Matemática - Ensino Médio | SAEPI 2013
Padrões de Desempenho Estudantil
Abaixo do Básico
Básico
Adequado
Os Padrões de Desempenho são categorias definidas a partir de
cortes numéricos que agrupam os níveis da Escala de Proficiência,
com base nas metas educacionais estabelecidas pelo SAEPI. Esses
cortes dão origem a quatro Padrões de Desempenho, os quais
apresentam o perfil de desempenho dos estudantes:
Abaixo do Básico
Avançado
Além disso, as competências e
habilidades agrupadas nos Padrões
não esgotam tudo aquilo que os
estudantes desenvolveram e são
capazes de fazer, uma vez que as
habilidades avaliadas são aquelas
consideradas essenciais em cada
Básico
Adequado
Avançado
etapa de escolarização e possíveis
de serem avaliadas em um teste
de múltipla escolha. Cabe aos
docentes, através de instrumentos
de observação e registros
Desta forma, estudantes que se encontram em um Padrão de
utilizados em sua prática cotidiana,
Desempenho abaixo do esperado para sua etapa de escolaridade
identificarem outras características
precisam ser foco de ações pedagógicas mais especializadas, de
apresentadas por seus estudantes
modo a garantir o desenvolvimento das habilidades necessárias ao
e que não são contempladas nos
sucesso escolar, evitando, assim, a repetência e a evasão.
Padrões. Isso porque, a despeito
Por outro lado, estar no Padrão mais elevado indica o caminho
para o êxito e a qualidade da aprendizagem dos estudantes.
Contudo, é preciso salientar que mesmo os estudantes
posicionados no Padrão mais elevado precisam de atenção, pois é
necessário estimulá-los para que progridam cada vez mais.
dos traços comuns a estudantes
que se encontram em um mesmo
intervalo de proficiência, existem
diferenças individuais que
precisam ser consideradas para a
reorientação da prática pedagógica.
São apresentados, a seguir, exemplos de itens* característicos de cada Padrão.
*O percentual de respostas em branco e nulas
não foi contemplado na análise.
Abaixo do Básico
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
475
500
até 250 pontos
Nesse Padrão de Desempenho, as habilidades matemáticas que se evidenciam são as relativas aos
significados dos números nos diversos contextos sociais. Os estudantes demonstram compreender o uso
do algoritmo da adição de números de até três algarismos com reagrupamento, da subtração de números
naturais de até quatro algarismos com reserva, da divisão exata por números de até dois algarismos e da
multiplicação cujos fatores também são números de até dois algarismos.
Percebe-se nesse Padrão que as habilidades relativas ao conjunto dos números naturais ficam mais
evidentes. Os estudantes identificam esses números em um intervalo dado; reconhecem a lei de formação
de uma sequência com auxílio de representação na reta numérica; resolvem problemas utilizando a
multiplicação, reconhecendo que um número não se altera ao multiplicá-lo por um; resolvem problemas
envolvendo várias operações. Constata-se, também, que esses estudantes localizam números na reta
numérica; reconhecem a escrita por extenso de números naturais e a sua composição e decomposição,
considerando o seu valor posicional na base decimal e resolvem problemas envolvendo a soma de
números naturais de até dois algarismos envolvendo diferentes significados da adição. Há também nesse
Padrão, um indício do desenvolvimento da habilidade relativa aos números racionais, pois eles resolvem
problemas envolvendo a soma ou subtração de números racionais na forma decimal, constituídos pelo
mesmo número de casas decimais e por até três algarismos.
No Campo Geométrico, reconhecem figuras bidimensionais pelas medidas dos lados e do ângulo reto,
identificam a planificação do cone e do cubo a partir de sua imagem. Além de diferenciar entre os diversos
sólidos, os que têm superfícies arredondadas; localizam pontos usando coordenadas cartesianas a
partir de um par ordenado; identificam a localização ou a movimentação de objetos em representações
gráficas, com base em referencial igual ou diferente ao da própria posição; localizam pontos e objetos a
partir de suas coordenadas em um referencial quadriculado; reconhecem a forma de círculo; identificam
quadriláteros e algumas características relativas aos lados e ângulos. Eles, ainda, identificam figuras planas
dentre um conjunto de polígonos pelo número de lados; calculam a medida do perímetro com ou sem
apoio da malha quadriculada, além de comparar áreas de figuras poligonais em malhas quadriculadas e
identificar propriedades comuns e diferenças entre sólidos geométricos através do número de faces.
Nesse Padrão, os estudantes já demonstram conhecimentos relativos à Literacia Estatística. Conseguem
ler e interpretar um gráfico de colunas, por meio da leitura de valores do eixo vertical, leem informações
em tabelas de coluna única e de dupla entrada. Além disso, esses estudantes leem gráficos de setores;
localizam informações em gráficos de colunas duplas e dados em tabelas de múltiplas entradas. Ainda
no Campo Tratamento da Informação, esses estudantes possuem capacidade de identificar dados em
uma lista de alternativas, utilizando-os na resolução de problemas, relacionando-os, dessa forma, às
informações apresentadas em gráficos e tabelas e identificam gráficos de colunas que corresponde
a uma tabela com números positivos e negativos. São capazes de resolver problemas envolvendo as
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operações, usando dados apresentados em gráficos ou tabelas, inclusive com duas entradas; resolvem
problemas que envolvem a interpretação de dados apresentados em gráficos de barras ou em tabelas.
