EXERCÍCIO DE RECAPITULAÇÃO
1. Integre as seguintes funções:
6
a) ∫(8. x 3 + 6. cos 𝑥 − 𝑥4 + 5) dx
b) ∫[x 2 . cos(𝑥 3 + 1)] dx
c) ∫ e2𝑥 dx
INTEGRAÇÃO POR PARTES
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

Exemplos:
a) ∫ 𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥
b) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥
c) ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
Para fazer a integração por partes, devemos denominar dois termos: uma que será a função u e
que sabemos derivar e outra que sabemos integrar que chamaremos de dv.
a) Primeiro identificamos o u(x) e o dv. Depois derivamos o primeiro e integramos o
segundo (sem a inclusão da constante).
𝑢(𝑥) = x
𝑑𝑢 = 1dx
𝑑𝑣 = cos(𝑥)𝑑𝑥
𝑣 = ∫ cos(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Aplicando a fórmula:
𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)1 𝑑𝑥
𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − [− cos(𝑥)] + 𝐶
𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) + 𝐶
Ou seja:
∫ 𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) + 𝐶
b) Primeiro identificamos o u(x) e o dv. A única função, neste caso, é o ln(x). Para aplicar o
método consideremos que o 1 será a outra função.
𝑢(𝑥) = ln(x)
1
𝑑𝑢 = dx
𝑥
𝑑𝑣 = 1 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 1 𝑑𝑥 = 𝑥
Aplicando a fórmula:
𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
ln(𝑥). 𝑥 − ∫ 𝑥
1
dx
𝑥
x. ln(𝑥) − ∫ 1 dx
x. ln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶
Ou seja:
∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = x. ln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶
c) Primeiro identificamos o u(x) e o dv. Nesse método, não existem regras para determinar
u(x) ou dv. Poré, embora tenha que ser integrada, normalmente a função dv é mais
complexa que a função u(x).
𝑑𝑣 = e2𝑥 𝑑𝑥
𝑢(𝑥) = x
𝑑𝑢 = 1dx
𝑣 = ∫ e2𝑥 𝑑𝑥
Repare que para obter a integral de dv, precisamos aplicar o método da substituição:
𝑓(𝑔) = e𝑔
𝑑𝑓
= e𝑔
𝑑𝑔
𝑔 = 2𝑥
𝑑𝑔
=2
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ e2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ e𝑔
𝑑𝑔 e𝑔 e2𝑥
=
=
2
2
2
Agora podemos aplicar o método da integração por partes:
𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑒 2𝑥
e2𝑥
−∫
1 𝑑𝑥
2
2
𝑒 2𝑥 1
𝑥.
− ∫ e2𝑥 𝑑𝑥
2
2
𝑒 2𝑥 1 e2𝑥
𝑥.
−
+𝐶
2
2 2
2𝑥
2𝑥
𝑒
e
𝑥.
−
+𝐶
2
4
𝑥.
Simplificando a equação:
𝑒 2𝑥
1
(𝑥 − ) + 𝐶
2
2
∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) + 𝐶
EXERCÍCIOS
2. Aplicando o método da integração por partes, resolva as seguintes integrais:
a) ∫ 𝑥𝑒 4𝑥 𝑑𝑥
b) ∫ 𝑥 sen(𝑥) 𝑑𝑥
c) ∫ 𝑥 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
3. Por vezes, a integração por partes deve ser aplicada mais de uma vez para que se
obtenha uma solução. Sabendo disso, resolva as seguintes integrais.
a) ∫ 𝑥 2 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥
b) ∫(𝑥 2 + 𝑥). sen(𝑥) 𝑑𝑥
4. Um corpo de massa m oscila em um sistema massa-mola conforme indicado na figura
abaixo:
Nessas circunstâncias, a aceleração do corpo de massa m é dada por:
𝑎=−
𝑘
𝑘
. 𝐴. cos (√ 𝑡)
𝑚
𝑚
onde A é a amplitude de oscilação.
Um determinado corpo de massa 𝑚 = 0,1 𝑘𝑔 está preso a uma mola de 𝑘 = 0,1 𝑁/𝑚. Devido à
ação de uma força dissipativa, a sua amplitude varia com o tempo de acordo com a relação:
𝐴 = 20 −
𝑡
10
Nessas condições, determine a equação da velocidade (v) e da posição (S) desse corpo em função
do tempo.