1.9. EXERCÍCIOS PROPOSTOS DA TERCEIRA SEMANA
1.9
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Exercícios propostos da terceira semana
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1. Mostre que γ (t) = t, t2 + 1, (t − 1)3 é uma representação paramétrica regular.
2. Mostre que γ (t) = (1 + cos t, sen t, 2 sen t/2) para −2π ≤ t ≤ 2π é regular e que o
traço dessa curva está contido na esfera centrada na origem de raio 2 e no cilindro
(x − 1)2 + y 2 = 1.
3. Determine uma representação paramétrica regular da intersecção do cilindro x2 +
y 2 = 1 com o plano x + y + z = 1.
4. Determine uma representação paramétrica regular da intersecção dos cilindros z 2 =
x e y 2 = 1 − x.
5. Encontre a reparametrização pelo comprimento de arco de
γ (t) = (a cos t, a sen t, t) , 0 ≤ t ≤ 2π.
6. Sejam a, b > 0 e γ (t) = (a cos t, a sen t, bt) , t ∈ R. Determine o vetor tangente
unitário, a reta tangente e o plano normal no instante t = 0.
7. Determine a reta normal e o plano retificante em t = 0 da curva γ (t) = (a cos t, a sen t, bt) , t ∈
R.
8. Determine a reta binormal e o plano osculador em t = 0 da curva γ (t) = (a cos t, a sen t, bt) , t ∈
R.
9. Seja γ : [a, b] → V uma curva regular de classe ≥ 3.Mostre que
τ (s) = −
hγ 0 (t) × γ 00 (t) , γ 000 (t)i
.
kγ 0 (t) × γ 00 (t)k2
10. Determine a curvatura e a torção da curva γ (t) = (t − sen t, 1 − cos t, t) , para
t ∈ [0, 2π] .
11. Encontre as equações da reta tangente e do plano normal em t = 1, à curva γ (t) =
(1 + t, −t2 , 1 + t3 ) .
12. Sejam a, b ∈ R com 2b2 = 3a. Mostre que os vetores tangentes ao longo da curva
γ (t) = (at, bt2 , t3 ) , formam um ângulo constante com o vetor u = (1, 0, 1) .
13. Mostre que se γ (t) é uma parametrização regular de classe ≥ 2 então γ é uma reta
se e só se γ 0 (t) e γ 00 (t) são linearmente dependentes para todo t.
14. Mostre que ao longo de uma curva γ (t) regular de classe ≥ 2, o vetor γ 00 (t) é paralelo
ao plano osculador em t.
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CAPÍTULO 1. CURVAS NO E 2 E NO E 3
15. Seja γ (t) uma parametrização regular de classe ≥ 2. Se γ 0 (t) e γ 00 (t) são linearmente
independentes, mostre que o vetor γ 0 (t) × γ 00 (t) é normal ao plano osculador em t.
Use este resultado para encontrar a equação do plano osculador em t = 1 da curva
γ (t) = (t, t2 , t3 ) .
16. Encontre a curvatura e a torção ao longo da curva γ (t) = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 ) .
1
Resposta: k (s) = −τ (s) =
.
3 (1 + t2 )2
17. Encontre os vetores tangente, normal e binormal unitários de γ (t) = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 ) .
18. Uma curva γ (t) é chamada uma hélice quando existe uma direção fixa v tal que os
vetores tangentes à γ formam um ângulo constante com v, essa direção é chamada
τ (s)
eixo da hélice. Prove que uma curva γ (t) é uma hélice se e só se
= cte .
k (s)
19. Seja γ (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , uma hélice cilíndrica passando pela origem cujo
eixo é paralelo ao eixo Oz. Se α 6= 0 é o ângulo que as tangentes a γ formam
com o eixo, mostre que γ tem uma representação natural da forma X ∗ (s∗ ) =
(x∗ (s∗ ) , y ∗ (s∗ ) , s∗ cos α) .
20. Mostre que se γ (t) é uma parametrização regular de classe ≥ 2, então γ é uma curva
plana se e só se τ (s) = 0, para todo s (t = g (s)).
21. Se γ (t) = (1 + t, t2 , 1 + t2 ) , determine o triedro de Frenet em t, conclua que a curva
é plana e determine a equação do plano que a contém.