Cálculo Diferencial
e Integral
Capítulo – 4
Derivadas
Prof. Dr. Armando Cirilo de Souza
DERIVADAS



4.1 Introdução
Neste capítulo estabeleceremos a noção de
derivada de uma função. A derivada envolve a
variação ou a mudança no comportamento de
vários fenômenos. Inicialmente apresentaremos a
definição de reta tangente ao gráfico de uma
função.
Posteriormente, definiremos funções deriváveis e
derivada de uma função num ponto, dando
ênfase ao seu significado geométrico.
4.2 Reta Tangente



Seja:
f : D → R uma função definida num
domínio D que pode ser um intervalo
aberto ou uma reunião de intervalos
abertos, ou ainda, D tal que para todo
intervalo aberto I que contenha x0, se
tenha:
I ∩ (D − {x0})  .
4.2 Reta Tangente


Considere P = (x0, f(x0)) e Qi = (xi, f(xi)) (i =
1, 2, 3......) pontos no gráfico de f, P  Qi;
seja r1 a reta secante que passa por P e
Q1; seu coeficiente angular é:
4.2 Reta Tangente


Fixemos o ponto P e movamos Q1 sobre o
gráfico de f em direção a P, até um ponto
Q2 = (x2, f(x2)) tal que Q2  P;
seja r2 a reta secante que passa por P e
Q2; seu coeficiente angular é:
4.2 Reta Tangente


Suponha que os pontos Qi (i = 1, 2, 3......) vão se
aproximando sucessivamente do ponto P (mas
sem atingir P), ao longo do gráfico de f; repetindo
o processo obtemos r1, r2, r3, ..., retas secantes
de coeficientes angulares m1, m2, m3, ...,
respectivamente.
É possível provar, rigorosamente, que quando os
pontos Qi vão se aproximando cada vez mais de
P, os mi respectivos, variam cada vez menos,
tendendo a um valor limite constante, que
denotaremos por mx0.
4.2 Reta Tangente
Figura 4.1:
Definição 4.1.


A reta passando pelo ponto P e tendo coeficiente
angular mx0 , é chamada reta tangente ao gráfico
de f no ponto (x0, f(x0)).
existe, fazendo a mudança t = x − x0, temos:
Definição 4.1.

Como x0 é um ponto arbitrário, podemos
calcular o coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico de f para qualquer
ponto (x, f(x)):
Obs: Assim, mx só depende x.
Definição 4.2.

Se f for contínua em x0, então, a equação
da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(x0, f(x0)) é:
Obs: se o limite existe,
Exemplo 4.1.




[1] Determine a equação da reta tangente ao
gráfico de f(x) = 4 − x2, no ponto (1, 3).
Denotemos por m1 o coeficiente angular da reta
tangente à parábola y = 4 − x2 passando pelo
ponto (1, f(1)) = (1, 3).
Seja P = (1, 3) e Q = (x0, 4 − x20 ) pontos da
parábola; o coeficiente angular da reta secante à
parábola passando por P e Q é:
Exemplo 4.1.
Figura 4.2:
Exemplo 4.1.


Do desenho, é intuitivo que se Q aproximase de P (x0 aproxima-se de 1), os
coeficientes angulares de ambas as retas
ficarão iguais; logo:
m1 = lim x0→1 m PQ = −2.
Exemplo 4.1.

A equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (1, 3) é
y − 3 = −2 (x − 1) ou, equivalentemente, y + 2 x = 5.
Figura 4.3: Reta tangente a y = 4 − x2, no ponto (1, 3).
Exemplo 4.1.



[2] Determine a equação da reta tangente ao
gráfico de f(x) = 1/ x , no ponto ( 1/2 , 2).
Seja m1/2 o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico da função y =1/x passando pelo
ponto(1/2, 2).
Seja P = (1/2, 2) e Q = (x0,1/x0) pontos da curva;
o coeficiente angular da reta secante à curva
passando por P e Q é:
Exemplo 4.1.
Figura 4.4:
Exemplo 4.1.

Novamente do desenho, é intuitivo que se
Q aproxima-se de P (x0 aproxima-se de ½)
os coeficientes angulares de ambas as
retas ficarão iguais; logo:
Exemplo 4.1.

A equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto ( 1/2 , 2)
é y − 2 = −4 (x − 1/2 ) ou, equivalentemente,y + 4 x = 4.
Figura 4.5: Reta tangente a y = 1/x , no ponto ( 1/2 , 2).
Exemplo 4.1.



[3] Determine a equação da reta tangente
ao gráfico de f(x) = x3 − x + 1,
no ponto (1, 1).
Utilizemos agora diretamente a definição:
Exemplo 4.1.


Logo m1 = 2. A equação da reta tangente
ao gráfico de f, no ponto (1, 1) é
y − 2 x = −1.
Figura 4.6:
Exemplo 4.1.

Da definição segue que a equação da reta
normal ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) é:
4.3 Funções Deriváveis


Definição 4.3.
Seja f : D → R uma função definida num
domínio D que pode ser um intervalo
aberto ou uma reunião de intervalos
abertos ou ainda, D tal que para todo
intervalo aberto I que contenha x0, se
tenha: I ∩ (D − {x0})  .
Definição 4.3.

f é derivável ou diferenciável no ponto x0
quando existe o seguinte limite:

Fazendo a mudança t = x − x0, temos:
Definição 4.3.

f′(x0) é chamada a derivada de f no ponto
x0. Como x0 é um ponto arbitrário,
podemos calcular a derivada de f para
qualquer ponto x  Dom(f);

Assim f′ é função de x e f′(x0)  R.
Definição 4.4.


Uma função f é derivável (ou diferenciável)
em A  R, se é derivável ou diferenciável
em cada ponto x  A.
Outras notações para a derivada de y =
y(x) são:
Exemplo 4.2.

[1] Calcule f′(1/4) e f′(2), se f(x) = x2.
Exemplo 4.2

[2] Calcule f′(1/2) se f(x) = √(1 − x2).
Exemplo 4.2

[3] Calcule f′(1) se f(x) = 4 − x2.
Exemplo 4.2

[4] Calcule f′(1/2) se f(x) =1/x.
Interpretação Geométrica

A função F : (D − {x0}) → R, definida por:

F(x) = f(x) − f(x0) / x − x0 ,

representa, geometricamente, o coeficiente
angular da reta secante ao gráfico de f
passando pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)).
Interpretação Geométrica

Logo, quando f é derivável no ponto x0, a
reta de coeficiente angular f′(x0) e
passando pelo ponto (x0, f(x0)) é a reta
tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).
Se f admite derivada no ponto x0, então, a
equação da reta tangente ao gráfico de f
no ponto (x0, f(x0)) é:
Interpretação Geométrica

A equação da reta normal ao gráfico de f
no ponto (x0, f(x0)) é:
Interpretação Geométrica
Figura 4.7: As retas tangente e normal ao gráfico de y = f(x).
Exemplo 4.3.




[1] Determine as equações da reta
tangente e da reta normal ao gráfico de
f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa x0 = 1.
Se x0 = 1 então f(x0) = 2;
logo, a reta tangente passa pelo ponto (1,
2) e seu coeficiente angular é f′(1). Temos:
Exemplo 4.3.


f′(1) = 2 e as respectivas equações são:
y − 2 x = 0 e 2 y + x − 5 = 0.
Figura 4.8: As retas tangente e normal ao gráfico de y = f(x).
Exemplo 4.3.



[2] Determine a equação da reta tangente ao
gráfico de f(x) = √x que seja paralela à reta
2 x − y − 1 = 0.
Para determinar a equação de uma reta,
necessitamos de um ponto (x0, y0) e do
coeficiente angular f′(x0). Neste problema, temos
que determinar um ponto.
Sejam rt a reta tangente, r a reta dada, mt e m os
correspondentes coeficientes angulares; como rt
e r são paralelas, então mt = m; mas m = 2 e mt =
f′(x0), onde x0 é a abscissa do ponto procurado;
Exemplo 4.3.


Como f′(x0) = 1 / 2√x0, resolvendo a equação f′(x0)
= 2, obtemos x0 = 1/16 e f(1/16) =1/4; a equação é
16 x − 8 y + 1 = 0.
Teorema 4.1. Se f é derivável em x0
então f é contínua em x0.



