Matemática
Professor: Paulo Tiago
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a) {60°, 300°} b) {30°, 330°} c) {30°, 150°}
d) {30°, 150°, 210°, 330°}
e) {15°, 165°, 195°, 345°}
EXERCÍCIOS
Observação: as questões marcadas com *** exigem
conteúdo que ainda não foi visto no curso e podem ser
puladas.
Nível I
1. Resolva as seguintes equações, em [ 0𝑜 , 360𝑜 ]:
a) 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 = 0
b) √2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 0
2
c) 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 = 0
d) 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 5 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 = 0
2
e) 2 cos 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
10. (FGV - 01) Resolva as seguintes equações
trigonométricas:
2
a) sen x =
, onde 0 ≤ x ≤ 2π
2
b) sen x = cos2x, onde 0 ≤ x ≤ 2π
11. (PUCRJ - 08) Assinale o valor de θ para o qual
sen 2θ = tg θ.
a) π/2
b) π/3
c) 2π/3
d) 4π/3
e) 3π/4
2. Resolva as seguintes equações, em [0, 2𝜋]:
b) cos 𝑥 = 0 c) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = cos 𝑥
e) 3𝑡𝑔2 𝑥 − 1 = 0
a) 2 cos 𝑥 + 1 = 0
d) cos 2𝑥 = cos 𝑥
3. (CESGRANRIO - 90) O número de raízes reais da
equação (3/2) + cosx = 0 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) maior do que 3.
b) {π/3}
e) {π/4, 5π/4}
c) {5π/4}
c) 2
d) 3
b) 2π
c) 3π
d) 4π
e)6𝜋
13. Resolva as seguintes equações, em ℝ e graus:
b) 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1 = 0
d) 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 0
*** 15. (MACKENZIE - 01) As soluções positivas de
sen 2x = 2 sen2 x, com sen x ≠ 0, formam uma
sequência que é uma:
e) 4
a) PA de razão π/2 e primeiro termo π/4.
b) PA de razão 2π e primeiro termo 3π/4.
c) PA de razão π e primeiro termo π/4.
d) PG de razão 3 e primeiro termo π/4.
e) PG de razão 3 e primeiro termo 3π/4.
e) 5π
8. (FATEC - 95) O conjunto solução da equação
2cos2x + cosx - 1 = 0, no universo U = [0, 2π], é:
a) {π/3, π, 5π/3}
b) {π/6, π, 5π/6}
c) {π/3, π/6, π}
d) {π/6, π/3, π, 2π/3, 5π/3}
e) {π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3, 2π}
16. (UFRRJ - 99) O número de soluções da equação
2cos2x - 3cosx - 2 = 0 no intervalo [0, π] é
a) 0
9. (UNIRIO - 98) O conjunto-solução da equação
cos 2x = 1/2, onde x é um arco da 1a volta positiva, é
dado por:
CASD Vestibulares
d) 5𝜋
d) 𝑡𝑔 𝑥 = √3
e) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 = 0
7. (FGV - 03) No intervalo [0, 2π], a equação
trigonométrica
sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale:
a) π
c) 4𝜋
a) √2 cos 𝑥 + 1 = 0
b) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 1 = 0
c) 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3 = 0
6. (CESGRANRIO- 93) O número de soluções da
equação sen2x=2sen x, no intervalo [0,2π], é:
b) 1
b) 3𝜋
14. Resolva as seguintes equações, em ℝ e em
radianos:
5. (PUCRJ - 99) Quantas soluções de
sen(x) + cos(x) = 0 existem para x entre 0 e 2π?
a) 0
a) 2𝜋
a) 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 = 0
c) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
4. (UNIRIO - 00) O conjunto-solução da equação
senx=cosx, sendo 0 ≤ x < 2π, é:
a) {π/4}
d) {π/3, 4π/3}
12. (FUVEST – 02) A soma das raízes da equação
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 0, que estão no intervalo [0, 2𝜋] é:
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
17. (FATEC - 98) Sejam as equações A: tgx = sen2x e
B: cos2x = 1/2.
Sobre as sentenças abaixo:
I. As equações A e B têm exatamente as mesmas
soluções.
II. A equação B tem soluções x = (π/4) + (kπ/2), com k
MATEMÁTICA
1
∈ Z..
III. No intervalo 0 ≤ x ≤ π/2 a equação A tem soluções x
= 0 e x = π/4.
é verdade que
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) todas são verdadeiras.
e) todas são falsas.
Nível II
x2
18. (UFRJ - 04) A equação
possui raízes reais iguais.
Determine θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.
- 2xcosθ +
sen2θ
=0
π
 + 2kπ
4
π
 + 2kπ c) φ ≠ kπ
2
π
e) φ ≠ 2kπ ±  
9
a) φ ≠ 
b) φ ≠ 
d) φ ≠ 2kπ
26. (FUVEST – 05) Sabe-se que x = 1 é raiz da
equação
3
2
(cos2α) x2 - (4 cosα senβ) x +   senβ = 0,
sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo
retângulo da figura a seguir.
*** 19. (UFSCAR - 07) O conjunto solução da equação
sen [ (8π/9) + (8π/27) + (8π/81) ... ] = cos x,
com x ∈ [0,2π[, é
a) {2π/3, 4π/3}. b) {5π/6, 7π/6}. c) {3π/4, 5π/4}.
d) {π/6, 11π/6}. e) {π/3, 5π/3}.
20. (FUVEST – 99) Ache todas as soluções da equação
Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são,
respectivamente,
𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 0 no intervalo [0,2𝜋)
a)
sen4x
21. (MACKENZIE - 03) Se
pode pertencer ao intervalo:
a) [π/4, 3π/4]
d) [π/6, π/3]
=1+
cos2x,
então x
𝜋
8
e
3𝜋
8
b)
𝜋
e
6
𝜋
c)
3
b) [0, π/6] c) [π, 5π/4]
e) [5π/3, 2π]
23. (FUVEST - 02) Determine as soluções da equação
(2cos2x + 3senx) (cos2x - sen2x) = 0
que estão no intervalo [0,2π].
𝜋
4
d)
𝜋
3
e
𝜋
6
e)
3𝜋
8
e
𝜋
8
28. (UFV - 99) Determine todos os pares (x,y) de
números reais que satisfazem o sistema a seguir:
2
2

