Disciplina: Métodos de Cálculo II – 24/06/2010 3a PROVA GABARITO
Curso: Projetos: Mecânica Semestre: 20 Prof.:Cláudio S. Sartori
Depto.: Ensino Geral
40 cópias
Questão 1 – (2.0 Pontos) Resolva as equações
diferenciais abaixo, usando a técnica da separação de (d)
variáveis:
(a)
dx
dt
t x2
1
dx
x2
1
x 2 dx
t 2 dt
2 1
x
2 1
t
1
1
2
1
x
C1
1
1
2
t 2 dt
2
t
3
2
1
x
t
a
x
C
3
x2 4 x
t2
dx
dt
2
x 4x t 2
1
x x 4
C1
3C1
dx
2
x 4x
b
x 4
b
dx
x 4x
1
ln x
4
x x 4
a
4a 1
t 2dt
a b x 4a
0 x 1
x x 4
14
14
dx
t 2dt
x 4
1
t21
ln x 4
C1
4
2 1
4
ln x ln x 4
4C1
t
4
4 C1
x
4
x
ln
4C1
e t
x 4
t
x 4
4
4
x
e t e 4C1
x k x 4 e t
x 4
k
x k e
4
t
4k e
1 k e
(c) dx
dt
e
t
4
t
x 4k e
e
4
t
e
4
t
4
t
4k
x
4
t
e
4
t
2
R
dI 1 dQ dE
dt C dt dt
dQ
; E cte)
dt
dI
I
1
dt
RC
I
t
1
dt
RC
0
dI
I
I (t )
dQ
dt
ln
dI
dt
1 dQ
0
RC dt
I
I0
t
RC
t
RC
I 0e
Equação da carga:
dQ
dt
E t RC
e
R
Q
t
t
E
e RC dt
R
dQ
Q 0
E
Q(t )
e
R
0
t
RC t
t 0
Q(t)=EC(1-e-t/RC)
(b) Um circuito RL simples consiste em
um resistor R e um indutor L ligados em série,
conforme ilustrado na figura ao lado, com uma
força eletromotriz constante V. Fechado o
interruptor em t = 0s, segue-se e uma das leis
de Kirchhoff para circuitos elétricos que,se t >
0, a corrente I satisfaz a equação diferencial:
L
dI
dt
R I V . Expresse I em função
de t.
e t dt
x
dQ 1
E
Q
dt R C
R
(I
I0
k
(1 x )
dx
1 x2
Q
E
C
a 14
14
x
2
Q
E
C
expresse I em função de t. Sabe-se que: I
RI
a b 0
x
Questão 2 – (2.0 Pontos)
(a) Resolva as equação diferencial de
primeira ordem:
que descreve um circuito elétrico que
consiste em uma força eletromotriz E ligada a
uma resistência elétrica R e capacitância C em
série. Se E é constante e I =I0 quando t=0,
3
3
2t t C
x
dx
dt
3
2
R I
t2 t t t
(b)
dy
cos x cossec y
dx
dy
cos xdx
senydy
cos xdx
cossec y
cos y senx C
y arc cos senx C
tg
arctgx
e
t
C
e
t
C
dI R
V
( R / L)dt
I
e
e( R / L)t
dt L
L
Multiplicando-se a equação pelo FI
1
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V ( R / L)t
Dt ( Ie( R / L)t )
e
L
e
( R / L)t
dt (b)
V
[1 e ( R / L)t ]
R
I (t )
dy
dx
q( x) I ( x)dx
d 2 y dy
8
20 y 0
dx2
dx
2
8x
I ( x)
y e
y
2
2
d y
dy
4
5 y 0
2
dx
dx
4
5 0
b2 4c
4x
2
x
2
4
x ]
2
B sen
y
C1 e
B sen 2 x ]
2
2B cos 2 x ]
0
0
0
[ A cos 2 0
A 1
4e [ A cos 2 0
40
B sen 2 0 ]
B sen 2 0 ]
1
40
e [ 2 A sen 2 0
28
28
2
2
1 e
40
0
2B cos 2 0 ]
0
2a
C1 e 1
[ A cos 2 x
1
4x
4
y
B sen 2 x ]
[ 2 A sen 2 x
y(0) 0
2 7
b
16
x ]
2
x ]
2
b2 4c
3 0
B sen
1
d 2x
dx
(b)
4
3 x 0
2
dt
dt
4
4x
4
y e 2 x[ A cos x B senx]
2
16
x
2
x ]
2
1
B sen
4
x
2
[ A cos
B sen
[ A cos 2 x
4e
4x
y(0) 1
bx
y e 2 [ A cos
y e
e
4x
16
x
2
y e 2 [ A cos
p ( x ) dx
I ( x) e
y(0) 1; y (0) 0.
b2 4c
20 0
y e 2 [ A cos
q( x)
Questão 3 – (2.0 Pontos) – Resolva as equações
diferenciais de segunda ordem:
(a)
8
bx
p( x) y
Observação:
