MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 59
OPERAÇÕES COM
ARCOS E REDUÇÃO AO
1º QUADRANTE
Como pode cair no enem
(UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de “vaivém”, uma parte desse chão,
do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir:
A
B
C D
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:
a) 75°
d) 30º
b) 60°
e) 15º
c) 45°
Fixação
-1) (FUVEST)
a) Calcule sen 15°.
b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscritos no círculo de raio 1.
Fixação
2) No quadrilátero ABCD onde os ângulos  e C são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen B é:
A
5
a) ––
5
2x
x
5
b) 2
–––
5
B
D
c) 4/5
x
2x
d) 2/5
C
e) 1/2
Fixação
-3) (UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R e centro O. O ângulo entre o raio
OB e o lado DC é θ.
A
B
R
θ
D
O
C
a) Calcule os lados do retângulo ABCD em função de R e θ.
b) Mostre que área do retângulo ABCD é máxima para θ = 45°.
Fixação
4) (UFF) Um caminhão-pipa deve transportar água da cidade A para a cidade Z. A figura abaixo
ilustra os caminhos possíveis que o caminhão deve tomar. As setas indicam os caminhos
obrigatórios de percurso. Os valores colocados próximos às setas especificam os custos de
transporte (todos dados em uma mesma unidade mone-tária) para o trecho em questão.
B
π
cos ––
9
X
1
3
A
1
1
Z
1
C
π
4 sen ––
4
Y
π
cos ––
4
Marque a opção que indica o caminho de menor custo total de transporte de A para Z.
a) A → B → Y→ Z
b) A → B → X → Z
c) A → C → B → Y → Z
d) A → C → B → X → Z
e) A → C → Y → Z
Fixação
5) (UFF) cos (x + π) + sen (π/2 + x) - tg (- x) + cotg x, em que 0 < x < π/2 , é equivalente a:
2
a) –––––
sen 2x
b) x
c) 2 cos 2x
tg x
d) –––––
x
e) x cotg x
Proposto
1) Se sen (a - 30°) = m, então cos (60°+a) é igual a:
a) 2 m
b) 1 m
c) - 1 m
d) - 2 m
e) 3 m
Proposto
2) Se x = 105°, então sen x é:
a) (6 2 - 2)/8
b) (6 3 - 7)/4
c) (7 2 - 5)/8
d) [(3 + 2) ] 3/8
e) [(1 + 3) ] 2/4
Proposto
3) Na figura a seguir, são dados DA = 3 cm e AB = 3cm. A área do triângulo CDB, em centímetros quadrados, é:
B
a) 8 3
b) 6 3
c) 4 3
d) 3 3
e) 3
2θ
α
C
D
A
Proposto
-4) Seja p um número real positivo. Se sen (2 θ ) = 2p e
sen θ = 3p, 0 < θ < π /2, então, p é igual a:
a) ( 2)/9
b) ( 2)/8
c) ( 2)/6
d) (2 2)/9
Proposto
5) Se y = 4 cos15°.cos75°, então y/2 vale:
a) 1
b) 1/4
c) 1/2
d) 3/4
e) 2
Proposto
6) O maior valor da expressão (sen x + cos x)² é:
a) 1
b) 2
c) 2
d) 2 2
e) 4
Proposto
^
^
^
7) (UFF) Se (M), (N), e (P) são ângulos internos de um triângulo não retângulo, pode-se afirmar
^
^
^
que tg(M
) + tg(N) + tg(P) é:
a) -1
b) 0
1
c)
^
^
^
tg(M
) + tg(N) + tg(P)
^
^
^
d) tg(M
) . tg(N) . tg(P)
^
^
^
e) tg(M) + tg(N) + tg(P)
Proposto
8) (UFF) O valor de (sen 22,5° + cos 22,5°)2 é:
1- 2
a) –––––
2
1+ 2
b) –––––
2
2+ 2
c) –––––
2
2- 2
d) –––––
2
e) 1
Proposto
9) (UERJ) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com
inclinações diferentes. As figuras a seguir representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF,
contidas nas retas de maior declive de cada rampa.
