Equilíbrio do ponto material
•
•
“A resultante do sistema de forças aplicadas a um ponto material em equilíbrio deve ser constantemente nula
= 0 ".
Exercícios clássicos:
1. (Ibmecrj 2013) Um bloco de 6 kg de massa é mantido em repouso, encostado em uma parede vertical, aplicando-se a ele uma
2
força horizontal F . Se a aceleração da gravidade vale 10 m/s e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a parede é 0,2,
qual é o menor valor de F , em Newtons para que o bloco permaneça em repouso?
a) 60 b) 120 c) 180 d) 240 e) 300
Resposta:
[E]
A figura mostra as forças que agem no bloco: peso, F e a força de contato com a parede que já está decomposta em normal e
força de atrito.
Para haver equilíbrio a resultante deve ser nula, portanto:
(Fat)max = P → μN = mg → 0,2N = 60 → N = 300N
F = N → F = 300N
2. (Uel 2012) Uma pessoa, de massa 80,0 kg, consegue aplicar uma força de tração máxima
de 800,0 N. Um corpo de massa M necessita ser levantado como indicado na figura a seguir.
O coeficiente de atrito estático entre a sola do sapato da pessoa e o chão de concreto é
µe = 1,0 .
Faça um esboço de todas as forças que atuam em todo o sistema e determine qual a maior
massa M que pode ser levantada pela pessoa sem que esta deslize, para um ângulo
θ = 45º .
Resposta:
Esboço das forças que atuam no sistema:
Condição da questão:
Tmax = 800N
P ' = T → M.g = T → M.10 = 800
Mmax = 80kg
Para que a pessoa levante a caixa sem deslizar, temos:
Na pessoa: A = T.cosθ
Na caixa: T = P' = M.g
Ou seja, A = T.cos θ → A = P'.cos θ → A = M.g.cos θ (EQUAÇÃO 1)
Força de atrito que atua na pessoa: A = μ.N
Como: N + T.senθ = P → N = P − T.senθ → N = m.g − T.senθ
Teremos: A = μ.N = μ.(m.g − T.senθ)
Substituindo na equação 1:
A = M.g.cos θ → μ.(m.g − T.senθ) = M.g.cos θ
Lembre-se que: T = P' = M.g
www.soexatas.com
Página 1
Ou seja: μ.(m.g − T.senθ) = M.g.cos θ → μ.(m.g − M.g.senθ) = M.g.cos θ
Substituindo os valores:
μ.(m.g − M.g.senθ) = M.g.cos θ → 1.(80.10 − M.10.sen45º ) = M.10.cos 45º → 800 − M.10
2
2
M = 40 2kg
= M.10.
2
2
M<Mmax, a resposta satisfaz a questão.
3. (G1 - ifsp 2012) Para facilitar a movimentação vertical de motores pesados em sua oficina, um mecânico montou a associação
de roldanas mostrada de forma simplificada na figura. Todos os fios, roldanas, os ganchos 1 e 2 e a haste horizontal têm massas
P
desprezíveis. Um motor de peso P será pendurado no gancho 1 e um contrapeso, de peso , é permanentemente mantido na
5
posição indicada na montagem.
O motor permanecerá em repouso, sem contato com o solo, se no gancho 2, preso no contrapeso, for pendurado outro corpo
de peso
P
P
P
P
P
a)
b)
c)
d)
e)
.
2
4
8
10
20
Resposta:
[E]
A figura mostra como se distribuem as forças pelo sistema de polias.
Analisando o equilíbrio na extremidade direita, temos:
P P
=
5 4
P
P' =
.
20
P '+
⇒ P' =
P P 5P − 4P
− =
4 5
20
⇒
4. (Ufpr 2012) Três blocos de massas m1 , m2 e m3 , respectivamente, estão unidos por cordas de massa desprezível, conforme
mostrado na figura. O sistema encontra-se em equilíbrio estático. Considere que não há atrito no movimento da roldana e que o
bloco de massa m1 está sobre uma superfície horizontal. Assinale a alternativa que apresenta corretamente (em função de m1
e m3 ) o coeficiente de atrito estático entre o bloco de massa m1 e a superfície em que ele está apoiado.
a)
www.soexatas.com
m3
2m1
b)
m1
2m3
c)
3m3
2m1
d)
3m1
2m3
e)
3m1
m3
Página 2
Resposta:
[A]
A figura mostra as forças que agem sobre cada bloco e a junção dos três fios:
Isolando a junção → T3 cos 60° = T1 → m3 .gcos 60° = T1 (01)
Isolando o bloco 1 → μN1 = μ.m1.g = T1 (02)
Igualando 02 e 01, vem: μm1g = m3 g.
m
1
→μ = 3 .
2
2m1
5. (Fuvest 2012) Um móbile pendurado no teto tem três elefantezinhos presos um ao outro por fios, como
mostra a figura. As massas dos elefantes de cima, do meio e de baixo são, respectivamente, 20g, 30g e 70g.
Os valores de tensão, em newtons, nos fios superior, médio e inferior são, respectivamente, iguais a:
a) 1,2; 1,0; 0,7. b) 1,2; 0,5; 0,2. c) 0,7; 0,3; 0,2. d) 0,2; 0,5; 1,2. e) 0,2; 0,3; 0,7.