Exemplo 4.4.
Seja f(x) = |x|. f é contínua em todo R; em
particular em x0 = 0. Mas a derivada de f em 0 não
existe; de fato:
Calculemos os limites laterais:
Exemplo 4.4.

Logo, f′(0) não existe. Para x  R − {0}, f′(x)
existe e:
Exemplo 4.4.




Do teorema segue que não existe a derivada de f
no ponto x0 se f é descontínua no ponto x0.
Também não existe a derivada de f no ponto x0
nos seguintes casos:
i) Se existe "quina"no gráfico da função contínua
no ponto de abscissa x0, como no ponto x0 = 0 do
exemplo anterior.
ii) Se f é contínua em x0 e se possui reta tangente
vertical passando pelo ponto de abscissa x0.
Neste caso, lim x→x0 |f′(x)| = ∞.
Exemplo 4.4.
Figura 4.11: Funções não deriváveis.
4.4 Regras de Derivação




[1] Se u(x) = c, então u′(x) = 0.
[2] Se u(x) = mx + b; m, b  R e m  0,
então u′(x) = m.
De fato, a função é contínua e seu gráfico
coincide com sua reta tangente em qualquer
ponto; logo, tem o mesmo coeficiente angular.
Equivalentemente,
4.4 Regras de Derivação


[3] Se u(x) = xn; n  N,
então u′(x) = n xn−1.
Proposição 4.1. Sejam u = u(x) e v = v(x)
funções deriváveis; então:
Obs:
Exemplo 4.6.
Note que: u(x) = x−1 + 3x−4 + x−5, temos:
u′(x) = (x−1 + 3x−4 + x−5)′
u`(x) = −x−2 − 12x−5 − 5x−6.
Exemplo 4.6.





[2] Calcule u′(x) sendo
u(x) = (x3 + 2x + 1) (2x2 + 3).
Aplicando diretamente as regras:
u′(x) = ((x3 + 2 x + 1))′ (2 x2 + 3) +
+ (x3 + 2 x + 1) ((2 x2 + 3))′
e u′(x) = 10 x4 + 21 x2 + 4 x + 6
Exemplo 4.6

[3] Calcule u′(x), sendo
 u(x) = (x2 + x) / (x3 + 1)
 u′(x) = (x2 + x) / (x3 + 1) ′ =
= (x2 + x)′(x3 + 1) − (x2 + x)(x3 + 1)′ / (x3 + 1)2
 logo, u′(x) = −x4 − 2 x3 + 2x + 1 /(x3 + 1)2 =
 = (1 − x2) (x2 − x + 1)2 .
Teorema 4.2. Regra da Cadeia

Sejam f e g funções, tais que g ◦ f esteja bem
definida. Se f é derivável em x e g é derivável
em f(x), então g ◦ f é derivável em x e:

Outra maneira de escrever o último parágrafo é:
se y = g(x) e x = f(t), nas hipóteses do teorema,
temos que:
Obs:
Exemplo 4.7.




[1] Calcule v′(x) se v(x) = (x9 + x6 + 1)1000.
Neste caso u(x) = x9 + x6 + 1;
logo, u′(x) = 9 x8 + 6 x5 e n = 1000; então:
v′(x) = ((u(x))1000)′ = 1000 (u(x))999 u′(x) =
= 1000 (x9 + x6 + 1)999 (9 x8 + 6 x5).
Exemplo 4.7.





[2] Calcule dy/dt
se y = g(x) = x3 + x + 1 e x = x(t) = t2 + 1.
Pela regra da cadeia:
Dy/dt = (dy/dx) . (dx/dt)
= 2 t (3x2 + 1) = 6 t (t2 + 1)2 + 2 t.
Exemplo 4.7.





[3] Seja g uma função derivável e
h(x) = g(x2 + 1). Calcule h′(1) se g′(2) = 5.
Observemos que h(x) = (g ◦ f)(x), onde f(x)
= x2 + 1; pela regra da cadeia:
h′(x) = g′(f(x)) f′(x), e f′(x) = 2 x.
Logo, h′(x) = g′(x2 + 1) 2 x. Calculando a
última expressão em x = 1, temos que:
h′(1) = 2 g′(2) = 10.
Exemplo 4.7.