No Campo Grandezas e Medidas, os estudantes também demonstram compreender a ação de medir
um comprimento utilizando régua numerada; resolvem problemas relacionando diferentes unidades
de medida de comprimento (metros e centímetros), massa (kg/g). Eles também resolvem problemas
relacionando diferentes unidades de medidas de tempo (dias/semanas, mês/trimestre / ano, hora /minuto,
dias/ano) para cálculo de intervalos de tempo transcorrido entre dois instantes, dados horas inteiras, sem
a necessidade de transformação de unidades. Leem horas e minutos em relógios digitais, e analógicos em
situação simples. Realizam trocas de cédulas e moedas, e identificam cédulas que formam uma quantia
de dinheiro inteira; identificam a forma ampliada de uma figura simples em uma malha quadriculada;
resolvem problemas de cálculo de área com base na contagem das unidades de uma malha quadriculada,
e, apoiados em representações gráficas; reconhecem a quarta parte de um todo. Eles também estimam
medida de comprimento usando unidades convencionais e não convencionais; resolvem problemas
envolvendo as operações com valores do Sistema Monetário brasileiro, além de estabelecerem relação
entre diferentes unidades monetárias (representando um mesmo valor ou numa situação de troca,
incluindo a representação dos valores por números decimais).
As habilidades matemáticas que se evidenciam nesse Padrão são elementares para esta série e o desafio
que se apresenta é o de viabilizar condições para que os estudantes possam vencer as próximas etapas
escolares.
(M060070E4) No quadro abaixo, está representado o número de empréstimos de filmes de seis gêneros
diferentes durante três meses em uma locadora.
Terror
Ficção
Suspense
Aventura
Drama
Ação
Setembro
43
57
27
48
29
76
Outubro
54
75
63
15
23
89
Novembro
87
85
46
35
68
35
No total, quantos empréstimos de filmes de aventura e suspense ocorreram nesses três meses nessa locadora?
A) 75
B) 98
C) 136
D) 234
Esse item avalia a habilidade de os estudantes resolverem problemas
envolvendo dados apresentados em uma tabela.
Para resolvê-lo, eles devem fazer uma leitura dos dados da tabela,
e identificar que a quantidade de locações feitas nos três meses
para filmes de aventura e suspense é dada pela soma do total de
empréstimos de filmes de cada um desses gêneros. Então, eles devem
efetuar 27 + 63 + 46 + 48 + 15 + 35 = 234. Portanto, aqueles que
assinalaram a alternativa D demonstram o desenvolvimento dessa
habilidade.
As demais alternativas sugerem que os respondentes não
se apropriaram do enunciado do item. Por exemplo, optam
pela alternativa B, os estudantes que analisaram apenas os
empréstimos de filmes de aventura. Já aqueles que marcaram a
alternativa C, provavelmente, calcularam o total de empréstimos de
filmes de suspense.
Organizar, representar e analisar os dados neste tipo de
representação são habilidades que exigem outras ações, além de uma
simples leitura. A habilidade avaliada por esse item requer uma leitura
e uma interpretação atenta das informações contidas na tabela, além
do domínio da operação aditiva. Esse item requer uma análise do
tipo ler entre os dados, ou seja, requer que os estudantes comparem
quantidades e utilizem operações matemáticas para resolver
um problema. A consolidação dessa habilidade deve servir como
preparação para que os estudantes realizem outro tipo de análise
mais sofisticada e cada vez mais necessária no exercício de diversas
profissões, que é aquela do tipo ler além dos dados. Essa análise
requer que eles façam previsões ou inferências a partir de dados que
não se encontram explicitamente indicados na representação visual.
53
53,9% de acerto
A
B
C
D
E
8,7% 17,1% 17,7% 53,9% 0,6%
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Observe abaixo o gráfico que mostra o número de carros vendidos em uma cidade, no período
de 2000 a 2004.
(M060011BH)
VENDA DE CARROS
1000
Número de carros vendidos
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
2000
2001
2002
2003
2004
Ano
Qual é o quadro que melhor representa os dados apresentados nesse gráfico?
B)
A)
Número de carros
Número de carros
Ano
Ano
vendidos
vendidos
2000
93
2000
887
2001
185
2001
695
2002
590
2002
590
2003
695
2003
185
2004
887
2004
93
C)
Ano
2000
2001
2002
2003
2004
Número de carros
vendidos
93
887
185
590
695
D)
Ano
2000
2001
2002
2003
2004
Esse item avalia a habilidade de os estudantes identificarem o
quadro (tabela simples) que melhor representa as informações
apresentadas em um gráfico de colunas.
Para resolvê-lo, uma estratégia possível é selecionar um ano
por vez e, por meio da observação de sua coluna e dos valores
apresentados no eixo vertical, estimar um valor para o número
de carros vendidos nesse ano. Em seguida, é possível fazer uma
correspondência entre os valores estimados e a linha referente a
cada ano, nos quadros apresentados nas alternativas de resposta.
Nesse caso, o quadro que melhor representa as informações
desse gráfico é o da alternativa D.
Número de carros
vendidos
93
185
695
590
887
63
63,8% de acerto
A
B
C
D
15,3% 10,0% 7,5% 63,8%
As demais alternativas de resposta são obtidas quando os
estudantes cometem algum equívoco na identificação do número
de carros vendidos em cada ano. Na alternativa A, por exemplo,
o equívoco consiste em listar o número de carros vendidos
em ordem crescente, enquanto que na alternativa B, é feito o
inverso, ou seja, lista-se o número de carros vendidos em ordem
decrescente.
Como a habilidade avaliada por este item não demanda funções
cognitivas complexas, mas apenas leitura e identificação de
dados, então espera-se que os estudantes tenham consolidado
essa habilidade ao final do Ensino Médio.
Observe abaixo mais alguns exemplos de itens representativos desse padrão de desempenho.
(M120340ES)
Observe os desenhos abaixo.
Qual desses desenhos representa a planificação de um cubo?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Esse item avalia a habilidade de os estudantes identificarem a
planificação do cubo.
59
59,4% de acerto
A
B
C
D
E
16,6% 5,0% 9,5% 7,7% 59,4%
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Na tabela abaixo foram registradas a porcentagem de aproveitamento de cinco times nos jogos
de um campeonato de futebol.
(M120370ES)
Aproveitamento em %
15
44
71
81
50
Aproveitamento em %
Qual é o gráfico que melhor representa esta tabela?