y ( x)
V
L
Ie( R / L)t
40 cópias
x
C2 e
7 x
1
2
7
2
2
7
x
2
2
C2 e
y e [cos 2 x 2sen 2 x ]
Questão 5 – (2.0 Pontos) – Considere um
oscilador harmônico amortecido, com força de
amortecimento uma força dissipativa de atrito
proporcional à velocidade: cv cx .
Considere m = 10kg, k = 4000N/m e
cc
7 x
2 m
0
com
0
k
e
m
x0 = 0.1m; v0 = 0.2m/s
Questão 4 – (2.0 Pontos) – Resolva as equações
(a) Classifique o amortecimento
diferenciais de segunda ordem com as seguintes
encontre x(t) para c = 420 N.s/m.
condições de contorno:
(a)
d 2 x dx
3
4 x 0
dt 2
dt
2
3
x(0) 1; x(0) 2.
b2 4c
4 0
25
5
b
3
2a
x
25
2
1 t
C1 e
1t
2
C2 e
2
4t
x C1 e
C2 e
C1 et
4C2 e
x
1
4t
x(0) 1
C1 C2 1
x(0) 2
C1 4C2 2
C2
x
1
5
6 1t
e
5
C1
6
5
1
e
5
4t
t
1
4
Oscilação amortecidas
Freqüência angular20 rad/s
Massa do oscilador:
10 kg
Constante elástica da mola
4000 N/m
Velocidade inicial v0:
0,2 m/s
Posição inicial:
0,1 m
Constante de amortecimento crítica:
400 N.s/m
Constante de amortecimento:
420 N.s/m
Massa do oscilador:
10 kg
Classificação do amortecimento: superamortecido
Constante de amortecimento crítica: Cc = 400 N.s/m
Constante de amortecimento do sistema de
suspensão: C = 420 N.s/m
Parâmetros
L1 =-14,5968757625672 ; L2 = -27,4031242374328
Coeficientes: A =2,296E-1 ; B = -1,296E-1
e
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(b) Classifique o amortecimento e encontre x(t),
para c = 380 N.s/m
c
2m
1,2
Oscilação amortecidas
Freqüência angular20 rad/s
Massa do oscilador:
10 kg
Constante elástica da mola
4000 N/m
Velocidade inicial v0:
0,2 m/s
Posição inicial:
0,1 m
Constante de amortecimento crítica:
400 N.s/m
Constante de amortecimento:
380 N.s/m
Massa do oscilador:
10 kg
Classificação do amortecimento: subamortecido
Constante de amortecimento crítica: Cc = 400 N.s/m
Constante de amortecimento do sistema de suspensão: C =
380 N.s/m
Parâmetros
Fase =16,5614701038719 ° ; Amplitude xm =
0,350823207722812
Freqüência Angular natural w0 =20rad/s
Freqüência Angular w = 6,2449979983984 rad/s
Parâmetro T =1,00611486325392 s
A = 3,3627E-1 m
B = 1E-1 m
-c/2m = -19 Hz
d2y
dy
b
c y 0 , é:
2
dx
dx
y C1e 1x C2e 2 x
Dado: Solução geral de:
Aqui C1 e C2 são constantes.
Note que se 2+b. +c=0 então:
1o Caso: = b2 -4c > 0
y(x) A e 1 x B e 2 x
2o Caso: = b2 -4c = 0
Nesse caso temos:
y e
o
bx
2
( A B x)
2
3 Caso:
= b -4c < 0
bx
2
y e [ A cos
2
x
B sen
2
x ]
Suspensão: 2a Lei de Newton fica:

mx
cx kx
cc
d 2 x c dx k
x 0
dt 2 m dt m
k
0
m
2 m
0
1o Caso: c > cc - Superamortecimento
x(t )
x0
2
2

v0
1
Parâmetros:
e 1t
v0
x0
2
1
1
e
2
t
c
2m
2
2
0
2o Caso: c = cc - Amortecimento crítico
x(t ) ( x0
v0
0
x0 t )e
c
t
2m
o
3 Caso: c < cc - Subamortecimento
c
t
2m
x(t ) xm e

sen(
t
)
Parâmetros:
2 m
x0
2 m v0 c x0
tg
2 m v0 c x0
2 m
2
0
xm
x
0
1
c
cc


2
2
3
2