NÚMEROS COMPLEXOS
AULAS 01 e 02 - 2009
02)Sendo z1 = 2 + i e z2 = -1 + 2i, calcule:
a) z1 + z2
-01) Resolver em IR a equação x2 +1 = 0
b) z1 - z2
00) Resolver a equação x2 +1 = 0
c) z1 . z2
d)
z1
z2
i: a unidade imaginária. O “fantasma” tal que i2 = -1.
01) Resolver a equação x2 -2x +5 = 0
Igualdade em
Sendo {a, b, c, d} ⊂ IR, z = x + yi e w = a + bi,
x = a
z=w⇔
 y = b
03)(UNESP)Seja z = x + yi um número complexo,
com x e y números reais e i a unidade imaginária.
a) Determine, em função de x e y, a parte real e a
parte imaginária de 2z - i + z , com z indicando o
conjugado de z.
b)Determine z que seja solução da equação 2zi+ z =0.
O número complexo costuma ser representado pela
letra z. Sua forma mais usual é a algébrica.
algébrica Nela,
z = x + yi,
com x e y reais. A parte real x pode ser simbolizada
por Re(z) e a parte imaginária y (coeficiente da
unidade imaginária) por Im(z). E um nome
freqüente no estudo dos imaginários é o conjugado
de z, complexo representado por z , tal que
z = x – yi. Observe o que ocorre ao somar ou
multiplicar dois complexos conjugados.
04)(FUVEST) Sabendo que α é um número real e
2+i
que a parte imaginária do número complexo
α + 2i
é zero, então α é:
a) -4.
b) -2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
TAREFA
01)(UNESP)Se z = (2 + i).(1 + i).i, então z , o
conjugado de z, será dado por
a) - 3 - i.
b) 1 - 3i.
c) 3 - i.
d) - 3 + i.
e) 3 + i.
02) (UFSCAR) Sejam x, y ∈ IR
número complexo.
e
z = x + yi um
a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i).
b)Determine x e y para que se tenha (x +yi).(1+i)=2.
03) (UNESP) Considere os números complexos
z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade
imaginária e x é um número real. Determine:
a) o número complexo z1.z2 em função de x;
b) os valores de x tais que Re (z1.z2) ≤ Im (z1.z2),
onde Re denota a parte real e Im denota a parte
imaginária do número complexo.
04) (UEL) A forma algébrica do número complexo
1 + 3i
z=
é:
2−i
Potências de i
i0 = 1, i1 = i, i2 = -1 e i3 = i2. i = -1. i = -i
i4 = ( i2 ) = ( −1) = 1 , i5 = i4 ⋅ i = 1 ⋅ i = i ,
2
2
i6 = i4 ⋅ i2 = 1 ⋅ i2 = −1 e i7 = i4 ⋅ i3 = 1 ⋅ i3 = −i
De modo geral, in = ir , onde r é resto da divisão de n
por 4.
a)
1
- 3i
2
b)
5
7i
+
3
3
c) -
1
7i
+
5
5
d) -
1
+ 7i
5
e)
3
4i
+
5
5
05) (FEI)Se
05)(UFC) Se i representa o número complexo cujo
quadrado é igual a -1, determine o valor numérico
da soma 1 + i + i2 + i3 + ... + i27.
2i
= 1+i, então o número complexo z é:
z
a) 1 - 2i
b) -1 + i
c) 1 - i
d) 1 + i
e) -1 + 2i
06) (FGV)No conjunto dos números complexos:
a) Resolva a equação z4 = 1
b) Obtenha o número z, tal que z . (1 + i) = 3 - i,
onde i é a unidade imaginária.
07) (UNESP) Se a, b, c são números inteiros
positivos tais que c = (a + bi)2 - 14i, em que i2 = -1,
o valor de c é
a) 48.
b) 36.
c) 24.
d) 14.
e) 7.
08)(FUVEST)Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1)
pergunta-se: quantos números reais a existem para
os quais (a+i)4 é um número real?
