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ESCOLA UNIVERSITÁRIA DAS ARTES DE COIMBRA
LICENCIATURA EM ARQUITECTURA
MATEMÁTICA
4.Fev.05
Duração: 2h30m
Nota: A resolução completa dos exercícios inclui a justificação do raciocínio utilizado.
TESTE B
1. Considere as seguintes matrizes reais
⎡1 β 1⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
A = ⎢0 1 1⎥
⎢
⎥
⎢β 1 β ⎥
⎣
⎦
⎡ 1 −2 1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
C =⎢ 2
1 2⎥
⎢
⎥
⎢ −1 −2 1 ⎥
⎣
⎦
⎡ 0⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
b = ⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢ 0⎥
⎣ ⎦
⎡ 2
1 2 ⎤⎥
⎢
⎢
⎥
D = ⎢ 1 −2 1 ⎥
⎢
⎥
⎢ −1 −2 1 ⎥
⎣
⎦
(a) Determine os valores de β , para os quais, a matriz A tem característica 3 e é invertível.
(b) Determine o valor próprio real de C, isto é, o valor do parâmetro λ ∈ \ solução da equação
característica det(C − λI ) = 0 .
(c) Para β = 2 , usando a teoria das matrizes, resolva o sistema Ax = b .
Que outro(s) processo(s) conhece que lhe permitiriam resolver o sistema?
(d) Calcule, usando o teorema de Laplace, o determinante da matriz C.
O valor obtido será igual ao produto dos elementos da diagonal principal da matriz depois de
a condensar? Justifique.
(e) Calcule, usando determinantes, a inversa da matriz C.
Enuncie/apresente outro processo que lhe permitiria calcular a inversa.
(f) Indicar, justificando e sem efectuar cálculos, o determinante e a inversa da matriz D.
(g) Para β = 2 , sem resolver o produto AC T , justifique, que AC T é não singular.
2. Para cada uma das afirmações seguintes diga se é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Um sistema de equações lineares é possível e determinado se e só se a característica da
matriz simples for igual à da matriz ampliada.
(b) Se det(A) = det(B ) = 2 , então det((AB )T ) = 4 .
(c) Se o determinante de uma matriz é diferente de zero, então ela admite inversa.
(d) A inversa de uma matriz e da sua transposta são diferentes.
FREQUÊNCIA
ASSUNTO: ÁLGEBRA LINEAR DAS MATRIZES
1ºSEM
3. A figura representa uma Maça Bravo de Esmolfe
da Beira Alta, com contornos definidos por:
• Arcos de circunferência de raio r = 2 ;
• Parábolas de eixo vertical com vértices
v1 = (−1, −1) e v2 = (1, −1) ;
• Segmentos de recta.
Sabendo que L
Num sistema de coordenadas Homogéneas:
T
• Pontos 2D, P (x , y ) , representam-se/escrevem-se como vectores/matriz coluna ⎡⎢ x y 1 ⎤⎥
⎣
⎦
• Transformações geométricas como matrizes (3 × 3)
• Rotação [R]
⎡x ′⎤
⎡ cos θ − sin θ 0 ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢ ′⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢ y ⎥ = ⎢ sin θ cos θ 0 ⎥ ⎢ y ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢ 0
0
1⎥ ⎢1⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦⎣ ⎦
Escala [S]
⎡x ′⎤
⎡ sx
⎢ ⎥
⎢
⎢ ′⎥
⎢
⎢y ⎥ = ⎢ 0
⎢ ⎥
⎢
⎢1⎥
⎢0
⎣ ⎦
⎣
Translação [T]
0
sy
0
0 ⎤⎥ ⎡⎢ x ⎤⎥
⎥⎢ ⎥
0⎥ ⎢y ⎥
⎥⎢ ⎥
1⎥ ⎢1⎥
⎦⎣ ⎦
⎡x ′⎤
⎡ 1 0 dx ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢ ′⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢ y ⎥ = ⎢ 0 1 dy ⎥ ⎢ y ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢0 0 1 ⎥ ⎢1⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦⎣ ⎦
⎡1 0 0⎤
⎡0⎤
⎡ 0 −1 0 ⎤
⎡1 0 0⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
(a) Para R = ⎢ 1 0 0 ⎥ , S = ⎢ 0 1 0 ⎥ , T = ⎢ 0 1 0 ⎥ e P = ⎢ 5 ⎥ ,
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢0 0 1⎥
⎢1⎥
⎢0 0 1⎥
⎢0 0 1⎥
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
calcule o produto das matrizes T × (R × ( S × P )) e comente o resultado obtido.
(b) Estabeleça a equação matricial, inerente a um sistema de CAD, que permite aumentar três
vezes o tamanho da figura, roda-la 180° e desloca-la −3 unidades segundo o eixo das
ordenadas. Faça um esboço da figura obtida e determine a sua área.
FREQUÊNCIA
CURSO: ARQUITECTURA
1ºSEM