ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Cursos: Todos
3o Teste
Data: 9 de Fevereiro de 2007
1o Semestre
2006/2007
Duração: 2 horas
Instruções:
• Leia atentamente o exame nos 15 minutos previstos para esse efeito.
Poderá colocar dúvidas nesse período.
• Não deverá responder a diferentes questões numa mesma folha de resposta.
• É obrigatória a apresentação de um documento de identificação.
• O abandono da sala em caso de desistência só poderá efectuar-se decorrida uma hora a partir do início do exame e implica a entrega do teste
ou exame.
• Não poderão utilizar-se máquinas de calcular ou quaisquer tabelas.
• Não se aceitam exames ou questões escritas a lápis.
• Justifique convenientemente todas as respostas.
Questões:
1. Considere a matriz real

1
 0
A=
 −1
1
α
1
1
1
2
1
α
1

1
1 
 , α ∈ R.
0 
α
[2,0] (a) Resolva a equação det A = 0 e prove que, para α =
soluções não nulas.
(b) Considere α = 0 :
√
2, o sistema AX = O tem
T [2,0] i. Sendo S uma matriz de ordem 4 tal que det S = 25, calcule det 5 AT S −1
.
x1 x2 x3 x4
[1,5] ii. Prove que o sistema
AX = B, com X T =
e
T
B = 2 1 0 1 , é de Cramer e obtenha o valor de x3 pela regra de
Cramer.
2. Indique, justificando, o valor lógico das seguintes afirmações:
[1,0] (a) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, tal que det A = 0, então A tem duas
linhas iguais.
[2,0] (b) Sejam u, v e√w
u = v = 2.

a b
[1,5] (c) Se A =  d e
g h
vectores de um espaço vectorial
euclidiano tal que u|v = −1 e
√
Então, −3 (u + v) = 3 6.



c
a − 2d 5g d
f  e B =  b − 2e 5h e  , então det B = −5 det A.
i
c − 2f 5i f
[1,0] (d) Se A é uma matriz quadrada singular, então A adj A = O.


1 2 3
0
 2 1 0
0 
.
3. Considere a matriz A = 
 3 0 1
0 
1 0 0 −1
[1,0] (a) Calcule det A.
[1,5] (b) Recorrendo aos complementos algébricos, determine o elemento da quarta linha,
terceira coluna da matriz inversa de A.
4. Considere os pontos A (1, 1, −1) , B (2, 2, 0) , C (3, 2, −1) e D (2, 1, k − 1), com k ∈ R.
−→ −→ −−→
[1,5] (a) Determine os valores do parâmetro real k para os quais os vectores AB , AC e AD
são complanares.
[1,5] (b) Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C.
−→ −−→
[1,5] (c) Determine k de modo que os vectores AB e AD formem um ângulo de π4 .
[2,0]
5. Seja B = {u1 , u2 , u3 } ⊂ R3 uma base de R3 em que u1 = (1, 1, 0) , u2 = (1, −1, −2) e
u3 = (1, −1, 3). Considere em R3 o produto interno usual. Obtenha, a partir da base B,
uma base ortonormada de R3 .