Linhas de transmissão
Linhas de transmissão
• As LT podem ser descritas em termos de parâmetros distribuídos. Cada troço elementar de
linha Δz é modelado por parâmetros R, L, G e C definidos por unidade de comprimento:
R – resistência em série dos condutores [Ω/m]
L – indutância em série dos condutores [H/m]
G – condutância em paralelo [S/m]
C – capacidade em paralelo [F/m]
L – A indutância em série representa a indutância própria dos 2 condutores.
C – A capacidade em paralelo é devida à proximidade dos dois condutores.
R – A resistência em série representa a resistência devida á condutividade finita dos condutores.
G – Contabiliza as perdas dieléctricas no material entre condutores.
R e G – Traduzem perdas
a) Dieléctrico com perdas
G – dieléctrico com perdas σd ≠ 0
b) Condutor com perdas => aparecimento de uma componente E z , deixa de ser um
modo TEM.
c) R = Ri – resistência interna dos condutores
Li , C i ≈ 0
normalmente desprezam-se
•
A teoria das linhas de transmissão estabelece a ponte entre a análise dos campos
electromagnéticos e a teoria dos circuitos.
•
Os fenómenos de propagação de ondas em linhas de transmissão podem ser abordados
como uma extensão da teoria dos circuitos ou como uma especialização das equações de
Maxwell.
•
A diferença fundamental entre a teoria dos circuitos e a teoria da linha de transmissão é o
comprimento eléctrico. Nos circuitos as dimensões físicas são muito menores que o
comprimento de onda, enquanto que nas linhas de transmissão são uma fracção
considerável do comprimento de onda.
•
A linha de transmissão é vista como um circuito de parâmetros distribuídos, em que a
tensão e a corrente variam em amplitude e fase ao longo da linha
C  C e  Ci
Ce 
Q
V
2
  Hdl
Le  1
I
We 
1
Ce V 2
2
Wm 
1
LeI2
2
Exterior ao condutor perfeito
Auto indução exterior ao condutor perfeito
Energia eléctrica
Energia magnética
L e C e  
C  Ce
G  Ge
L  L e  Li
C  C e  Ci
Equações canónicas das linhas de transmissão:
 V (z, t )
I


R
I
(
z
,
t
)

L
( z, t )


z

t


  I( z, t )
V (z, t )
 G V ( z, t )  C

z
t

 d V(z)
 R I ( z )  j L I ( z )

dz


 d I( z )
 G V ( z )  j C V ( z )

dz

 dV
 R I  j L I  R  jL I

dz


 dI
 R V  j cV  G  jc V

 dz
As eqs. resolvem-se em ordem a V e I
:
d2 V

 2 V  0
 dz 2

( I) 
2
 d I  2 I  0
 2
 dz

em que  
R  jL G  jc    j  jk z
a) Condutores perfeitos (σ = ∞)
R = 0 Modos TEM → kz= k0
b) Materiais de boa qualidade (situação real)
Bons dieléctricos e bons condutores e/ou alta frequência
ω L >> R
ω c >> G
Solução geral das eqs (I):

V(z)  a e  z  a e z
1
2


a1  z a 2 z

I
(
z
)

e

e

Z
Z
0
0

Onda incidente
Onda reflectida
Gera-se uma onda incidente de tensão a partir da fonte que dá origem a uma onda incidente
de corrente, que está relacionada com V através da impedância característica. Mas quando
a linha está terminada por Zs ≠ Z0, a razão em V e I é Zs. Por isso surge uma onda
reflectida de modo a satisfazer esta condição.

V(z)  a e  z  a e z
1
2


a1  z a 2  z

I
(
z
)

e

e

Z0
Z0

em z  l
V(z  1)  V 2 e I(z  1)  I 2
V(z  1)  V 2  a1 l  a 2e  l
 Vi 2  V r 2


a1  Vi 2 e l

 l

a 2  V r 2 e

V(z)  V e  (l  z)  V e   (l  z)
i2
r2



Vi 2  (l  z) V r 2   (l  z)
e

e
I ( z ) 
Z
Z
0
0

V i 2  V r 2  V 2


Vi 2  V r 2  V 2
 Vi2 V r 2 V 2



Z0
Z0
 Z0

 Vi2 V r 2

 I2

Z
Z
0
 0
Vi 2 
Vr2  V2  
V 2  Z0 I 2
2
V 2  Z0 I 2 V 2  Z0 I 2

2
2
V  Z0 I 2 Zs  Zs
Vr2
 k s  k e j  2

Vi2
V 2  Z0 I 2 Zs  Z0
 V2



Z
s 
 I
 2

ks - factor de reflexão na
carga

V( y)  Vi 2  e y  k s e  y 





Vi 2  y
 y 
 e  ks e

I ( y ) 


