que possui valores positivos e negativos no intervalo considerado; b - Valor
Médio de um período da função seno.
Assim sendo, no caso particular de uma senóide, seu Valor Médio em um período será nulo, pois as áreas S1 e S2 são
equivalentes, Fig. (5b). De modo análogo, também é nulo o Valor Médio de um período da função cosseno.
3. CALCULANDO OS COEFICIENTES DE FOURIER
Considere-se a seguinte função periódica y = f(x) expressa pela série de Fourier apresentada na Eq. (1), aqui repetida
por sua enorme relevância para o cálculo em questão.
𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 sen 1𝑥 + a 2 sen 2x + a 3 sen(3x) + ⋯ + b1 cos 1x + b2 cos 2x + ⋯
(1)
Supondo-se que se deseje calcular, por exemplo, o coeficiente a 3 basta que se siga o seguinte método proposto por
Fourier:
1 – Multiplicar ambos os lados da Eq. (1) pelo parâmetro que está junto de a 3 na série, isto é, multiplicar por sen(3x);
Obtendo a Eq. (8):
𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) = 𝑎0 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑎1 sen 1𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + a 2 sen 2x 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + a 3 sen2 (3x) + ⋯
(8)
2 – Aplicar o cálculo das médias a todas as parcelas da equação resultante, obtendo a Eq. (9):
< 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 > =< 𝑎0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 > +< 𝑎1 sen 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 > +< a 2 sen 2x 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 > +< a 3 sen2 3x > ⋯
(9)
Como todos os termos que possuem médias de senos ou de cossenos são nulos, e a parcela do valor médio do seno ao
quadrado vale ½ a equação se reduz a 𝑎3 = 2 < 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 >e, deste modo, determina-se o valor deste coeficiente.
Repetindo-se o processo para o cálculo dos outros coeficientes chegam-se às seguintes expressões genéricas:
𝑎0 =< 𝑓 𝑥 >
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(10)
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𝑎𝑛 = 2 < 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 >
(11)
𝑏𝑛 = 2 < 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 >
(12)
Com o advento da computação digital, muitas linguagens computacionais foram sendo continuamente aperfeiçoadas e
algumas delas tornaram-se ferramentas de cálculo tão poderosas que são referidas como softwares. Dentre os mais
empregados no ambiente acadêmico destacam-se o Mathematica, o Maple e o Matlab. A seguir serão mostrados alguns
comandos em Matlab que exemplificarão como a implementação da teoria de Fourier é viabilizada pelo processamento
digital.
4.
CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER DE UMA ONDA DENTE DE SERRA
Considere-se a função da Fig. (6):
Como tal função se repete de 2 em 2unidades, trata-se se uma função periódica de período 2 e, consequentemente,
pode ser expressa por uma série de Fourier. Observando-se seu gráfico facilmente percebe-se que a referida função
pode ser definida da seguinte maneira:
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
(13)
Figura 6. Gráfico de uma onda Dente de Serra periódica de período 2.
Partindo-se de sua definição poderão ser calculados os coeficientes de Fourier que compõem sua série. Mostrou-se na
Eq. (10) que o coeficiente a 0 é o valor médio da função, e que este, por sua vez, segundo a Eq. (5) é a área da função no
intervalo considerado (período) dividida pelo tamanho do intervalo. Assim sendo:
𝑎0 =< 𝑌 > =
á𝑟𝑒𝑎
4𝜋 2 2
=
=𝜋
2𝜋
2𝜋
(14)
Mostra-se na Tab. 1 a simplicidade do código em Matlabcapaz de esboçar o gráfico da função e de calcular o valor do
coeficiente a 0 :
Tabela 1. Código em Matlab gerador da Fig. (6)
x=0:0.01:2*pi; % Gera a variável x no intervalo [0 2] com incrementos de 1 centésimo
y=x;
% Gera a variável y
figure(1); plot(x,y,'-*'); % Esboça o gráfico da função
a0=mean(y)
% Calcula o coeficiente a0 através da média da função y
Lembrando que o coeficiente seguinte, a1, pode ser calculado pela Eq. (11), 𝑎1 = 2. < 𝑦. 𝑠𝑒𝑛 1𝑥 > , acrescentando-se
ao código anterior, Tab. (1), a linha a1=2*mean(y.*sin(x)), obtém-se o resultado a1 = −2/1 . Sucessivamente, podem
ser encontrados os demais coeficientes de Fourier, através dos comandos indicados na Tab. (2).