sen x  sen 2y

2
2

cos x  sen y
sendo 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ π (Dica: some as duas
equações do sistema).
GABARITO
{30𝑜
c) 0 < x < π/6
*** 25. (UNIRIO - 95) Para que a matriz a seguir, seja
inversível, é necessário que:
𝑜}
1. a) 𝑆 =
, 150
b) 𝑆 = {225𝑜 , 315𝑜 }
c) 𝑆 = ∅
d) 𝑆 = {30𝑜 , 150𝑜 }
e) 𝑆 = {90𝑜 , 210𝑜 , 330𝑜 }
2. a)
b) 𝑆
2
e
3 tg x + 2 cos x = 3 sec x.
24. (FEI - 96) Se s = sen(x), 5s2 + s - 4 = 0 e
0 ≤ x ≤ π/2 então:
b) 0 < x < π/4
e) π/4 < x < π/2
4
27. (UFMG - 94) Determine todos os valores de x
pertencentes ao intervalo (0, π) que satisfazem a
equação
22. (FUVEST - 05) Determine todos os valores de x
pertencentes ao intervalo [0, 2π] que satisfazem a
equação
cos2 2x = (1/2) - sen2 x.
a) x = 0
d) x = π/2
𝜋
2𝜋 4𝜋
𝑆={3 ,
𝜋 3𝜋
={ ,
}
}
2 2
𝜋 𝜋 3𝜋 5𝜋
c)
𝑆 = {3 , 2 ,
d)
𝑆 = {0,
e)
𝑆 = {6 ,
MATEMÁTICA
3
,
2 3
2𝜋 4𝜋
,
}
, 2𝜋}
3 3
𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋
6
,
6
,
6
}
CASD Vestibulares
3. A
25. C
4. E
26. D
5. 2 soluções
27. 𝑆
6. C
6
}
𝜋
7. D
𝜋 𝜋
(𝑥, 𝑦) = (0, ) 𝑜𝑢 (𝑥, 𝑦) = ( , ) 𝑜𝑢
2
𝜋 5𝜋
28. 𝑆 = (𝑥, 𝑦) = ( ,
8. A
3
) 𝑜𝑢 (𝑥, 𝑦) = (
6
2𝜋 5𝜋
{ (𝑥, 𝑦) = ( 3 ,
9. D
10. 𝑆
𝜋 5𝜋
= {6 ,
𝜋 5𝜋 3𝜋
= {6 ,
6
,
2
6
3 6
2𝜋 𝜋
3
, ) 𝑜𝑢
6
𝜋
) 𝑜𝑢 (𝑥, 𝑦) = (𝜋, )
2
}
}
11. E
12. C
13. a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 = 270𝑜 + 360𝑜 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 = 45𝑜 + 90𝑜 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 = 180𝑜 𝑘 𝑜𝑢 𝑥 = 90𝑜 + 360𝑜 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ}
𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 = 210𝑜 + 360𝑜 𝑘 𝑜𝑢 𝑥 = 270𝑜 + 360𝑜 𝑘
d) 𝑆 = {
}
𝑜𝑢 𝑥 = 330𝑜 + 360𝑜 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ
𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 =
14. a) 𝑆 = {
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
𝑘∈ℤ
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
}
𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 = 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
3
b) 𝑆 = {
𝑘∈ℤ
𝜋
5𝜋
6
6
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 = + 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋,
}
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
𝜋
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
3
3𝜋
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 =
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
15. C
16. B
17. A
18. 𝑆
𝜋 3𝜋 5𝜋 7𝜋
= {4 ,
4
,
,
4
4
}
19. B
20. 𝑆
𝜋 𝜋 2𝜋
= {0, 3 , 2 ,
3
, 𝜋,
4𝜋 3𝜋 5𝜋
3
,
2
,
3
}
21. A
𝜋 𝜋 3𝜋 5𝜋 7𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋
22. 𝑆
= {6 , 4 ,
23. 𝑆
= {4 ,
4
,
6
,
6
,
4
,
4
𝜋 3𝜋 7𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋
4
,
6
,
4
,
4
,
6
,
6
}
}
24. E
CASD Vestibulares
MATEMÁTICA
3