90
A)
B)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
F
G
H
I
Aproveitamento em %
Times
F
G
H
I
J
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
J
F
G
D)
F
G
H
I
J
Aproveitamento em %
F
G
H
I
J
Times
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
73
73,4% de acerto
F
G
H
I
J
Times
Esse item avalia a habilidade de os estudantes relacionarem
informações apresentadas em tabelas aos gráficos que as
representam.
J
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Times
E)
I
Times
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Aproveitamento em %
C)
Aproveitamento em %
Times
H
A
B
C
D
E
7,6% 8,1% 73,4% 5,4% 4,1%
Básico
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
475
500
de 250 a 300 pontos
Nesse Padrão, amplia-se o leque de habilidades relativas ao Campo Numérico e Algébrico, aparecendo a
partir dai as primeiras noções de Álgebra.
No conjunto dos números naturais esses estudantes resolvem problemas de soma envolvendo
combinações e de multiplicação envolvendo configuração retangular; assim como, resolvem problemas
de contagem em uma disposição retangular envolvendo mais de uma operação; problemas que envolvem
proporcionalidade também envolvendo mais de uma operação e reconhecem que 50% corresponde
à metade; resolvem problemas utilizando multiplicação e divisão em situação combinatória; resolvem
problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo. Eles, também, efetuam cálculos de números
naturais que requer o reconhecimento do algoritmo da divisão inexata; identificam a localização
aproximada de números inteiros não ordenados, em uma reta em que a escala não é unitária; comparam
números racionais na forma decimal com diferentes partes inteiras; calculam porcentagens; localizam
números racionais (positivos e negativos), na forma decimal, na reta numérica; estabelecem a relação
entre frações próprias e impróprias e as suas representações na forma decimal assim como localizá-las
na reta numérica; resolvem problemas de soma ou subtração de números decimais na forma do Sistema
Monetário brasileiro.
Esses estudantes demonstram uma compreensão mais ampla do Sistema de Numeração Decimal, pois
calculam expressão numérica envolvendo soma e subtração com uso de parênteses e colchetes; calculam
o resultado de uma divisão por um número de dois algarismos, inclusive com resto; reconhecem a
modificação sofrida no valor de um número quando um algarismo é alterado e identificam fração como
parte de um todo, sem apoio da figura. Eles resolvem problemas envolvendo as operações de adição e
subtração com reagrupamento de números racionais dado em sua forma decimal. Esses estudantes ainda
reconhecem e aplicam, em situações simples, o conceito de porcentagem, além de resolverem problemas
envolvendo o cálculo de uma porcentagem de uma quantidade inteira.
No Campo Algébrico, esses estudantes identificam equações e sistemas de equações de primeiro grau
que permitem resolver um problema e calculam o valor numérico de uma expressão algébrica, incluindo
potenciação.
Esses estudantes também realizam conversões entre unidades de medida de comprimento (m/ km),
temperatura e capacidade (mL/ L), leem horas em relógios de ponteiros em situações mais gerais
(8h50min), resolvem problemas de cálculo de área com base em informações sobre ângulos de uma figura,
além de atribuírem significado para o metro quadrado. Eles calculam a medida do contorno (ou perímetro)
de uma figura geométrica irregular formada por quadrados justapostos desenhados em uma malha
quadriculada e do volume por meio da contagem de blocos.
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No Campo Geométrico, os estudantes reconhecem diferentes planificações de um cubo; identificam
as posições dos lados de quadriláteros (paralelismo); relacionam poliedros e corpos redondos às
suas planificações; reconhecem alguns polígonos (triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos);
reconhecem que a medida do perímetro de um polígono, em uma malha quadriculada, dobra ou se reduz
à metade, quando os lados dobram ou são reduzidos à metade; associam uma trajetória representada
em um mapa à sua descrição textual, identificam a planificação de cubo e de um cilindro em situação
contextualizada; reconhecem e efetuam cálculos com ângulos retos e não retos e identificam as
coordenadas de pontos plotados no plano cartesiano.
Nesse Padrão, percebe-se, ainda, que esses estudantes identificam o gráfico de (barra / coluna / setor)
correspondente a uma tabela e vice-versa. Reconhecem o gráfico de colunas correspondente a dados
apresentados de forma textual; identificam o gráfico de colunas correspondente a um gráfico de setores;
leem tabelas de dupla entrada e reconhecem o gráfico de colunas correspondente, mesmo quando há
variáveis representadas e reconhecem o gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao
longo do tempo (com valores positivos e negativos).
(M090155E4) Marcos trabalha em uma loja de roupas masculinas. Em um dia, pela manhã, ele vendeu 9 camisetas e
6 bermudas, totalizando R$ 339,00. No mesmo dia à tarde, ele vendeu 8 camisetas e 7 bermudas, totalizando R$
343,00.
Sabendo que x representa a quantidade de camisetas e y a quantidade de bermudas, qual é o sistema de
equações do 1º grau que representa as vendas de Marcos nesse dia?
6x + 9y = 339
A)
8x + 7y = 343
B)
C)
D)
9x + 6y = 343
7x + 8y = 339
9x + 6y = 339
8x + 7y = 343
9x + 8y = 339
6x + 7y = 343
Esse item avalia a habilidade de os estudantes identificarem um
sistema de equações do 1º grau que expressa um problema.
Para acertá-lo, os estudantes devem fazer uma leitura atenta do
enunciado para compreenderem que a informação sobre a venda de
9 camisetas e 6 bermudas, totalizando 339 reais, pode ser traduzida
algebricamente como 9x + 6y = 339, onde x representa a quantidade
de camisetas e y representa a quantidade de bermudas. De maneira
análoga, observa-se que a segunda informação sobre venda dada no
enunciado pode ser escrita como 8x + 7y = 343. Dessa forma, devem
concluir que o sistema apresentado na alternativa C é o que modela
corretamente essa situação-problema.