[4] Se y = u3 + u2 + 3 e u = 2 x2 − 1,
Calcule dy / dx.
Pela regra da cadeia:
Dy /dx = (dy/du).(du/dx) = 4 x (3 u2 + 2 u) = 4 x (3
(2 x2 − 1)2 + 2 (2 x2 − 1))
= 4 (12 x5 − 8 x3 + x);
ou, fazemos a composta das funções:
y = u3 + u2 + 3 = (2 x2 − 1)3 + (2 x2 − 1)2 + 3 e
y′ = 4 (12 x5 − 8 x3 + x).
Teorema 4.3. Função Inversa

Seja f uma função definida num intervalo
aberto I. Se f é derivável em I e f′(x)  0
para todo x  I, então f possui inversa f−1
derivável e:
Teorema 4.3. Função Inversa

A fórmula pode ser obtida diretamente da
regra da cadeia. De fato, (f ◦ f−1)(x) = x para
todo x  I. Derivando ambos os lados,
temos que:
Exemplo 4.8.


[1] Seja f(x) = x2, x ≥ 0; logo sua inversa é
f−1(x) = √x e f′(x) = 2x  0 se x  0; logo,
f′(f−1(x)) = 2√x. Aplicando o teorema:
Exemplo 4.8.


[2] Seja f(x) = x3; logo sua inversa é f−1(x) =
3√x e f′(x) = 3 x2  0 se x  0; f′(f−1(x)) =
3 3 √x2. Aplicando o teorema:
4.6 Derivadas das Funções Elementares





4.6.1 Função Exponencial
Seja a  R tal que 0 < a  1 e u(x) = ax
Então,
 u′(x) = ln(a) ax
De fato, u′(x) = lim t→0 (ax+t − ax) / t =
= ax lim t→0 (at − 1) / t = ln(a) ax.
Em particular, se a = e, temos :
4.6.1 Função Exponencial






Seja v = v(x) uma função derivável e considere a
função: u(x) = av(x)
Então: u′(x) = ln(a) av(x) v′(x)
De fato, av(x) = ev(x) ln(a); usando a regra da
cadeia para g(x) = ex e f(x) = v(x) ln(a), temos
que u(x) = (g ◦ f)(x); então g′(x) = ex e g′(f(x)) =
= ev(x) ln(a) = av(x) e f′(x) = v′(x) ln(a);
logo, em particular, (e v(x) )′ = e v(x) v′(x)
4.6.1 Função Exponencial



O crescimento ou decrescimento
exponencial, expresso pela função
Q(t) = Q0 ekt, (k  0)
tem a propriedade Q′(t) = k Q(t), isto é, a
sua derivada é proporcional à função.
Aliás, isto é o que caracteriza a função
exponencial.
Exemplo 4.9.






[1] Seja y = e√x.
Fazendo v(x) = √x, temos y′ = (e v(x) )′ =
= e v(x) v′(x) = e√x / 2√x .
[2] Seja y = (1/2)1/x .
Fazendo v(x) = 1/x , temos
y′ = −ln(2) (1/2)1/ x v′(x) = ln(2) (1/2) 1/x 1/x2.
4.6.2 Função Logarítmica



Seja a  R tal que 0 < a  1 e
u(x) = loga(x).
Usando o teorema da função inversa para
f−1 = u e f(x) = ax, temos que:
4.6.2 Função Logarítmica



De fato, u′(x) = 1 / f′(f−1(x)) = 1/x ln(a) =
= loga (e) / x . Em particular, se a = e:
Usemos a regra da cadeia para calcular a
derivada de u(x) = loga (v(x)) onde v(x) > 0 é
uma função derivável. Em tal caso:
4.6.2 Função Logarítmica






Em particular, se a = e:
Exemplo 4.10.
[1] Calcule a derivada de y = 3√x + x−5 +
+ 2 4√ x3, x > 0.
Aqui  = 1/2,  = −5 e  = 3/4 , respectivamente;
logo:
y′ =3/2 x−1/2 − 5x−6 + 3/2 x−1/4 .
Exemplo 4.10.