E
C
A
a
B
15o
a
a
h2
h1
D
45o
h3
75o
F
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente,
h1, h2 e h3, conclui--se que h1 + h2 é igual a:
a) h3 3c) 2h3
b) h3 2d) h3
Proposto
10) (PUC) Se sen x = 3 , um possível valor de sen 2x é:
5
a) 4
5
b) 6
5
5
c)
12
d) 12
13
e) 24
25
Proposto
11) (UNIRIO) O conjunto solução da equação cos 2x = 1 , em que x é um arco da 1ª volta
2
positiva, é dado por:
a) {60°, 300°}
b) {30°, 330°}
c) {30°, 150°}
d) {30°, 150°, 210°, 330°}
e) {15°, 165°, 195°, 345°}
Proposto
a12) (PUC) Os ângulos agudos a e b são tais que tga = 1 e tgb = 1 . O ângulo a + b é igual a:
2
3
a) arc tg 5
6
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 90°
Proposto
13) (UERJ) Lembrando que cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b e sen(a + b) = sen a cos
b + sen b cos a:
a) demonstre as identidades:
I) cos (2θ) = 2 cos2 θ – 1
II) cos (3θ) = 4 cos3 θ – 3 cos θ
b) usando a identidade cos (3θ) = 4 cos3 θ – 3 cos θ, mostre que cos 40° é raiz da equação
8x3 – 6x + 1 = 0.
Proposto
14) Se x - y = 60°, então o valor de (senx + seny)² + (cosx + cosy)² é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Proposto
15) (UFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos os valores possíveis para
sen2x+cos2x.
Proposto
a16) (CESGRANRIO) No retângulo ABCD da figura AB = 5, BC = 3 e CM = MN = NB.
Determine tg MÂN.
D
C
M
N
A
B
Proposto
5π +2cos π
cos –––
3
17) A expressão –––––––––––––– tem valor igual a:
3π
3.tg –––
4
5 2
a) - –––
3
5
b) ––
6
5
c) - ––
6
1
d) ––
2
1
e) - ––
2
Proposto
18) Qual é a ordem decrescente de sen 50º, sen 120º, sen 170º?
Proposto
19) Para k = 1, 2,3,..., o número de valores distintos de cos k π é:
7
a) 2
b) 6
c) 8
d) 16
e) infinito
Proposto
20) (UFF) O círculo da figura tem centro O e raio R.
a)
b)
c)
d)
e)
M
O
α
R
Sabendo-se que MP equivale a 5R e a tangente ao círculo no ponto P, o valor de sen α é:
12
12
13
5R
13
5R
12
5
12
5
13
Proposto
21) Assinale V para verdadeiro, F para falso e justifique.
( ) tg π = -tg (- π )
4
4
π
( ) tg 3 π > tg
4
4
( ) Existe x pertencente aos reais tal que tg x =32.
(
) tg 19π > 0
7
Proposto
7 cos(5π- x) - 3 cos(3π+ x)
π
22) Sendo: A = ––––––––––––––––––––– com x ≠ –– +
π
2
8sen –– - x
2
kπ, k e z, então:
a) A = -1
b) 2A = 1
c) 2A + 1 = 0
d) 4A + 5 =0
e) 5A - 4 = 0
Proposto
23) Sabendo que cos x = -4/5 e π < x < 3π/2, calcule:
a) sen (x - 180°)
sen x + cos x
b) –––––––––––
tg² x + sec² x
Proposto
24) O valor de sen 1200° é igual a:
a) cos 60°
b) - sen 60°
c) cos 30°
d) - sen 30°
e) cos 45°
Proposto
25) O valor da expressão cos 150° + sen 300° - tg 225° - cos 90° é:
a) - 3 - 1
b) - 3 + 1
c) 3 + 1
- 3-3
d) ––––––
2
Proposto
26) (UNIFICADO) Se x é um ângulo agudo, tg (90° + x) é igual a:
a) tg x
b) cotg x
c) - tg x
d) - cotg x
e) 1 + tg x