14)(UNESP)Considere o número complexo z = i,
onde i é a unidade imaginária. O valor de
a) 1
a) -1.
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos
09)(UFMG)Seja z = (a + i)3 um número complexo,
sendo a um número real.
a) Escreva z na forma x + iy, sendo x e y números
reais.
b) Determine os valores de a para que z seja um
número imaginário puro.
z4 + z3 + z2 + z + 1/z é:
b) 0.
c) 1.
d) i.
e) -i.
15)(UFSCAR)Sejam i a unidade imaginária e an o nésimo termo de uma progressão geométrica com a2
= 2a1. Se a1 é um número ímpar, então
ia1 + ia2 + ia3 + ... + ia10 é igual a
a) 9i ou - 9i.
b) - 9 + i ou - 9 - i.
c) 9 + i ou 9 - i.
10)(AFA) Os valores reais de x, para os quais a parte
x − 2i
é negativa,
real do número complexo z =
x+i
pertencem ao conjunto (intervalo)
a) { } .
d) 8 + i ou 8 - i.
e) 7 + i ou 7 - i.
16)(IBMEC) Sendo n ∈
n
, quais valores
-n
f(n) = i + i assume, sendo i a unidade imaginária?
b) {0} .
a) 0 ou 1
c) ( −1,1) .
(
b) 0 ou i
)
d) − 2, 2 .
c) 0 ou 2i
d) 0, 2 ou -2
11)(UEL/2009) Qual é a parte real do número
complexo z = a + bi, com a e b reais e a > 0 e b > 0
cujo quadrado é -5 + 12i?
a) 1/3
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 3
e) 0, 1 ou -1
17) (UFRS)(1 + i)15 é igual a
a) 64 (1 + i).
b) 128 (1 - i).
12) (UFTM)Sendo p e q números reais tais que
π
< p+q < π, e i a unidade imaginária, se os
2
números complexos z1 = sen (p + q) + [log (p - q)]i
1
e z2 =
são iguais, então q é igual a
2
a)
5π − 3
6
c) 128 (-1 -i).
d) 256 (-1 + i).
e) 256 (1 + i).
Sugestão: Calcule (1 + i)2
RESPOSTAS
01) a
9π − 6
b)
12
02) a) (x-y) + (x+y)i
b) x = 1 e y = -1
03) a) (2x - 2) + (x + 4)i
b) x ≤ 6
c)
5π − 6
6
04) c
d)
5π − 6
12
06) a) S = { 1, -1, i, - i }
e)
5π − 6
15
05) d
b) 1 - 2i
07) a
08) c
09) a) z = (a3 - 3a) + (3a2 - 1)i b)a ∈ {± 3 ,0}
13) (UNEB)Se i é a unidade imaginária, então
i
25
+i
39
108
-i
+ i.i
50
é igual a:
10) d
11) d
a) -1 - i
12) d
b) -1 + i
13) c
c) 1 - i
14) e
d) 1 + i
15) e
e) 0
16) d
17) b
Um abraço!
Grego
NÚMEROS COMPLEXOS
AULAS 03 e 04 - 2009
02)(UNIRIO) Considere um número complexo z, tal
que o seu módulo é 10, e a soma dele com o seu
conjugado é 16. Sabendo que o afixo de z pertence
ao 4º quadrante, pode-se afirmar que z é igual a:
a) 6 + 8i
O plano de Argand-Gauss
b) 8 + 6i
O número complexo z = x + yi pode ser associado ao
par ordenado (x, y) e representado num plano
cartesiano. O ponto é denominado afixo do
complexo e sua distância até a origem do sistema
cartesiano é o módulo do complexo.
c) 10
d) 8 - 6i
e) 6 - 8i
01)(UNIRIO) Sejam z1 e z2 números complexos
representados pelos seus afixos na figura acima.
