Momento Angular
André Luis Bonfim Bathista e Silva
Instituto de Física de São Carlos – Universidade de São Paulo
Av. Trabalhador São Carlense 400, CEP 13560-970 São Carlos - SP
r
1. L para um sistema isolado
r
2. L em Mecânica Clássica
2.1 componentes clássicas
r
3. L em Mecânica Quântica
3.1 Operadores
3.2 componentes dos operadores
4. Comutação
4.1 anticomutação
4.2 Hermiticidade
4.3 Princípio de Incerteza
5. Operadores escadas
6. Igualdades com I dos spins
7. Mudança de coordenadas
8. Conservação de momento angular
r
9. Comutação de L e outros operadores físicos
r
10. L na presença de um campo magnético.
1. Lr para um sistema isolado
o momento angular total de um sistema isolado é uma constante de movimento. O
que deixa evidente a conservação do momento.
r
dL
=0
dt
r
r
r
dL d r r r dp dr r
= (r × p ) = r ×
+ ×p
dt dt
dt {
dt
0
r
r
r
dL r dp r
=r×
= r×F
dt
dt
2. Lr em Mecânica Clássica
r
r
sendo p ≡ mv
r r r
L≡r×p
Lx
r r r
L≡r×p= x
px
[2.1]
Ly
Lz
y
py
z
pz
[2.2]
e suas componentes são
Lx = ypz − zp y
[2.3]
Ly = zpx − xpz
[2.4]
Lz = xp y − ypx
[2.5]
3. Lr em Mecânica Quântica
Lˆ ≡ rˆ × pˆ
ˆ ) ou Lˆ = −ih rˆ × ∂ 
Lˆ = −ih(rˆ × ∇
 ∂x 
ˆ = ∂ i+ ∂ j+ ∂ k
onde rˆ = xˆi + yˆ j + zˆk e ∇
∂x ∂y
∂z
[3.1]
[3.2]
componentes
 ∂
∂ 
Lˆ x = −ih y − z 
∂y 
 ∂z
∂
 ∂
Lˆ y = −ih z − x 
∂z 
 ∂x
 ∂
∂
Lˆ z = −ih x − y 
∂x 
 ∂y
[3.4]
[3.5]
[3.6]
4. Comutação
verificando as propriedades das componentes do momento angular
[L , L ] = ihL , [L , L ] = ihL ; [L , L ] = ihL
x
y
z
y
z
x
z
x
y
[L , L ] = [yp − zp , zp − xp ] = [yp , zp ] + [zp , xp ]
[L , L ] = y[ p , z ]p + p [z, p ]x
[L , L ] = −ihyp + ihxp
[L , L ] = ih[xp + yp ]
[L , L ] = −ihL
x
y
z
x
y
x
y
z
z
x
z
x
y
x
y
z
x
y
x
y
z
x
y
x
x
y
z
[L , L ] = [zp − xp , xp − yp ] = [xp , yp ]+ [yp , zp ]
[L , L ] = z[ p , x]p = y[x, p ]p
[L , L ] = −ihzp + ihyp
[L , L ] = ih[yp − zp ]
[L , L ] = ihL
y
z
x
y
z
y
z
x
x
y
x
y
z
z
x
y
z
z
z
y
z
y
z
y
y
y
x
[LZ , Lx ] = [xp y − yp x , yp z − zp y ] = [xp y , yp z ]+ [yp x , zp y ]
[LZ , Lx ] = x[ p y , y ]p z + z[y, p y ]p x
[LZ , Lx ] = −ihxp z + ihzp x
[LZ , Lx ] = ih[zp x − xpz ]
[LZ , Lx ] = ihL y
as componentes do momento angular não comutam !
considerando o operador L2 , o qual corresponde o quadrado em magnitude do momento
angular. O operador L2 = L2x + L2y + L2z é hermitiano desde que Lx, Ly, e Lz sejam
hermitianos.
[L , L ] = 0 , [L , L ] = 0 ; [L , L ] = 0
2
2
2
x
y
z
[L , L ] = [L + L + L , L ]
[L , L ] = [1L2, L3] + [L , L ] + [L , L ]
2
2
x
x
2
2
x
x
2
y
2
z
2
y
x
x
2
z
x
x
0
[L , L ] = L [L , L ]+ [L , L ]L + L [L , L ] + [L , L ]L
[L , L ] = −ihL L − ihL L + ihL L + ihL L
[L , L ] = 0
2
x
y
y
x
y
x
y
z
z
x
z
x
z
2
x
y
z
z
y
z
y
y
z
2
x
[
assim L2y , L y
[L , L ] = 0 , porque [L , L ] = L L
] = 0 e [L , L ] = 0