A escolha das demais alternativas sugere que esses estudantes não
estabeleceram a relação correta entre as informações presentes no
enunciado e a linguagem algébrica. Marcaram a opção A aqueles
que associaram as incógnitas na primeira equação de forma trocada,
considerando que foram vendidas 6 camisetas ao invés de 9. Aqueles
que assinalaram a alternativa B cometeram esse mesmo erro na
segunda equação, além de inverterem o termo independente. Já os
que escolheram a alternativa D associaram incógnitas distintas para a
mesma quantidade.
É importante que os estudantes sejam capazes de utilizar modelos
matemáticos para representar situações do mundo real. No caso
desse item, eles devem analisar a situação e utilizar instrumentos
algébricos – sistema de equações do 1º grau – para modelar o
problema. Logo, as lacunas observadas no desenvolvimento das
habilidades, no campo Números e Operações, podem limitar
o desempenho do estudante, inclusive diante da resolução de
problemas encontrados em seu dia a dia.
57
57,8% de acerto
A
B
C
D
13,9% 16,2% 57,8% 9,8%
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(M090036C2) Preparando um acampamento, Célia comprou os mantimentos necessários para seu grupo
de 50 pessoas durante os 12 dias da viagem. Ao chegar no acampamento, Célia notou que foram 10
pessoas a mais que o planejado.
Mantendo a mesma proporção de consumo, quantos dias no máximo duraram os mantimentos comprados
por Célia para essa viagem?
A) 10 dias.
B) 12 dias.
C) 14 dias.
D) 60 dias.
O item avalia a habilidade de os estudantes resolverem problemas
com números naturais envolvendo variação proporcional inversa
entre grandezas.
Para resolvê-lo, os estudantes devem compreender que houve
um aumento no número de pessoas, porém a quantidade de
mantimentos manteve-se a mesma, o que, consequentemente, fará
com que esses mantimentos durem um número menor de dias. Ou
seja, devem compreender a relação de proporcionalidade inversa
existente entre o número de pessoas e o número de dias. Assim,
devem ser capazes de perceber que, quando o número de pessoas
passa de 50 para 60, o número de dias diminuirá, portanto devem
multiplicar 12 dias por
. Os estudantes que marcaram a alternativa A
demonstram ter desenvolvido a habilidade avaliada.
A escolha da alternativa B indica que esses estudantes, possivelmente,
não se apropriaram do contexto do item e apenas indicaram o
número de dias informado no enunciado. Aqueles que marcaram a
opção C, provavelmente, compreenderam de forma equivocada que
a relação existente entre o número de pessoas e o número de dias
era de proporcionalidade direta. Já aqueles que indicaram a opção D
consideraram apenas o número total de pessoas no acampamento.
Constata-se, ao analisar esse item, que os estudantes só irão
desenvolver essa habilidade quando conseguirem compreender
a relação existente entre as quantidades envolvidas nos diversos
contextos e forem capazes de entender a operação aritmética que
subjaz a manipulação dessas quantidades. Para isso, é preciso que
se perceba a forma como eles manipulam as quantidades extensivas
e intensivas, bem como quantidades contínuas e descontínuas. A
partir dessa observação, é necessário fazer intervenções pedagógicas
pontuais, criando situações-problema que permitam intervir na forma
como o pensamento aritmético desses estudantes é desenvolvido.
50
50,3% de acerto
A
B
C
D
50,3% 17,2% 16,5% 12,3%
Observe abaixo mais alguns exemplos de itens representativos desse padrão de desempenho.
Em um dia, Maria caminhou 4 500 metros.
Quantos quilômetros Maria caminhou nesse dia?
(M090203ES)
A) 4 500
B) 450
C) 45
D) 4,5
Esse item avalia a habilidade de os estudantes resolverem problema
envolvendo conversão de unidades de medida de comprimento.
38
38,6% de acerto
A
B
C
D
18,7% 20,7% 18,6% 38,6%
Um clube promoveu uma grande festa de reinauguração. Nessa festa, 60% das pessoas
presentes eram do sexo feminino e 580 do sexo masculino.
Quantas mulheres estavam presentes nessa festa?
(M120235ES)
A) 348
B) 522
C) 870
D) 1 450
E) 2 030
Esse item avalia a habilidade de os estudantes resolverem problemas
envolvendo porcentagens.
35
35,1% de acerto
A
B
C
D
E
25,8% 17,8% 35,1% 14,8% 5,0%
Matemática - Ensino Médio | SAEPI 2013
Adequado
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
475
500
de 300 a 350 pontos
As habilidades características desse Padrão de Desempenho evidenciam uma maior expansão dos campos
Numérico e Geométrico. Os estudantes nesse Padrão de Desempenho demonstram compreender o significado
de números racionais em situações mais complexas, que exigem deles uma maior abstração em relação a
esse conhecimento. Eles identificam mais de uma forma de representar numericamente uma mesma fração;
transformam fração em porcentagem e vice-versa; localizam números decimais negativos na reta numérica;
reconhecem as diferentes representações decimais de um número fracionário, identificando suas ordens
(décimos, centésimos e milésimos); calculam expressões numéricas com números decimais positivos e negativos;
efetuam cálculos de raízes quadradas e identificam o intervalo numérico em que se encontra uma raiz quadrada
não exata; efetuam arredondamento de decimais; resolvem problemas com porcentagem e suas representações
na forma decimal; resolvem problemas envolvendo o cálculo de grandezas diretamente proporcionais ou
envolvendo mais de duas grandezas; além de resolverem problemas envolvendo noção de juros simples e lucro.
Esses estudantes, também, ordenam e comparam números inteiros negativos; identificam um número natural
não informado na reta numérica e calculam expressões numéricas com números inteiros.
