O pêndulo composto
Um pêndulo composto consiste de um corpo rígido, de massa M, que pode
girar livremente em torno de um eixo sob a ação da gravidade. Escolhamos
o eixo z como sendo o eixo de rotação. Seja G o centro de massa do corpo
rígido. Escolhamos o plano xy como sendo aquele que é perpendicular ao eixo
de rotação, que escolhemos como o eixo z, e que contém o centro de massa G.
Seja o ponto O sobre o eixo z e que também está contido no plano xy. Seja h a
distância que vai desde o ponto O até o centro de massa G. Seja Iz o momento
de inércia do corpo rígido com relação ao eixo de rotação z. De acordo com a
postagem Rotação em torno de um eixo, o torque sobre o corpo rígido, com
relação ao ponto O, que vou escolher como a origem do sistema de coordenadas,
é dado por
N
= Iz θ̈ẑ,
onde o ângulo θ é aquele feito entre a vertical e a linha que passa pelos pontos
O e G. O eixo de giração com relação ao ponto O é denido como
k02
=
Iz
.
M
Logo,
N
= M k02 θ̈ẑ.
Se o corpo rígido for pensado, sem perda de generalidade, como constituído
de N partículas de massas mk , com k = 1, 2, . . . , N, então, o torque total também pode ser escrito como
N
=
N
X
rk × (mk r̈k ) ,
k=1
onde rk é o vetor posição da k-ésima partícula. Pela segunda lei de Newton, a
força total sobre a k-ésima partícula é dada por
mk r̈k
int
= Fext
k + Fk ,
onde Fext
é a força externa e Fint
é a força interna. A força externa, no caso
k
k
do pêndulo, é apenas o peso e, portanto,
Fext
k
= mk g,
onde g é o vetor aceleração da gravidade no local onde o pêndulo está. A força
interna, no entanto, depende das outras partículas do corpo rígido e, como na
postagem Conservação da quantidade de movimento angular, vou supor que
não exerce torque. Com essas observações e hipóteses, o torque total pode ser
reescrito como
N
=
N
X
rk × Fext
k =
k=1
N
X
k=1
1
!
mk rk
× g.
Lembrando que o vetor posição do centro de massa é dado por
R
=
N
1 X
mk rk ,
M
k=1
concluímos que
N
R × (M g) .
=
Veja que o torque total sobre o pêndulo composto é calculado como se toda a
massa do corpo rígido estivesse no centro de massa. Note também que, pela
escolha da origem no ponto O,
|R| =
h.
Como g aponta para baixo, segue que
N
=
−M ghsenθẑ.
Não se esqueça de que o eixo z que escolhemos aqui é horizontal, já que é o eixo
de rotação. O sinal negativo é necessário porque o torque que o peso exerce é
contrário ao aumento do ângulo θ. Então, agora que temos outra expressão para
o torque, podemos escrever a equação de movimento para a variável angular θ :
M k02 θ̈
−M ghsenθ,
=
isto é,
θ̈
−g
=
h
senθ,
k02
que é a mesma equação para um pêndulo simples. Um pêndulo simples equivalente a este pêndulo composto, no tocante à equação de movimento, é obtido
tomando-se o comprimento de sua haste de suspensão como
l
=
k02
.
h
Assim, considerando novamente o caso de nosso pêndulo composto, podemos
denir um ponto O0 a uma distância l do ponto O, ao longo da linha denida
por O e o centro de massa G. O ponto O0 é chamado de centro de oscilação.
Seja
h0
= l − h,
isto é,
h0
k02
− h,
h
=
2
ou seja,
h0 h =
k02 − h2 .
(1)
O teorema de Huygens & Steiner estabelece que
= IG + M h 2 ,
Iz
onde IG é o momento de inércia do pêndulo composto, calculado com relação a
um eixo de rotação paralelo ao eixo z. Com a denição do raio de giração com
relação ao eixo que passa por G, temos
2
kG
=
IG
M
e, portanto,
Iz
= IG + M h2
implica em
M k02
=
2
M kG
+ M h2 ,
isto é,
k02
2
= kG
+ h2 .
Com esse resultado, a Eq. (1) ca
h0 h =
2
2
kG
+ h2 − h2 = kG
.
A simetria entre h e h0 indica que se tivéssemos pendurado o pêndulo composto
pelo ponto O0 , então o centro de oscilação estaria em O.