Z
0

V ( y)
  ey e jy  k e je ye  jy   ey e  jy  k e je ye  jy 



Vi2
V ( y)
 e 2y  k 2e  2y  2k cos2y  
Vi2
I( y )
 e 2y  k 2e  2y  2k cos2y  
Ii 2
• A tensão e a corrente na linha consistem na sobreposição da onda incidente e da onda
reflectida. Tais ondas designam-se por ondas estacionárias. Apenas quando Zs = Z0 não há
onda reflectida (ks = 0).
Linha sem perdas
V ( y)
 1  2 k cos2 y    k 2
Vi 2
I( y )
 1  2 k cos2 y    k 2
Ii 2
a) A tensão é máxima quando:
2 y
máx 2m
V ( y)
 1 k
Vi 2


m
4
2
V ( y)
 1 k
Vi2
y máx 
Primeiro máximo de tensão:
y 

4
• Nos planos em que a tensão é máxima a corrente é mínima.
  2 m 1
min
 

y min 
 m
4 4
2
2 y
b) A tensão é mínima quando:
c) Factor de onda estacionária
Vmáx I máx 1  k


p
Vmin I min 1  k
Quando a linha está adaptada p = 1. Quando a linha está terminada por uma reactância pura:
um curto circuito ou um vazio: k = 1 e p = ∞
Impedância nos planos de máximo e de mínimo
a) Plano de máximo ymáx de tensão
V
1  k Z0
Z ymáx  máx  Z0

 Rm
I min
1 k
p
b) Plano de mínimo ymin de tensão
V
1  k Z0
Z y min  min  Z0

 Rm
I máx
1 k
p
Nos planos de Vmáx ou Vmin (Imin ou Imáx) a impedância da linha é óhmica pura.
Linha com perdas
V ( y)
Vi 2
I( y)
Ii 2
2
2
 e 2y  k 2e  2y  2k cos2y  
 e 2y  k 2e  2y  2k cos2y  
Quando cos (2βy - Ө) ═ 1 tem-se:
V ( y)
Vi2
2
 e 2 y  k 2 e  2 y  2 k
V ( y)
 e y  k e  y
Vi 2
Quando cos (2βy - Ө) ═ -1
Vy
 e y  k e  y
Vi 2
Quando há perdas os pontos de estacionaridade das
I
funções V( y) e y deixam de coincidir com os
Vi 2
de cos (2βy - Ө).
Ii 2
Quando há fracas perdas α << 1 os pontos estão
próximos.
Impedância da linha
A impedância da linha (cociente entre a tensão e a corrente) varia ao longo da linha.
À distância y = l da carga tem-se:
V( y l )
Z( y l ) 

I ( y l )
V ( y)  Vi 2  e jy  k s e  j y 


I ( y) 
V i 2  j y
 k s e  j y 
e

Z0 
1  k s e  j2l
Z( y l )  Z0
1  k s e  j2 l
ks 
Zs  Z0
Zs  Z0
Z( y l )  Z0
Zs  j Z0 t g l
Z0  j ZS t gl
I)
Linha sem perdas

R =0, G = 0
R  jLG  jC
a) Constante de propagação:
    j  j LC
  0
   LC

Z
(função linear de ω)
b) Velocidade de fase
vf 

1


LC
(constante)
c) Impedância característica
Z0  R 0  j X 0 
L
(constante
)
C
R  jL
G  jC
e X0  0
II) Linha com fracas perdas
R << ωL
(relações facilmente verificadas em altas frequências)
G << ωC
a) Constante de propagação
    j  j LC 1 
R
G
1
jL
j C

R 
G 
1 

 j LC1 
2
j

L
2
j

C




1  R G 
1
R
L


 j LC 1 


j

LC

R

G



2
L
C 
 2 j  L C  
1
C
L
 e    LC
   R
G
2
L
C 
(função aproximada linear com ω)
a) Velocidade de fase
vf 

1


LC
(Aproximadamente constante)
c) Impedância característica
Z0  R 0  j X 0 
L
C
1
R
1
jL 1  G
jC

L
R 
G 
1 
1 

C  2 jL  2 jC 

L
C

1  R G 
1

 2 j  L  C  



R
L
L 1 R G
e X0  
  0
C
C 2  L C 
Z
R  jL
G  jC