Faculdade de Engenharia
Sinais e Sistemas
Power Spectral Density
-14
Hamming
kaiser
Chebyshev
-16
Env
B
F
CS1
CS2
B
F
-18
Ground
Revolute
Body
CS1
Revolute1
Power/frequency (dB/Hz)
-20
-22
Body1
Revolute1
-24
Sine Wave
Joint Actuator
Joint Sensor1
-26
-28
Two coupled planar pendulums with
gravity and sine wave forcing in the
upper Revolute joint.
-32
-34
0
Angle
Double Pendulum
-30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Frequency (kHz)
0.35
0.4
0.45
Revolute
Joint Sensor
0.5
SS – MIEIC 2007/2008
Sinais e Sistemas – aula de hoje
Faculdade de Engenharia
Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto
Operações elementares com sinais
Transformação de variável independente
Decomposição de sinais
Características de sinais
Sinais fundamentais
Sistemas e sua interligação
Propriedades de sistemas
SS 0708
SinSist 2
1
Sistemas
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Um sistema transforma um sinal de entrada num sinal de saída
é caracterizado pela operação que transforma o sinal de entrada no sinal de saída
Representação:
Diagrama de blocos:
Sistema: sinal de entrada
sinal de entrada
sinal de saída
sinal de saída
Sistema
sinal de entrada é o sinal que o “exterior” impõe ao sistema
sinal de saída é o sinal que o sistema impõe ao “exterior”
SS 0708
SinSist 3
Sistemas em tempo contínuo e em tempo discreto
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Sistemas em tempo contínuo à entrada e saída são sinais em tempo contínuo
x(t)
Scont
y(t)
S cont : x (t ) → y (t )
Sistemas em tempo discreto à entrada e saída são sinais em tempo discreto
x[n]
Sdis
y[n]
S dis : x[n] → y[n]
SS 0708
SinSist 4
2
Sistemas – exemplo
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v(t )
Movimento longitudinal de um veículo (modelo simplificado)
entrada: força produzida pelo motor:
saída: velocidade:
f (t )
v(t )
resistência do ar e atrito
relação entrada-saída:
dv(t )
m
= f (t ) − cv 2 (t )
dt
m
dv(t )
+ cv 2 (t ) = f (t )
dt
equação diferencial
SS 0708
SinSist 5
Sistemas – exemplo
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Evolução do saldo de uma conta bancária
entrada: montante líquido (depósitos – levantamentos) depositado durante o mês n: x[n]
saída: saldo da conta no fim do mês n: y[n]
taxa de juro mensal
relação entrada-saída:
y[n] = y[n − 1] + a y[n − 1] + x[n]
y[n] − (1 + a) y[n − 1] = x[ n]
equação às diferenças
SS 0708
SinSist 6
3
Sistemas e transformação de sinais
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As operações sobre sinais podem ser sistemas.
Por exemplo:
Atraso
S1 : x(t ) → y (t ) = x (t − t0 )
x(t)
Ganho
S 2 : x[n] → y[n] = a ⋅ x[n]
x[n]
y(t)
S1
y[n]
S2
…
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SinSist 7
Alguns sistemas importantes (tempo contínuo)
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t
Integrador
Derivador
x(t)
x(t)
∫
y(t)
d
dt
y(t)
x (t ) → y (t ) =
∫ x(τ)dτ
−∞
x(t ) → y (t ) =
dx(t )
dt
SS 0708
SinSist 8
4
Alguns sistemas importantes (tempo discreto)
Acumulador
Atraso unitário
∑
x[n]
x[n]
∆
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n
y[n]
x[n] → y[n] =
∑ x[k ]
k = −∞
y[n]
x[n] → y[n] = x[n − 1]
SS 0708
SinSist 9
Exercício
Considere o sistema integrador
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S : x(t ) → y (t )
e determine e esboce y(t) quando:
a) x(t ) = δ(t + 1) − 2δ(t − 1)
b) x(t ) = u (t + 2) − u (t − 1)
x(t )
c) x(t) é o sinal
1
0
1
t
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SinSist 10
5
Interligação de sistemas
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Dois sistemas dizem-se ligados em série (ou cascata) quando a saída de um é a entrada do outro.
x(t)
y(t)
S1
S1 : x(t ) → y (t )
z(t)
S2
S 2 : y (t ) → z (t )
x(t)
S
z(t)
S : x(t ) → z (t )
SS 0708
SinSist 11
Interligação de sistemas
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Dois sistemas dizem-se ligados em paralelo quando têm a mesma entrada e as suas saídas são somadas.
x(t)
x(t)
S1
y1(t)
S1 : x(t ) → y1 (t )
x(t)
S2
z(t)
x(t)
S
z(t)
y2(t)
S : x(t ) → z (t ) = y1 (t ) + y 2 (t )
S 2 : x(t ) → y2 (t )
SS 0708
SinSist 12
6
Interligação de sistemas
•
•
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De forma análoga se definem ligações em série e em paralelo de sistemas em tempo discreto
As ligações em série e em pararelo podem combinar-se criando associações mais complexas, no
entanto a análise de uma associação mais complexa reduz-se à consideração sucessiva de
associações elementares
•
O agrupamento/desagrupamento de sistemas associados permite criar diferentes graus de
abstracção sobre um sistema complexo
SS 0708
SinSist 13
Exercício
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Considere os sistemas de entrada x e saída y caracterizados por
S1 : x(t ) → y (t ) = x(t − 2)
S 2 : x(t ) → y (t ) = − x(t / 2)
S3 : x(t ) → y (t ) = 2 x(t )
S1
Determine a saída do sistema
S3
S2
quando a entrada é o sinal da figura
1
-2
0
1
t
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SinSist 14
7
Exercício
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Determine a saída y[n] do sistema da figura em função da sua entrada x[n].
x[n]
y[n]
∑
∆
−1
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SinSist 15
8