MATEMÁTICA
FICHA INFORMATIVA
NOME: ___________________________________________
ANO: ____ TURMA: ____ N.º ____
TEOREMA DE PITÁGORAS
Teorema de Pitágoras
Os triângulos relativamente aos seus ângulos podem ser rectângulos,
obtusângulos e acutângulos.
Acutângulo
Obtusângulo
Rectângulo
Vamos apenas analisar os triângulos rectângulos.
Neste tipo de triângulos os lados têm um nome especial:
Hipotenusa
Catetos
Hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto.
Os outros lados são designados por Catetos.
Designemos por c o comprimento da hipotenusa e por a e b os comprimentos
dos catetos.
c
a
b
Vamos então construir no nosso triângulo os quadrados de lado a, b e c.
Repara que:
Podemos então concluir que a soma das áreas dos quadrados de lado
a e b é igual à área do quadrado de lado c.
Como:
=
Área = c 2
+
Área = a2
Área = b2
Podemos então afirmar que:
c2 = a2 + b2
TEOREMA DE PITÁGORAS:
Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado
da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
dos catetos.
Determinação da Hipotenusa
“Num reino distante vivia um rei que morava num belo castelo rodeado por
um canal.
Certa manhã saiu para caçar como fazia habitualmente.
Após a sua saída, a porta do castelo encravou e não mais se conseguiu abrir.
Alguém sugere então construir uma escada de modo que o rei pudesse subir
ao topo do castelo. Mas qual deveria ser o seu comprimento?”
Sabendo que a altura do castelo é de 50m e que o canal tem 14m de
comprimento, podemos esquematizar o problema da seguinte forma:
Como estamos perante um triângulo rectângulo, podemos aplicar o teorema
de Pitágoras para determinar o comprimento da escada.
h2 = 502 + 142
⇔ h2 = 2500 + 196
⇔ h2 = 2696
⇔ h = ± 2696
⇒ h = 2696
⇔ h ≈ 52m
Determinação de um dos Catetos
“Num certo dia o João decidiu visitar o amigo Álvaro. Como tinha pouca
gasolina no carro teve de fazer um pequeno desvio até à bomba de combustível mais
próxima.
Como não conhecia o caminho da bomba a casa do Álvaro, questionou-se
qual seria a distância que ainda teria de percorrer?”
A situação anterior resume-se na seguinte figura:
Como o triângulo representado na figura é um triângulo rectângulo, temos
que:
402 = x2 + 242
⇔ 1600 = x 2 + 576
⇔ 1600 − 576 = x 2
⇔ x 2 = 1024
⇔ x = ± 1024
⇒ x = 1024
⇔ x = 32km
Assim concluímos que a distância da bomba de combustível à casa do Álvaro
é de 32km.
Aplicação do Teorama de Pitágoras ao Espaço
“A Joana tem um estojo com o formato de uma paralelepípedo e as
dimensões da figura seguinte.
Ela comprou uma caneta nova que tem 15cm de comprimento.
Será que a caneta cabe no estojo?”
Podemos verificar pela figura seguinte que o maior comprimento possível
para a caneta é o da diagonal espacial do paralelepípedo.
Assim, utilizando o Teorema de Pitágoras:
D2 = d2 + a2
Temos, então, que primeiramente determinar o valor de d.
d
5
14
d2 = 142 + 52
⇔ d2 = 196 + 25
⇔ d2 = 221
⇔ d = ± 221
⇒ d = 221
⇔ d ≈ 14,87cm
Substituindo o valor de d na expressão D2 = d2 + a2 , vem:
D2 = 221+ 42
⇔ D2 = 221+ 16
⇔ D2 = 237
⇔ D = ± 237
⇒ D = 237
⇔ D ≈ 15, 4cm
Assim, a diagonal espacial mede aproximadamente 15,4cm e portanto
concluímos que a caneta nova cabe no estojo.
Repara que:
Como D2 = d2 + a2 e d2 = b2 + c2 , então podemos concluir que:
D2 = a2 + b 2 + c2
O quadrado da diagonal de um paralelepípedo
rectângulo é igual à soma dos quadrados das
suas três dimensões.