Nesse Padrão, percebe-se um salto cognitivo em relação ao estudo da Álgebra. Esses estudantes, além de
identificarem a equação e a inequação do primeiro grau adequada para a solução de um problema, resolvem
problemas de adição e multiplicação, envolvendo a identificação de um sistema de equações do primeiro grau
com duas incógnitas e problemas envolvendo o cálculo numérico de uma expressão algébrica em sua forma
fracionária. Analisando ainda, as habilidades relativas ao campo Algébrico, percebe-se que esses estudantes
resolvem problemas envolvendo o cálculo de um valor assumido por uma função afim; identificam crescimento
e decrescimento em um gráfico de função; calculam o valor numérico de uma função; conseguem identificar
uma função do 1º grau apresentada em uma situação-problema e identificam o gráfico de uma reta, dada sua
equação.
No Campo Geométrico, os estudantes identificam elementos de figuras tridimensionais; resolvem problemas
envolvendo as propriedades dos polígonos regulares inscritos (hexágono), para calcular o seu perímetro;
localizam pontos em um referencial cartesiano; classificam ângulos em agudos, retos ou obtusos de acordo
com suas medidas em graus; reconhecem um quadrado fora da posição usual; avaliam distâncias horizontais
e verticais em um croqui, usando uma escala gráfica dada por uma malha quadriculada, reconhecendo o
paralelismo; contam blocos em um empilhamento; sabem que em uma figura obtida por ampliação ou redução
os ângulos não se alteram; identificam a localização de um objeto requerendo o uso das definições relacionadas
ao conceito de lateralidade, tendo por referência pontos com posição oposta a do observador e envolvendo
combinações; calculam ampliação, redução ou conservação da medida de ângulos informada inicialmente, lados
e áreas de figuras planas; além de realizarem operações, estabelecendo relações e utilizando os elementos de
um círculo ou circunferência (raio, corda, diâmetro) e solucionam problemas em que a razão de semelhança
entre polígonos é dada, por exemplo, em representações gráficas envolvendo o uso de escalas.
Os estudantes, nesse Padrão, também analisam gráficos de colunas representando diversas variáveis,
comparando seu crescimento; leem informações fornecidas em gráficos envolvendo regiões do plano cartesiano;
compreendem o significado da palavra perímetro e realizam conversão e soma de medidas de comprimento e
massa (m/km, g/kg).
(M100007CE)
5x + 100.
O valor “V” em reais para produzir x unidades de um componente mecânico é dado por V(x)=
Qual é o valor para se produzir 100 unidades desse produto?
A) R$ 150,00
B) R$ 200,00
C) R$ 205,00
D) R$ 600,00
E) R$ 1 000,00
Esse item avalia a habilidade de os estudantes resolverem um
problema envolvendo uma função polinomial do primeiro grau.
Para resolvê-lo, eles devem, primeiramente, compreender que os
símbolos
expressam algebricamente uma função
polinomial do 1° grau, na qual V(x) é a variável dependente (valor
em reais) e x é a variável independente (unidades produzidas).
Devem também compreender que o enunciado requer o valor em
reais gastos para produzir 100 unidades de determinado produto
segundo essa função. A partir daí, o estudante pode substituir
100 no lugar de x, encontrando V(100) = 600. Os estudantes que
assinalaram a alternativa D, provavelmente, desenvolveram a
habilidade avaliada pelo item.
Aqueles que optaram pela alternativa E, possivelmente,
identificaram que para a resolução do problema a quantidade
de 100 unidades produzidas deveria ser substituída na
função no lugar da variável independente x. Entretanto,
demonstram desconhecer a Ordem das Operações
Aritméticas ou Algébricas1 ao fazer a soma de 100 + 100
ao invés de realizar primeiro a multiplicação por 5, ou seja,
fazem
. Já
aqueles que optaram pela alternativa C, também realizaram a
substituição correta da quantidade de unidades produzidas na
função, mas provavelmente confundiram a operação, fazendo
uma adição no lugar da multiplicação por 5, encontrando
. Os estudantes que
assinalaram a alternativa B, possivelmente, não se atentaram para
o enunciado do item e realizaram apenas a adição da quantidade
de unidades produzidas (100) com o coeficiente linear da função
(100), encontrando V(x) = 200.
1
Em matemática, ordem de operações refere-se à ordem pela qual devem ser
realizadas as operações.
32
32,6% de acerto
A
B
C
D
E
19,3% 14,0% 14,1% 32,6% 17,8%
Matemática - Ensino Médio | SAEPI 2013
Dizemos que uma função polinomial do 1º grau é uma relação
funcional2 do tipo
, a qual envolve uma taxa de variação
constante. Graficamente, essa função é representada no plano
cartesiano por uma reta. Várias situações podem ser modeladas
através de funções do primeiro grau. Por exemplo: o valor da
conta de luz em função da quantidade de energia consumida;
o valor do imposto de renda do assalariado em cada faixa de
tributação, em função do salário; a distância percorrida por um
automóvel com velocidade constante em função do tempo; o
perímetro de um quadrado em função do lado. Deste modo, esse
tópico deve ser ensinado, porque as funções do primeiro grau,
além de serem as primeiras e mais simples funções a serem vistas
pelos estudantes, modelam várias situações físicas, matemáticas e
práticas.
As operações algébricas sobre funções do primeiro grau são
simples e, geralmente, fáceis de serem apreendidas. O grande
desafio é desenvolver a habilidade de resolver problemas e de
reconhecer situações que possam ser adequadamente modeladas
por esse tipo de função. Isso significa que os estudantes
devem adquirir a habilidade de reconhecer e interpretar uma
situação problema que envolva variação constante e identificar
adequadamente os parâmetros que descrevem a função. Neste
sentido, deve-se privilegiar variedade de situações ao invés de
insistir na quantidade.
É recomendável que os estudantes façam exercícios de
identificação de gráficos com tabelas ou de montagem de tabelas
a partir de gráficos, de modo que os alunos possam testar por
inspeção se uma função é ou não adequada para a modelagem
que se pretende3.