Então, o produto de z1 pelo conjugado de z2 é:
Coordenadas polares
A localização de um ponto no plano pode ser
estabelecida através de um comprimento ρ e de um
ângulo θ. Ao invés de (x, y), consideremos (ρ, θ). Não
é difícil associar ρ ao módulo de um complexo e,
doravante, o ângulo θ será denominado argumento.
argumento.
a) 19 + 10i
b) 11 + 17i
c) 10
03)(UFRS) O polígono ABCDE da figura é um
pentágono regular inscrito no círculo unitário de
centro na origem.
d) -19 + 17i
e) -19 + 7i
As coordenadas polares ρ e θ do vértice A são,
respectivamente,
a) 1 e π/5
b) 1 e π/6
c) 1 e π/8
d) 1 e π/10
e) 1 e π/12
04)(FATEC)Na figura a seguir, o ponto P é o afixo
do número complexo z = x + yi no plano de ArgandGauss.
Forma trigonométrica
O número complexo z = x + yi = (x, y), de módulo
ρ = z = x2 + y2 e cujo argumento é θ, pode
também ser expresso por z = ρ (cos θ + isen θ), a
famigerada
forma trigonométrica.
trigonométrica Parece inacreditável, mas
algumas operações com complexos são simplificadas
por intermédio da forma trigonométrica.
06)(UNESP) Seja o número complexo z = 10 + 10i,
É verdade que:
a) o argumento principal de z é
5π
6
b) a parte imaginária de z é i.
c) o conjugado de z é
3 + i.
d) a parte real de z é 1.
e) o módulo de z é 4.
no qual i = −1 A forma trigonométrica que
representa este número é
π
π
a) 10  cos + isen 
2
2

π
π
b) 10  cos + isen 
4
4

π
π
c) 10 10  cos + isen 
6
6

π
π
d) 10 2  cos + isen 
2
2

π
π
e) 10 2  cos + isen 
4
4

05) (UFG)O número complexo z = x + yi pode ser
representado no plano, como abaixo:
07)(FUVEST)Dentre os números complexos
z = a + bi, não nulos, que têm argumento igual a
π/4, aquele cuja representação geométrica está
sobre a parábola y = x2 é
Considere ρ =
x2 + y2 , o módulo de z
O número complexo z pode ser escrito como:
a) z = ρ (cos α + isen α)
b) z =ρ (cos α - isen α)
c) z = ρ (sen θ + icos θ)
d) z = ρ (sen α - icos α)
e) z = ρ (cos θ + isen θ)
a) 1 + i
b) 1 - i
c) - 1 + i
d)
e) -
2 + 2i
2 + 2i
TAREFA
01) (UNIFESP) Considere, no plano complexo,
conforme a figura, o triângulo de vértices z1 = 2,
05)(UNIFESP) Quatro números complexos
representam, no plano complexo, vértices de um
paralelogramo. Três dos números são z1 = -3 - 3i,
z2 = 5 e z3 = 6 + 2i. A área do triângulo de vértices
w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3 é:
z2 = 1 e z3 = -1 + (5/2)i. O quarto número tem as
partes real e imaginária positivas. Esse número é
a) 2 + 3i
b) 3 + (11/2)i.
c) 3 + 5i.
d) 2 + (11/2)i.
e) 4 + 5i.
a) 8
b) 6
c) 4
d) 3
e) 2
02)(FGV/2008)Os quatro vértices de um quadrado
no plano Argand-Gauss são números complexos,
sendo três deles 1 + 2i, - 2 + i e -1 - 2i. O quarto
vértice do quadrado é o número complexo
06)(MACK) A solução da equação |z| + z - 18 + 6i=0
é um complexo z de módulo:
a) 6
b) 8
c) 18
d) 12
e) 10
Sugestão: suponha z = x + yi, x e y reais.
a) 2 + i.
07)(UEL)Sobre as sentenças:
b) 2 - i.
I. Se z = i
c) 1 - 2i.
II. O complexo conjugado de (1 + i)3 é 1 - i.
d) -1 + 2i.
III. O lugar geométrico dos afixos (x; y) dos
números complexos z = x + yi de módulo 4 é uma
circunferência de centro no ponto (0; 0) e raio 2.
e) - 2 - i.
