Fundação Universidade Federal de Rondônia Fundamentos de Matemática Lista de Exercícios ‐ Indução Matemática ‐ Cap. 2.2 Nos exercícios a seguir, use indução matemática para provar que as proposições dadas são verdadeiras para todo inteiro positivo n. 1. 2. 3. 17. Uma progressão geométrica (sequência geométrica) é uma sequência de termos onde
existe um termo inicial a, e cada termo subsequente é obtido pelo produto do anterior por um
valor constante r. Prove que a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma sequência
geométrica (n≥1) é:
18. Uma progressão aritmética (sequência aritmética) é uma sequência de termos onde existe
um termo inicial a e cada termo subsequente é obtido pela soma de um valor constante d ao
termo anterior. Prove que a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma sequência
aritmética (n≥1) é:
Prove que n2 > n + 1 para n≥ 2.
20. Prove que n2 > 5n + 10 para n > 6.
21. Prove que 2n > n2 para n ≥ 5.
22. Prove que n! > n2 para n ≥ 4, onde n! é o produto dos inteiros positivos de 1 a n.
23. Prove que 2n < n! para n ≥ 4.
24. Prove que n! < nn para n ≥ 2.
25. Prove que (1 +x)n > 1 + xn para n > 1, x > 0.
28. b) Prove que
mostrando assim que
Para os Exercícios 29 a 40, prove que as sentenças são verdadeiras para todo inteiro positivo.
29. 23n - 1 é divisível por 7.
31. 7n - 2n é divisível por 5.
33. 2n + (-1)n+1 é divisível por 3.
37. 10n + 3 . 4n+2 + 5 é divisível por 9.
38. n3 - n é divisível por 3.
42. Prove que
43. Use a indução para provar que o produto de quaisquer três inteiros positivos consecutivos é
divisível por 3.
46. O que está errado com a seguinte "demonstração" por indução matemática? Iremos provar
que, para todo inteiro positivo n, n é igual a 1 mais n. Suponha que P(k) é verdadeira,
k=k+1
Somando 1 a ambos os lados da equação, vem:
k+ 1 = k + 2
logo P(k+ 1) é verdadeira.
49. Demonstre que qualquer valor postal maior ou igual a duas unidades monetárias pode ser
obtido usando-se somente selos com valor de 2 e 3.
52. Prove que qualquer valor postal maior ou igual a 64 unidades monetárias pode ser obtido
usando-se somente
selos de 5 e 17.