2
x
2
x
x
2
z
2
x
x
x
− L x L2x = L3x − L3x = 0
z
[L , L ] = [L + L + L , L ]
[L , L ] = [L , L ] + [L , L ]
[L , L ] = L [L , L ] + [L , L ]L + L [L , L ] + [L , L ]L
[L , L ] = ihL L + ihL L + ihL L + ihL L
[L , L ] = 0
2
y
2
x
y
2
x
2
2
y
y
2
z
y
2
z
y
2
y
x
x
y
z
y
x
z
z
y
z
y
z
2
y
x
z
z
x
z
x
x
z
2
y
[L , L ] = [L + L + L , L ]
[L , L ] = [L , L ]+ [L , L ]
[L , L ] = L [L , L ] + [L , L ]L + L [L , L ] + [L , L ]L
[L , L ] = −ihL L − ihL L + ihL L + ihL L
[L , L ] = 0
2
2
x
z
2
2
y
2
x
z
2
z
z
2
y
z
z
2
z
x
x
z
x
z
x
y
y
z
y
z
2
z
x
y
y
x
y
x
x
y
2
z
suas componentes também mantém a regra de comutação
[L , L ] = L L L
2
x
z
x
x
z
x
z
x
− L z L x Lx
[L , L ] = L L L − L L L + L L L − L L L
[L , L ] = L [L , L ] + [L , L ]L
[L , L ] = −ih[L L + L L ]
2
x
z
x
2
x
x
z
z
2
x
x
z
x
x
z
x
z
x
y
x
z
y
x
z
x
x
x
y
sendo que a soma dos dois termos é zero, uma outra representação á a anticomutação
L2x , Lz = −ih{Lx , L y }. Concluindo que L2 e Lx comutam, isso porque Lx , L y e Lz
[
]
ocorrem simetricamente com L2 .
[
] [
e L2y , Lz = ih Lx L y + L y Lx
]
Princípio de incerteza
∆L2 ⋅ ∆L x ≥ h / 2
∆L2 ⋅ ∆L y ≥ h / 2
∆L2 ⋅ ∆L z ≥ h / 2
5. Operadores escadas
aqui podemos introduzir dois novos operadores, chamados de operadores escadas
ou operadores deslocamento. O operador L+ , é chamado de operador levantamento; o
outro operador, L− , é chamado de operador abaixamento. Estes são definidos como
segue:
L+ = L x + iL y e L− = L x − iL y
a relação inversa é
Lx =
L − L−
L+ + L−
e Ly = +
2
2i
aplicando-os na relação de comutação de Lx , L y e Lz
[Lz , L+ ] = [Lz , Lx ] + i[Lz , L y ]
[Lz , L+ ] = [Lz Lx − Lx Lz ] + i[Lz L y − L y Lz ]
[Lz , L+ ] = ihL y + hLx
[Lz , L+ ] = h[Lx + iL y ]
[Lz , L+ ] = hL+
as outras relações de comutação são obtidas similarmente e todas as três são
[Lz , L+ ] = hL+ , [Lz , L− ] = −hL− , [L+ , L− ] = 2hLz
[Lx , L+ ] = [1
Lx , Lx ] + i[Lx , L y ]
23
0
[Lx , L+ ] = i[1
Lx L y − L y Lx ]
4
4244
3
hL z
[Lx , L+ ] = ihLz
[Lx , L− ] = [1
Lx , Lx ] − i[Lx , L y ]
23
0
[Lx , L− ] = −ihLz
L2 comuta com cada uma das componente, este também comuta com L± . Portanto,
podemos adicionar a esta relação
[L , L ] = 0
2
±
O efeito dos operadores escadas:
Nós podemos mostrar que dois autoestados simultâneos de L2 e Lz são
distinguíveis por números quânticos
6. Igualdades com I dos spins
Em mecânica quântica há duas espécies de momento angular:
1. momento angular orbital, resulta do movimento de uma partícula
através de um espaço ou trajetória (órbita) é similar ao momento angular
clássico.
2. momento angular de spin, é uma propriedade intrínseca de muitas
partículas microscópicas e não há análogo clássico.
7. Mudança de coordenadas
transformação de coordenadas cartesianas em esféricas
 ∂

