SEMI-EXTENSIVO
Caderno 2
MATEMÁTICA C
Números Complexos
x 40
2
x  4
x   4
2
x   4  1
x   4  1
x  2i
No conjunto dos números
Reais não tem solução
Imaginários
1  i
Números Complexos
R
N
Z
C
Q
I
Números Complexos
Forma algébrica
z  a, b  a  bi  z  a  bi a, b  R
a  parte real
b  parte im aginária
a  0 e b  0  imaginário puro z  2i 
b  0  real puro z  2
Números Complexos
Potências de i
i 1
1
i i
2
2
i   1  1
3
2
i  i  i  1 i  i
0


Para expoentes maior ou igual a 4,
dividimos o expoente por 4 e
utilizamos o resto da divisão.
i ?
39
39 4
3 9
i i
39
i  i
39
3
Números Complexos
Igualdade de números complexos
z  a  bi
w  c  di
z w
ac e b  d
Números Complexos
Conjugado de um número complexo
z  a  bi
z  4  3i
z  a  bi

z  4  3i
Oposto de um número complexo
z  a  bi
 z   a  bi
z  4  3i
  z  4  3i
Números Complexos
Simétrico de um número complexo
z  a  bi
sz  a  bi
z  4  3i
 sz  4  3i
Módulo de um número complexo
z  a b
2
2
 z 
z  z  a b
2
2
2
Norma de um número
complexo.
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Adição
z  a  bi
+
w  c  di
z  w  a  bi  c  di
z  w  a  c  b  d i
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Adição
z  2  4i
+
w  3  8i
z  w  2  4i    3  8i 
z  w  1 4i
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Propriedades da Soma
Comutativa
z  w  w z
z  w  t  z  w  t 
z 0  0 z  z
Associativa
Elemento neutro
zw zw
z   z   0
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Subtração
z  2  4i
–
w  3  8i
z  w  z   w
z   w  5  12i
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Multiplicação
z  2  4i

w  3  8i
z  w  2  4i   3  8i 
z  w  6  16i  12i  32i
z  w  26  28i
2
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Propriedades da multiplicação
Comutativa
z  w  w z
z  w t  z  w  t 
z  w  t   z  w  z  t
z 1  1  z  z
Associativa
Distributiva
Elemento neutro
zw  zw
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Observação.:
z  z  a  bi a  bi
z  z  a   bi 
2
2
2 2
i  1
z z  a b i
2
2
zz  a b
2
2
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Divisão
z  2  4i
z z w
 
w w w
÷
w  3  8i
z
2  4i  3  8i


w  3  8i  3  8i
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Divisão
z  2  4i
z z w
 
w w w
÷
w  3  8i

z
2  4i    3  8i 

w  3  8i    3  8i 
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Divisão
z  2  4i
z z w
 
w w w
÷
w  3  8i
z  6  16i  12i  32i

2
w 9  24i  24i  64i
2
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Divisão
z  2  4i
z z w
 
w w w
÷
w  3  8i
z  38  4i

w
73
Números Complexos
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Divisão
z  2  4i
z z w
 
w w w
÷
w  3  8i
z
38 4i
 
w
73 73
03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
x  y  16
x  y  70
16  y  y  70
x  16  y
 y 2  16y  70
2
y 16y  70  0
  16  4  1 70
  256  280
2
  24
03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
x  y  16
x  y  70
x  16  y
16  y  y  70
2
y  16 y  70  0
  16   24
y
2  1
16   24
y
2
16  2  6  i
y
2
y  8  6 i
03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
x  y  16
x  y  70
16  y  y  70
x  16  y
y  8  6 i
y1  8  6  i
x1  16  8  6  i
x1  8  6  i
8  6 i
e
8  6 i
y2  8  6  i
x2  16  8  6  i
x2  8  6  i
04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (y2 – 16)·i
seja:
a) real;


z  x  6  y 16  i
0
2
y 16  0
y   16
y  16
2
2
y  4
y  4
04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (y2 – 16)·i
seja:
a) Imaginário puro.