93
, então Re(z) = 0.
03)(UNESP) Considere os números complexos w = 2i
e z = (1 + i). Determine:
é correto afirmar que
a) z2 e (w2. z
z.
b) somente II é verdadeira.
+ w), onde z indica o conjugado de
b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|,
|w2|) é uma progressão geométrica, determinando
todos os seus termos e a sua razão.
04)(UNESP) A figura representa, no plano complexo,
um semicírculo de centro na origem e raio 1.
a) somente I é verdadeira.
c) somente III é verdadeira.
d) I, II e III são verdadeiras.
e) I, II e III são falsas.
08)(FGV) A figura indica a representação dos
números Z1 e Z2 no plano complexo.
Se Z1 . Z2 = a + bi, então a + b é igual a
a) 4 (1 Indique por Re(z), Im(z) e | z | a parte real, a parte
imaginária e o módulo de um número complexo
z = x + yi, respectivamente, onde i indica a unidade
imaginária. A única alternativa que contém as
condições que descrevem totalmente o subconjunto
do plano que representa a região sombreada,
incluindo sua fronteira, é
a) Re(z) ≥ 0, Im(z) ≥ 0 e | z | ≤ 1.
b) Re(z) ≥ 0, Im(z) ≤ 0 e | z | ≤ 1.
c) Re(z) ≥ 0 e | z | ≥ 1.
d) Im(z) ≥ 0 e | z | ≥ 1.
e) Re(z) ≥ 0 e | z | ≤ 1.
3 ).
b) 2 ( 3 - 1).
c) 2 (1 +
3 ).
d) 8 ( 3 – 1).
e) 4 ( 3 + 1).
09) (UNESP) Considere os números complexos
w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real
positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em
centímetros, a altura de um triângulo é | z | e a base
é a parte real de z . w, determine a de modo que a
área do triângulo seja 90 cm2.
10)(PUC-SP)Geometricamente, o módulo de um
número complexo z é dado pela distância da origem
O do plano complexo ao ponto imagem de z. Assim,
dado o complexo z = 3 + 2i, considere o triângulo
ABO, cujos vértices A e B são os respectivos pontos
imagem de z e z.i. É verdade que esse triângulo é
a) eqüilátero.
d) retângulo e não isósceles.
c) -1 - i 3
MÓDULO É DISTÂNCIA!
e) isósceles e não retângulo.
11)(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 - 3i , o valor de
|a/b| é
b)
b) 2 + 2i 3
e) 1 + i 3
c) retângulo e isósceles.
3.
a) 2 - 2i 3
d) -1 + i 3
b) escaleno.
a)
14)(UEL) Seja z um número complexo de módulo 2
e argumento principal 120o. O conjugado de z é:
2.
c)
5.
d) 2 2 .
e) 1 + 2 .
Obs. O módulo de um complexo é um número real.
Sendo assim, valem as seguintes propriedades:
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
z1
z
= 1 , z2 ≠ 0
z2
z2
12)(ITA) Assinale a opção que indica o módulo do
número complexo 1/(1 + i cotg x), x ≠ kπ, k ∈ ℤ .
15) (UFSM)Dado z = x + yi um número complexo, as
soluções da equação |z - 2i| = 5 são representadas
graficamente por
a) uma reta que passa pela origem.
b) uma circunferência com centro (0, 2) e raio 5.
c) uma reta que passa por (0, 2).
d) uma circunferência com centro (2, 0) e raio 5.
e) uma reta que passa por (2, 0).
16)(UNIFESP) Os números complexos
z1, z2= 2i e z3 = a 3 + ai, onde a é um número real
a) | cos x |
positivo, representam no plano complexo vértices de
um triângulo eqüilátero. Dado que |z2 – z1| = 2, o
valor de a é:
b) (1 + sen x)/2
a) 2.
b) 1.
2
c) cos x
d) | cossec x |
e) | sen x |
13)(FGV)Admita que o centro do plano complexo
Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio
de ponteiros, como indica a figura:
c)
3.
d)
3
.
