UNIVERSIDADE
DA
BEIRA INTERIOR
Departamento de Engenharia Electromecânica
CONTROLO DISCRETO E DIGITAL
(Prática/Laboratorial)
Ficha 13 – Revisão de conhecimentos
1. Considere o seguinte sistema discreto dado pela função de transferência:
1
G( z) =
[ ( 3 )]z + 1
z 2 − 2 cos π
a) Esboce a resposta impulsional deste sistema.
Um controlador discreto C(z) é colocado em cascata no sistema de malha fechada com
realimentação unitária.
C ( z) =
K
z +1
b) Determine a gama de valores de K para os quais o sistema é estável.
c) Escolha um valor de K que forme um bom controlador. Quais são algumas das propriedades
que espera do sistema de malha fechada.
d) Esboce o Lugar Geométrico das Raízes e indique a sua localização para o valor do ganho
proporcional escolhido na alínea anterior.
e) Calcule a resposta do sistema a uma entrada em degrau unitário.
As questões anteriores envolviam apenas o sistema e o controlador do domínio discreto.
Considere agora, um sistema no domínio de tempo contínuo P(s) com propriedades
semelhantes.
P( s) =
1
s +1
2
f) O sistema G(s) será controlado por um microprocessador com conversão D/A e a sua saída
será medida através de um conversor A/D. Determine o período de amostragem, tal que a
resposta a um impulso unitário discreto possua os mesmos pólos que G(z).
1
2. Projecte o controlador C(z) para o sistema representado pelo seguinte diagrama de blocos.
r(k)
y(t)
+
-
C(s)
T
y(k)
G(s)
ZOH
Em que o sistema é dado pela seguinte função de transferência:
G ( s) =
10
s + 10
a) Calcule o equivalente discreto para a parte do sistema ilustrada de seguida:
T
ZOH
G(s)
b) Projecte o controlador C1(z) que torne o erro de estado estacionário e(k) nulo num único
período de amostragem T.
c) Calcule a margem de ganho para o sistema de malha fechada com o controlador projectado
C1(z) em função do período de amostragem T.
d) Esboce a resposta do sistema no domínio de tempo contínuo y(t) para diversos períodos de
amostragem. Avalie os efeitos de tornar o período de tempo muito curto.
Agora considere que em resultado de projectar o controlador C(s) do sistema no domínio do
tempo contínuo (que funciona correctamente para o sistema G(s)) foi aproximado ao controlador
C2(z). O controlador integral vem:
10
C (s) =
s
funciona correctamente numa configuração em cascata com o sistema G(s) realimentado
unitariamente. Possui um coeficiente de amortecimento ξ = 0,5 e erro de estado estacionário nulo
para uma entrada em degrau unitário. Além disso, possui margem de ganho infinita tal que o ganho
pode ser variado por um qualquer valor positivo e o sistema de malha fechada permanece estável.
e) Onde deverão ser posicionados os pólos de C(z) para que o erro em estado estacionário a
uma entrada em degrau unitário discreto seja nulo. Faça uso do teorema do valor final.
f) Qual deverá ser a técnica utilizada para calcular a aproximação do controlador C(s) ao
domínio discreto C2(z). Apresente as razões e calcule C2(z).
g) Compare a margem de ganho de C2(z) no sistema de malha fechada discreto com a margem
de ganho de C(s) no sistema de malha fechada contínuo.
2
3. Considere a seguinte sistema em tempo discreto.
y(k) + 1,3 y(k-1) + 0,7 y(k-2) = u(k) + 3 u(k-1)
a) Determine uma representação em espaço de estados para o sistema.
b) Determine a função de transferência Y(z)/U(z).
4. Considere a seguinte representação em espaço de estados de um sistema em tempo discreto:
− 1,7 − 2
x(k + 1) = 
x(k ) +
1,3 
 1
− 1
1,5 u (k )
 
y (k ) = [1 3] x(k )
a) Sendo x0 = [5 6]T e u(k) = (0,3)k, k ≥ 0, determine y(k), k ≥ 0.
b) Determine a função de transferência Y(z)/U(z).
c) Determine a equação às diferenças que relaciona a entrada u com a saída y.
5. Considere o seguinte sistema de entrada u e saída y.
u
e
+
-
− 5,2 − 3
9
x(k + 1) = 
x (k ) +   u (k )

5,3
 9
5
y
y ( k ) = [3 1] x(k )
w
w(k) + 0,7 w(k-2) = y(k-1) + y(k-2)
a) Determine uma representação em espaço de estados para o sistema.
b) Determine a função de transferência Y(z)/U(z).
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