Matrizes
Definição
Uma matriz é uma tabela com elementos dispostos em forma retangular. Se uma
matriz tem m linhas e n colunas dizemos que ela é do tipo m x n. Exemplo:
Matriz 14 x 10
Matrizes
Definição
Exemplo 2:
Matriz 4 x 2
Matrizes
Linhas
Panamericano 2003 - São Domingos
Linhas (filas horiz.)
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
Matrizes
Colunas
Linhas (filas horiz.)
Colunas (filas vert.)
C
O
L
C
O
L
C
O
L
1
2
3
Matrizes
Elementos
 117 81 74 


 72 41 39 
M   29 56 42 


 29 39 54 


20
27
32


C
O
L
1
LINHA 4
Elemento a41
a41 = 29
Matrizes
Elementos
117

 72
M   29

 29

 20
81 74 

41 39 
56 42 
39 54 

27 32 
C
O
L
2
LINHA 5
a52 = 27
Matrizes
Representação dos elementos
Exemplo:
 1 2 2 0 1
2 5 4 2 0 


0 1 4 7 8
3x5
a13= 2
a34= 7
Cada elemento de uma matriz é representado por aij, sendo i o
número da linha do elemento, e j, o da coluna.
Matrizes
Classificação
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
I) A forma
II) A natureza dos elementos
Matrizes
Classificação
Segundo a forma em:
Amxn = [aij]mxn
Retangular
Se o número de linhas é diferente do número de colunas.
1 0 2 3 4 
0 2 5 2 1 


2 4 4 5 0 35
Quadrada
Se o número de linhas é igual do número de colunas.
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m.
Linha
Se o número de linhas é igual a um.
 1 0 2
0 1 3 


1 3 233
1
2 213
Coluna
Se o número de colunas é igual a um.
 1
0 
 
131
Matrizes
Classificação
Segundo a natureza dos elementos em:
Real: Todos os seus elementos são reais.
 aij  A :
aij  
Amxn = [aij]mxn
 1 5 2
0 0 1


Complexa: Pelo menos um dos seus elementos é complexo.
 aij  A:
aij  C
 1 5 2
0 i 1


Nula: Todos os seus elementos são nulos
 aij  A:
aij  0
0 0 0 
0 0 0 


Matrizes
Classificação
Segundo a natureza dos elementos em:
Amxn = [aij]mxn
Triangular Superior: Matriz quadrada em que os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
 aij  A: i  j aij  0
1
0

0

0
1
0
0
0
2
3
2
0
7
0
6

5
Triangular Inferior: Matriz quadrada em que os elementos acima
da diagonal principal são nulos.
 aij  A: i  j aij  0
1
5

0

3
0
2
2
0
0
0
2
1
0
0
0

5
Matrizes
Classificação
Segundo a natureza dos elementos em:
Amxn = [aij]mxn
Diagonal: Matriz quadrada em que os
 aij  A: i  j aij  0
elementos não principais são nulos.
1
0

0

0
Escalar: Matriz diagonal em que os
elementos principais são iguais.
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0

5
 a ij  A : i  j aij  0
i  j aij  
2
0

0

0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0

2
Matrizes
Classificação
Segundo a natureza dos elementos em:
Amxn = [aij]mxn
Simétrica: Os elementos aij são iguais aos aji
1
1

2

0
Densa: A maioria dos seus elementos são não nulos.
Dispersa: A maioria dos seus elementos são nulos.
1
0
3
4
2
3
2
7
0
4 
7

5
Matrizes
Operações com Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo. Denomina-se soma de
A com B uma matriz C, do mesmo tipo, que se obtêm somando os
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
 A,BM mn C  M mn :C  A  B
c ij  aij  bij ; i  1,, m  j  1,,n
 1 2 3
A  5 1 0
2 4 3
2 1 3 
B   1 3 0
3 0 3
 3 3 6
C  A  B  6 4 0



5 4 6

Matrizes
Operações com Matrizes
A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades:
Comutativa
 A,BMmn A  B  B  A
Associativa
 A, B , C Mmn ( A  B) C  A  (B C)
Elemento neutro
 A Mmn  O Mmn : A O  A
Existência da matriz oposta
 A Mmn  B Mmn : A  B O
Matrizes
Operações com Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e  um escalar.
O produto de  por A é uma matriz C , do mesmo tipo de A,
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por 
 AM mn  A  M mn :C   A
c ij   aij ; i  1,, m  j  1,, n
 1 2 3
A  5 1 0
2 4 3
 3 6 9
3 A  15 3 0
 6 12 9
Matrizes
Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
e os escalares  e , as seguintes propriedades são válidas:
  A    A
(   ) A   A   A
 A  B    A   B
1 A A
Matrizes
Operações com Matrizes
Produto de matrizes
Exemplo:
1
2
2
5
3
1
x
3
2
2x3
1
2
5
0
=
3
3
2
=
2x 3
3 x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
8 12
=
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
15
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
15 29
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
15 29 27
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp.
O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp
cujos elementos são dados por:
n
ci j   ai k bk j
k 1
e escreve-se C=AB.
O produto de matrizes não é comutativo.
Matrizes
Operações com Matrizes
Considere as matrizes A, B e C, e a um escalar.
Se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades serão válidas:
A BC  A B C 
(A B ) C  A C  B C
A B  C   A B  A C
a  A B  a AB  Aa B
Matrizes
Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a matriz B do tipo nxm tal que:
bi j  ai j
i  1,..., n;
j  1,....m
e escreve-se B=AT
1 0 2 3 4
A  0 2 5 2 1
2 4 4 5 035
1
0

T
A  2

3
4
0 2
2 4
5 4

2 5
1 053
Matrizes
Operações com Matrizes
Considere as matrizes A e B e a um escalar.
Se todas as operações a seguir indicadas forem definidas,
as seguintes propriedades serão válidas:
A 
T T
A
( A  B )T  AT  BT
a A   a A
T
A BT  BT
T
AT