Folha 1
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Matemática II
Licenciatura em Administração Público-Privada
Ano lectivo 2008/2009
Funções Exponencial e Logaritmo
1. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.
(a) y = 2x
(b) y = 4x
(c) y = 2−x
(d) y = 4−x
(e) y = 2x + 3
(f) y = 2x−1
(g) y = 23x
(h) y = ex
(i) y = 4ex
2. Considere a função y = 4( 27 )x .
(a) Determine b > 1 tal que y = 4( 27 )x possa ser expresso como y = 4(b−x ).
(b) A função y = 4( 27 )x é de crescimento ou decrescimento exponencial?
3. Suponha que ea = 2 e eb = 3. Determine:
(a) ea+b
(b) e2b
(d) e−a−b
(e)
1
16e−4a
(c) e−b
(f)
e−a
eb
4. Uma única bactéria divide-se em duas bactérias a cada meia hora, de modo que o número
de bactérias na colónia quadruplica a cada hora. Assim, a equação pela qual uma colónia
de 10 bactérias se multiplica depois de t horas é dada por
y(t) = 10(4t ).
(a) Trace o gráfico de y para 0 ≤ t ≤ 4.
(b) A função y é de crescimento ou de decrescimento exponencial?
(c) Determine o número de bactérias após 3 horas.
5. Se 1000 euros forem investidos por t anos a 8%, capitalizados trimestralmente, o valor
futuro que resultará é dado por
V = 1000(1, 02)4t .
Determine a quantia resultante depois de 5 anos.
6. Se 3200 euros forem investidos por t anos a 8%, capitalizados trimestralmente, os juros
obtidos serão dados por
J = 3200(1, 02)4t − 3200.
Determine os juros obtidos depois de 3 anos.
7. Suponha que a taxa de juro que um determinado banco oferece, aos seus clientes, é de 6%
ao ano, em regime de juros compostos, e que um cliente fez um depósito de 10.000 euros.
Determine o capital acumulado ao fim de 1 ano, 3 anos e x anos.
8. Suponha que a taxa de juro que um determinado banco oferece, aos seus clientes, é de 10%
ao ano, em regime de juros compostos, e que um cliente fez um depósito de 3.000 euros.
Determine o capital acumulado ao fim de 10 anos e ao fim de x anos.
9. Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções.
(a) y = ln x
(b) y = ln(x − 2)
(c) y = ln(x − 2) − 1
10. Começando pelo gráfico de y = ln x, determine a equação do gráfico que resulta de:
(a) deslocar 3 unidades para cima
(b) deslocar 3 unidades para a esquerda
(c) fazer a reflexão em torno do eixo dos XX
11. Simplifique:
9
(a) log3 ( 27
)
(b) log7 73
(c) 5log5 x
12. Suponha que ln a = 2 e ln b = 3. Determine:
(a) ln b2
(b) (ln b)2
(d) ln( ab )
(e) ln( ab4 )
(f) ln a1
(g) eln(ln a)
(h) ln(a.e)
(i) ln eln b
(c) ln(a.b)
2
13. Resolva as equações seguintes:
(a) log2 x = 5
(b) log4 x = −2
(c) log25 x =
(d) ln x2 = 3
(e) e5−3x = 10
(f) 2 ln x = 1
(g) ln x + ln(x − 1) = 1
(h) ln(ln x) = 1
(i) 22x−1 = 4
1
2
14. Suponha que, depois que uma companhia introduziu um novo produto, o número de meses
m que leva até que a sua participação no mercado seja p por cento, pode ser modelada por
m = 20 ln(
40
)
40 − p
Quando é que este produto terá uma participação de 35% no mercado?
15. Admita que, em Portugal, o número de milhares de unidades de sangue recolhidas em cada
ano, desde 1996, é dado por:
f (t) = 100 ln(4, 25 + 0, 5t),
onde é t o número de anos decorridos a partir de 1996.
(a) Quantas unidades de sangue foram recolhidas em 1996?
(b) O paı́s seria auto-suficiente se, por ano recolhesse 300 mil unidades de sangue. Em
que ano se prevê que tal venha a acontecer?
(c) Cada unidade de sangue contém aproximadamente meio litro. Quantos litros de sangue
foram recolhidos durante o ano de 1998?