Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Disciplina : Geometria Diferencial
Assunto: Superfı́cies regulares; Funções diferenciáveis; Primeira e Segunda forma
fundamental
Prof. Sato
2a Lista de exercı́cios
1. Considere uma hélice parametrizada por α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ R. O helicóide
é o conjunto formado por todas as retas (horizontais) que unem cada ponto do eixo
z com o ponto da hélice à mesma altura. Mostre que o helicóide é uma superfı́cie
regular.
2. A tractriz é a curva plana obtida do seguinte modo: fixemos uma reta (seja ela
o eixo z); a distância de qualquer ponto p da curva ao ponto de interseção q da
tangente à curva em p com a reta fixada é constante, igual a 1 > 0. Parametrize a
tractriz usando o ângulo t entre (0, 0, 1) e a tangente à curva como parâmetro ( note
que t ∈ ( π2 , π) ). Depois determine a parametrização da superfı́cie de revolução,
obtida pela rotação da tractriz em torno do eixo z. Essa superfı́cie é chamada
pseudo-esfera.
3. O conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, x2 + y 2 ≤ 1} é uma superfı́cie regular? E o
conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, x2 + y 2 < 1} é uma superfı́cie regular?
4. Seja f (x, y, z) = (x + y + z − 1)2 .
a) Localize os pontos crı́ticos e os valores crı́ticos dessa função.
b) Para que valores de c o conjunto f (x, y, z) = c é uma superfı́cie regular?
c) Responda as perguntas das partes a e b para a função f (x, y, z) = xyz 2 .
5. (Superfı́cie Tubular ) Sejam α(s), s ∈ I uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, com curvatura não nula em todos os pontos e X(s, v) = α(s) +
a[n(s) cos v + b(s)sen v ], a = cte 6= 0, (tubo de raio a ao longo de α(I)), onde
n e b são, respectivamente os vetores normal e binormal de α. Mostre que X é
uma superfı́cie parametrizada, e onde X é regular seu vetor normal é dado por
N(s, v) = −n(s) cos v + b(s)sen v .
6. Mostre que qualquer superfı́cie regular é localmente uma superfı́cie de nı́vel: dado
p ∈ S, existem uma vizinhança aberta V em R3 de p e uma função diferenciável
f : V → R tais que S ∩ V = f −1 ({0}) e 0 é valor regular de f.
7. Mostre que o conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y 2} é uma superfı́cie regular e
verifique que a e b são parametrizações para S
a) X(u, v) = (u + v, u − v, 4uv), (u, v) ∈ R2 .
b) Y (u, v) = (u cosh v, usenh v , u 2 ), (u, v ) ∈ R2 , u 6= 0.
Que partes de S essas parametrizações cobrem?
8. Seja Γ uma figura ”8” no plano xy e seja C o cilindro sobre Γ, isto é,
C = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Γ}.
1
C é uma superfı́cie regular?
9. Mostre que se duas superfı́cies S1 e S2 se intersectam transversalmente em p, então
existe uma vizinhança aberta V em R3 de p tal que S1 ∩ S2 ∩ V é o traço de uma
curva regular. (Dizemos que S1 e S2 se intersectam transversalmente em p se for
Tp S1 6= Tp S2 .)
10. Mostre que a equação do plano tangente a p = (x0 , y0 , z0 ) de uma superfı́cie regular
dada pela imagem inversa f −1 (0), onde zero é valor regular da função diferenciável
f : R3 → R, é fx (p)[x − x0 ] + fy (p)[y − y0 ] + fz (p)[z − z0 ] = 0.
11. Mostre que se todas as retas normais a uma superfı́cie conexa passam por um mesmo
ponto então essa superfı́cie está contida numa esfera.
12. Uma aplicação diferenciável f : S1 → S2 diz-se um difeomorfismo local se cada ponto
p ∈ S1 tiver uma vizinhança W em S1 tal que f|W : W → f (W ) é um difeomorfismo.
Mostre que se f for um difeomorfismo local então dfp é um isomorfismo linear para
qualquer p ∈ S1 .
