Linhas de Transmissão em Alta Frequência
 Estudo de ondas electromagnéticas guiadas por linhas de transmissão.
 Propagação de Modos TEM
 Padrão de Onda Estacionária
 Parâmetros da Onda Estacionária
 Carta de Smith
 Adaptação de Impedâncias
Linha de transmissão que propagam Modos TEM
Estruturas que suportam ondas TEM:
Linha de planos paralelos
Linha Bifilar
Cabo coaxial
Modos TEM
Hz  0
Ez  0
k z  k1
Linha de Planos Paralelos
Em microondas a linha de planos paralelos é fabricada de
forma simples e barata usando técnicas de circuito impresso
num substracto dielétrico (“striplines”).
Metal
diel.
diel.
Metal
Metal
Linha bifilar e Cabo coaxial
Linha bifilar
Linhas telefónicas em areas rurais; Linhas de potência
Linhas da antena TV no telhado para o receptor
Cabo coaxial
Cabos de telefone e TV e cabos de entrada de instrumentos de
medida de alta precisão.
Vantagem: confinam os campos E, H no dielétrico evitando
interferências.
Estas estruturas propagam também modos TE e TM, quando a distância
eléctrica entre os condutores aumenta, o que acontece para frequências
elevadas.
Teoria dos Circuitos
 As eqs. gerais das linhas de transmissão podem ser
formuladas com base num modelo de circuitos em termos
de uma resistência, inductância, condutância e capacitância
por unidade de comprimento da linha, isto é de parâmetros
distribuídos ao longo da linha.
 O estudo das propriedades das linhas em regimes
harmónicos
fica
muito
facilitada
utilizando
métodos
gráficos, que evitam o recurso a cálculos repetidos com
números complexos. A carta mais conhecida é a carta de
Smith.
LT - Descrição em termos de parâmetros distribuidos
Pode-se definir unicamente tensão e corrente, V e I.
As LT podem ser descritas em termos de parâmetros distribuídos.
Cada troço elementar de linha Δz é modelado por parâmetros R, L, G e C
definidos por unidade de comprimento:
R – resist em série dos condutores [Ω/m]
L – indutância em série dos condutores [H/m]
G – condutância em paralelo [S/m]
C – capacidade em paralelo [F/m]
L – A indutância em série representa a indutância própria dos 2 condutores.
C – A capacidade em paralelo é devida à proximidade dos dois condutores.
R – A resistência em série representa a resistência devida á condutividade
finita dos condutores.
G – É devida ás perdas dieléctricas no material entre condutores.
R e G – traduzem as perdas
Campos electromagnéticos versus Teoria dos Circuitos
a) Dieléctrico com perdas
G – dieléctrico não perfeito σd ≠ 0
b) Condutor com perdas => aparecimento de uma componente E z , deixa
de ser um modo TEM.
c) R = Ri – resistência interna dos condutores
Li, Ci ≈ 0

normalmente desprezam-se
A teoria das linhas de transmissão estabelece a ponte entre a análise dos
campos electromagnéticos e a teoria dos circuitos.
Teoria de Circuitos em Alta Frequência
•
Os fenómenos de propagação de ondas em linhas de transmissão
podem ser abordados como uma extensão da teoria dos circuitos ou
como uma especialização das equações de Maxwell.
•
A diferença fundamental entre a teoria dos circuitos e a teoria da
linha de transmissão é o comprimento eléctrico. Nos circuitos as
dimensões físicas são muito menores que o comprimento de onda,
enquanto que nas linhas de transmissão são uma fracção
considerável do comprimento de onda.
•
A linha de transmissão é vista como um circuito de parâmetros
distribuídos, em que a tensão e a corrente variam em amplitude e
fase ao longo da linha
Parâmetros da LT
C  C e  Ci
Ce 
Q
V
2
  Hdl
Le  1
I
We 
1
Ce V 2
2
Wm 
1
LeI2
2
Exterior ao condutor perfeito
Auto indução exterior ao condutor perfeito
Energia eléctrica
Energia magnética
L e C e  
C  Ce
G  Ge
L  L e  Li
C  C e  Ci
Eqs. Canónicas das LT
 V ( z, t )
I


R
I
(
z
,
t
)

L
( z, t )


z

t


  I( z, t )
V ( z, t )


G
V
(
z
,
t
)

C

z
t

 d V(z)
 R I ( z )  j L I ( z )

dz


 d I( z )
 G V ( z )  j C V ( z )

dz








dV
 R I  j L I  R  jL I
dz
dI
 R V  j c V  G  jc V
dz
Eqs de Tensão e de Corrente
As eqs. resolvem-se em ordem a V e I :
d2 V

 2 V  0
 dz 2

( I) 
2
 d I  2 I  0
 2
 dz

em que

R  jL G  jc     j 
jk z
Linhas com fracas perdas
a) Condutores perfeitos (σ = ∞)
R=0
Modos TEM → kz= k0
b) Materiais de boa qualidade (situação real)
Bons dieléctricos e bons condutores e/ou alta frequência
ω L >> R
ω c >> G
Solução geral das eqs (I):

V(z)  a e  z  a e z
1
2


a1  z a 2 z

I
(
z
)

e
e

Z
Z
0
0

Onda incidente
Onda reflectida
Ondas incidente e reflectida de V e I

V (z)  a e  z  a e z
2
1


a1  z a 2  z

e
e

)
z
(
I

Z0
Z0

em z  l
V (z  1)  V 2 e I( z  1)  I 2
V( z  1)  V 2  a1 l  a 2e  l
 Vi 2  V r 2


a1  Vi 2 e l

 l

a 2  V r 2 e
Onda estacionária na LT


 (l  z )
 ( l  z )
V
(
z
)