2
e)
1
.
2
RESPOSTAS
01) b
02) b
03) a) z2 = 2i; w2. z + w = -4 + 6i
b) |z| =
(1;
2 e |w| = 2. A seqüência
2 ; 2 ; 2 2 ; 4) é uma PG de razão q =
2.
04) e
05) b
06) e
07) a
08) a
09) a = 3 cm
10) c
Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de
comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre o
número complexo
11) b
a) -1 +
3i
14) c
b) 1 +
3i
c) 1 -
3i
d)
3 -i
e)
3 +i
12) e
13) a
15) b
16) b
Um abraço!
Grego
01)(FUVEST) Os números complexos z e w têm
NÚMEROS COMPLEXOS
AULAS 05 e 06 - 2009
5π
12
π
como argumentos, respectivamente. Ache u e v
3
reais tais que zw = u + iv, sabendo que | zw | = 10.
e
Operações na forma trigonométrica
00) (UFSM)Dados
forma
dois
números
complexos
na
z = r(cos α + i sen α)
w = s(cos β + i sen β),
pode-se afirmar que z.w é igual a
a) rs [cos (αβ) - sen (αβ)]
b) rs [cos (α +β) + i sen (α +β)]
c) rs [cos (α - β) - i sen (α - β)]
d) (r + s) (cos α . cos β - i sen α . sen β)
e) (r + s) [cos (α + β) + i sen (α + β)]
02)(UFPR) Considere os numeros complexos
z = cos (π/18) + i sen (π/18)
e
w = 2 [cos (π/9) + i sen (π/9)].
a) Mostre que o produto z . w é igual a
b) Mostre que z18 é igual a -1.
De modo geral, sendo z1 = ρ1(cos α + i sen α) e
z2 = ρ2 (cos β + i sen β):
z1 ⋅ z2 = ρ1ρ2 cos ( α + β ) + isen ( α + β )  ,
z1 ρ1
=
cos ( α − β ) + isen ( α − β )  e,
z2 ρ2 
conseqüentemente, sendo z = ρ(cos θ + i sen θ),





zn = ρ ⋅ ρ ⋅ ρ ⋅ … ρ cos  θ
+ θ +
θ + …θ  + isen  θ
+ θ +
θ + …θ  





n fatores 
 n parcelas 
 n parcelas  
∴ zn = ρn ( cos ( nθ ) + isen ( nθ ) ) . Lindo, não? As
operações na forma trigonométrica geram OUTRO
complexo na forma trigonométrica!
3 +i.
03)(UFSM)O ângulo formado pelas representações
geométrica dos números complexos z =
é
4
3 +iez
a) π/6.
b) π/4.
c) π/3.
d) π/2.
05)(UNICAMP)Um triângulo eqüilátero, inscrito em
uma circunferência de centro na origem, tem como
um de seus vértices o ponto do plano associado ao
número complexo 3 + i.
a) Que números complexos estão associados aos
outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a
figura desse triângulo.
b) Qual a medida do lado desse triângulo?
e) π.
06)Radiciação em ℂ
04)(FUVEST) Dado o número complexo z = 3 +i
qual é o menor valor do inteiro n ≥ 1 para o qual zn
é um número real?
As raízes n-ésimas de um complexo z são as raízes
da equação xn = z.
a)Determine as raízes quadradas de 9.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
b)Determine as raízes quadradas de -1.
c)Determine as raízes quartas de 16.
07)(ITA) Considere, no plano complexo, um
polígono regular cujos vértices são as soluções da
equação
z6 = 1. A área deste polígono, em unidades de área,
é igual a:
3
a)
b) 5
c) π
d)
3 3
2
e) 2π
TAREFA
01)(FUVEST) a) Se z1=cosθ1+isenθ1 e
z2=cosθ2+isenθ2, mostre que o produto z1z2 é igual a
cos (θ1+θ2)+isen(θ1+θ2).
b) Mostre que o número complexo
z=cos48°+isen48° é raiz da equação z10+z5+1=0.
