Olá pessoal!
Escrevo este artigo para ensinar o famigerado Algoritmo de Euclides para o
cálculo do MDC (máximo divisor comum).
Este método nos ajudará a responder, por exemplo, uma pergunta que
parece ser muito simples: como simplificar a fração 851/1.147?
Vamos começar com um exemplo bem fácil. Calculemos o MDC(20,25).
Começamos dividindo o maior pelo menor. Vamos, então, dividir 25 por 20.
Dividendo
25
5
Resto
Divisor
20
1
Quociente
Como o resto é 5 (diferente de 0), devemos dividir o divisor pelo resto.
Dividendo
20
0
Resto
Divisor
5
4
Quociente
O resto é zero, portanto MDC(20,25) = 5 (o mdc sempre será o divisor da
divisão cujo resto é 0).
O Algoritmo de Euclides pode requisitar muitas divisões sucessivas (ele
também é chamado de Método das Divisões Sucessivas) até que se chegue
ao resto zero (sempre se chegará!). Por conta disso, é melhor usar uma
chave que aproveita melhor os resultados anteriores e deixa espaço para os
próximos, caso sejam necessários.
Para começar, monte uma grade com, pelo
exatamente 3 linhas (deixe espaço à direita):
menos,
3
colunas
e
Na grade, insira os números envolvidos na linha do meio (vou manter os
números do nosso exemplo inicial). Assim,
25
20
1
www.pontodosconcursos.com.br
Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o
quociente da divisão atual. Na divisão de 25 por 20, o quociente é 1.
Ficamos com:
25
1
20
O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão
atual. Na divisão de 25 por 20 o resto é 5.
25
5
1
20
Como o resto não foi igual a 0, copiamos o resto (5) ao lado do 10, na
próxima casa. Repete-se todo o processo anterior, lembrando que agora
devemos dividir 20 por 5.
25
5
1
20
5
Na divisão de 20 por 5, o quociente é 4 e o resto é 0. Registre assim:
25
5
1
20
0
4
5
Como o resto é 0, então o MDC será o último divisor utilizado. No nosso
caso, o MDC é 5.
Vamos fazer mais um exemplo: Calcule MDC(108,81).
Resolução
Comece construindo a grade para efetuar a divisão de 108 por 81.
117
81
Na divisão de 117 por 81, o quociente é 1 e o resto é 36. Registre assim:
2
www.pontodosconcursos.com.br
117
36
1
81
Como o resto foi diferente de 0, copiamos o resto (36) ao lado do 81.
117
36
1
81
36
Devemos agora dividir 81 por 36. Nesta divisão, o quociente é 2 e o resto é
9. Registre assim na tabela:
117
36
1
81
9
2
36
Como o resto é diferente de 0, devemos copiá-lo ao lado de 36.
117
36
1
81
9
2
36
9
Devemos agora dividir 36 por 9. Nesta divisão, o quociente é 4 e o resto é
0.
117
36
1
81
9
2
36
0
4
9
Como o resto é 0, então o MDC é o último divisor utilizado. Portanto,
MDC(117,81) = 9.
Vamos agora responder a pergunta inicial deste artigo. Como simplificar a
fração 851/1.147?
Para simplificar esta fração, devemos pensar em um número que divida 851
e 1.147. Para ter menos trabalho e simplificar a fração de uma só vez,
devemos calcular o MDC.
A grade do algoritmo de Euclides ficará assim:
3
www.pontodosconcursos.com.br
1.147
296
1
851
259
2
296
37
1
259
0
7
37
Portanto, MDC(1.147,851) = 37.
A fração 851/1.147 deve ser simplificada por 37.
851 dividido por 37 é igual a 23.
1.147 dividido por 37 é igual a 31.
Resposta
. Um abraço e até o próximo ponto!
Guilherme Neves
4
www.pontodosconcursos.com.br