13. Defina uma curva regular em analogia com uma superfı́cie regular. Prove que
a) A imagem inversa de um valor regular de uma função diferenciável f : U ⊆
R2 → R é uma curva regular em R2 . Dê um exemplo de curva regular que não seja
conexa!
b) A imagem inversa de um valor regular de uma função diferenciável f : U ⊆
R3 → R2 é uma curva regular em R3 . Relacione esta proposição com modo clássico
de definir curvas em R3 como a interseção de duas superfı́cies.
c) O conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x2 = y 3} não é uma curva regular?
14. Mostre que o parabolóide S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2} é difeomorfo ao plano.
15. Obtenha os coeficientes da primeira forma fundamental para
i) o helicóide (escolha uma parametrização);
ii) a esfera (parametrizada pela inversa da projeção estereográfica);
iii) uma superfı́cie de revolução obtida pela rotação de uma curva em torno do eixo
z.
16. As curvas coordenadas de uma parametrização X(u, v) constituem uma rede de
Tchebyshef se os comprimentos dos lados opostos de qualquer quadrilátero, formado
pela curvas coordenadas, são iguais. Mostre que uma condição necessária e suficiente
∂E
∂G
para isso é que
=
= 0.
∂v
∂u
17. Prove que quando as curvas coordenadas de uma parametrização constituem uma
rede de Tchebyshef, é possı́vel reparametrizar essas vizinhanças coordenadas de
tal modo que os coeficientes da primeira forma fundamental relativos a essa nova
parametrização são E = 1, F = cos θ e G = 1, onde θ é o ângulo entre as curvas
coordenadas.
18. Encontre todas as curvas do cilindro{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1} que cortem as
geratrizes (retas verticais) segundo um ângulo constante.
2
19. Mostre que a área A de uma região limitada R da superfı́cie z = f (x, y) é dada por
ZZ q
1 + fx2 + fy2 dxdy,
A=
Q
onde Q é a projeção ortogonal de R sobre o plano xy.
20. Seja S uma superfı́cie de revolução gerada pela rotação da curva C em torno de um
eixo. Seja s o comprimento de arco de C e denote por ρ = ρ(s) a distância do ponto
C(s) ao eixo de rotação
a)(Teorema de Papus) Prove que a área de S é dada por ,
Z l
2π
ρ(s)ds,
0
onde l é o comprimento de C.
b) Aplique o resultado do item a) para calcular a área do toro de revolução.
21. (Gradiente em Superfı́cie ) O gradiente de uma função diferenciável f : S → R é uma
aplicação gradf : S → R3 que a cada ponto p ∈ S associa um vetor gradf (p) ∈ Tp S
tal que
hgradf (p), vi = dfp (v), para todo v ∈ R3 .
Prove que
a) Se E, F, G são os coeficientes da primeira forma fundamental de uma parametrização X : U → S, então gradf em X(U) é dado por
gradf (p) =
fu G − fv F
fv E − fu F
X
+
Xv .
u
EG − F 2
EG − F 2
Em particular, se S = R2 com coordenadas x, y, então gradf (p) = fx e1 + fy e2 onde
{e1 , e2 } é a base canônica do R2 . (Assim, as duas definições coincidem nesse caso.)
b) Se p é um ponto fixo em S e v um ponto variável da esfera unitária em Tp S, então
gradf (p)
dfp (v) é máximo se, e somente se, v =
. (Assim, gradf (p) da a direção de
|gradf (p)|
variação máxima de f em p).
c) Se gradf 6= 0 em todos os pontos da curva de nı́vel C = {q ∈ S : f (q) = cte},
então C é uma curva regular em S e o vetor gradf é normal a essa curva em todos
os pontos.
22. Verifique se a aplicação antı́poda A : S2 → S2 dada por A(x, y, z) = (−x, −y, −z)
preserva ou não a orientação.
23. Seja f : S1 → S2 um difeomorfismo local. Diga se são verdadeiras as afirmações
seguintes:
a) se S2 for orientável então S1 é orientável;
b) se S1 for orientável e f for sobrejetiva então S2 é orientável.
24. Seja S uma superfı́cie regular coberta por duas vizinhanças coordenadas V1 e V2 .
assuma que V1 ∩ V2 possui duas componentes conexas W1 e W2 e que o determinante
jacobiano da mudança de coordenadas é positivo em W1 e negativo em W1 . Prove
que S é não orientável.