2
As relações funcionais ocorrem quando dois conjuntos ou duas
quantidades variam de forma interdependente. As concepções fundamentais
dos estudantes sobre funções estão enraizadas na sua compreensão sobre
padrões numéricos. Por exemplo, no padrão {2, 4, 6,...}, 8 é o 4º termo, e podemos
representar essa função como {(1,2), {2,4), (3,6); (4,8); ...}. Quando os estudantes
coordenam a sequência do índices com o valor do termo, eles estão construindo
uma relação funcional entre dois conjuntos ou duas quantidades (Confrey et al,
2012).
3
Adaptação das Orientações Pedagógicas de Matemática – Ensino Fundamental
– 6º ao 9º ano do Centro de Referência Virtual do Professor – SEE/MG. Disponível em:
<http://crv.educacao.mg.gov.br/> Último acesso em dez. 2013.
(M100031C2)
Observe abaixo a representação gráfica de uma função de variáveis reais no intervalo [– 8, 8].
Essa função é decrescente no intervalo
A) [– 8, – 5]
B) [– 5, – 2]
C) [– 2, 2]
D) [1, 4]
E) [2, 5]
Esse item avalia a habilidade de os estudantes analisarem
decrescimento de funções reais apresentadas em gráficos.
Para resolvê-lo, os estudantes devem identificar a parte do gráfico que
possui o decrescimento e associá-la ao intervalo no domínio no qual ela
está ligada. Nesse caso, eles devem associar o intervalo de decrescimento
da função ao intervalo [2,5]. Os estudantes que assinalaram a alternativa
E, provavelmente, desenvolveram a habilidade avaliada pelo item.
Os estudantes que marcaram as alternativas A ou C, provavelmente,
não se apropriaram do significado de decrescimento de uma
função, confundindo com seu crescimento. Aqueles que optaram
pela alternativa D, provavelmente, compreenderam o enunciado do
item, e identificaram a parte do gráfico que possui o decrescimento,
entretanto marcaram equivocadamente o intervalo de decrescimento
correspondente à imagem. Já a escolha pela alternativa B sugere que
tais respondentes não compreendem o significado de decrescimento
de uma função, associando-o equivocadamente ao intervalo no qual a
função é constante.
Um campo de grande aplicabilidade como o de funções deve ser
explorado de forma a trazer um sentido mais amplo para o estudante.
Muitas ligações podem ser feitas dentro da própria Matemática, entre
elas, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
e ainda a resolução de problemas. Entre os diversos campos de
conhecimento, podemos citar a Geografia, a Química e até mesmo
a Economia e a Administração, todos, sem exceção, precisam
compreender de forma concisa a leitura do crescimento do gráfico de
uma função. O professor pode aproveitar essa grande variedade de
temas e tornar a aprendizagem mais eficaz e significativa.
14
14,9% de acerto
A
B
C
D
E
31,1% 25,3% 16,4% 10,4% 14,9%
Matemática - Ensino Médio | SAEPI 2013
(M120184ES) Uma
nutricionista recomendou à Dona Vera que comprasse 6 kg de verduras para alimentar de
forma saudável as 6 pessoas de sua família durante 7 dias. Dona Vera passou 14 dias na casa de praia e
nessa casa havia um total de 8 pessoas. Para alimentar essas 8 pessoas Dona Vera comprou a quantidade
de verdura necessária para alimentá-los, durante os 14 dias, na mesma proporção recomendada pela
nutricionista.
Qual foi a quantidade de verdura que Dona Vera comprou?
A) 8 kg
B) 9 kg
C) 12 kg
D) 16 kg
E) 22 kg
Esse item avalia a habilidade de os estudantes resolverem problemas
envolvendo relação entre grandezas diretamente proporcionais. Para
resolver esse item, eles devem inicialmente perceber que existem
3 grandezas envolvidas no problema: a “quantidade de verduras”,
o “total de pessoas” para comê-las e o “tempo” em dias que essas
verduras duram. Em seguida, eles devem notar que essas grandezas
são diretamente proporcionais, montar a proporção, bem como
resolver a equação de 1° grau resultante dessa relação. Os estudantes
que assinalaram a alternativa D, provavelmente, consolidaram a
habilidade avaliada pelo item.
Os estudantes que assinalaram a alternativa A e C, possivelmente,
conhecem os procedimentos para resolver uma proporção simples
e relacionam a quantidade de verdura apenas com a quantidade de
pessoas (A) ou com o tempo em dias (C), apesar de terem procedido
corretamente com elas, mostraram ter dificuldade em modelar
uma proporção envolvendo 3 grandezas. Aqueles que optaram pela
alternativa B, provavelmente, erraram ao estabelecer as relações
entre as grandezas envolvidas. Eles consideraram que a quantidade
de verduras é uma grandeza inversamente proporcional à quantidade
de pessoas e diretamente proporcional à quantidade de dias, como
mostra o esquema abaixo.
A alternativa E sugere que os estudantes que a escolheram,
provavelmente, não compreenderam a proporção envolvida entre
as grandezas e apenas somaram os valores referentes ao número
de pessoas (8) e número de dias (14) informados no problema,
demonstrando não compreender a relação entre essas quantidades.
32
32,2% de acerto
A
B
C
D
E
16,6% 8,5% 27,3% 32,2% 13,3%
Os estudantes só irão desenvolver essa
pedagógicas pontuais, criando situações-
habilidade quando conseguirem compreender a
problema, que permitam inferir na forma como
relação existente entre as quantidades envolvidas
o pensamento aritmético desses estudantes é
nos diversos contextos e forem capazes de
desenvolvido. Compreender a álgebra, quando
entender a operação aritmética que subjaz a
os conceitos que envolvem a aritmética estão
manipulação dessas quantidades. Para isso,
resolvidos, permite a esses estudantes saber que
é preciso que se perceba a forma como eles
a funcionalidade de uma expressão algébrica é
manipulam as quantidades extensivas e intensivas
caracterizada pelos tratamentos e deduções que
e, a partir dessa observação, fazer intervenções
ela nos permite fazer.