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Tabela 2. Comandos em Matlab para o cálculo de alguns Coeficientes de Fourier
a2=2*mean(y.*sin(2*x)) retorna o valor a 2 = −2/2
a3=2*mean(y.*sin(3*x))retorna o valor a 3 = −2/3
b1=2*mean(y.*cos(1*x))retorna o valor b1 = 0
b2=2*mean(y.*cos(1*x))retorna o valor b2 = 0
Levando à seguinte generalização: a N = −2/N; e bN = 0 .
Para se constatar que, de fato, está correto o cálculo dos coeficientes de Fourier relativos a onda dente de serra da
Fig. (6), somam-se, por exemplo, as quarenta primeiras parcelas da série e exibe-se a animação da evolução gráfica da
onda construída termo a termo, através do script em Matlabmostrado na Tab. (3).
Tabela 3. Código em Matlab que mostra em animação a síntese da onda dente de serra da Fig. (6)
x=0:0.01:2*pi;
soma=pi; % Inicia-se o somatório com o valor de ao
for N=1:39,
soma=soma -2/N*sin(N*x);
figure(1); plot(x,soma);grid
pause(1);
end
Adaptando-se a Eq. (2) para sinais que variem no tempo, pode-se escrever:
∞
𝑓(𝑡) = 𝑎0 +
(a n sen nw0 t + bn cos nw0 t )
(15)
.
𝑛=1
Onde w0 = 2/T é denominada de Frequência Fundamental em radiano por segundo. Relembrando-se que as funções
seno e cosseno diferem entre si apenas pela fase, a Eq. (15) pode também apresentar a seguinte forma:
∞
𝑓 𝑡 = 𝑎0 +
(16)
An cos nw0 t + φn
𝑛=1
Na qual An =
a n 2 + bn 2 ; e o ângulo de fase φ é dado por:φ = tan−1 (
bn
an
)
Cada componente An cos nw0 t + φn é chamada de n-ésima harmônica de f(t). Ela será uma harmônica ímpar de n for
ímpar, ou harmônica par se n for par. Um gráfico onde se marcam no eixo horizontal as frequências
𝑛𝑤0 dosharmônicos, e no eixo vertical os valores das amplitudes An é chamado de espectro de amplitudes da função f(t).
Como os índices n assumem somente valores inteiros o espectro não é uma curva contínua e sim surge como linhas
verticais (raias) associadas aos valores discretos 𝑛𝑤0 do eixo horizontal.
Após a compreensão de como se encontra a equação de um sinal periódico, surge naturalmente a pergunta: “Como
analisar os sinais de difração de raios-X, objeto deste trabalho, se os mesmos não são periódicos?” A resposta é
relativamente simples: quando não se pode empregar a série de funções trigonométricas, recorre-se à Integral de
Fourier.
5. A TRANSFORMADA DE FOURIER
A série de Fourier permite que se represente uma função periódica como a soma de senóides, e que se obtenha o
espectro da série. A transformada deFourier é definida de modo tal que se possa estender o conceito de espectro a
funções não-periódicas. A transformada considera que uma função não-periódicaé uma função periódica com período
infinito. Portanto, a transformada de Fourieré uma representação integral de uma função não-periódica, análoga
arepresentação em série de Fourier de uma função periódica.
A partir da identidade de Euler indicada a seguir
𝑒 𝑖𝑤𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
consegue-se escrever a função cosseno da seguinte maneira:
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(17)
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𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 =
𝑒 𝑖𝑤𝑡 + 𝑒 −𝑖𝑤𝑡
2
(18)
e, consequentemente, pode-se apresentar a versão complexa da série de Fourier partindo-se da Eq. (16):
∞
(19)
Cn 𝑒 𝑖𝑛 𝑤 0 𝑡
𝑓 𝑡 =
𝑛=−∞
Onde,
1
Cn =
T
𝑇/2
(20)
𝑓 𝑡 𝑒 −𝑖𝑛 𝑤 0 𝑡 𝑑𝑡
–𝑇/2
Lembrando que a frequência fundamental é:
w0 =
2
T
(21)
E o espaçamento entre as harmônicas adjacentes é:
∆𝑤 = (n + 1)w0 − nw0 = w0 =
2
T
(22)
Substituindo-se a Eq. (22) na Eq. (19) encontra-se:
1
𝑓 𝑡 =
2
∞
𝑇/2
(23)
𝑓 𝑡 .𝑒
−𝑖𝑛 𝑤 0 𝑡
𝑑𝑡 ∆𝑤𝑒
𝑖𝑛 𝑤 0 𝑡
𝑛=−∞ –𝑇/2
Fazendo-se o período T tender a infinito, o somatório se transformará em uma integração, o espaçamento incremental
∆𝑤se transformará em separação diferencial 𝑑𝑤 e a frequência harmônica 𝑛𝑤0 se transformará em frequência contínua
𝑤. Em resumo, para 𝑇 → ∞ tem-se:
∞
∞
→
𝑛=−∞
(24)
𝑑𝑡
−∞
∆𝑤 → 𝑑𝑤
(25)
𝑛𝑤0 → 𝑤
(26)
De tal forma que o termo entre colchetes se transformará em
∞
𝐹 𝑤 =
𝑓 𝑡 . 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 𝑑𝑡
−∞
Que é a expressão da Transformada de Fourier de Fourier de f(t).