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25. Mostre que numa vizinhança de um ponto hiperbólico, as direções principais bissectam as direções assintóticas.
26. Mostre que se uma superfı́cie é tangente a um plano ao longo de uma curva, então
os pontos dessa curva são pontos parabólicos ou planares.
27. Mostre que a curvatura média H num ponto p de uma superfı́cie S é dada por
Z
1 π
H=
Kn (θ)dθ,
π 0
onde Kn (θ) é a curvatura normal em p numa direção que faz um ângulo θ com uma
direção fixada. Sugestão: Use a fórmula de Euler.
28. Descreva a região da esfera unitária coberta pela imagem da aplicação normal de
Gauss das seguintes superfı́cies:
a) Parabolóide de revolução: z = x2 + y 2.
b) Hiperbolóide de revolução: x2 + y 2 − z 2 = 1.
c) Catenóide: x2 + y 2 = cosh2 z.
29. Prove que: a) A imagem N ◦ α, pela aplicação normal de Gauss N : S → S2 , de
uma curva parametrizada regular α : I → S que não contém pontos planares ou
parabólicos é uma curva parametrizada regular na esfera (chamada imagem esférica
de α). b) Se C = α(I) é uma linha de curvatura e k sua curvatura em p, então
k = |Kn kN |, onde Kn é a curvatura normal de S em p ao longo das retas tangentes
a C e kN a curvatura da imagem esférica N ◦ α(I) em N(p).
30. Mostre que os meridianos de um toro são linhas de curvaturas.
31. Mostre que se H = 0 em S e S não possui pontos planares, então a aplicação de
Gauss N : S → S2 possui a seguinte propriedade
hdNp (w), dNp(v)i = −K(p) hw, vi ,
para todo p ∈ S e todo w, v ∈ Tp S. Mostre que a condição acima implica que
o ângulo entre duas curvas que se intersectam em S e o ângulo de suas imagens
esféricas são iguais.
32. Mostre que a origem (0, 0, 0) do hiperbolóide z = axy tem curvatura Gaussiana e
média dadas por K = −a2 e H = 0.
33. (Uma Superfı́cie com K = −1; A Pseudoesfera.)
a) Seja C curva plana (que não intersecta uma reta r no plano dessa curva) tal que
o segmento da reta tangente entre o ponto de tangência e a reta é constante e igual
a um. Essa curva é chamada tractriz, determine uma equação para C.
b) Gire a tractriz C em torno da reta r; determine se a ”superfı́cie” de revolução
assim obtida (pseudoesfera) é regular e encontre uma parametrização numa vizinhança de um ponto regular.
c) Mostre que a curvatura Gaussiana de qualquer ponto regular da pseudoesfera é
igual a −1.
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34. (Superfı́cies de Revolução com K = cte.) Seja X(u, v) = (f (u) cos v, f (u)sen v , g(u))
uma superfı́cie de revolução com curvatura Gaussiana constante K. Para determinar as funções f e g escolha o parâmetro u de tal modo que [f ′ (u)]2 + [g ′ (u)]2 = 1
(geometricamente, isto significa que u é o comprimento de arco das curvas geradoras
α(u) = (f (u), 0, g(u)) ). Mostre que
Rq
′′
a) f satisfaz f + Kf = 0 e g é dado por g =
1 − (f ′ )2 du, onde 0 < v < 2π e o
domı́nio de u é tal que a última integral faz sentido.
b) Todas as superfı́cies de revolução com curvatura constante K = 1 que intersectam
perpendicularmente o plano x0y são dadas por
Z u√
f (u) = C cos u, g(u) =
1 − C 2 sen 2 udu,
0
onde C é uma constante (C = f (0)). Determine o domı́nio de u e faça um esboço
da curva geratriz no plano xz nos casos C = 1, C > 1 e C < 1. Observe que C = 1
dá a esfera.
c) Todas as superfı́cies de revolução com curvatura constante K = −1 podem ser
dadas por um dos seguintes tipos:
Ru√
i) f (u) = C cosh u e g(u) = 0 1 − C 2 senh 2 udu;
Ru p
ii) f (u) = Csenh u e g(u) = 0 1 − C 2 cosh2 udu;
Ru√
iii) f (u) = eu e g(u) = 0 1 − e2u du..