O livro do Symon [1] menciona uma maneira de medir a aceleração da gravidade usando um pêndulo composto. Acho que a ideia é mais ou menos assim:
você pega o pêndulo e o deixa em repouso, pendurado por O. Então, você traça,
no corpo do pêndulo, a reta vertical que passa por O. Aí você dá um pequeno
peteleco que faz com que o pêndulo oscile com pequenas oscilações em torno do
eixo z e mede o período. Pronto, você sabe que esse período é dado por
s
T
=
2π
l
,
g
mas você ainda não sabe nem g nem l. Depois dessa determinação, você pode
pendurar o pêndulo de vários pontos ao longo da reta que você traçou e ver
onde é que ele vai ter o mesmo período de pequenas oscilações que em torno do
ponto O. É claro que você deve sempre usar eixos paralelos ao inicial, eixo z.
Com isso, agora você vai ter o valor de l e, portanto, pode determinar o valor
de g. Maneiro, não é?
3
O problema do taco de baseball
O livro do Symon [1] trata o problema em que um taco de baseball, sendo
segurado no ponto O, rebate uma bola no ponto O0 . Para que a bolada não
acabe transmitindo um tranco muito grande nas mãos do jogador, O0 deve estar
a uma distância l de O tal que
hl
=
k02 ,
onde h é a distância, ao longo do eixo de simetria do taco de baseball, entre o
ponto O e o centro de massa do taco, G. Para ver isso, vamos considerar uma
bolada perpendicular ao eixo de simetria do taco e que o jogador, ao invés de
imprimir uma tacada na bola, apenas segura o taco procurando mantê-lo xo no
ponto onde suas mãos estão, permitindo, no entanto, que gire em torno desse
ponto O. Assim, a bola exerce uma força F0 no ponto O0 , durante um certo
tempo ∆t. Analogamente, vai haver uma força F aplicada no ponto O, pelo
jogador, para poder manter esse ponto xo. A variação do momentum do taco
é dada por
dP
dt
= F + F0 ,
onde usei a segunda lei de Newton. Mas,
dP
dt
= M
dṘ
,
dt
onde Ṙ é a velocidade do centro de massa. Colocando a origem no ponto O,
como especicado acima, e sabendo, por hipótese, que o ponto O é mantido xo
pelo jogador, podemos escrever
R = hx̂ cos θ + hŷsenθ,
já que a distância entre O e o centro de massa, G, é h. Portanto,
Ṙ = −hθ̇x̂senθ + hθ̇ŷ cos θ.
Assim,
dP
dt
= M
d −hθ̇x̂senθ + hθ̇ŷ cos θ ,
dt
isto é,
dP
dt
= M hθ̈ (−x̂senθ + ŷ cos θ) − M hθ̇2 (x̂ cos θ + ŷsenθ) ,
ou seja,
M hθ̈ (−x̂senθ + ŷ cos θ) − M hθ̇2 (x̂ cos θ + ŷsenθ)
4
=
F + F0 .
(2)
O torque com relação ao ponto O é dado por
dL
dt
=
d Iz θ̇ẑ = lR̂ × F0 ,
dt
isto é,
Iz θ̈ẑ = l (x̂ cos θ + ŷsenθ) × F0 ,
(3)
já que l é a distância entre O e O0 . Por hipótese, a força F0 é perpendicular ao
eixo de simetria do taco e, portanto, é perpendicular ao vetor R. Logo,
F0
= F 0 (−x̂senθ + ŷ cos θ) ,
já que o versor (−x̂senθ + ŷ cos θ) é perpendicular a R̂. Podemos então multiplicar escalarmente a Eq. (2) por (−x̂senθ + ŷ cos θ) e obter
M hθ̈
=
(−x̂senθ + ŷ cos θ) · F + F 0 .
(4)
Da Eq. (3) segue que
lF 0 (x̂ cos θ + ŷsenθ) × (−x̂senθ + ŷ cos θ) = lF 0 ẑ
Iz θ̈ẑ =
e, portanto,
Iz θ̈
=
lF 0 ,
que pode ser substituída na Eq. (4) dando
M hlF 0
Iz
=
(−x̂senθ + ŷ cos θ) · F + F 0 .
A condição para que o impacto nas mãos do jogador seja nulo perpendicularmente ao eixo de simetria do taco é que
(−x̂senθ + ŷ cos θ) · F
=
0.
Essa condição é equivalente a termos
M hlF 0
Iz
= F0
e, supondo F 0 6= 0, caso contrário a presente análise não teria sentido, temos
M hl
= Iz ,
isto é,
M hl
=
M k02 ,
hl
=
k02 ,
ou seja,
quod erat demonstrandum !
Bibliograa
[1] Keith R. Symon,
Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).
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