3.10. EXERCICIOS PROPOSTOS DA NONA SEMANA
3.10
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Exercicios propostos da nona semana
1. Encontre a equação da superfície S obtida pela rotação em tono do eixo Oy da curva
z = f (y) , a ≤ y ≤ b, no plano yOz.
2. Elimine os parâmetros u e v afim de obter a equação cartesiana da superfície indicada:
(a) plano: se a1 b2 − a2 b1 6= 0,
r (u, v) = (x0 + a1 u + b1 v, y0 + a2 u + b2 v, z0 + a3 u + b3 v) .
(b) parabolóide elíptico:
(c) elipsóide:
¡
¢
r (u, v) = au cos v, bu sen v, u2 .
r (u, v) = ( a sen u cos v, b sen u sin v, c cos u ).
(d) superfície de revolução:
r (u, v) = ( u cos v, u sen v, f (u) ).
(e) cilindro:
r (u, v) = ( u, a sen v, a cos v ).
(f) toro:
r (u, v) = ((a + b cos u) sen v, (a + b cos u) cos v, b sen u).
3. Mostre que o toro é uma superfície de revolução obtida ao girarmos uma curva
x = f (z) (qual curva?) em torno do eixo z.
4. Uma superfície S admite a representação paramétrica
¡
¢
r (u, v) = u cos v, u sen v, u2
com 0 ≤ u ≤ 4 e 0 ≤ v ≤ 2π. Prove que S é parte de uma superfície de revolução e
indique o significado geométrico de u e v.
5. Determine o produto vetorial fundamental:
(a) plano: se a1 b2 − a2 b1 6= 0,
r (u, v) = (x0 + a1 u + b1 v, y0 + a2 u + b2 v, z0 + a3 u + b3 v) .
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CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES
(b) parabolóide elíptico:
¢
¡
r (u, v) = au cos v, bu sen v, u2 .
(c) elipsóide:
r (u, v) = ( a sen u cos v, b sen u sin v, c cos u ).
(d) superfície de revolução:
r (u, v) = ( u cos v, u sen v, f (u) ).
(e) cilindro:
r (u, v) = ( u, a sen v, a cos v ).
(f) toro:
r (u, v) = ((a + b cos u) sen v, (a + b cos u) cos v, b sen u).
6. Encontre a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva γ dada
em torno do eixo indicado, trace um esboço da mesma e determine sua área.
(a) γ : x2 = 4y, 0 ≤ y ≤ 4, em torno de Oy.
(b) γ : x2 + 4z 2 = 16, em torno de Ox.
7. Determine a área:
(a) Da porção da superfície z 2 = 2xy situada acima do primeiro quadrante do
plano xOy e limitada pelos planos x = 2 e y = 1.
Resposta: 4.
(b) Da parte do cone x2 − y 2 = z 2 situada no primeiro octante e limitada pelo
plano y + z = a.
√
2 2
.
Resposta: a
2
(c) Da superfície do parabolóide y 2 + z 2 = 2ax compreendida entre a superfície
y 2 = ax e o plano x = a.
¢
π¡ √
Resposta: a2 3 3 − 1
3
(d) Da porção do parabolóide x2 + z 2 = 2ay cortada pelo plano y = a.
¢
¡ √
2
Resposta: πa2 3 3 − 1 .
3
(e) Do toro.
Resposta: 4π 2 ab.
x y z
(f) Da parte do plano + + = 1 compreendido entre os planos coordenados.
a b c
1
1 2 2
Resposta: [a b + b2 c2 + a2 c2 ] 2 .
2
3.10. EXERCICIOS PROPOSTOS DA NONA SEMANA
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(g) Da parte da superfície do cilindro x2 + y 2 = R2 (z ≥ 0), compreendida entre
os planos z = mx e z = nx ( m > n > 0 ).
Resposta: 2 (m − n) R2 .