Determine o domı́nio de u e faça um esboço das curvas geratrizes das superfı́cies no
plano xz.
d) A superfı́cie do tipo 3 no item c) é a pseudoesfera do Exercı́cio 6.
e) As únicas superfı́cies de revolução com K = 0 são o cilindro circular reto, o cone
circular reto e o plano.
Teorema da aplicação implı́cita
Se é dada uma decomposição Rm+n = Rm × Rn denotamos um ponto a ∈ Rm+n por
a = (a1 , a2 ), onde a1 ∈ Rm e a2 ∈ Rn . Seja f : U → Rp definida numa aberto U ⊆ Rm+n ,
a derivada de f no ponto a ao longo de Rm é indicada por ∂1 f (a) e a derivada de f no
ponto a ao longo de Rn é indicada por ∂2 f (a). Essas são as derivadas parciais de f no
ponto a relativamente à decomposição Rm+n = Rm × Rn . É claro que qualquer dessas
derivadas parciais podem existir ou não. Quando existem, são transformações lineares
∂1 f (a) : Rm → Rp e ∂2 f (a) : Rn → Rp . Se f : U → Rp é diferenciável no ponto
a, então essas derivadas são meramente as restrições da derivada f ′ (a) : Rm+n → Rp
aos subespaços Rm e Rn , respectivamente. Ou seja, ∂1 f (a) = f ′ (a)|Rm : Rm → Rp e
∂2 f (a) = f ′ (a)|Rn : Rn → Rp . Em particular, para u = (v, w) ∈ Rm+n , f ′ (a).u =
∂1 f (a).v + ∂2 f (a).w. Seja Rn gerado pelos vetores ej , j ∈ J = {j1 , j2 , . . . , jn }, da base
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canônica de Rm+n . Para p = n derivada ∂2 f (a) : Rn → Rn é uma isomorfismo se,
∂fi
e somente se, a matriz ∂x
(a) , 1 ≤ i ≤ n, j ∈ J, obtida da matriz jacobiana de
j
f = (f1 , f2 ,. . . , fn ) escolhendo as n colunas cujos ı́ndices pertencem ao conjunto J, tem
determinante não nulo. Em particular, devemos ter n = p.
Teorema 0.1 ( Teorena da Aplicação Implı́cita: Caso Geral) Sejam f : U → Rn , definida
no aberto U ⊆ Rm+n , de classe C ∞ e a ∈ U, com f (a) = c. Se f ′ (a) : Rm+n → Rn é
sobrejetiva ou, mais precisamente , se Rm+n = Rm × Rn é uma decomposição em soma
direta tal que a = (a1 , a2 ) e a derivada ∂2 f (a) : Rn → Rn é uma isomorfismo, então
existem abertos V, Z (onde a1 ∈ V ⊆ Rm , a ∈ Z ⊆ U) com a seguinte propriedade: para
cada x ∈ V há um único ξ(x) ∈ Rn tal que (x, ξ(x)) ∈ Z e f (x, ξ(x)) = c. A aplicação
ξ : V → Rn assim definida é diferenciável e sua derivada e sua derivada num ponto x ∈ V
é
ξ ′ (x) = − [∂2 f (x, ξ(x))]−1 ◦ ∂1 f (x, ξ(x))
Em resumo: f −1 (c) ∩ Z é o gráfico da aplicação diferenciável ξ : V → Rn . A aplicação
ξ di-se definida implicitamente pela equação f (x, y) = c.
Exemplo 0.1 A interseção da esfera S2 : x2 + y 2 + z 2 = 32 com o plano π : x − y = 0
é uma curva regular γ em R3 . Precisamente, γ é um grande cı́rculo de S2 . Esse fato
é conseqüência do Teorema da Aplicação implı́cita, aplicado à f (x, y, z) = ( x2 + y 2 +
z 2 , x − y), com c = (32 , 0) e R3 = R × R2 . Localmente γ é o gráfico de uma função
vetorial diferenciável α : I ⊆ R → R2 .Ou seja, uma curva regular em R3
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