Colégio Integrado Jaó.
Prof. Paulo.
Matrizes
 Exemplos:
Matrizes
 Definição: toda tabela de números dispostos em linhas ou
colunas.
 Cada elemento da matriz é indicado por dois índices:
 Formando assim um conjunto m x n (m por n) elementos
dispostos em m linhas e n colunas onde aij é o elemento
associado a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Matrizes Especiais
 Matriz-linha – matriz de tipo 1×n
 Matriz-coluna – matriz de tipo m×1
 Matriz-quadrada – matriz de tipo n×n ou de ordem n
 elementos principais = Aii diagonal principal
 tr(A) = traço de uma matriz quadrada = soma dos elementos da
diagonal principal
 Matriz transposta
 obtém-se através da troca ordenada de linhas por colunas
(colunas por linhas) de uma matriz.
Matrizes Especiais
Operações Matriciais
 Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais se
e só se os elementos homólogos são iguais.
 Elementos homólogos – elementos com índices iguais
Adição e subtração de matrizes
 A adição ou subtração de duas matrizes é uma
matriz cujos elementos são iguais à soma dos
elementos homólogos.
Multiplicação por um escalar
 O produto de uma matriz por um escalar é uma
matriz que se obtém multiplicando o escalar por
cada um dos elementos da matriz.
Multiplicação de Matrizes
 Considerem-se duas matrizes A e B tais que o
número de colunas de A é igual ao número de linhas
de B. O produto das matrizes A e B é uma matriz
P=A.B onde
Multiplicação de matrizes
1
2
3
1
2
3
2
5
3
2
5
3
1
0
2
2x3
=
2x 3
3x 3
=
1
2
3
1
2
3
2
5
3
2
5
3
1
0
2
2x3
=
8
2x 3
3x3
1
2
3
1
2
3
2
5
3
2
5
3
1
0
2
2x3
=
8
12
2x 3
3x3
1
2
3
1
2
3
2
5
3
2
5
3
1
0
2
2x3
=
8
12 15
2x 3
3x3
1
2
3
1
2
3
2
5
3
2
5
3
1
0
2
2x3
=
8
12 15
2x 3
3x3
1
2
3
1
2
3
2
5
3
2
5
3
1
0
2
2x3
=
8
12 15
15
2x 3
3x3
1
2
3
1
2
3
2
5
3
2
5
3
1
0
2
2x3
=
8
12 15
15 29
2x 3
3x3
1
2
3
1
2
3
2
5
3
2
5
3
1
0
2
2x3
=
8
12 15
15 29 27
2x 3
3x3
Propriedades
1. Em geral, AB ≠ BA, ou seja, não é comutativa.
2. Associatividade: (AB)C = A(BC).
3. α(AB) = (αA)B = A(αB), A(–B) = (–A)B = –(AB).
4. (A + B)C = AC + BC se A e B são m×n e C e n×p.
5. D(A + B) = DA + DB se A e B são m×n e D e p×m.
6. Elemento neutro da multiplicacao: AIn = ImA = A , em que Ip e a
matriz identidade de ordem p.
Criptografia
 Fundamentação Teórica
Criptografia
Kriptós:
escondido, oculto
Grápho:
grafia
Introdução à Criptografia
 A Criptografia é a ciência que estuda as formas de se
escrever uma mensagem em código. Trata-se de um
conjunto de técnicas que permitem tornar
incompreensível uma mensagem originalmente
escrita com clareza, de forma a permitir que apenas
o destinatário a decifre e compreenda (Cavalcante,
2004).
A cifra de Hill
 Método que se utiliza da Álgebra Linear para
codificar e decodificar uma mensagem através da
multiplicação de matrizes.
 Pré-requisito para Cifra de Hill
• Matrizes
• Multiplicação de Matrizes
• Inversa de uma Matriz
• Matriz Identidade
A cifra de Hill
Quando uma mensagem esta codificada
por uma Matriz A2x2 , dizemos que se trata de
uma 2-Cifra de Hill.
A decodificação é feita multiplicando a
mensagem codificada pela inversa da matriz
codificadora.
A cifra de Hill
 Tabela de conversão de caracteres em números.
Exemplo de codificação e decodificação
Tomemos a mensagem:
Tudo bem?
e substituamos cada letra por um número, de acordo
com a tabela anterior.
T u d o
b e m ?
59 21 4 15 0 2 5 13 94
Exemplo de codificação e decodificação
 Montamos uma matriz 3x3 com os números
encontrados:
59 21 4
15 0
2 5 13 94
Exemplo de codificação e decodificação
Usaremos com chave a matriz:
Agora efetuamos a multiplicação da matriz chave pela
matriz texto.
Substituindo os valores da matriz pelos símbolos da tabela temos a
mensagem codificada:
Óuftm!em?