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6. A TEORIA DE FOURIER APLICADA À ANÁLISE DE SINAIS DE DIFRAÇÃO DE RAIOS-X
Um difratograma típico, gerado a partir de um sinal captado em um difratômetro de raios-X, está apresentado
na Fig. (7):
Figura 7. Difratograma dos dados colhidos em um Difratômetro de Raios-X.
O gráfico da Fig. (7) é composto por 6651 pontos (pares ordenados). Para se analisar com detalhes as características do
primeiro pico situado à esquerda, seleciona-se um trecho inicial que o contenha, composto por exemplo, de apenas 65
pontos, mostrado na Fig. (8).
Figura 8. Ampliação do Pico da Esquerda do Difratograma apresentado na Fig.(7).
Para se tentar ajustar uma função ao respectivo gráfico deste primeiro pico pode-se recorrer aos coeficientes de Fourier
estudados nos itens 3 e 5. Como a curva que se deseja ajustar não é uma função periódica, seus coeficientes serão
calculados através da transformada de Fourier (e não através da série).
O script em Matlab apresentado na Tab. (4) lê o arquivo de dados que contém os pontos do difratograma (arquivo com
extensão TXT); calcula os coeficientes de Fourier relativos ao primeiro pico via comando FFT (“Fast Fourier
Transform”); ajusta uma função à curva correspondente ao pico em questão e exibe graficamente os resultados.
Quando um determinado material sofre deformações mecânicas, as tensões resultantes podem causar efeitos distintos
sobre o difratograma. Por exemplo, em comparação com um material bem recozido, o encruamento acarreta tanto o
alargamento dos picos de difração quanto o deslocamento dos seus pontos máximos (Padilha,2000).
Uma vez ajustada uma função ao pico em estudo pode-se quantificar sua largura.
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Tabela 4. Código em Matlab para análise do difratograma
dados=load ('aco_1050_0_0.x_y.txt');
graus=dados(:,1);
intensidade=dados(:,2);
figure(1);plot(graus,intensidade);grid
xlabel('doisTeta [grau]')
ylabel('Intensidade [unidades relativas] ')
title('Difratograma _aco_1050_0_0.x_y.txt')
pico1=intensidade(1100:1164);
angulo1=graus(1100:1164);
text(50,3700,'110')
text(75,1100,'200')
text(97,1400,'211')
text(119,400,'220')
text(158,450,'310')
pause(4)
figure(2);plot(angulo1,pico1);grid
xlabel('doisTeta [grau]')
ylabel('Intensidade [unidades relativas ')
title(' Pico 110 ("pico mais a esquerda")')
X=fft(pico1);
Cmodulo=abs(X);
Cfase=angle(X);
n=0:length(pico1)-1;
tamanho=length(n);
soma=0;
for I=1:length(n),
soma=soma+Cmodulo(I)*cos(2*pi*(I-1)*n/tamanho +
Cfase(I))/tamanho;
figure(3);plot(soma);grid
%pause(1)
end
figure(3);plot(angulo1,soma);
title('Ciclo sintetizado');grid
xlabel('doisTeta [grau]')
figure(4); plot(angulo1,pico1,'b',angulo1,soma,'r');grid
title('Pico original e sintetizado (observe-se a
superposição)')
legend('Pico original','Pico sintetizado')
xlabel('doisTeta [grau]')
Sabe-se também que a microdeformação e o tamanho da partícula estão intrinsecamente relacionados com a largura do
pico de difração. Para se caracterizar tal alargamento considera-se a medida da largura de um pico de difração no
pontoonde a intensidade cai pelametade de seu valor máximo. Esta medida é chamada de “fullwidthathalfmaximum”
(FWHM) ousimplesmente delargura a meia altura. Na prática a referida largura é dada pela diferença entre dois valores
extremos de uma variável independenteno qual ela, a função, atinge metade de seu valor máximo. Na Fig. (9) exibe-se o
pico de difração sintetizado (superposto ao original) e sua respectiva largura a meia altura (horizontal de cor preta).