V

V
i2 e
r2 e




 I ( z )  V i 2 e  ( l  z )  V r 2 e  ( l  z )

Z0
Z0

V i 2  V r 2  V 2



V i 2  V r 2  V 2
V i 2 V r 2
V2



Z0
Z0
 Z0



V i 2  V r 2  I 2

Z0
 Z0
V i2 
V 2  Z0 I 2
2
Factor de Reflexão na Carga Ks
V r2
V 2  Z0 I 2 V 2  Z0 I 2
V 2  

2
2
V 2



 I 2  Zs 


V 2  Z0 I 2
Zs  Zs
V r2
j
 ks  k e 

Zs  Z0
V i2
V 2  Z0 I 2
Envelope da Onda Estacionária

V( y)  Vi 2  e y  k s e  y 





Vi 2  y
 y 
 e  ks e

I ( y ) 


Z
0

V ( y)
  ey e jy  k e je ye  jy   ey e  jy  k e je y e  jy 



Vi2
V ( y)
 e 2y  k 2e  2y  2k cos2y  
Vi2
I( y )
 e 2y  k 2e  2y  2k cos2y  
Ii 2
A tensão e a corrente na linha consistem na sobreposição da onda incidente e da onda reflectida.
Tais ondas designam-se por ondas estacionárias. Apenas quando Zs = Z0 não há onda reflectida
(ks = 0).
V(y) e I (y) em Linhas sem perdas
V ( y)

Vi 2
I( y )

Ii 2
1  2 k cos2  y     k 2
1  2 k cos2  y     k 2
a) A tensão é máxima quando:
2 y
máx 2m
V ( y)
 1 k
Vi 2


m
4
2
V ( y)
 1 k
Vi2
y máx 
Primeiro máximo de tensão:
y 

4
Nos planos em que a tensão é máxima a corrente é mínima.
V(y) e I (y) em Linhas sem perdas
b) A tensão é mínima quando:
  2 m 1
min
  

y min 
 m
4 
4
2
c) Factor de onda estacionária
Vmáx
I
1 k
 máx 
p
Vmin
I min
1 k
2 y
Quando a linha está adaptada p = 1.
Quando
a
linha
está
terminada por uma reactância pura: um curto circuito ou um
vazio: k = 1 e p = ∞
Impedância nos planos de máximo e de mínimo
a) Plano de máximo ymáx de tensão
Z ymáx 
Vmáx
Z
1 k
 Z0
 0  Rm
I min
1 k
p
b) Plano de mínimo ymin de tensão
Z j min 
Z
Vmin
1 k
 Z0
 0  Rm
I máx
1 k
p
Nos planos de Vmáx ou Vmin (Imin ou Imáx) a impedância da linha é óhmica
pura.
Linhas com perdas
V ( y)
Vi 2
I( y)
Ii 2
2
2
 e 2y  k 2e  2y  2k cos2y  
 e 2y  k 2e  2y  2k cos2y  
Linhas com perdas
Quando cos (2βy - Ө) ═ 1 tem-se:
V ( y)
Vi2
2
 e 2 y  k 2 e  2 y  2 k
V ( y)
 e y  k e  y
Vi 2
Quando cos (2βy - Ө) ═ -1
Vy
 e y  k e  y
Vi 2
Quando há perdas os pontos de estacionaridade das funções
deixam de coincidir com os de cos (2βy - Ө).
Quando há fracas perdas α << 1 os pontos estão próximos.
Iy
V ( y)
e
Vi 2
Ii 2
Impedância ao longo da linha sem perdas
V( y l )
Z( y l ) 

I ( y l )
j  y  k e  j y 
V ( y)  V i 2 
e

s


A impedância da linha (cociente
entre a tensão e a corrente) varia
ao longo da linha.
À distância y = l da carga tem-se:
I ( y) 
V i 2  j y
 k s e  j y 
e


Z0 
1  k s e  j2 l
Z( y l )  Z0
1  k s e  j2 l
ks 
Zs  Z0
Zs  Z0
Z( y l )  Z0
Zs  j Z0 t g l
Z0  j ZS t g l
Linhas sem perdas

R =0, G = 0
R  jLG  jC
Z
R  jL
G  jC
a) Constante de propagação:
  0
    j  j LC 
   LC
(função linear de ω)
b) Velocidade de fase
vf 

1


LC
(constante)
c) Impedância característica
Z 0  R0  j X 0 
L
(constante)
C
e X0  0
Linha com fracas perdas
R << ωL
(relações fácilmente verificadas em altas frequências)
G << ωC
a) Constante de propagação
    j  j LC
1
R
G
1
jL
j C

R 
G 
1 

 j LC1 
2
j

L
2
j

C




1  R G 
1
R
L


 j LC 1 


j

LC

R

G



2 j  L C  
2
L
C 


1
C
L
R
 e    LC (função aproximada linear com ω)

G

2
L
C 
LT com fracas perdas
a) Velocidade de fase
vf 



1
LC
(Aproximadamente constante)
c) Impedância característica Z 0  R0  j X 0 
L
C
1
R
1
jL 1  G
jC

L
R 
G 
1 
1 

C
2 jL 
2 jC 

L
C

1  R G 
1

 2 j  L  C  



R
L
L 1 R G
e X0  
  0
C
C 2  L C 
Z
R  jL
G  jC