Senos e cossenos.
Essas duas funções aparecem vez ou outra em provas de raciocínio lógico.
Uma das propriedades mais cobradas é a que segue.
Seja x um ângulo qualquer. Então:
sen 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1
Saber esta propriedade nos ajuda a resolver diversas questões.
Vamos a alguns exemplos.
Auditor Fiscal do Trabalho 2006
Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
-4/3
4/3
5/3
-5/3
1/7
Para utilizar a propriedade vista, precisamos que o seno e o cosseno estejam elevados ao
quadrado. Não é o caso da equação dada. Vamos, portanto, elevá-la ao quadrado.
3 cos( x) + sen( x) = −1
9 cos 2 ( x) + sen 2 ( x) + 6 sen( x) cos( x) = 1
Pronto, temos valores de seno e cosseno ao quadrado.
9 cos 2 ( x) + sen 2 ( x) + 6 sen( x) cos( x) = 1
Podemos escrever 9 cos 2 ( x) como 8 cos 2 ( x) + cos 2 ( x)
9 cos 2 ( x) + sen 2 ( x) + 6 sen( x) cos( x) = 1
8 cos 2 ( x) + cos 2 ( x) + sen 2 ( x) + 6 sen( x) cos( x) = 1
Substituindo cos 2 ( x) + sen 2 ( x) por 1:
8 cos 2 ( x) + cos 2 ( x) + sen 2 ( x) + 6 sen( x) cos( x) = 1
8 cos 2 ( x) + 1 + 6 sen( x) cos( x) = 1
8 cos 2 ( x) + 6 sen( x) cos( x) = 0
8 cos 2 ( x) = −6 sen( x) cos( x)
8 cos( x) = −6 sen( x)
8 sen( x)
=
6 cos( x)
4
tg ( x) = −
3
−
Resposta: A.
AFC – STN 2005
O sistema dado pelas equações
 xsen(a ) − y cos(a ) = − cos(2a )

 x cos(a ) + ysen(a ) = sen(2a )
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos quadrados
das raízes é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) sen π
e) cos π
Repare que o exercício não pede o valor das raízes. Apenas a soma dos quadrados.
Vamos pegar cada equação e elevar ao quadrado. Em seguida vamos somá-las:
 xsen(a ) − y cos(a ) = − cos(2a )

 x cos(a ) + ysen(a ) = sen(2a )
 x 2 sen 2 (a) + y 2 cos 2 (a) − 2 xsen(a) y cos(a) = cos 2 (2a)
+
 2
 x cos 2 (a) + y 2 sen 2 (a) + 2 x cos(a) ysen(a) = sen 2 (2a)
x 2 sen 2 (a) + y 2 cos 2 (a) − 2 xsen(a) y cos(a) + x 2 cos 2 (a) + y 2 sen 2 (a) + 2 x cos(a) ysen(a) =
= cos 2 (2a) + sen 2 (2a)
Cortando termos com sinais opostos:
x 2 sen 2 (a) + y 2 cos 2 (a) − 2 xsen(a) y cos(a) + x 2 cos 2 (a) + y 2 sen 2 (a) + 2 x cos(a) ysen(a) =
= cos 2 (2a) + sen 2 (2a)
Ficamos com:
x 2 sen 2 (a) + y 2 cos 2 (a) + x 2 cos 2 (a) + y 2 sen 2 (a) = cos 2 (2a) + sen 2 (2a)
Agrupando os termos semelhantes:
x 2 sen 2 (a ) + x 2 cos 2 (a ) + y 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) = cos 2 (2a ) + sen 2 (2a )
Colocando x2 e y2 em evidência:
(
)
(
)
x 2 sen 2 (a ) + cos 2 (a ) + y 2 sen 2 (a ) + cos 2 (a ) = cos 2 (2a ) + sen 2 (2a )
Lembrando que:
sen 2 (a ) + cos 2 (a ) = 1 e
sen 2 (2a ) + cos 2 (2a ) = 1
Ficamos com:
x2 + y2 = 1
Resposta: A.
Resumindo. Caiu seno e cosseno, lembre que: sen 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1
Bons estudos!
Vítor.