(M120445ES)
O gráfico abaixo representa uma função definida no intervalo [– 4, 6].
8
7
Essa função é decrescente no intervalo
A) [– 4, 0]
B) [0, 2]
C) [0, 6]
D) [0, 8]
E) [2, 6]
Esse item avalia a habilidade de os estudantes analisarem crescimento
e decrescimento do gráfico de funções reais.
33
33,6% de acerto
A
B
C
D
E
33,6% 19,4% 12,0% 20,4% 13,1%
Matemática - Ensino Médio | SAEPI 2013
Avançado
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
475
500
acima de 350 pontos
Nesse Padrão, os estudantes demonstram resolver problemas envolvendo equação do 2° grau e sistema
de equações do 1° grau. Eles também resolvem problemas envolvendo juros simples; localizam frações
na reta numérica; reconhecem o valor posicional de um algarismo decimal e a nomenclatura das ordens;
efetuam adição de frações com denominadores diferentes; resolvem problemas com números inteiros
positivos e negativos não explícitos com sinais e conseguem obter a média aritmética de um conjunto
de valores. Embora o cálculo da média aritmética requeira um conjunto de habilidades já desenvolvidas
pelos estudantes em séries escolares anteriores, que utilizam, na prática, essa ideia para compor a
nota bimestral ou em outros contextos extraescolares, o conceito básico de estatística, combinado
com o raciocínio numérico, só é desempenhado pelos estudantes nesse Padrão. Eles também calculam
expressões com numerais da forma decimal com quantidades de casas diferentes; efetuam cálculos de
divisão com números racionais nas formas fracionária e decimal simultaneamente, além de calcular o
resultado de expressões envolvendo, além das quatro operações, números decimais (positivos e negativos,
potências e raízes).
Evidencia-se, também, nesse Padrão, as habilidades relativas ao estudo das funções. Os estudantes identificam
a função linear ou afim que traduz a relação entre os dados em uma tabela ou no gráfico de uma função,
intervalos em que os valores são positivos ou negativos e os pontos de máximo ou mínimo. Reconhecem
o gráfico das funções trigonométricas. Resolvem, ainda, problemas envolvendo funções afins; expressões
envolvendo módulos; uma equação exponencial por fatoração de um dos membros e resolvem uma equação
do 1° grau que requer manipulação algébrica.
No Campo Geométrico, há um avanço significativo no desenvolvimento das habilidades. Os estudantes
resolvem problemas envolvendo a Lei Angular de Tales; o Teorema de Pitágoras e as relações métricas no
triângulo retângulo; propriedades dos polígonos regulares, inclusive por meio de equação do primeiro grau;
utilizam razões trigonométricas para resolver problemas simples. Eles também aplicam as propriedades de
semelhança de triângulos na resolução de problemas; reconhecem que a medida da área de um retângulo
quadruplica quando a medida dos seus lados dobra; resolvem problemas envolvendo círculos concêntricos;
resolvem problemas utilizando propriedades de triângulos e quadriláteros; identificam propriedades comuns
e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando estas às suas planificações, além
de identificarem o sólido que corresponde a uma planificação dada; reconhecem a proporcionalidade
entre comprimentos em figuras relacionadas por ampliação ou redução; calculam ângulos centrais em
uma circunferência dividida em partes iguais e reconhecem ângulos como mudança de direção ou giro,
diferenciando ângulos obtusos, não obtusos e retos em uma trajetória. Além disso, esses estudantes conhecem
e utilizam a nomenclatura do plano cartesiano (abscissa, ordenada, quadrantes) e conseguem encontrar o
ponto de interseção de duas retas.
No Padrão Adequado da Escala, os estudantes utilizam o raciocínio matemático de forma mais complexa,
conseguindo identificar e relacionar os dados apresentados em diferentes gráficos e tabelas para resolver
problemas ou fazer inferências. Analisam gráficos de colunas representando diversas variáveis. Eles também
calculam a medida do perímetro de polígonos sem o apoio de malhas quadriculas e calculam a área de figuras
simples (triângulo, paralelogramo, retângulo, trapézio). Esses estudantes ainda calculam áreas de regiões
poligonais desenhadas em malhas quadriculadas, inclusive com lados inclinados de 45° em relação aos eixos.
Em relação ao conceito de volume, esses estudantes conseguem determinar a medida do volume do cubo e
do paralelepípedo pela multiplicação das medidas de suas arestas e realizam conversões entre metro cúbico e
litro.
(M110026B1) Paulo tem uma plantação de hortaliças em um terreno retangular. Para irrigar essa plantação,
ele instalou um cano que vai de um lado ao outro do terreno, como mostra a representação abaixo.
10 m
24 m
Quantos metros de cano Paulo gastou no mínimo?
A) 24 m
B) 26 m
C) 34 m
D) 120 m
E) 240 m
19
19,5% de acerto
A
B
C
D
E
11,2% 19,5% 42,5% 10,1% 15,4%
Esse item avalia a habilidade de os estudantes
avaliados que marcaram a opção A, provavelmente,
resolverem problemas envolvendo a aplicação do
observaram as medidas informadas no suporte
Teorema de Pitágoras.
do item e associaram o maior valor à medida da
Para resolvê-lo, os estudantes devem notar que
o comprimento do cano é dado pela medida da
hipotenusa de um triângulo retângulo representado
no suporte. Como os catetos desse triângulo
medem 24 m e 10 m, então eles podem atribuir
a incógnita x à medida da hipotenusa e devem
aplicar o Teorema de Pitágoras para obterem
, o que implica que
hipotenusa, talvez por considerarem que o triângulo
seja isósceles. Aqueles que escolheram a alternativa
E associaram o valor da hipotenusa à medida da
área do retângulo. Já a opção pela alternativa D
sugere que os respondentes relacionaram a medida
da hipotenusa à medida da área do retângulo.