Note e adote: Desconsidere as massas dos fios.
Aceleração da gravidade g = 10 m/s2 .
Resposta:
[A]
–3
–3
–3
2
Dados: mS = 20 g = 20×10 kg; mS = 30 g = 30×10 kg; mS = 70 g = 70×10 kg; g = 10 m/s .
1ª Solução:
Podemos pensar de uma maneira simples:
– Se cortarmos o fio superior, os três elefantes cairão. Logo, a tração nesse fio superior equilibra os pesos dos três elefantes.
Sendo TS a tensão nesse fio, temos:
TS = PC + PM + PB = ( mC + mM + mB ) g = ( 20 + 30 + 70 ) × 10 −3  10 ⇒
TS = 1,2 N.
– Se cortarmos o fio médio, cairão os elefantes do meio e de baixo. Logo, a tração nesse fio do meio equilibra os pesos desses
dois elefantes. Sendo TM a tensão nesse fio, temos:
TM = PM + PB = ( mM + mB ) g = ( 30 + 70 ) × 10−3  10 ⇒
TS = 1,0 N.
– Analogamente, se cortarmos o fio inferior, cairá apenas o elefante de baixo. Logo, a tração nesse fio equilibra o peso desse
elefante. Sendo TB a tensão nesse fio, temos:
TB = PB = mB g = 70 × 10−3 × 10 ⇒
TB = 0,7 N.
2ª Solução:
Racionando de uma maneira mais técnica, analisemos o diagrama de forças sobre cada móbile.
www.soexatas.com
Página 3
De Cima (C)
Do Meio (M)
De Baixo (B)
Como se trata de um sistema em equilíbrio, a resultante das forças em cada elefante é nula. Assim:
(C) ⇒ TS − PC − TM = 0

( + ) ⇒ TS − PC − PM − PB = 0 ⇒ TS = PC + PM + PB
(M) ⇒ TM − PM − TB = 0
(B) ⇒ T − P = 0
B
B

TS = ( 20 + 30 + 70 ) × 10 −3  × 10 ⇒ TS = 120 × 10−2 ⇒
⇒
TS = 1,2 N.
Em (B):
TB − PB = 0 ⇒ TB = PB = 70 × 10 −3 × 10 ⇒
TB = 0,7 N.
Em (M):
TM − PM − TB = 0 ⇒ TM = PB + TB = ( 30 + 70 ) × 10 −3  × 10 ⇒
TB = 1,0 N.
6. (Ifsul 2011) Uma caixa A, de peso igual a 300 N, é suspensa por duas cordas B e C conforme a figura abaixo.
O valor da tração na corda B é igual a
a) 150,0 N. b) 259,8 N. c) 346,4 N. d) 600,0 N.
Resposta:
[D]
Dado: P = 300 N
A Figura 1 mostra as forças que agem no nó. Como a caixa está em repouso, a resultante das forças que agem sobre ela é nula.
Então pela regra poligonal, elas devem formar um triângulo, como mostrado na Figura 2.
Da Figura 2:
sen30° =
www.soexatas.com
PB
TB
⇒
1 300
=
2
TB
⇒ TB = 600 N.
Página 4
7. (Espcex (Aman) 2011) Um bloco de massa m = 24 kg é mantido suspenso em equilíbrio pelas cordas L e Q, inextensíveis e de
massas desprezíveis, conforme figura abaixo. A corda L forma um ângulo de 90°
com a parede e a corda Q forma um ângulo de 37° com o teto. Considerando a
2
aceleração da gravidade igual a 10m / s , o valor da força de tração que a corda
L exerce na parede é de:
(Dados: cos 37° = 0,8 e sen 37° = 0,6)
a) 144 N b) 180 N c) 192 N d) 240 N
Resposta:
[E]
Observe a figura abaixo.
Para haver equilíbrio, a resultante de P e TL deve ter o mesmo módulo e ser
oposta a TQ . Sendo assim e, a partir do triângulo sombreado, podemos
escrever:
tg370 =
P
0,6 240
→
=
→ TL = 320N
TL
0,8
TL
8. (Udesc 2010) Uma pessoa começa a empurrar um bloco de peso igual a 500 N, em repouso sobre um plano inclinado de 30o,
com uma força crescente F, paralela ao plano e dirigida para baixo.
Dados: cos 30º = 0,9; sen 30º = 0,5.
O coeficiente de atrito estático entre o plano e o bloco é 0,70. O valor do módulo da força para o qual
o bloco começará a descer o plano inclinado é:
a) superior a 350 N b) superior a 65 N c) superior a 315 N d) igual a 175 N e) igual a 500 N
Resposta:
[B]
A figura mostra as forças que agem no bloco.
Como o corpo está em repouso → FR = 0
N = P cos300 = 500 × 0,9 = 450N
F + Psen300 = Fat = µN → F + 500.0,5 = 0,7 × 450 → F = 65N
Para haver movimento → F > 65N
Bibliografia:
Junior, Francisco R.; Ferraro, Nicolau G. ; Soares, Paulo A. de Toledo. Fundamentos da física 1. 9ª Edição. São Paulo, moderna, 2007.
www.soexatas.com
Página 5