1) Se prove que
Solução:
É suficiente provar que
Pela desigualdade de Schwarz
2) Se são números reais positivos, prove que Solução:
Pela desigualdade de Holder temos,
3) Para ! números reais positivos, prove a desigualdade
!
! ! "#$
Por cauchy,
!
!
%
! ! ! ! ! !
!
& ! !
Resta provar que
!
' ! & ! ! ' ! & ! !
! !
()*+,-.*
4) Se são números reais positivos, prove que
&
Solução:
%
& &
%
$ fazendo % % temos o problema do cone sul 96 como corolário.
5) (Croácia-04) Se são números reais positivos, prove que
&
/
Solução.
&
% & /
' / & ' Que é verdadeiro.
6) Se ! prove que
! ! !
!
!
Solução:
Temos que, por cauchy-schwarz
!
!
!
%
! ! ! ! !
!
%
0
Analogamente,
!
!
00
! !
Somando (I) e (II) temos o resultado requerido.
7) Se ! são números reais positivos tais que ! % prove que
&
1 ! 1 ! ! 1 Solução:
Por cauchy,
2
2 2! %
1 ! 1 ! ! 1 ! ! ! ! ! 3 ! 4
3
4
! !
!
%
%
! ! ! ! ! !
& ! ! &
%
! ! Na última utilizamos a desigualdade já provada
! ! & ! !
E o fato de que ! % 8) Se prove que
& & & Solução:
& & &
% & & &
5 % ' 5 Que é verdadeiro.
9) Para todos ! reais positivos, prove que
!
! ! "#$
Análoga ao problema anterior.
10) Se 6 são números reais positivos, prove que
6
& &6 6 & 6 & &
Solução:
Análoga ao problema anterior.
Pedro Pantoja, PET Matemática UFRN.