Figura 9. Pico de Difração e sua Largura a Meia Altura.
Em 1918, P. Scherrer deduziu uma relação entre o tamanho do cristalito e a Largura a Meia Altura, apresentada pela Eq.
(28):
𝐿𝑀𝐴 2𝜃 =
𝐾𝜆
𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃
(28)
Onde L é o tamanho do cristalito; K é a constante de Scherrer (varia entre 0,62 e 2,08, dependendo do formato do
cristal);  é o comprimento de onda; θ é o ângulo de difração. Medindo-se (via código computacional) na Fig. (9),
encontrou-se o valor 0,28 p/ a LMA e 0,44 p/ beta. BetaRad=0.007; lambda=1.79; teta=26.3; 2teta=52.60; k=0.62;
L=161 angstrons; épsilon=0.0039;em geral L varia de 22 a 30 angstrons. Na figura 10 é apresentado um gráfico
mostrando um gráfico An versus L, mostrando os parâmetros da transformada de Fourier no caso do aço deformado
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(Daniel Louer and Nathalie Audebrand. 1999). A partir dos dados da transformada de Fourier é possível estimar a
densidade de discordâncias, segundo o método descrito em Campos et al 2008.
Figura 10.Coeficientes de Fourier An versus L. Esse gráfico é utilizado para estimar o tamanho da célula de
deformação (próximo a 300 Angstrons, no caso).
7.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao CNPq e à FAPERJ.
8
DIREITOS AUTORAIS
Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluídos no seu trabalho.
9
REFERÊNCIAS
Bassalo, J.M, 2009, Seara da Ciência. Disponível em:
<http://www.seara.ufc.br/tintim/matematica/fourier/fourier1.htm>. Acessoem: 21 jan. 2013
De Campos, M. F.,Sablik, M. J., Landgraf, F. J. G., Hirsch, T. K.,Machado, R.,Magnabosco, R., Gutierrez, C. J. and
Bandyopadhyay, A., 2008, “ Effect of Rolling on the Residual Stresses and Magnetic Properties of a 0.5% Si
Electrical Steel”. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, Vol. 320, pp. E377-E380.
Louër, D. and Audebrand, N.,1997, “Profile Fitting and Diffraction Line-Broadening Analysis”.Advances in XrayAnalysis,Vol. 41, pp.556-565. Disponível em:www.icdd.com/resources/axa/vol41/v41_62.pdf. Acesso em:20
fev.2013
Padilha, A.F. andSiciliano Jr, F., 1996. “Encruamento, Recristalização, Crescimento de grão e Textura”, Ed. ABM. São
Paulo, 2ª edição, 158 p.
Warren, B.E.,1990, “X-Ray Diffraction”, Ed. Dover Publications. New York, USA, p. 381.
FOURIER SERIES AND FOURIER TRANSFORM IN THE
CRYSTALLOGRAPHIC ANALYSIS BY X-RAY DIFFRACTION
Jose Flavio Feiteira1, [email protected]
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Depto de Engenharia Mecanica PUVR. Universidade Federal Fluminense. Av dos Trabalhadores 420, Vila Santa
Cecilia. 27255-125. Volta Redonda RJ.
Abstract: The Fourier analysis is essential for the interpretation of experimental data obtained by x-Ray diffraction.
Especially in the case of the deformation structure, the Fourier theory is useful. The signals acquired by X-Ray
diffractometers allow to estimate the size of the deformation cell and even the dislocation density in deformed metals.
This work intends to offer a detailed introduction, emphasizing the easy employment of the mentioned Fourier theory
for the experimental data. In the present study, it is given special attention for the use of digital computing in the data
analysis.
Keywors: Crystallography, Spectra, FourierTransform, X-ray diffraction,
The authors are the only responsible for the printed material included in this paper.
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