[2] Calcule a derivada de
y = √x e√x / (x2 + x + 1)4.
Aplicando logaritmo à função e usando as
propriedades da função logarítmica, temos:
ln(y) = ln(√x) + ln(e√x) − 4 ln(x2 + x + 1) =
= ln(x) / 2 + √x − 4 ln(x2 + x + 1).
Exemplo 4.10.


Derivando:
y′/y = 1/2x +(1/2√x) − (8 x + 4) / (x2 + x + 1),
logo:
Exemplo 4.10.





[3] Calcule a derivada de y = xx, x > 0.
Aplicando logaritmo à expressão e usando
as propriedades da função logarítmica,
temos:
ln(y) = x ln(x). Derivando:
y′/y = ln(x) + 1 e,
y′ = y(x) (ln(x) + 1) = (ln(x) + 1) xx.
Exemplo 4.10.


[4] Calcule a derivada de y = x√x, x > 0.
Aplicando logaritmo à expressão e usando as
propriedades da função logarítmica, temos:
ln(y) = ln(x)√x. Derivando:

Logo

Tabela
Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma
constante. Se:
Tabela
Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma
constante. Se:
4.6.4 Funções Trigonométricas




Se y = sen(x),
então sen(x + t) − sen(x) =
= 2 sen(u) cos(x + u), onde u = t / 2.
Logo:
4.6.4 Funções Trigonométricas

onde, para calcular o último limite usamos
um limite fundamental. Se y = cos(x),
sabendo que cos(x) = sem[(/2) − x] e
utilizando a regra da cadeia com
u(x)= (/2)− x, temos:
4.6.4 Funções Trigonométricas



Se y = tg(x), sabendo que
tg(x) = sen(x)/cos(x)
e utilizando a regra do quociente, temos:
4.6.4 Funções Trigonométricas
Tabela
Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma
constante. Se:
Exemplo 4.11.



[1] Se y = sen( x),   R.
Fazendo u(x) =  x, temos u′(x) = ;
utilizando a tabela, temos que
y′ =  cos( x).
Para as outras funções trigonométricas, o
procedimento é análogo.
Exemplo 4.11.

[2] Seja y = sen(x), onde ,   R − {0}.
Fazendo y = sen(x) = (sen(x)),
derivando como uma potência e usando o
exercício anterior, temos:

Para as outras funções trigonométricas, o
procedimento é análogo.

Exemplo 4.11.



[3] Seja y = tg(sen(x)).
Fazendo u(x) = sen(x), temos
u′(x) = cos(x);
logo, temos que y′ = cos(x) sec2(sen(x)).
4.6.5 Funções Trigonométricas
Inversas

Seja y = arc sen(x). A função arco seno,
definida para x  [−1, 1] é a função inversa
da função f(x) = sen(x), se −/2 ≤ x ≤/2.
f′(x) = cos(x)  0 se x ∈ (−/2, /2). Usando
a fórmula do teorema da função inversa,
temos: se y = f−1(x) = arc sen(x), ou seja,
sen(y) = x, então:
4.6.5 Funções Trigonométricas
Inversas




Mas, cos(y) = √(1 − sen2(y)), pois y(−2,2).
Então:
Seja y = arc cos(x). Como
arc cos(x) = /2 − arc sen(x), temos:
y′ = −(arc sen(x))′; logo,
Tabela
Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma
constante. Se:
4.6.6 Funções Hiperbólicas

As derivadas das funções hiperbólicas são
calculadas diretamente, pois todas elas
envolvem exponenciais. Por exemplo, seja
y = senh(x) = 1/ 2 (ex − e−x); derivando,
temos: y′ = cosh(x).
Tabela
Seja u(x) derivável. Usando a regra da cadeia,
temos:
Exemplo 4.12.




Calcule as derivadas y′, sendo:
[1] y = etg(x) .
Fazendo u(x) = tg(x), temos y = eu(x) ;
usando a tabela: y′ = u′(x) eu(x) então
y′ = sec2(x) etg(x) .
Exemplo 4.12.