z  x  6  y 16  i
0
0
2
y 16  0
x60
2
y  16
x  6
x  6
x  6 y   16
ou
y  4
y  4
y4
2
08) Se
x5
 3x  y   i  6,  2 yi calcule x e y.
y2
x5
 3x  y   i  6  2 yi
y2
x5
6
y2
x  5  6 y  12
x  6 y  12  5
x  6 y  17
3x  y  2 y
3x  y  0
3  6 y 17  y  0
18y  51 y  0
17 y  51
x  6  3  17
x 1
y 3
09) Assinale a alternativa correta.
a) i  i  n  m
n
b) i  i
m
42
FALSO
FALSO
i 0  i 4  ...  1
i1  i 5  ...  i
i 2  i 6  ...  1
i 3  i 7  ...  i
128
42 4
2 10
128 4
0 32
i2  i
i  1
i 0 i
i 1
42
128
2
i i
42
128
0
09) Assinale a alternativa correta.
c) i  i  n  m é múltiplode 4.
n
m
VERDADEIRO
n
m
i
i
 m
m
i
i
in
1
m
i
i nm  1
i 0  i 4  i8  i12  i16  i 20  i 24  ...  1
09) Assinale a alternativa correta.
d) i  i
9
e) i  1
19
2
FALSO
FALSO
9
1
i  1
4
2
19 4
3 4
i1  i
i i
i3  i
i  i
9
19
1
i i
9
19
2
3
15) O número complexo z = a + bi, {a,b}  R, tem módulo 10.
sabemos que a + b = 14. Calcule z.
z  10
z  a b
a  b  14
a  14  b
14  b
2
2
a 2  b2  10
2
2
a  b  100
2
 b  100
196 28b  b 2  b 2  100
2b2  28b  96  0  2
2
b  14b  48  0
b1  6; b2  8
2
b1  6
b2  8
a1  14  6 a2  14  8
a1  8
a2  6
z1  8  6i
z2  6  8i
31) (UFSC) Se
z  a2  b
2

10  i   i 3  i 50
z
, determine
2
1  i 
2

10  i    i   i
z
1  2i  i 2
 10i  i 2  i 2
z
1  2i  1
2
 10i  2i
z
 2i
2
 10i  2
z
 2i
 10i  2 2i
z

 2i
2i
 20i 2  4i
z
 4i 2
z
2
20  4i
z
4
z  5i
z  25  1
2
z  26
2
35) (UFSC) Dada a expressão
2 z  z  2 zi  z
um número complexo, determine
z  a b
2
2
z
sendo z
2
2
2a  bi  a  bi  2ia  bi  a  bi
2a  2bi  a  bi  2ai  2bi2  a  bi
3a  bi  2ai  2b  a  bi
3a  bi  a  2b  2a  b i
3a  a  2b
b  2a  b
35) (UFSC) Dada a expressão
2 z  z  2 zi  z
um número complexo, determine
z  a b
2
2
2
4a  2b  0
+
2a  2b  0
6a  //  0
a0
z
sendo z
2
3a  a  2b
b  2a  b
2b  0
b0
z  a b
2
2
z 0
2
2
Números Complexos
Forma Polar ou Trigonométrica
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Im (Imaginário)
(a, b) = a + bi
b
a
R (Real)
Números Complexos
Forma Polar ou Trigonométrica
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Im (Imaginário)
z  3 2i
2
afixo
3
R (Real)
Números Complexos
Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Im (Imaginário)
z 
(a, b)
b
z
0
a
R (Real)
Números Complexos
Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Im (Imaginário)
z 
(a, b)
b
z
0
a
R (Real)
Números Complexos
Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)

Im (Imaginário)
z 
(a, b)
b
a
z
0
b
Pitágoras
  a b
2
a
R (Real)
2
2
  a b
2
2
Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)

Im

a
P(a, b)
b


0
b
Trignometria
a
sen 
Re
b

cos  
a

Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandGauss o número complexo
z   3 i


Im
3 ,1
2  3
1
1
0
1
Re
Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandGauss o número complexo
z   3 i