02)(CESGRANRIO) O menor inteiro n > 0, de modo
n
 3 1 
que 
+ i seja real positivo, é:
2 
 2
a) 2
b) 3
c) 4
d) 8
e) 12
03)(UFC) Considere o número complexo
z = (1+i).( 3 -i). Assinale a opção na qual consta o
menor inteiro positivo n, tal que zn seja um número
real positivo.
a) 6.
b) 12.
c) 18.
d) 24.
e) 30.
04)(UNIRIO)
08)(MACK)
As
representações
gráficas
dos
complexos z tais que z3 = -8 são os vértices de um
triângulo:
a) inscrito numa circunferência de raio 1.
b) que tem somente dois lados iguais.
c) eqüilátero de lado 2.
d) eqüilátero de altura 2 3 .
e) de área 3 3 .
Se z1 e z2 são números complexos representados
pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss acima,
então
z3 = z1 . z2 escrito na forma trigonométrica é:
a)
2 (cis 225°)
b)
2 (cis 315°)
c) 2 2 (cis 45°)
d) 2 2 (cis 135°)
e) 2 2 (cis 225°)
Obs: ρ(cisθ) = ρ(cosθ + isenθ)
Obs
π
05)(UECE) O valor de a , no intervalo 0,  , para
 2
o qual o número complexo x = cosa + i .sena é tal
que x2 =
1
3
+
i , satisfaz:
2
2
a)
π
π
<a<
3
2
b)
π
π
<a<
6
3
c)
π
π
<a<
6
4
d)
π
π
<a<
10
5
06)(AFA) A representação trigonométrica do
5
conjugado do número complexo z = (1 + 3 i) ,
sendo i a unidade imaginária e k ∈ Z, é
10)(UNESP) O diagrama que melhor representa as
raízes cúbicas de -i é:
a)
b)
c)
d)
a) 32cos(π/3 + 2kπ) - 32i.sen(π/3 + 2kπ).
b) 32cos(5π/4 + 10kπ) - 32i.sen(5π/4 + 10kπ).
c) 32cos(5π/6 + 10kπ) - 32i.sen(5π/6 + 10kπ).
d) 32cos(5π/3 + 10kπ) - 32i.sen(5π/3 + 10kπ).
07)(UNICAMP) Um número complexo z = x + iy,
z ≠ 0, pode ser escrito na forma trigonométrica:
z = |z|(cosθ+ isenθ), onde |z| =
x2 + y2 , cosθ = x/|z|
e senθ = y/|z|. Essa forma de representar os
números complexos não-nulos é muito conveniente,
especialmente para o cálculo de potências inteiras
de números complexos, em virtude da fórmula de
De Moivre:
[|z|(cosθ+ isenθ)]k = |z|k(coskθ+ isenkθ) que é válida
para todo k ∈ Z . Use essas informações para:
a) Calcular
e)
( 3 + i)
12
2
2
+i
, calcular o valor de
2
2
1 + z + z2 + z3 + … + z15.
b) Sendo z =
08)(UERJ)João desenhou um mapa do quintal de sua
casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um
sistema de coordenadas retangulares, colocando a
origem O na base de uma mangueira, e os eixos Ox e
Oy com sentidos oeste-leste e sul-norte,
respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, é
a representação de um número complexo z = x + iy ,
11)(UFAL) Na figura a seguir, os pontos P1 e P2 são
as respectivas imagens de dois números complexos
z1 e z2, ambos de módulo r, representados no plano
de Argand-Gauss.
x ∈IR, y ∈ IR e i2 = -1.
Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do
cofre à origem, João escreveu a seguinte observação
no canto do mapa:
x1 + iy1 = (1+i)9
Calcule:
a) as coordenadas (x1, y1);
b) o valor de d.
09) (UFRJ)Um jantar secreto é marcado para a hora
em que as extremidades dos ponteiros do relógio
foremrepresentadas pelos números complexos z e w
a seguir:
π
π 

z = α cos  + isen  , w = z2,
2
 2 

sendo α um número real fixo, 0 < α < 1 .
