Universidade de Brası́lia
Departamento de Matemática
EquaçõesDiferenciais I
1.a Lista de Exercı́cios
2.o /2002
Turmas E e F
Nome:
9/12/2002
Mat.:
/
 00
 y + 4y = 3 sen 2x
y(0) = 2
Ex.1)
 0
y (0) = −1
Ex.2) Em muitos problemas fı́sicos, a função de entrada (isto é, o termo não homogêneo)
pode ser especificada por diferentes fórmulas em diferentes intervalos de tempo, como
exemplo, determine a solução y = φ(t) de
½
t
se 0 6 t 6 π
00
y +y =
π−t
πe
se
t>π
com y(0) = 0 e y 0 (0) = 1. (Sugestão : Admitir que y e y 0 sejam contı́nuas em
t = π.).
Ex.3) Um corpo de 20g de massa estica de 5cm uma mola. Suponhamos que o corpo esteja
também ligado a um amortecedor viscoso, com a constante de amortecimento 4.10−3
N.s
. Se o corpo for puxado 2cm além da posiçãode equilı́brio e depois for solto, achar
cm
a sua posição em qualquer instante t.
Ex.4) Considere a equação
F0
cos(wt),
m
são constantes positivas.
ẍ + γ ẋ + w02 x =
onde γ, w, w0 , m e F0
a) Verifique que x(t) = ρF0 cos(wt + θ),
ρ=
m
onde
1
p
(w02
− w2 )2 + γ 2 w2
e tan θ =
−γw
,
w02 − w2
é solução da equação˙
b) Fisicamente ρ2 é proporcional à energia de um oscilador. Se w está próximo
de w0 e γ é suficientemente pequeno, ρ2 pode ser bem aproximado, em uma
vizinhança de w0 , pela função
ρ2 (w) =
AP ROX
³
1
4m2 w02 (w0 − w)2 +
γ2
4
´.
Calcule o ponto de máximo desta função e calcule a largura do intervalo centrado
no ponto de máximo tal que
´
1³ 2
2
ρ
ρ (w) >
AP ROX
2 AP ROX Máximo