RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
– 2o ANO DO ENSINO MÉDIO –
DATA: 17/09/11
PROFESSOR: MALTEZ
Para essas questões existe apenas uma alternativa verdadeira.
2
3
Resolvendo a equação (tg x – 3) (cos x – 1) = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, o número de soluções é igual
a:
Como o produto é igual a zero temos:
tg2x – 3 = 0 ⇒ tg x = ± 3
 π 2π 4π 5 π 
x∈ ,
,
,

 3 3 3 3 
3
cos x – 1 = 0 ⇒ cos x = 1
x ∈ {0, 2π}
Portanto 6 soluções.
No Universo U = [0; 2π],
1
1 + tgx
+
= 1, é:
2 + tgx
3
Fazendo tx = t
1
1+ t
+
=1
2+t
3
mmc = 3(2 + t)
3 + (1 + t) (2 + t) = 3(2 + t)
2
3 + 2 + 2t + t + t = 6 + 3t
2
2
t +5=6⇒t =1
2
ou tg x = 1 ⇒ tgx = ± 1
 π 3π 5π 7π 
Logo, v =  ,
,
,

 4 4 4 4 
2
Em R, o conjunto-solução da equação sen x – cos x = 1, é:
2
sen x – (1 – sen x) = 1
2
sen x – 1 + sen x = 1
sen x = – 2
2
sen + sen x – 2 = 0
sen x = 1


π
Então a solução em R é: V = x ∈ R; x =
+ 2kπ, k ∈ z 
2



π
Resolvendo-se a equação cos 4x −  = 0, para U = R, o seu conjunto-solução é:

5


4x −
π
π
=
+ kπ
5
2
4x =
π
π
+
+ kπ
5
2
4x =
7π
+ kπ
10
x =
7π
kπ
+
40
4


7π
kπ
V = x ∈ R; x =
+
, k ∈ z
40
4


A equação 2 cos x – 2 sec x = 3, resolvida no intervalo [0; 2π], determina para x os valores:
2 cos x −
2
=3
cos x
2
2 cos x – 2 = 3 cos x
2
2 cos x – 3 cos x – 2 = 0
cos x =
3 ± 9 + 16
2.2
=
cos x = 2 (não satisfaz)
3±5
4
2π
3
−1
cos x =
2
4π
3
Os valores de x são
2π
4π
e
3
3
2
O valor da expressão E = cotg 60º + sec 300º – cossec 330º é:
cos 60º
cot g 60º =
=
sen 60º
1
2 =
3
1
3
=
3
3
2
1
1
1
=
=
= 2
cos 300º
cos 60º
1
2
sec 300º =
cos sec 330º =
1
1
=
=
sen 330º
− sen 30º
1
= −2
1
−
2
2


 3 
E=
 + 2 − (−2) =
 3 


=
3
1
13
+2+2 =
+4 =
9
3
3
 3π

π

tg( π + x ) . sec
− x  . cos + x 
 2

2




 na sua
Obedecidas as condições de existência, a expressão
 3π

cot g( π − x ) . sec
+ x  . sen(2π − x )
 2



forma mais simplificada é:
π

. cos + x 
2

 3π





cos
−x
− senx
1
 2

.
. − senx
sen2 x


= − cos x − senx
=
= tg2 x
cos(π − x )
1
− cos x
1
cos 2 x
.
. sen(2π − x )
.
. − senx
senx
senx
sen(π − x )
 3π

+ x
cos
 2



sen(π + x )
.
cos(π + x )
1
sen 105º é igual a:
sen 105º = sen (60º + 45º) =
sen 60º . cos 45º + sen 45º . cos 60º =
3
=
2
.
2
2
2
+
2
.
1
=
2
6 +
4
2
 3π

O valor de sen (π + x) – cos 
− x  é:
 2



sen (π + x) = – sen x
 3π

cos
− x  = −sen x
 2



– sen x – (–sen x) =
= – sen x + sen x = 0
2
2
Sabendo que a – b = 60º, o valor numérico da expressão y = (sen a + sen b) + (cos a + cos b) é:
2
2
2
2
y = sen a + sen b + 2 sen a sen b + cos a + cos b + 2 cos a cos b
y = 2 + 2 sen a sen b + 2 cos a cos b
y = 2 + 2(cos a cos b + sen a . sen b)
y = 2 + 2 . cos (a – b)
y = 2 + 2 , cos 60º
y = 2+2.
1
2
⇒ y =3
Só serão aceitas as respostas com justificativa de cálculo.
2
Determine o conjunto solução da equação 2 sen x – 3 sen x + 1 = 0, em R.
Fazendo sen x = t
t=1
2
2 t – 3t + 1 = 0
t =
sen x = 1
sen x =
1
2
1
2
x =
π
+ 2kπ
2
π
+ 2kπ ou
6
5π
x =
+ 2kπ
6
x =


π
π
5π
V = x ∈ R; x =
+ 2kπ ou x =
+ 2kπ ou x =
+ 2kπ, k ∈ R 
2
6
6


2
Resolva a equação 2 . sen x = 2 – cos x, para x no universo U = [0; 2π].
2
2
Sabe-se que sen x = 1 – cos x
2
2(1 – cos x) = 2 – cos x
2
2 – 2 cos x = 2 – cos x
2
–2 cos x + cos x = 0 (–1)
2
2cos x – cos x = 0
cos x(2 cos x – 1) = 0
π
cos x = 0
2
3π
2
π
1
cos x =
2
3
5π
3
 π π 3 π 5π 
V =  , ,
,

 3 2 2 3 
π

sen − x  . cos(π + x )
2



Simplifique a expressão
.
cos(π − x ) . sen(2π + x )
cos x . (− cos x )
− cos x
=
= cot g x
− cos x . sen x
− sen x
Calcule o valor da expressão E =
E=
sen 150º − cos 240º
tg 225º
1  1 
− −
2  2

 =
E=
1
E=1
sen 2310º − cos 3480º
.
tg 2025º
Simplifique a expressão y =
y =
y=2
sen 2x
 3π

cos(π + x ) . cos
− x
 2



2 sen x . cos x
= 2
− cos x . ( −sen x )
.