O desenvolvimento da habilidade avaliada por
esse item requer que os estudantes reconheçam
. A escolha da alternativa B indica que esses
a possibilidade de utilizar as relações métricas do
estudantes desenvolveram a habilidade avaliada
triângulo retângulo na resolução de um problema.
pelo item.
No caso do presente item, a inserção de um
Os estudantes que marcaram a opção C,
possivelmente, identificaram os catetos de medidas
24 km e 10 km, porém consideraram que a medida
da hipotenusa é dada pela soma dos catetos. Os
desenho no suporte fornece um atalho para que
os estudantes apliquem o Teorema de Pitágoras.
Entretanto, eles devem ser capazes de esquematizar
o triângulo retângulo com base nas informações
textuais de um problema ou mesmo reconhecê-lo
Matemática - Ensino Médio | SAEPI 2013
quando ele não está explícito em um desenho (por
lados são os catetos do triângulo retângulo. Outro
exemplo, para determinar a medida da diagonal
equívoco é pensar que a raiz quadrada pode ser
de um retângulo ou a medida da altura de uma
aplicada a fim de reduzir a fórmula
pirâmide).
para
. Nesse caso, é importante que os estudantes
tenham conhecimento sobre a desigualdade
Um equívoco bastante comum que aparece nas
triangular, pois, se em todo triângulo a medida de
aplicações envolvendo o Teorema de Pitágoras
cada lado é menor que a soma das medidas dos
é pensar que a fórmula sempre funciona, não
outros dois, então eles deveriam perceber que
importando quais lados sejam chamados de a, b
houve algum engano em considerar que a medida da
ou c. Para isso, é preciso que saibam identificar
hipotenusa é igual à soma das medidas dos catetos.
corretamente qual lado é a hipotenusa e quais
(M1D08I0038) Observe o gráfico de uma função polinomial do 1° grau definida de IR em IR, representada no
plano cartesiano abaixo.
y
2
1
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
A expressão algébrica que representa essa função é
A) y = 2x + 1
B) y = x – 1
x
C) y =
2
D) y = – x + 1
E) y = – x – 1
Esse item avalia a habilidade de os estudantes identificarem a
equação de uma reta a partir de dois pontos dados.
Para resolvê-lo, eles podem utilizar a equação reduzida4 da reta
(
, em que
representa o coeficiente angular e
o coeficiente
linear), substituindo nela as coordenadas dos pontos (1, 0) e (0 -1),
dadas no suporte, para encontrar seus coeficientes. Dessa forma, eles
podem montar e resolver o seguinte sistema:
A

B
C
D
E
12,5% 39,1% 13,0% 25,4% 8,1%

Logo, a equação reduzida da reta r é
39
39,1% de acerto
. Então, os estudantes
que marcaram a alternativa B, provavelmente, desenvolveram a
habilidade avaliada pelo item.
4
Na equação reduzida da reta, ficam evidentes a inclinação da reta e a interseção
com o eixo y.
Há outras estratégias para a resolução desse item,
coordenadas dos pontos, substituindo X no lugar de
como a utilização da equação fundamental5 da reta
Y na equação da reta.
ou mesmo a resolução de um
determinante de uma matriz formada a partir dos
pontos dados e das coordenadas variantes x e y,
utilizando a condição de alinhamento, que exige o
Para que seu desenvolvimento aconteça de maneira
satisfatória, a habilidade avaliada por esse item requer
que outras habilidades tenham sido consolidadas pelos
resultado desse determinante igual à zero.
estudantes. A primeira é identificar a localização de
A opção pelas demais alternativas sugere que
que por dois pontos no plano passa uma e apenas uma
alguns estudantes confundiram os coeficientes
reta. A terceira é compreender a variação proporcional
da equação da reta, trocando um pelo outro.
direta que se encontra subjacente ao gráfico de uma
Há estudantes que somente compreendem
reta. Isso é fundamental para que os estudantes
os coeficientes angular e linear quando há a
compreendam o significado do coeficiente angular.
representação gráfica da reta, mas não percebem
pontos no plano cartesiano. A segunda é reconhecer
as relações que eles guardam com sua equação.
Uma estratégia que pode ajudá-los a perceberem
Nos casos em que a equação reduzida da reta é
inclusive com sua representação gráfica, é propor
apenas memorizada, os estudantes costumam
uma atividade investigativa na qual eles devem
substituir as coordenadas dos pontos no lugar dos
construir diversos gráficos de retas e descrever as
coeficientes, além disso, é comum inverterem as
relações que eles perceberem entre o aspecto de
as relações dos coeficientes da equação da reta,
cada uma e o sinal dos coeficientes de sua equação.
Depois dessa atividade, pode-se organizar um
5
Na equação fundamental da reta, ficam evidentes a
inclinação da reta e as coordenadas de um de seus pontos.
momento para que eles compartilhem seus achados
e cheguem a uma conclusão sobre as relações.
Observe abaixo mais alguns exemplos de itens representativos desse padrão de desempenho.
(M100019A9)
A figura abaixo é formada pelo pentágono regular ABCDE e pelo quadrado AEFG.
C
B
D
x
A
G
y
E
F
27
27,2% de acerto
A soma das medidas dos ângulos x e y, indicados nessa figura é
A) 108o
B) 198o
C) 210o
D) 270o
Esse item avalia habilidade de os estudantes resolverem problema
envolvendo propriedades de polígonos como a soma dos ângulos
internos.
A
B
C
D
21,9% 27,2% 29,0% 19,5%
Matemática - Ensino Médio | SAEPI 2013
(M120692ES)
Qual é o gráfico que representa a função trigonométrica definida por y(x) = – 3 sen(x)?
A)
B)
C)
D)
E)
Esse item avalia a habilidade de os estudantes reconhecerem o gráfico
de uma função trigonométrica dada algebricamente.
27
27,3% de acerto
A
B
C
D
E
8,0% 34,9% 11,8% 15,5% 27,3%