[2] y = ln(ln(x)).
Fazendo u(x) = ln(x), temos y = ln(u(x));
logo: y′ =u′(x) / u(x) = 1 / (x ln(x)).
[4] y = cos(sen(x)).
Fazendo u(x) = sen(x), temos y = cos(u(x));
usando a tabela:
y′ = −u′(x) sen(u(x)) = −cos(x) sen(sen(x)).
Exemplo 4.12.






[3] y = x cos(1/x).
Então y′ = cos(1/x)+x (cos(1/x))′.
Fazendo u(x) = 1/x, temos que cos(1/x)
= cos(u(x));
como (cos(1/x))′ = (1/x2) sen(1/x),
temos y′ = cos(1/x) + 1/x (sen(1/x)).
Exemplo 4.12.




[5] y = arccotg(3 x2).
Fazendo u(x) = 3 x2, temos
y = arccotg(u(x)); usando a tabela:
y′ = − u′(x) / (1 + u2(x)) = − 6x / (1 + 9 x4) .
Exemplo 4.12.




[6] y = arctg( 1/x ).
Fazendo u(x) = 1/x , temos
y = arctg(u(x)); usando a tabela:
y′ =u′(x) / (1 + u2(x))= − 1/(1 + x2).
Exemplo 4.12.



[7] y = sen(ln(x)).
Fazendo u(x) = ln(x), temos y = sen(u(x));
usando a tabela:
y′ = u′(x) cos(u(x)) = cos(ln(x)) / x.
Exemplo 4.12.



[8] y = ln(sen2(x)).
Fazendo u(x) = sen2(x), temos y = ln(u(x));
usando a tabela:
y′ = u′(x) / u(x)= 2 cotg(x).
Exemplo 4.12.




[9] y = ln(cos((x − 1) / x)).
Fazendo u(x) = cos((x−1) / x ),
temos y = ln(u(x)); usando a tabela:
y′ =u′(x)/u(x)= −1/x2 tg((x − 1) / x).
4.7 Derivação Implícita




Seja F(x, y) = 0 uma equação nas variáveis
x e y.
Definição 4.5. A função y = f(x) é definida
implicitamente pela equação F(x, y) = 0,
quando
F(x, f(x)) = 0.
Em outras palavras, quando y = f(x)
satisfaz à equação F(x, y) = 0.
Exemplo 4.13.




[1] Seja a equação F(x, y) = 0, onde
F(x, y) = x3 +y −1; a função y = f(x) = 1−x3
é definida implicitamente pela equação
F(x, y) = 0, pois
F(x, f(x)) = x3 + (1 − x3) − 1 = 0.
Exemplo 4.13.






[2] Seja a equação F(x, y) = 0, onde
F(x, y) = y4 + x −1; a função
y = f(x) = 4√(1 − x) é definida
implicitamente pela equação
F(x, y) = 0, pois
F(x, f(x)) = (4√(1 − x))4 + x − 1 = 0.
4.7.1 Cálculo da Derivada de uma
Função Implícita

Podemos calcular a derivada de uma
função
definida
implicitamente
sem
necessidade de explicitá-la. Para isto
usaremos novamente a regra da cadeia.
Suponha que F(x, y) = 0 define
implicitamente uma função derivável y =
f(x). Através de exemplos mostraremos
que podemos calcular y′ sem conhecer y.
Exemplo 4.14.




Seja y = f(x) uma função derivável definida
implicitamente pela equação x2 + y2 = 1.
[1] Calcule y′.
[2] Verifique que a função f(x) = √1 − x2 é definida
implicitamente por x2 + y2 = 1 e calcule f′.
Como y = f(x), temos x2+((f(x))2 = 1. Derivando
em relação a x ambos os lados da igualdade e
usando a regra da cadeia, obtemos:
Exemplo 4.14





(x2)′ + (((f(x))2)′ = (1)′  2 x + 2 f(x) f′(x) = 0
 x + f(x) f′(x) = 0.
Então, f′(x) = −x/f(x)= −x/y. Logo, y′= −x/y.
É imediato que a função f(x) = √1 − x2 é
definida implicitamente pela equação
x2 + y2 = 1 e f′(x) = − x / √1 − x2= − x / y.
Método de Cálculo



Dada uma equação que define y implicitamente
como uma função derivável de x, calcula-se y′ do
seguinte modo:
Deriva-se ambos os lados da equação em relação
a x, termo a termo. Ao fazê -lo, tenha em mente
que y é uma função de x e use a regra da cadeia,
quando necessário, para derivar as expressões
nas quais figure y.
O resultado será uma equação onde figura não
somente x e y, mas também y′. Expresse y′ em
função de x e y. Tal processo é chamado explicitar
y′.
Exemplo 4.15.