Se θ é o argumento de z1, analise as afirmações
seguintes.
(
) z1 . z2 tem módulo r e argumento 2θ.
(
) z1/z2 tem módulo unitário e argumento -π/2.
(
) z2 é conjugado de 1/z1.
(
) z2 = i . z1.
(
) z12 = z22.
12)(UFAL)Considere os números complexos
z1 = 1 +
(
3 i, z2 = 1 - i e z3 = 2 - i.
) O módulo do número complexo z1 . z2 é 2 2 .
(
) O número complexo z2/z3 é um imaginário
puro.
Determine a hora do jantar.
(
) O conjugado de z12 é - 2 . (1 +
(
) z3 é raiz cúbica de 2 - 10i.
(
) A forma trigonométrica de z1 + z2 – z3 é
3 . [cos (π/2) + i . sen (π/2)].
3 i).
raízes, as demais serão ρ[cos (θ + 120º) + i sen (θ +
120º)] e...
13)(FGV) Seja o número complexo z = (x - 2i)2, no
qual x é um número real. Se o argumento principal
de z é 90°, então 1/z é igual a
EXERCÍCIO DIFERENTE
a) -i/8
18)(IME) Determine as raízes quadradas de 15 – 8i.
b) -8i
Sugestão: z2 = 15 – 8i, onde z = x + yi, x e y reais.
c) 4i
d) -1 + 4i
RESPOSTAS
e) 4 – i
01) 02) e
14)(FUVEST/2008) A figura representa o número
−1 + i 3
ω=
no plano complexo, sendo i =
2
unidade imaginária. Nessas condições,
−1 a
a) determine as partes real e imaginária de 1/ω e de
ω3.
b) represente 1/ω e ω3 na figura a seguir.
c) determine as raízes complexas da equação z3 - 1=
0.
03) d
04) e
05) d
06) d
07) a) 4096
b) 0
9
08) a) (1+i) = 16+16i = (16, 16)
b) d = 16 2
09) 21 horas (supondo que o jantar seja à
noite)
10) b
11) F V F V F
12) V F V F V
13) a
14) a) Re(ω-1 ) = - 1/2 e Im(ω-1 ) = -
3/2 ;
Re(ω3 ) = 1 e Im(ω3 ) = 0.
b)
QUESTÕES TRIGONOMÉTRICAS
15)(UFMG) Sejam n um número inteiro positivo e z
um número complexo tal que |z| = 1 e 1 + z2n ≠ 0.
CALCULE a parte imaginária de
zn
1 + z2n
.
Sugestão: inverta , separe e “desinverta”.
“desinverta”.
16)(UFRJ) A representação trigonométrica de um
número complexo z é dada por
z = ρ(cos θ + i sen θ ).
Se z é um número complexo e z' seu conjugado,
resolva a equação: z3 = z'
17)(MACK) Se 3 + 4i é raiz cúbica de um complexo
z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é:
a) 24 + 7i
b) -24 - 7i
c) - 7 - 24i
d) - 7 + 24i
e) 7 - 24i
Sugestão: as raízes cúbicas de um complexo têm
mesmo módulo e dividem a circunferência em 3
partes iguais. Supondo z = ρ(cos θ + i sen θ) uma das
c) 1 e
−1 ± 3
.
2
15) ZERO
16) S = {0, ± 1, ±i}
17) d
Um abraço!
Grego
18) ± (4 – i )
Para quem quiser, a 2ª fórmula de De Moivre
possibilita a obtenção das raízes n-ésimas do
complexo z = ρ(cos θ + i sen θ). São da forma
zk =
nρ

 θ + k2π 
 θ + k2π  
cos 
 + isen 
 ,
n
n 




onde k ∈ {0,1,2,3, … , n − 1} . (Eleve zk a n pra ver!)
Creio, entretanto, que a “bola” dividida em n partes
iguais ameniza um desnecessário sofrimento.