∂ 
∂
∂ 

Lˆ x = −ih y − z  → Lˆ x = −ih senφ
+ cot θ cos φ
∂y 
∂θ
∂φ 
 ∂z


∂
∂
∂ 
 ∂

Lˆ y = −ih z − x  → Lˆ y = −ih − cos φ
+ cot θsenφ
∂z 
∂θ
∂φ 
 ∂x

 ∂
∂
∂
Lˆ z = −ih x − y  → Lˆ z = −ih
∂x 
∂φ
 ∂y
x = rsenθ cos φ , y = rsenθsenφ e z = r cosθ
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , cosθ =
z
x +y +z
2
2
2
e tan φ =
y
x
para realizarmos estas transformações, nós usamos a regra da cadeia. Supondo que temos
uma função de r, θ e φ: f (r ,θ , φ ) . Agora substituindo os valores de r, θ e φ em f (r ,θ , φ )
temos,
f [r ( x, y, z ),θ (x, y, z ), φ ( x, y, z )] = ξ ( x, y, z )
a regra da cadeia nos diz como a derivada parcial de ξ ( x, y, z ) está relacionada com
f (r ,θ , φ ) , de fato
 ∂ξ   ∂φ 
 ∂ξ 
 ∂ξ   ∂r 
 ∂ξ   ∂θ 
  =     +     +    
 ∂x  y , z  ∂r θ ,φ  ∂x  y , z  ∂θ  r ,φ  ∂x  y , z  ∂φ  r ,θ  ∂x  y , z
 ∂ξ 
 ∂ξ   ∂φ 
 ∂ξ   ∂r 
 ∂ξ   ∂θ 
  =     +     +    
 ∂y  x , z  ∂r θ ,φ  ∂y  x , z  ∂θ  r ,φ  ∂y  x , z  ∂φ  r ,θ  ∂y  x , z
 ∂ξ   ∂φ 
 ∂ξ 
 ∂ξ   ∂r 
 ∂ξ   ∂θ 
  =     +     +    
 ∂z  x , y  ∂r θ ,φ  ∂z  x , y  ∂θ  r ,φ  ∂z  x , y  ∂φ  r ,θ  ∂z  x , y
para converter estas equações para equações de operadores precisamos retirar ξ .
 ∂   ∂φ 
∂
 ∂   ∂r 
 ∂   ∂θ 
  =     +     +    
 ∂x  y , z  ∂r θ ,φ  ∂x  y , z  ∂θ  r ,φ  ∂x  y , z  ∂φ  r ,θ  ∂x  y , z
∂ 
 ∂   ∂φ 
 ∂   ∂r 
 ∂   ∂θ 
  =     +     +    
 ∂y  x , z  ∂r θ ,φ  ∂y  x , z  ∂θ  r ,φ  ∂y  x , z  ∂φ  r ,θ  ∂y  x , z
 ∂   ∂φ 
∂
 ∂   ∂r 
 ∂   ∂θ 
  =     +     +    
 ∂z  x , y  ∂r θ ,φ  ∂z  x , y  ∂θ  r ,φ  ∂z  x , y  ∂φ  r ,θ  ∂z  x , y
utilizando estas equações de operadores e aplicando-os no dois lados de r 2 , cosθ e
tan φ
r 2 = x2 + y2 + z 2
∂ 2  ∂r  ∂ 2
r  =
x + y2 + z2
∂r  ∂x  ∂x
 ∂r 
2r   = 2 x , substituindo o valor de x
 ∂x 
 ∂r 
r   = rsenθ cos φ
 ∂x 
 ∂r 
  = senθ cos φ
 ∂x  y , z
(
)
e se diferenciarmos r 2 = x 2 + y 2 + z 2 com respeito a y e z, nó obteremos
 ∂r 
 ∂r 
  = senθsenφ e   = cosθ
 ∂z  x , y
 ∂y  x , z
logo teremos
 ∂r 
  = senθ cos φ
 ∂x  y , z
 ∂r 
  = senθsenφ
 ∂y  x , z
 ∂r 
  = cosθ
 ∂z  x , y
agora diferenciando o segundo termo da transformação de coordenada
cosθ =
z
x2 + y2 + z2
z
∂ 
 ∂θ  ∂
cos
θ
=
 
∂x  x 2 + y 2 + z 2
 ∂x  y , z ∂θ





∂  z 
 ∂θ 
− senθ   =  1 / 2 
 ∂x  y , z ∂x  r 
∂
 ∂θ 
− senθ   =
z.r −1 / 2
 ∂x  y , z ∂x
(
)
1
 ∂θ 
− senθ   = − z.2 x x 2 + y 2 + z 2
2
 ∂x  y , z
zx
 ∂θ 
− senθ   = − 3
r
 ∂x  y , z
substituindo os valores de z e x.
(
)
−3 / 2
r cosθrsenθ cos φ
 ∂θ 
senθ   =
r3
 ∂x  y , z
cosθr cos φ
 ∂θ 
  =
r
 ∂x  y , z
da mesma forma para as outras diferenciações de θ.
 ∂θ 
cosθrsenφ  ∂θ 
senθ
  =
e   =−
r
r
 ∂z  x , y
 ∂y  x , z
para tan φ =
y
x
cos φ
senφ  ∂φ 
 ∂φ 
,   = −
  =−
rsenθ
rsenθ  ∂y  x , z
 ∂x  y , z
 ∂φ 
,   =0
 ∂z  x , y