Calcule y′ se y = f(x) é uma função
derivável, definida implicitamente pelas
equações dadas:
[1] x3 − 3 x2 y4 + y3 = 6 x + 1.
Note que x3 − 3 x2 y4 + y3 = 6 x + 1 é igual
a
x3 − 3 x2 (f(x))4 + (f(x))3 = 6 x + 1; derivando
ambos os lados da equação, obtemos:
Exemplo 4.15.
(x3)′ − (3 x2 (f(x))4)′ + ((f(x))3)′ = (6 x + 1)′;
 então,
3x2 − 6x(f(x))4 − 12x2 f′(x)(f(x))3 + 3 f′(x) (f(x))2 = 6.
 Logo,
 3 x2 − 6 x y4 − 12 x2 y′ y3 + 3 y′ y2 = 6.
Expressando y′ em função de x e y:
 y′ = (2 − x2 + 2 x y4) / y2 (1 − 4 x2 y).

Exemplo 4.15.

[2] x2+x y+x sen(y) = y sen(x).
 Derivando ambos os lados
 2 x+y+x y′+sen(y)+x cos(y) y′ =
= y′ sen(x) + y cos(x).
 Expressando y′ em função de x e y:
Exemplo 4.15.




[3] sen(x+y) = y2 cos(x).
Derivando ambos os lados
(1+y′) cos(x+y) = 2 y y′ cos(x)−y2 sen(x).
Expressando y′ em função de x e y:
4.9 Derivadas de Ordem Superior


Definição 4.7.
Seja f uma função derivável. Se a derivada f′ é uma função
derivável, então sua derivada é chamada derivada segunda
de f e é denotada por (f′)′ = f′′. Se f′′ é uma função derivável,
então sua derivada é chamada derivada terceira de f e é
denotada por (f′′)′ = f′′′. Em geral, se a derivada de ordem
(n − 1) de f é uma função derivável, sua derivada é chamada
derivada n-ésima de f e é denotada por (f(n−1))′ = f(n).
Exemplo 4.17.
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[1] Sendo f(x) = x4 + 2x3 + x − 1, calcule f(n).
f′(x) = 4 x3 + 6 x2 + 1
f(2) (x) = 12 x2 + 12 x
f(3) (x) = 24 x + 12
f(4)(x) = 24
f(5)(x) = 0.
Em geral, se f é uma função polinomial de grau n,
então, f (n) (x) = n! an e f (p) (x) = 0 para p > n.
Exemplo 4.17.
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[2] Sendo f(x) = 1/x, calcule f (n).
f′(x) = −x−2
f(2) (x) = 2 x−3
f(3) (x) = −6 x−4
f(4) (x) = 24 x−5
f(5) (x) = −120 x−6
f(6) (x) = 720 x−7.
Exemplo 4.17.
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[3] Sendo f(x) = ex/2 , calcule f (n).
f′(x) = ex/2 / 2
f(2) (x) = e x/2 / 4
f(3) (x) = e x/2 / 8
f(4) (x) = e x/2 / 16
f(5) (x) = e x/2 / 32
f(6) (x) = e x/2 / 64
Exemplo 4.17.
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[4] Sendo f(x) = sen(x), calcule f (n) .
f′(x) = cos(x) = sen(x + /2 )
f(2) (x) = −sen(x) = sen(x + 2/2)
f(3) (x) = −cos(x) = sen(x + 3/2)
f(4) (x) = sen(x) = sen(x + 4/2)
f(5) (x) = cos(x) = sen(x + 5/2)
f(6) (x) = −sen(x) = sen(x + 6/2).