Im
3 ,1
1

2  3
1

 3   1
2
2
   3 1    2
0
1
Re
Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandGauss o número complexo
z   3 i


3 ,1

2  3
1
  2 sen 
1
2
 3

cos  
2
Im
1
0
1
Re
Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandGauss o número complexo
z   3 i
1
sen 
2
 3
cos  
2
Seno
+
–
–
–
+
+
–
+
Seno
F
Cos
180º
Cos
Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de ArgandGauss o número complexo
z   3 i
1
sen 
2
 3
cos  
2
Seno
F
180º
Cos
180º  30º
  180º30º
  150º
Números Complexos
Forma Polar ou Trigonométrica
cos  
a
z  a  bi

a    cos 
sen 

b    sen
z    cos     i  sen
z    cos  i  sen 
Módulo de z
b
37) (UFSC) Sendo

oargumento principal do número


complexo  2  i  , então
2 o valor de , em graus, é
5
a
b
2
2
cos 
sen 
  a b


  22  4
2
 2
sen 
cos 
 2
2
2
180º  45º
 135º



 27 º
  180º45º
5
5
5
  135º
49) (Vunesp) Considerando o número complexo
3 1

  i , em que i   1 , encontre o número
2 2
complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do

argumento de .
  a b
2
2
3 1

  1
4 4
 1
cos 
a

3
cos  
2
   30º
sen 
b

1
sen   
2
 v  3  
 v  90º
49) (Vunesp) Considerando o número complexo
3 1

  i , em que i   1 , encontre o número
2 2
complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do

argumento de .
 v  90º
v    cos   i  sen 
v  2  cos 90º i  sen90º 
v  2  0  i 1
v  2i
Números Complexos
Operações com números complexos na forma trigonométrica
Multiplicação
z1  z2  1  2  cos1  2   i  sen1  2 
Divisão
z1 1

 cos1   2   i  sen1   2 
z2  2
Potenciação
z    cosn    i  senn  
n
n
58) (UCMG) O produto dos três números complexos:
z1  2  cos40º i  sen40º 
z2  3  cos135º i  sen135º 
z3  1 cos125ºi  sen125º  é:
z1  z2  z3  1  2  3  cos1   2  3   i  sen1   2  3 
z1  z2  z3  2  3 1 cos40º 135º 125º   i  sen40º 135º 125º 
z1  z2  z3  6  cos 300º i  sen300º 
z1  z2  z3  6  cos 60º i  sen60º 
1
3
z1  z 2  z3  6    i  
2 
2
58) (UCMG) O produto dos três números complexos:
z1  2  cos40º i  sen40º 
z2  3  cos135º i  sen135º 
z3  1 cos125ºi  sen125º  é:
1
3
z1  z 2  z3  6    i  
2 
2
6 6i 3
z1  z 2  z3  
2
2
z1  z2  z3  3  3 3  i
B
61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento 
n  ,Z
*
então

1
z  n é:
z
n
z    cosn   isen n   z  1  cosn   isen n 
n
n
n
n
z n  cosn   i  senn 
1
1
cosn    i  senn  


n
z
cosn    i  senn   cosn    i  senn  
1
cosn    i  senn  

2
2
n
z
cosn    i  senn  
61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento 
n  ,Z
*
então

1
z  n é:
z
n
1
cosn    i  senn  

n
z
cosn  2  i  senn  2
1
cosn    i  senn  
cosn    i  senn  


n
2
2
2
z
cos n    i  sen n   cos 2 n    sen 2 n  
1 cosn    i  senn  

 cosn    i  senn  
n
z
1
61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento 
n  ,Z
*
então

z  cosn    i  senn  
n
1
z  n é:
z
n
1
e
 cosn    i  senn  
n
z
1
z  n  cos n     i  sen n    cos n     i  sen n   
z
1
n
z  n  2  cos n   
z
n
B
61) (Acafe) Dado
é:
z 
6



6
,
o
valor
de
z  2   cos  i  sen
z

6
6

 
  
  
2  cos 6    i  sen 6  
 6 
  6
6
z 6  64  cos   i  sen 
z 6  8   1  0
z 6  8
A