Conceitos Fundamentais – Aula 2
1S0809 CF 240908
Equações de Onda (espaço livre)
Meio homogéneo, isótropo e sem fontes
   0, J  0ou espaço livre.
~
H 
D
~
E 
~
~
t
B
~
t
.D 0
~
.B 0
~

2 E   
2 E
~
t
~
2
0
Equações de onda
 H
2
 H 
2
~
t
~
2
0
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Equações de Maxwell (notação complexa)
_

_
_
 H  J + jw D

~
~
~


_
 _



w
j
 E
B
~
 ~



_
 .  
 D
~



_
 . B  0
 ~
Equação de Helmoltz
Eq. de onda
(Meio sem perdas)
_
_
~
~
2 E + w 2   E  0
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Propagação de Ondas num Meio sem Perdas
Seja
E z, t 
~
2
_
E
_
~   w 2 
E
2
z
~
em que
k  w  
w
c
jkz

E x  C1 e
+ C2 e + jkz
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Formalismo da onda plana e uniforme em espaço livre

^

~
~
~
E   Z0 k x H


1 ^
H
k xE
~
Z0 ~ ~
^

^

~
~
~
~
k .E  k .H 0
^
k
• Trata-se de uma estrutura TEM (campos ortogonais à direcção de propagação
~
• Os vectores
^
E , H e k formam um triedro ortogonal directo.
~
~
~
• A onda satisfaz à equação de dispersão
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k 
2
w2
c
2
0
)
Equações de Onda em Meios com Perdas
J   E:
Num meio com perdas a condutividade é finita:
~

   H   E + jw E
~
~
~
t
___
___
~
___
___
__
~
~
     E   jw H
___
___
___
___
~
~
~
~
. E   2 E   jw E + w 2  E
Bom condutor ρ = 0 (só existe carga superficial) e tem-se:
___
___
~
~
 E  jw  + jw  E  0
2
Define-se

. E  0
~
 2  jw  + jw 
  + j 
Constante de propagação complexa
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Equações de Onda em Meios com Perdas
J   E:
Num meio com perdas a condutividade é finita:
~

   H   E + jw E
~
~
~
t
___
___
~
___
___
__
~
~
     E   jw H
___
___
___
___
~
~
~
~
. E   2 E   jw E + w 2  E
Bom condutor ρ = 0 (só existe carga superficial) e tem-se:
___
___
~
~
 E  jw  + jw  E  0
2
Define-se

. E  0
~
 2  jw  + jw 
  + j 
Constante de propagação complexa
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Onda plana e uniforme a propagar-se segundo
^
z:
~
2 E
z
~
2
 2 E
~
Solução:
Ez   E e  z  E 0 e z e  jz
~
~0
Ez, t   e z E 0 cos wt   z + 
~
Equação de dispersão
k . k + jw  + jw  0
~
~
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Equações de Onda em Meios com Perdas
J   E:
~
~
___
___
___

   H   E + jw  E
~
~
~
t
Num meio com perdas a
___
     E   jw H
condutividade é finita
~
___
___
~
___
___
. E   E   jw E + w   E
2
~
Num bom condutor ρ = 0
~
~
___
___
~
~
 2 E  jw  + jw  E  0
(só existe carga superficial)
 2  jw  + jw 
 - constante de propagação complexa
  + j 
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2
~
Equação de dispersão
Onda plana e uniforme a propagar-se segundo
2 E
~   2E
~
z 2
E  z   E e z  E 0 e  z e  j  z
~
~0
E  z , t   e z E 0 cos wt   z +  
~
k . k + jw  + jw   0
~~
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